专题1.3 常用逻辑用语（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)必要条件、充分条件、充要条件
(2)全称量词与存在量词
(3)全称量词命题与存在量词命题的否定
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
常用逻辑用语
新课标I 卷：第7 题，
5 分
新课标Ⅱ卷：第2 题，
5 分
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命题规律
分析
1、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，从近三年高考情况来看，常用逻
辑用语较少单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目
中，大概率在单选题中考查，难度不大，以基础题为主。重点关注以下两点：
①集合与充分、必要条件相结合的问题的求解；②命题的否定和全称量词命
题与存在量词命题的真假判断。
知识点1
充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
符号表示
由p 通过推理可得出q，
记作：p⇒q
由条件p 不能推出结论q，
记作：
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条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p
既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p 是q 的充要条件，记为p⇔q.
(2)如果p⇒
且q⇒
，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
(3)如果p⇒q 且q⇒
，则称p 是q 的充分不必要条件.
(4)如果p⇒
且q⇒p，则称p 是q 的必要不充分条件.
知识点2
全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
“∀x∈M，p(x)”
2．存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃x∈M，p(x)”
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
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1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设
|
( ) ,
| ( )
A
x p x
B
x q x
.
(1)若A
B
，则p 是q 的充分条件( p
q
)，q 是p 的必要条件；若A
B
，则p 是q 的充分不必要条件，
q 是p 的必要不充分条件，即p
q
且q
p
¿
；
(2)若B
A
，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；
(3)若A
B
，则p 与q 互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立；要判断全称量词
命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x0 使之成立即可，否则这个存在量
词命题就是假命题.
【题型1
充分条件与必要条件的判断】
【例1】（2026·山东滨州·二模）已知实数a，b，则“�> 2 且�> 2”是“�+ �> 4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2025·山东聊城·模拟预测）“�3 + 3�2 < 0”的一个充分不必要条件是（
）
A．−3 < �< 0
B．�<−4
C．�<−3
D．�≠−3
【变式1-2】（2026·福建·三模）已知函数��= �2 + ��+ 1（�∈�），则“∃�0 > 0，��0 = 0”是“�≤−2”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分必要条件
【变式1-3】（2026·重庆·一模）已知�> 0，�> 0，则“�> �”是“�2 >
�”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【题型2
根据充分条件、必要条件求参数】
【例2】（2025·吉林延边·一模）若“�≥�”的充分不必要条件是“0 ≤�< 1”，则实数�的取值范围是（
）
A．�< 0
B．�≤0
C．�> 0
D．�≥0
【变式2-1】（2025 高一上·江苏·专题练习）若−1 < �< 2 是−2 < �< �的充分不必要条件，则实数�的值不
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可以是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-2】（25-26 高一上·贵州·期中）已知�= −∞, �，�= −∞, 3 ，且�∈�的一个充分不必要条件是
�∈�，则m 的取值范围是（
）
A．�< 3
B．�≤3
C．�> 3
D．�≥3
【变式2-3】（24-25 高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合�= �−2 ≤�≤5 ，�= ��+ 1 ≤�≤2�−1 .
