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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
提升卷·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
A
C
C
D
C
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ABC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
/0.4
13．
14． 3 或
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（14 分）
15．（13 分）
【详解】（1）由直线
可得斜率为
，（1 分）
所以根据垂直关系可设所求直线方程为
， （2 分）
则依题意有
，解得
， （4 分）
所以所求直线方程为
，整理得
；（6 分）
（2）联立
，解得
，即直线与
的交点为
， （7 分）
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为
，（8 分）
代入
得
，此时
；（9 分）
当直线的截距都不为0 时，设直线方程为
， （10 分）
依题意
，解得
，此时直线方程为
，（12 分）
综上所述：所求直线方程为
或
.（13 分）
16．（15 分）
【详解】（1）解：由圆
，可得圆心为
，半径长为2，
设线段
中点为
，且
，
因为点
的坐标是
，且
是线段
的中点，（3 分）
可得
，解得
，（4 分）
因为点
在圆上
上运动，即
，（6 分）
所以
，所以
的轨迹是以
为圆心，半径为1 的圆.（7 分）
（2）解：当直线的斜率不存在时，过点
的直线方程为
，（8 分）
则圆心
到的距离为
，所以弦长为
，不满足题意；（9 分）
当直线的斜率存在时，设方程为
，即
（10 分）
因为过点
的直线被曲线
截得的弦长为
，（11 分）
设圆心
到直线的距离为
，可得
，解得
，（12 分）
则
，解得
，（13 分）
所以直线的方程为
.（14 分）
17．（15 分）
【详解】（1）如图，取
的中点
，连接
，因为侧面
为菱形，
，
所以
.又因为平面
平面
，（1 分）
平面
平面
，
平面
，所以
平面
.（3 分）
又因为
是
的中点，所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
平面
.（6 分）
又
平面
，所以平面
平面
.（7 分）
（2）连接
，因为
为等边三角形，则
.
所以
两两垂直.则以
为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB=2，所以
.
故O(0,0,0), B(❑√3,0,0)，
.（9 分）
设
，则
，（10 分）
即
.
，
又⃗DE = 1
2⃗B1C1= 1
2⃗BC =(−
❑√3
2 , 1
2 ,0).
设平面
的一个法向量为
，
则{⃗
m·⃗DE =0⃗
m·⃗EF =0)，则{
❑√3 x−y =0
λy +(❑√3 λ−❑√3) z =0)，取
，则
，
.
故平面
的一个法向量为⃗m=(1−λ ,❑√3−❑√3 λ , λ).（12 分）
又由（1）可知平面
的一个法向量为
，
由题意可得|cos<⃗m,⃗n>)=
❑√17
17 ，即
|⃗m⋅⃗n)
|⃗m|⋅)⃗n)
=
|λ)
❑√(1−λ)
2+3(1−λ)
2+ λ
2 =
❑√17
17 .（14 分）
解得
.又
，所以，线段CF 的长为
2.（15 分）
18．（17 分）
【详解】（1）如图，延长
与
交于点
，则
为
的中点，取
的中点，连接
，
在正四棱锥
中，由
，
，
为
的中点，为
的中点，
可得
，
，则
，从而
，
由
，
，可得
，
因为
，
平面
，所以
平面
，即
平面
.（4 分）
（2）取
的中点
，连接
，则
平面
，
在
中，
，
连接
，
，则
，
因为
为
的重心，所以
.（9 分）
（3）连接
，
因
，PN ∩NS = N，
平面
，则
平面
，
又
平面
，则
，
则旋转过程中，当
平面
时，点
到平面
的距离最大，
以为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则S (0,0,0)，
，Q(0,❑√2cosα ,❑√2sinα)，
，M(0,−5
3 , 1
3)，
则⃗SC =(1,0,0)，⃗SQ =(0,❑√2cosα ,❑√2sinα)，⃗SM =(0,−5
3 , 1
3)，⃗
PQ =(0,1+ ❑√2cosα ,−1+ ❑√2sinα)，
由
平面
，可得¿，则
，解得
，
，
由（1）知，平面
的一个法向量为⃗PM =(0,−2
3 ,−2
3)，
则sinθ =|⃗PQ⋅⃗PM )
|⃗PQ)|⃗PM )
=
|−2❑√2
3
(cosα +sinα ))
2❑√2
3
⋅❑√4 +2❑√2(cosα −sinα )
=
3 ❑√26
13
❑√4−8 ❑√13
13
，
所以
.（17 分）
19．（17 分）
【详解】（1）圆
：
转化为标准方程为：
，
，
，
，
或0，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与
相交.（4 分）
（2）①直线
，
，设
，
，由
，
消去
得：
，由韦达定理
，
，
，
由
有
，
同理由
有
，
（*），
将韦达定理代入（*）
，
；（10 分）
②证明：
，
，则直线
，直线
，
联立两直线方程消
得：
（**），
由韦达定理有
，即
，
代入（**）可得
，解得
.
故直线
交点
在定直线
上.（17 分）
