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专题1.3 集合与常用逻辑用语综合练
题号
一
二
三
四
总分
得分
练习建议用时：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合
，则集合A 的真子集个数是
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．15
【答案】B
【分析】由题意列举出集合
中的元素，再用真子集个数公式
（
为集合中元素个
数）计算即可．
【详解】因为
，
所以
，
所以集合A 的真子集个数是
，
故选：B．
2．下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是
．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据全称命题的定义即可判断答案.
【详解】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，
故选：D．
3．（湖北省圆梦杯2023 届高一下学期统一模拟（二）数学试题）已知等差数列
的前
项和为
，命题
“
”，命题
“
”，则命题
是命题
的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由
，不能推出
，
例如
，则
，
1
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所以
，
故命题
是命题
的不充分条件；
由
，不能推出
，
例如
，则
，
所以
，
故命题
是命题
的不必要条件；
综上所述：命题
是命题
的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．（2023 秋·河南平顶山·高二统考期末）已知
，“直线
与
平行”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据平行的成比例运算即可求解.
【详解】直线
与
平行
则
，
所以
，
解得
，
经检验，
均符合题意，
故选：C.
5．（江西省重点中学盟校2023 届高三第二次联考数学（文）试题）“
”的一个充分
条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判
断即可.
【详解】解：由
，即
，所以
对选项A，当
，
时，
，但
不满足，故A 不正确，
选项B，由
，则
，
2
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则
或
，故B 项不正确，
选项C，
，
则
或
，故C 不正确，
选项D，由
知
，
所以
，成立，故D 正确，
故选：D.
6．（2023 春·上海嘉定·高三统考阶段练习）若命题：“存在整数
使不等式
成立”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析可知“对任意的整数
，
恒成立”是真命题，对实数
的取值进行分类讨论，解不等式
，结合已知条件可得出关于
的等式
或不等式，综合可求得实数
的取值范围.
【详解】“存在整数
使不等式
成立”是假命题，
则“对任意的整数
，
恒成立”是真命题，
当
时，则
对任意的整数
恒成立，不合乎题意；
当
且
时，原不等式化为
.
因为
，则不等式的解集为
或
，
所以，
，即
，解得
且
；
当
时，则有
对任意的整数
恒成立，合乎题意；
当
时，
，不等式
的解集为
，不合乎
题意.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：B.
3
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7．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知全集
，集合
，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为
，
，再根据集合运算
求解即可.
【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为
，
因为
，所以
，
因为
，所以
或
，
所以
.
故选：B.
8．（2022 秋·浙江温州·高三瓯海中学校考阶段练习）设
，
，为非零实数，则
的所有值所组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分
、
、是大于还是小于进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结
果．
【详解】解：
，
，为非零实数，
当
，
，
时，
；
当
，
，中有一个小于时，不妨设
，
，
，
；
当
，
，中有两个小于时，不妨设
，
，
，
；
当
，
，
时，
；
4
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的所有值组成的集合为
．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的
得0 分
9．（2022 秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
B．“
，
”的否定是“
，
”
C．“
”是“
”的充分不必要条件
D．“
”是“
”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据元素和集合的关系判断A；根据全称量词命题的否定可判断B；根据充分条
件以及必要条件的判断可判断C，D.
【详解】对于A，
的元素是
，故
，正确；
对于B，“
，
”为全称量词命题，它的否定是“
，
”，
B 错误；
对于C，由
，可得
，则
成立，
当
时，比如取
，推不出
成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，C 正确；
对于D，当
时，若
，则
不成立，
当
成立时，则
，则
，故
，
故“
”是“
”的必要不充分条件，D 正确，
故选：ACD
10．（2022 秋·高三课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．a=0 是a∈{-1，0，1}的充分不必要条件
B．a=0 是a∈{-1，0，1}的必要不充分条件
C．a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的既不充分也不必要条件
D．a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的充要条件
【答案】AD
【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】解：a=0⇒a∈{-1，0，1}，但a∈{-1，0，1}
a=0，故A 正确，B 不正确.
因为{x|x(x2-1)=0}={-1，0，1}，
所以a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的充要条件，故D 正确，C 不正确.
5
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故选：AD.
11．（2023 秋·贵州遵义·高三统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，
x∈R}．
＝{x|ax－1＝0}，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．
C．
D．2
【答案】ABC
【分析】首先求集合
，再结合补集的定义，讨论
和
两种情况，求实数
的取
值范围.
【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则
，此时A＝U；
若a≠0，则
＝
.
此时
＝3 或
＝5，
∴a＝
或a＝
.
综上a 的值为0 或
或
.
故选：ABC
12．（2022 秋·江苏苏州·高三校联考期中）在整数集Z 中，被6 除所得余数为k 的所有整
数组成一个“类”，记为
，即
，
，1，2，3，4，5，则
（ ）
A．
B．
C．“整数a，b 属于同一“类”的充要条件是“
”
D．“整数a，b 满足
”是“
”的必要不充分条件.