若“�∈�”是“�∈�”的充分不必要条件，则m 的取值范围是（
）
A．�|�≤3
B．�|2 ≤�≤3
C．∅
D．�|2 < �≤3
【题型3
全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题�: ∀�∈�，�≠0，则�+
1
�> 2，命题�: ∃�0 ∈�，
�0
2 −�0 −2 ≤0，则（
）
A．�和�都是假命题
B．�是真命题，�是假命题
C．�是假命题，�是真命题
D．�和�都是真命题
【变式3-1】（2025·河北唐山·一模）已知命题�: ∀�∈�, �2 > 0；命题�: ∃�> 0,ln�< 0．则（
）
A．�和�都是真命题
B．�是假命题，�是真命题
C．�是真命题，�是假命题
D．�和�都是假命题
【变式3-2】（25-26 高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（
）
A．�1: ∃�∈�，�2 + 2�+ 3 < 0
B．�2: ∀�∈�，�> 0
C．�3: ∀�∈�，�∈�
D．�4: ∃�∈�，�2 −5�+ 10 = 0
【变式3-3】（24-25 高一上·陕西咸阳·期中）已知命题�: ∀�> 0，�2 > �，命题�: ∃�< 0，�3 + 1 > 0，则（
）
A．�和�均为真命题
B．¬�和�均为真命题
C．�和¬�均为真命题
D．¬�和¬�均为真命题
【题型4
全称量词命题与存在量词命题的否定】
【例4】（2026·重庆渝中·三模）命题“ ∃�∈�，�2 + 4 ∈�” 的否定为（
）
A．∀�∉�，�2 + 4 ∈�
B．∃�∈�，�2 + 4 ∉�
C．∀�∉�，�2 + 4 ∉�
D．∀�∈�，�2 + 4 ∉�
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【变式4-1】（2026·浙江温州·二模）已知命题�: ∃�∈R，�2 −�+ 1 ≤0，那么¬�为（
）
A．∀�∈R，�2 −�+ 1 > 0
B．∃�∈R，�2 −�+ 1 > 0
C．∀�∈R，�2 −�+ 1 ≤0
D．∃�∈R，�2 −�+ 1 ≥0
【变式4-2】（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（
）
A．菱形是矩形
B．存在一个菱形，它是矩形
C．存在菱形不是矩形
D．存在是菱形的矩形
【变式4-3】（2026·吉林·三模）命题“∀�∈�，�2 −2�+ 6 > 0”的否定是（
）
A．∀�∈�，�2 −2�+ 6 ≤0
B．∀�∈�，�2 −2�+ 6 < 0
C．∃�∈�，�2 −2�+ 6 > 0
D．∃�∈�，�2 −2�+ 6 ≤0
【题型5
根据命题的真假求参数】
【例5】（2025·云南·一模）已知命题“∀�∈[ −2,3], 2�−�> 0”是真命题，则实数a 的取值范围是（
）
A．( −∞, −4)
B．( −4, + ∞)
C．( −∞, 6)
D．(6, + ∞)
【变式5-1】（2025·广东江门·模拟预测）若命题“∀�∈�, �2 + �+ �≠0”的否定是真命题，则实数�的取值范
围是（
）
A．
1
2 , + ∞
B．
1
2 , + ∞
C．−∞,
1
4
D．−∞,
1
4
【变式5-2】（25-26 高一上·江苏南通·阶段检测）若“∃�∈1,4 ，使得2�+ �+ 1 ≥0”是真命题，则实数�
的取值范围是（
）
A．{��<−9}
B．{��<−3}
C．��≥−9
D．{��>−3}
【变式5-3】（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃�∈0, + ∞，2�2 −��+ 1 < 0”为假命题，则实数�的取
值范围是（
）
A．−∞, 2 2
B．−∞, 2
C．−∞, 1
D．−∞,
1
2
【题型6
常用逻辑用语与集合综合】
【例6】（2026·安徽蚌埠·二模）已知集合�= 2,5,8 ，�= �−1,2 ，则“�= 6”是“�∩�= �”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（25-26 高一上·河南郑州·阶段检测）已知不等式�+ 3 ≥0 的解集是�，则使命题“∀�∈�，�∉�”
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为真命题的集合�是（
）
A．��≥−3
B．��>−3
C．��≤−3
D．��<−3
【变式6-2】（2025·广东·模拟预测）已知集合�= {�∣�−1 < �}, �= 0,2 ，则“�≥1”是“�⊆�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C 均为非空集合．若�∈�是�∈�的充分不必要条件，
�∈�是�∈�的充分不必要条件，则�∈�是�∈�的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
一、单选题
1．（2026·广东茂名·二模）已知实数�> 0，�> 0，则“��< 1”是“�+ �< 2”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2026·云南·模拟预测）命题“∃�∈�，�3 −2�−1 < 0”的否定是（
）
