2025-2026 学年高一年级数学上学期期中模拟卷
提升卷·参考答案
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
B
C
A
A
C
D
二、多选题：本题共3 小题，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，
部分选对的得3 分，有选错的得0 分。
9
10
11
ABD
BD
ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12. √3 13. (3,4] 14.[−6,+∞)
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
解：(1)B ={x| x
2−5 x +6=0}={2,3}，（2 分）
因为A ∩B = A ∪B，所以A = B，则A ={2,3}，
所以{
2+3=a
2×3=a
2−19
，解得a=5．（4 分）
(2)因为⌀⫋( A ∩B)，且A ∩C = ⌀，B ={2,3}，
C ={x| x
2+2 x−8=0}={−4,2}
，
所以−4∉A，2∉A，3∈A，（6 分）
所以3
2−3a+a
2−19=0，
即a
2−3a−10=0，解得a=5或a=−2．
当a=−2时，A ={−5,3}，满足题意；
当a=5时，A ={2,3}，不满足题意，舍去．
综上，可知a=−2．（8 分）
(3)因为A ∩B = A ∩C ≠⌀，B ={2,3}，C ={−4,2}，
所以2∈A，则2
2−2a+a
2−19=0，
即a
2−2a−15=0，解得a=5或a=−3．（11 分）
当a=5时，A ={2,3}，不满足题意，舍去；
当a=−3时，A ={−5,2}，满足题意．
综上，可知a=−3．（13 分）
16. （15 分）
解：(1)由题意得，−1
3
，1是方程a x
2−bx +3=0的两根，
则{
−1
3 +1= b
a
−1
3 = 3
a
，解得{
a=−9
b=−6
。（5 分）
(2)(i)若b=3a+1，则f ( x)=a x
2−(3a+1)x +3=(ax−1)( x −3)．
当0<a< 1
3
时，1
a >3，则不等式f ( x)≤0的解集为[3, 1
a ];
当a= 1
3
时，1
a =3，则不等式f ( x)≤0的解集为{3};
当a> 1
3
时，1
a <3，则不等式f ( x)≤0的解集为[ 1
a ,3]．（9 分）
(ii)若b=3a+1，则f ( x)=a x
2−(3a+1)x +3=( x
2−3 x)a−x +3．
令g(a)=( x
2−3 x)a+3−x，则g(a)>0在[1,2]上恒成立，所以{
g(1)>0
g(2)>0
，即{
( x
2−3 x)+3−x>0
2( x
2−3 x)+3−x>0
解得{
x<1
x
或>3
x< 1
2
x
或>3
，所以x< 1
2
或x>3，（14 分）
即x的取值范围为(−∞, 1
2 )∪(3,+ ∞). （15 分）
17. （15 分）
解：(1)奇函数f ( x)的定义域为R，当x ≤0时，f ( x)= 3 x
x−1
，
当x>0时，−x<0，
则f (−x)= −3 x
−x−1 = 3 x
x +1 =−f ( x)，
所以f ( x)=−3 x
x +1
，
则f ( x)={
3 x
x−1 , x ≤0
−3 x
x +1 , x>0
；（5 分）
(2)证明：任取x1> x2≥0，
因为x>0时，f ( x)=−3 x
x +1 =−3+
3
x +1
，（6 分）
则f ( x1)−f ( x2)=
3
1+ x1
−
3
1+ x2
=
3( x2−x1)
(1+ x2)(1+ x1) <0，
所以f ( x1)<f ( x2)，
所以f ( x)在[0,+∞)上单调递减；（10 分）
(3)因为f ( x)是定义域为R的奇函数，以及在[0,+∞)上单调递减，
所以f ( x)在R上单调递减，
若对任意的x∈R，不等式f (m−3 x
2)+ f (2 x
2−4 x −3)≥0恒成立，
则f (2 x
2−4 x −3)≥−f (m−3 x
2)= f (3 x
2−m)恒成立，
所以2 x
2−4 x−3≤3 x
2−m恒成立，
所以m≤x
2+ 4 x +3恒成立，（13 分）
根据二次函数的性质可知，当x =−2时，x
2+ 4 x +3取得最小值−1，
所以m≤−1，
故实数m的取值范围为{m|m≤−1}． （15 分）
18. （17 分）
解：(1)将A(3,9)，B(6,24)，C(82,1054)三点代入，
得{
9=9a+3b
24 =36a+6b
1054 =22×82+
c
82−2 −950
,
解得{
a= 1
3
b=2
c =16000
,（4 分）
即c( x)={
1
3 x
2+2 x ,0< x<20, x∈N
∗
22 x + 16000
x−2 −950, x⩾20, x∈N
∗
,（6 分）
依题意，L( x)=12 x−c( x)−15={
−1
3 x
2+10 x−15,0< x<20, x∈N
∗
−10 x−16000
x−2 +935, x⩾20, x∈N
∗
,（8 分）
(2)由(1)L( x)=12 x−c( x)−15={
−1
3 x
2+10 x−15,0< x<20, x∈N
∗
−10 x−16000
x−2 +935, x⩾20, x∈N
∗
,（10 分）
当0< x<20时，L( x)=−1
3 ( x−15)
2+60，（12 分）
则当为x =15时，L( x)取得最大值60万元；
当x ≥20时，L( x)=−10 x−16000
x−2 +935=−[10( x−2)+ 16000
x−2 ]+915
≤−2 √10( x−2)× 16000
x−2 +915=115，
当且仅当10( x−2)= 16000
x−2
时，即x = 42时取得等号，（15 分）
此时L( x)取得最大值，且最大值为115万元，
所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元．（17 分）
19. （17 分）
解：(1)由题意可得，二次函数f ( x)=a x
2+bx(a≠0)的对称轴为x =−b
2a =1，
∴b=−2a，
f ( x)=a x
2−2ax．（2 分）
再根据函数f ( x)有且仅有一个不动点，可得a x
2−2ax = x只有一个解，
故△=(2a+1)
2−0=0，
∴a=−1
2
，b=1，
∴f ( x)=−1
2 x
2+ x；（5 分）
(2)∵函数g( x)= f ( x)+k x
2=(k −1
2 )x
2+ x，
当k −1
2 =0，即k = 1
2
时，
g( x)= x在(0,4)上是增函数，满足要求；
当k −1
2 >0，即k > 1
2
时，
若g( x)在(0,4)上是增函数，
则
1
1−2k ≤0，解得k > 1
2
，（8 分）
综上，k > 1
2
，
当k −1
2 <0，即k < 1
2
时，
若g( x)在(0,4)上是增函数，
则
1
1−2k ≥4，综上解得3
8 ≤k < 1
2
，
综上所述，实数k的取值范围为[ 3
8 ,+∞)．（10 分）
(3)f ( x)=−1
2 x
2+ x =−1
2 ( x−1)
2+ 1
2 ≤1
2
，
∵f ( x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]
∴3n≤1
2
∴n≤1
6
故m<n≤1
6
（13 分）
∴f ( x)在区间[m,n]上为增函数
∴{
f (m)=3m
f (n)=3n
即{
−1
2 m
2+m=3m
−1
2 n
2+n=3n
即m，n为方程−1
2 x
2+ x =3 x的两根，
解−1
2 x
2+ x =3 x得x =−4，或x =0
故m=−4，n=0 （17 分）
