压轴09 三角函数与解三角形中的创新与融合问题的3 大核心题型
三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于
新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.
题型01 三角函数、解三角形及平面向量的交汇
1.已知O 为坐标原点，对于函数
sin
cos
f x
a
x
b
x
=
+
，称向量
,
OM
a b
=
uuuur
为函数
f x 的相伴特征向量，同
时称函数
f x 为向量OM
uuuur
的相伴函数．
(1)记向量
3, 3
ON =
uuur
的相伴函数为
f x ，若当
3
f x =
且
π π
,
3 3
x
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø 时，求x 的值；
(2)设
π
π
3cos
cos
3
6
g x
x
x
x
ö
ö
æ
æ
=
+
+
-
Î
ç
÷
ç
÷
è
è
ø
ø
R ，试求函数
g x 的相伴特征向量OM
uuuur
，并求出与OM
uuuur
同向的
单位向量；
(3)已知
0,1
OA =
uuur
为函数
h x 的相伴特征向量，若在
ABC
V
中，
π
2,cos
6
AB
C
h
ö
æ
=
=
ç
÷
è
ø ，若点G 为该
ABC
V
的外心，求GC AB
CA CB
×
+
×
uuur uuur
uuur uuur
的最大值．
2.已知O 为坐标原点，对于函数
sin
cos
f x
a
x
b
x
=
+
，称向量
,
OM
a b
=
uuuur
为函数
f x 的互生向量，同时称
函数
f x 为向量OM
uuuur
的互生函数．
(1)设函数
π
cos
cos
2
f x
x
x
æ
ö
=
+
+
-
ç
÷
è
ø
，试求
f x 的互生向量OM
uuuur
；
(2)记向量
3, 1
ON =
-
uuur
的互生函数为
f x ，求函数
2
y
f
x
=
在
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 上的严格增区间；
(3)记
2,0
OM =
uuuur
的互生函数为
f x ，若函数
2 3 cos
g x
f
x
x
k
=
+
-
在
0,2π 上有四个零点，求实数k
的取值范围．
题型02 三角与数列的交汇
技法指导
解三角形与三角函数、平面向量结合，利用正弦定理、余弦定理可以将向量的数量积、角度联系在一起，
构造角度的函数求最值问题.
3．（2026·浙江台州·二模）已知数列
na
满足
1
1
2
a =
，
1
1
1
n
n
a
a
+ =
-
.
(1)求
2024
a
（只需写出数值，不需要证明）；
(2)若数列
na
的通项可以表示成
1
π π
3sin
0
3,
,
2
2 2
na
n
w
j
w
j
æ
ö
é
ù
=
-
+
<
<
Î -
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
的形式，求w ，j .
4．（2026·江西南昌一模）数列
na
满足
1
π
6
a =
，
π π
,
2 2
na
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，
1
1
tan
cos
n
n
a
a
+ =
，
*
N
nÎ
.
(1)证明：数列
2
tan
na
为等差数列，并求数列
tan
na
的通项公式；
(2)求正整数m ，使得
1
2
1
sin
sin
sin
100
m
a
a
a
×
×
×
=
L
.
题型03 三角函数、解三角形的新定义问题
5.（江苏省徐州市第三中学2025 届高三上学期第三次质量检测）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，
并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691 年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等
得到“悬链线”方程
e
e
2
x
x
c
c
c
y
-
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
=
，其中c 为参数．当
1
c = 时，就是双曲余弦函数
e
e
ch
2
x
x
x
-
+
=
，类似地
双曲正弦函数
e
e
sh
2
x
x
x
-
-
=
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式 sin 2
2sin
cos
x
x
x
=
；②平方关系
2
2
sin
cos
1
x
x
+
= ；③求导公
式
'
'
sin
cos ,
cos
sin
x
x
x
x
ì
=
ïí
= -
ïî
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
0
x >
时，双曲正弦函数
sh
y
x
=
图象总在直线y
kx
=
的上方，求实数k 的取值范围；
(3)若
1 > 0
x
，
2
0
x >
，证明：
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
ch
sh
1
ch
sh
sin
sin
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù é
ù
+
-
-
×
+
>
+
-
-
ë
û ë
û
．
6.三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人
技法指导
解决三角函数与数列的交汇问题，一般要抓住一个主线，在解题过程中适时应用另外一种知识涉及的定
理、公式或性质.
技法指导
解决三角函数、解三角形新定义问题的思路
(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；
(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；
(3)利用三角函数、解三角形的公式、性质解答问题.
