压轴18 圆锥曲线中的定点与定值问题的3 大核心题型
定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参
数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现.
题型01 定点问题
1.（2022 全国乙（理）卷T20）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过
3
0, 2 ,
, 1
2
A
Bæ
-
- ö
ç
÷
è
ø
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点
1, 2
P
-
的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足
MT
TH
=
uuur
uuur ．证明：直线HN 过定点．
【解题指导】（1）巧设椭圆方程→定点代入求参→E 的方程
（2）设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→分情况讨论斜率是否存在→直线TH 的方程→消参确定直
线HN 过定点(0, 2).
-
【解】（1）设椭圆E 的方程为
2
2
1
mx
ny
+
= ，
【技巧】当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x 轴上
(m<n)或焦点在y 轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
过
3
0, 2 ,
, 1
2
A
Bæ
-
- ö
ç
÷
è
ø，
技法指导
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关
系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
则
4
1
9
1
4
n
m
n
=
ìïí
+
=
ïî
，解得
1
3
m =
，
1
4
n =
，
所以椭圆E 的方程为：
2
2
1
4
3
y
x
+
= .
（2）
3
(0, 2), ( , 1)
2
A
B
-
-
，所以
2
:
2
3
+
=
AB y
x ，
①【第1 步】直线斜率不存在时，证明直线HN 过定点
若过点
(1, 2)
P
-
的直线斜率不存在，直线
1
x = .代入
2
2
1
3
4
x
y
+
= ，
可得
2 6
(1,
)
3
M
-
，
2 6
(1,
)
3
N
，代入AB 方程
2
2
3
y
x
=
-
，可得
2 6
(
6
3,
)
3
T -
+
-
，由MT
TH
=
uuur
uuur 得到
2 6
( 2 6
5,
)
3
H -
+
-
.求得HN 方程：
2 6
(2
)
2
3
y
x
=
+
-
，过点(0, 2)
-
.
②【第2 步】设直线斜率k ，求直线方程，与椭圆方程联立
若过点
(1, 2)
P
-
的直线斜率存在，设
1
1
2
2
(
2)
0,
( ,
),
(
,
)
kx
y
k
M x y
N x
y
-
-
+
=
.
联立
2
2
(
2)
0
,
1
3
4
kx
y
k
x
y
-
-
+
=
ìïí
+
=
ïî
得
2
2
(3
4)
6 (2
)
3 (
4)
0
k
x
k
k x
k k
+
-
+
+
+
=
，
【第3 步】求
2
1
1
2
2
1
1
2
,
,
,
x
x
y
y
y
x
x
y
+
+
可得
1
2
2
1
2
2
6 (2
)
3
4
3 (4
)
3
4
k
k
x
x
k
k
k
x x
k
+
ì
+
=
ïï
+
í
+
ï
=
ï
+
î
，
1
2
2
2
1
2
2
8 2
3
4
4 4
4
2
3
4
k
y
y
k
k
k
y y
k
ì
-
+
+
=
ï
+
ïí
+
-
ï
=
ï
+
î
，
且
1
2
2
1
2
24
(*)
3
4
k
x y
x y
k
-
+
=
+
【第4 步】求,
T H 的坐标，直线TH 的方程
联立
1
,
2
2
3
y
y
y
x
=
ìïí
=
-
ïî
可得
1
1
1
1
1
3
(
3,
),
(3
6
,
).
2
y
T
y
H
y
x y
+
+
-
可求得此时
1
2
2
2
1
1
2
:
(
)
3
6
y
y
HN y
y
x
x
y
x
x
-
-
=
-
+
-
-
，
【第5 步】化简，消参确定直线HN 过定点(0, 2).
-
将(0, 2)
-
，代入整理得
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2(
)
6(
)
3
12
0
x
x
y
y
x y
x y
y y
+
-
+
+
+
-
-
=
，
将(*)代入，得
2
2
2
24
12
96
48
24
48
48
24
36
48
0,
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
-
-
-
+
-
-
=
显然成立，
综上，可得直线HN 过定点(0, 2).
-
【解后反思】动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t 用k 表示
为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).
2.（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø ，且与直线
1
:
4
l x = -
相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)过点
1,1
A
作倾斜角为a ，b （
0
αβ ¹
）的两条直线交轨迹C 于M，N 两点，若
π
2
a
b
+
=
，求证：直线
MN 恒过定点．
【解】（1）由题意可知，点C 到点
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø 和到
1
:
4
l x = -
的距离相等，
故点C 的轨迹是以
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø 为焦点，
1
:
4
l x = -
为准线的抛物线，
故动圆圆心的轨迹C 的方程为
2y
x
=
；
（2）由题意可知，直线
,
AM AN 的倾斜角均不为0 和π
2 ，
故直线
,
AM AN ，MN 的斜率存在且不为0 ，
因为
π
2
a
b
+
=
，所以
π
1
tan
tan 2
tan
a
b
b
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，即tan
tan
1
a
b = ，
即
1
AM
AN
k
k
= ，
若直线MN 的斜率为0 ，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则
,
M N 重合，均不符合题意；
故设
:
MN x
my
n
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
联立
2
x
my
n
y
x
=
+
ì
í
=
î
，得
2
0
y
my
n
-
-
=
，
则
1
2
1
2
0,
,
y
y
m y y
n
D >
+
=
= - ，
则
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
AM
AN
y
y
y
y
k
k
x
x
y
y
y
y
y y
y
y
-
-
-
-
=
=
=
=
-
-
-
-
+
+
+
+
+
1
1
1
n
m
=
=
- +
+
，
得m
n
=
，
则直线
:
1
MN x
my
m
m y
=
+
=
+
恒过点
0, 1
-
.