A．∀�∈�，�3 −2�−1 ≥0
B．∀�∈�，�3 −2�−1 < 0
C．∃�∈�，�3 −2�−1 ≥0
D．∃�∈�，�3 −2�−1 > 0
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合�= �|��= 1,�∈�，�= −1,1 ，则“�∈�”是“�⊆�”的（
）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026·江苏·模拟预测）命题“∀�∈�，�2 ≥0”的否定为（
）
A．∃�∈�，�2 ≥0
B．∀�∈�，�2 < 0
C．∃�∈�，�2 < 0
D．∀�∈�，�2 ≤0
5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题�: ∀�∈�，∣1 −�∣≤1，命题�: ∃�> 0，�2 = �，则（
）
A．�和�都是真命题
B．¬�和�都是真命题
C．�和¬�都是真命题
D．¬�和¬�都是真命题
6．（2026·北京朝阳·一模）设�，�∈�，则“ �< 3 且�< 3”是“�2 + �2 < 9”的（
）
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设�：∀�< �，�< �，�：�< �，则�是�的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（
）
A．∀�∈R, e−�+2 ≥0
B．∃�∈R, �+ �≤0
C．任何实数都有算术平方根
D．任意两个无理数之和仍为无理数
二、多选题
9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（
）
A．∀�∈�，�2 + 4 > 2�
B．“∃�∈�，|�−1| + 1 < 0”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“∀�∈�，�+ 4�4 ≥0”的否定是“∀�∉�，�+ 4�4 < 0”
10．（2025·安徽·一模）若�, �∈�，则“�3 < �3”的充分不必要条件是（
）
A．�< �
B．�−�> 1
C．�2 < �2
D．0 <
1
�<
1
�
11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合�= �, �2 , �= �∣1 ≤�≤4 ，若“�∈�”是“�∈�”的充分条件，
则实数�的取值可以是（
）
A．1
B．2
C．2
D．4
三、填空题
12．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀�> 0，�2 −7�+ 6 ≤0，则命题p 的否定为_________．
13．
（25-26 高一上·江西·阶段检测）若“�> 5”是“�> �−1”的充分不必要条件，则�的取值范围是_________．
14．（2025 高一上·江苏·专题练习）已知�> 0，使得不等式−�< �< �成立的一个充分不必要条件是−1 <
�< 3，则m 的取值范围是__________．
四、解答题
15．（25-26 高一上·重庆·期末）已知集合�= �−3 ≤�< 5 ，�= ��+ 1 < �< 2�−1 .
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(1)若�⊆�，求实数�的取值范围；
(2)若命题�：∃�∈�，使得�∈�是真命题，求实数�的取值范围.
16．（25-26 高一上·广东深圳·期末）已知集合�= �| −1 ≤�< 4 ，�= �|�−1 ≤�≤2�−3 .
(1)若�= 4，求∁R�和�∪�；
(2)若“�∈�”是“�∈�”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
17．（25-26 高一上·安徽合肥·阶段检测）已知命题�: ∀�≥2, �2 −�≥0，命题�: ∃�∈R, �2 + ��+ 2�= 0．
(1)写出命题p 的否定，并判断当�= 5 时命题p 否定的真假（直接判断，无需说明理由）；
(2)若命题p 和¬�均为真命题，求实数a 的取值范围．
18．（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合�= {�1 ≤�≤4 }，�= {�2 −�≤�≤2 + �}.
(1)若�∩�= �，求实数m 的取值范围；
(2)设�: �∈�，�: �∈�，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
19．（2025 高一上·福建厦门·专题练习）设全集�= R，集合�= �|�−3 < �< 2�−1 ，�= �|1 < �≤5 ，
其中�∈R．
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(1)若�= 2，求∁��∩�;
(2)若“�∈�”是“�∈�”的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围；
(3)若命题“∃�∈�，使得�∈∁R�”是真命题，求实数a 的取值范围．
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