们所注意．1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当
ABC
V
内一点P
满足条件
PAB
PBC
PCA
q
Ð
= Ð
= Ð
=
时，则称点P 为
ABC
V
的布洛卡点，角q 为布洛卡角．如图，在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对边长分别为, ,
a b c ，点P 为
ABC
V
的布洛卡点，其布洛卡角为q ．
(1)若
30
q =
° ．求证：
①
2
2
2
4 3
ABC
a
b
c
S
+
+
=
△
（
ABC
SV
为
ABC
V
的面积）；
②
ABC
V
为等边三角形．
(2)若
2
A
q
=
，求证：
2
sin
sin sin
A
B
C
=
．
1．点M 将一条线段AB 分为两段AM 和MB ，若
5
1
2
AM
BM
AB
MA
-
=
=
，则称点M 为线段AB 的黄金分割点.已
知直线
( 1
1)
y
a
a
=
- <
<
与函数
sin
y
x
w
j
=
+
的图象相交，, ,
A B C 为相邻的三个交点，则（ ）
A．当
0
a =
时，存在w 使点B 为线段AC 的黄金分割点
B．对于给定的常数w ，不存在a 使点B 为线段AC 的黄金分割点
C．对于任意的a ，存在w 使点B 为线段AC 的黄金分割点
D．对于任意的w ，存在a 使点B 为线段AC 的黄金分割点
2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数
f x
x
=
也被广泛应用于生活，生产的各个领域，
其中
x 表示不超过x 的最大整数，如：
3.65
3
=
，
1.27
2
-
= - .若函数
5π
5π
sin
sin
π
12
12
f k
k
é
ù
æ
ö
=
+
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
k ÎZ ，则
f k 的值域为（
）
A．
1,0,1
-
B．
1,0
-
C．
0,1
D．
1,1
-
3．对集合
1
2
,
,
,
k
a a
a
¼
和常数m ，把
2
2
2
1
2
2
sin
sin
sin
k
a
m
a
m
a
m
k
s
-
+
-
+
+
-
=
L
定义为集合
1
2
,
,
,
k
a a
a
¼
相对于m 的“正弦方差"，则集合
,
,
6 2 6
p p p
ì
ü
-
í
ý
î
þ 相对于m 的“正弦方差”为（ ）
A．3
2
B．
3
2
C．
1
2
D．与m 有关的值
4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920 左右给出了一个关于垂直高度为h 的
日晷及其投影长度s 的公式：
sin 90
sin
h
s
j
j
°-
=
，即等价于现在的
cot
s
h
j
=
，我们称
cot
y
x
=
为余切函数，
余切函数与正切函数关系密切.已知函数
π
( )
cot 3
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，则（ ）
A．
( )
f x 的定义域为
2 π
4π ,
Z
3
9
k
x x
k
ì
ü
¹
+
Î
í
ý
î
þ
B．
( )
f x 图象的对称中心为
π
5π ,0 (
)
6
18
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z
C．
( )
f x 的单调递减区间为
π
π 4π
π
,
Z
9
3
9
3
k
k
k
æ
ö
+
+
Î
ç
÷
è
ø
D．
( )
f x 与
π
( )
tan 3
3
g x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的图象关于直线
7π
36
x =
对称
5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如
sin
y
A
x
w
=
的正弦型函数之和来描述，其中频率最低
的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐
波．若对应于
2
2
80
80
sin
sin
y
n x
n x
n
n
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 的泛音是对应于
2
5
x
y
sin
=
的基本音的一个谐波，则正整数n 的
所有可能取值之和为
6．定义：余割
1
csc
sin
a
a
=
.已知m 为正实数，且
2
2
csc
tan
15
m
x
x
×
+
³
对任意的实数x ,
π
(
π
,
Z)
2
x
k
k
¹
+
Î
均
成立，则m 的取值范围为
．
7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60 等分，用圆的半径长的1
60
作为单位来度量弦长.将圆心角a 所对的弦长记为crda .如图，在圆O 中，60°的圆心角所对的弦长恰好等于
圆O 的半径，因此60°的圆心角所对的弦长为60 个单位，即crd60
60
° =
.若q 为圆心角，
1
cos
0
180
4
q
q
=
° <
<
° ，则crdq =
.
8．
（2026·云南·模拟预测）已知函数
π
sin
0,0
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
<
ç
÷
è
ø ，
f x 图象的一个对称中心为π ,0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø，
一条对称轴方程为
π
2
x =
.
(1)求j ；
(2)若0
100
w
<
<
，求满足条件的w 值的和.
9．（2026·重庆·模拟预测）
ABC
V
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cos
, cos , cos
b
C a
A c
B 成等差
数列.