【答案】BC
【分析】对A，由定义得
，再判断元素与几何关系即可；
对B，由定义及被6 除所得余数为0 至5 的整数可判断；
对C，分别根据定义证明充分性及必要性即可；
对D，由定义证充分性，必要性可举反例即可判断
【详解】对A，因为
，由
可得
，所以
，A 错；
6
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对B，
，B 对；
对C，充分性：若整数a，b 属于同一“类”，则整数a，b 被6 除所得余数相同，从而
被6 除所得余数为0，即
；
必要性：若
，则
被6 除所得余数为0，则整数a，b 被6 除所得余数相同，
所以“整数a、b 属于同一‘类’”的充要条件是“
”，C 对；
对D，若整数a，b 满足
，则
，
所以
，故
；
若
，则可能有
，
故整数a，b 满足
”是“
”的充分不必要条件，D 错
故选：BC
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共计20 分.
13．（2021 春·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知全集
，集合
或
与
关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示的集合为______.
【答案】
【分析】根据Venn 图可知阴影部分表示集合
，结合集合运算的性质进行求解即
可.
【详解】根据Venn 图可知阴影部分表示集合
.
集合
或
，所以
，
又因为
，
所以
，
故答案为：
.
14．（2023·高二课时练习）方程
表示圆的充要条件是______．
【答案】
或
7
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【分析】由方程表示圆得到不等式，求解即可.
【详解】由题意知：
，即
，解得
或
.
故答案为：
或
.
15．（2023 秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知集合
．若
，则m 的取值范围为____________．
【答案】
或
．
【分析】解不等式求得集合A，通过讨论B 是否为空集，结合题意得到关于m 的不等式，
解出即可．
【详解】由
，得
，解得：
，则
若
，则
，解得：
，满足
，
若
，则
或
，解得：
或
，
综上，
的取值范围为：
或
．
故答案为：
或
．
16．（2023 秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）函数
，若命
题“
”是假命题，则实数a 的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由命题“
”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，
即可得解.
【详解】因为命题“
”是假命题，
所以命题“
”是真命题，
即
在
上恒成立，
因为当
时，
，
所以
在
上恒成立，
而
，
8
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所以
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共6 小题，共计70 分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023 秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）（1）
，求实
数a 的取值范围;
（2）
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
或
.
【分析】根据二次函数和一元二次不等式的关系结合全称量词命题、特称量词命题的定义
求解.
【详解】(1)因为
，
所以
，即
，
解得
.
(2)因为
，
所以
，即
，
解得
或
.
18．已知集合
，集合
．
(1)求集合
；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
（2）先解分式不等式得到集合A，再根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）当
时，不等式的解为
或
，
当
时，不等式的解为
，
当
时，不等式的解为
或
，
综上所述：当
时，集合
或
；
当
时，集合
，
9
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当
时，集合
或
.
（2）集合
或
，
因为
是
的必要不充分条件，所以集合
是集合A 的真子集，
当
时，
，所以
；
当
时，不合题意；
当
时，
，
无解；
综上，实数
的取值范围为
．
19．设
，已知集合
，集合
．
(1)若
，求
；
(2)求实数
的取值范围，使_______成立．
从①
②
③
中选择一个填入横线处并解答．
注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）先解分式不等式求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合
并集的概念和运算即可得出结果；
（2）①根据集合
没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出
，利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出
，
利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数.
【详解】（1）因为
所以
.
因为
，
所以
.
所以
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（2）①
，又
，
或
，
或
.
②
，
，又
或
，
或
.
③
，
，又
或
或
20．（2023 春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）已知集合
，
，且
．
(1)若
都有
，求
的取值范围；
(2)若
且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得
，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得
，由
得到
，则只需
，即可求出参数的取
值范围.
【详解】（1）∵
都有
，∴
，
又由题知
，所以
，
解得
，故
的取值范围是
.
（2）由于
且
，则
，
因为
，所以
，所以
，
当
时，一定有
，
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要想满足
，则要满足
，解得
，
故
时，
，故
的取值范围是
.
21．设集合
，集合
.
(1)若
，求
；
(2)若
是
成立的充分不必要条件，求实数
的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合A 与B，后由集合交集与并集定义可得答案；
（2）由题可得
，据此可得答案.
【详解】（1）由
得
，所以
，因为
，所以
，所以
；
（2）因为
是
成立的充分不必要条件，所以
.
又
，故
不为空集，故
，得
，所以实数
的范围
.
22．已知命题：“
，使得不等式
成立”是真命题，设实数
取
值的集合为
.
(1)求集合
；
(2)设不等式
的解集为
，若“
”是“
”的充分条件，求实
数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将命题为真命题转化成一元二次不等式在区间
上恒成立问题，即可求
得实数
取值范围得集合
；（2）由题可知，
是
的子集，根据集合间的基本关系即可
求得实数
的取值范围.
【详解】（1）令
，
因为函数
在
时取最小值
，
所以“
，使得不等式
成立”是真命题，
需满足
，解得
，
即
；
12
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（2）因为不等式
的解集为
，
且“
”是“
”的充分条件，则
是
的子集；
①当
，即
时，解集
，
所以
,解得
综合得
；
②当
，即
时，不满足题设条件；
③当
，即
时，解集
，
所以
,解得
综合可得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
13