(1)求A ；
(2)若
2
b
c
=
，点D 在BC 上，满足
2
BD
DC
=
，求sin
CAD
Ð
.
10．（2025·江西景德镇·期中）A 是直线PQ外一点，点M 在直线PQ上（点M 与点P ，Q 任一点均不重合），
我们称如下操作为“由A 点对PQ施以视角运算”：若点M 在线段PQ上，记
sin
( ,
;
)
sin
AP
PAM
P Q M
AQ
MAQ
Ð
=
Ð
；若点
M 在线段PQ外，
sin
( ,
;
)
sin
AP
PAM
P Q M
AQ
MAQ
Ð
= -
Ð
.在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点D 在
射线BC 上.
(1)若AD 是角A 的平分线，且
3
b
c
=
，由A 点对BC 施以视角运算，求( , ;
)
B C D 的值；
(2)若
60
A =
°，
4
a =
，AB
AD
^
，由A 点对BC 施以视角运算，( , ;
)
4
B C D = - ，求
ABC
V
的周长；
(3)若
120
A =
°，
4
=
AD
，由A 点对BC 施以视角运算，
sin
( ,
;
)
sin
C
B C D
B
=
，求
4
b
c
+
的最小值.
11．（2025·江苏连云港·期中）在非直角三角形ABC 中，边长a，b，c 满足a
c
b
l
+
=
（
R
l Î
，且
1
l > ）
(1)若
2
l =
，且3 sin
4 sin
c
A
b
C
=
，求cos B 的值；
(2)求证：
1
tan
tan
2
2
1
A
C
l
l
-
=
+ ；
(3)是否存在函数
f l ，使得对于一切满足条件的l ，代数式
cos
cos
cos
cos
A
C
f
f
A
C
l
l
+
+
恒为定值？若存在，请给
出一个满足条件的
f l ，并证明，若不存在，请给出一个理由.
12.（2025 江西省萍乡二模）已知x
R
Î
，n 为正整数，对于函数
1
1
1
0
n
n
n
n
n
f
x
a x
a
x
a x
a
-
-
=
+
+
+
+
L
，若对任
意的q ，都有
cos
nf
q = cosnq ，则称
nf
x 为n 次切比雪夫函数．例如：因为
2
cos 2
2cos
1
x
x
=
- ，所以
2
2
2
1
f
x
x
=
- 为二次切比雪夫函数．
(1)求
3f
x ；
(2)证明：对任意正整数n ，都有
2
1
2
n
n
n
f
x
xf
x
f
x
+
+
=
-
；
(3)若函数
6
1
1
2
g x
f
x
k
=
+
+
é
ù
ë
û
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
g x 所有零点的绝对值都不大于1．
13.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为
e
e
2
x
x
c
c
c
y
-
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
=
，其中c 为参数．当
1
c = 时，该表达式就是双曲余弦函数，记为
e
e
cosh
2
x
x
x
-
+
=
，悬链线的
原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：
'
'
sin
cos
cos
sin
x
x
x
x
ì
=
ïí
= -
ïî
；②二倍角公式：
2
cos2
2cos
1
x
x
=
- ；③平方关系：
2
2
sin
cos
1
x
x
+
= ．定义双曲正弦函
数为
e
e
sinh
2
x
x
x
-
-
=
．
(1)写出sinh x ，cosh x 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意
0
x >
，恒有sinh
0
x
kx
-
>
成立，求实数k 的取值范围；
(3)正项数列
*
{
}(
N )
na
nÎ
满足
1
1
a
a
=
> ，
2
1
2
1
n
n
a
a
+ =
- ，是否存在实数a ，使得
2024
17
8
a
=
？若存在，求出a 的
值；若不存在，请说明理由．
14．对于集合
1
2
,
,
,
n
A
q q
q
=
L
和常数
0
q ，定义：
2
2
2
1
0
2
0
0
cos
cos
cos
n
n
q
q
q
q
q
q
m
-
+
-
+
+
-
=
L
为集合A
相对的
0
q 的“余弦方差”.
(1)若集合
π π
,
4 6
A
ì
ü
= í
ý
î
þ，
0
0
q =
，求集合A 相对
0
q 的“余弦方差”；
(2)判断集合
π 2π
,
,π
3
3
A
ì
ü
= í
ý
î
þ相对任何常数
0
q 的“余弦方差”是否为一个与
0
q 无关的定值，并说明理由；
(3)若集合
π , ,
4
A
a b
ì
ü
= í
ý
î
þ，
0,π
Î
a
，
π,0
b Î -
，相对任何常数
0
q 的“余弦方差”是一个与
0
q 无关的定值，求
出
,
a b .