题型02 定直线问题
3.（2023 新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
2 5,0
-
，离心率为5 ．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
1A ，
2
A ，过点
4,0
-
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
1
MA 与
2
NA 交于点P．证明:点P 在定直线上.
【解题指导】（1）由焦点和离心率→列方程求参,a b→双曲线方程；
（2）设出直线方程→与双曲线方程联立→直线
1
MA 与
2
NA 的方程→消去y→
2
1
2
3
x
x
+
= -
-
→交点的横坐
标为定值→点P 在定直线= 1
x - 上.
【解】（1）设双曲线方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
，由焦点坐标可知
2 5
c =
，
则由
5
c
e
a
=
=
可得
2
a =
，
2
2
4
b
c
a
=
-
=
，
双曲线方程为
2
2
1
4
16
x
y
-
= .
（2）由(1)可得
1
2
2,0 ,
2,0
A
A
-
，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
【第一步】设参，因直线过x 轴上（T,0)点，方程可巧设为x
my
t
=
+
显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为
4
x
my
=
-
，且
1
1
2
2
m
-
<
<
，
与
2
2
1
4
16
x
y
-
= 联立可得
2
2
4
1
32
48
0
m
y
my
-
-
+
=
，
【第二步】用参，利用韦达定理，设而不求表示出判别式，两根之积与和
技法指导
解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有：
(1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线.
(2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线.
则
2
64(4
3)
0
m
D =
+
>
，且
1
2
1
2
2
2
32
48
,
4
1
4
1
m
y
y
y y
m
m
+
=
=
-
-
【提醒】忽视
0
D >
，此为得分点
直线
1
MA 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，
直线
2
NA 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
【技巧】直线
2
NA 的方程可用类比的方法获得
【第三步】消参，利用两条直线交于P 点，将两根之和与两根之积代入化简，转化为含有
1
,
m y 的代数式，
确定定点。
联立直线
1
MA 与直线
2
NA 的方程可得：
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
6
6
y
x
y
my
my y
y
y
y
x
x
y
x
y
my
my y
y
+
-
-
+
+
+
=
=
-
-
=
-
-
1
1
2
2
2
1
1
2
2
48
32
16
2
2
2
1
4
1
4
1
4
1
48
48
3
6
6
4
1
4
1
m
m
m
y
y
m
m
m
m
m
y
y
m
m
-
-
+
+
-
-
-
=
=
= -
´
-
-
-
-
，
由
2
1
2
3
x
x
+
= -
-
可得= 1
x - ，即
1
P
x = - ，
据此可得点P 在定直线= 1
x - 上运动.
4.（2025·北京石景山·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,
2 ，短轴长为4．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线:
4
l y
kx
=
+
与椭圆C 交于不同的两点M ，
N ．设直线AN 与直线BM 相交于点G ．试问点G 是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说
明理由．
【解】（1）依题意可得
2
2
4
2
1
2
4
a
b
b
ì
+
=
ïí
ï
=
î
，解得
2
2 2
b
a
=
ìïí =
ïî
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ；
（2）在定直线
1
y = 上，理由如下：
设点
1
1
2
2
1,2
,
,
,
2
N x y
M x
y
y
¹ ±
与直线l 联立消去y 整理得
2
2
1
2
16
24
0
k
x
kx
+
+
+
=
，
由
2
2
2
3
Δ
16
4 24 1
2
0
2
k
k
k
=
- ´
+
>
Þ
>
，且
1
2
1
2
2
2
16
24
,
1
2
1
2
k
x
x
x
x
k
k
+
= -
=
+
+
，
所以
1
2
1
2
2
3
x
x
kx
x
+
= -
，
易知
0,2
A
，
0, 2
B
-
，则
1
1
2
:
2
AN
y
l
y
x
x
-
-
=
，
2
2
2
:
2
BM
y
l
y
x
x
+
+
=
，
两式作商得
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
3
2
2
2
2
1
2
3
2
2
6
3
6
2
x
x
x
y
x
kx x
x
y
y
y
x
kx x
x
x
x
x
-
+
+
-
+
-
=
=
=
= -
+
+
+
-
+
+
，
解得
1
y = ，故G 在定直线
1
y = 上.
题型03 定值问题
5.（2024·河南新乡模拟）
,
A B 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点，AB
4
=
，离心率为
2
2
．
技法指导
求解定值问题的三步骤
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)过点
4,0
P
，且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于
,
M N 两个不同的点．设直线AM ，BN 交于点K ，
证明：点K 到y 轴的距离为定值．
【解题指导】（1）由弦长和离心率→列方程求参,a b→椭圆方程；
（2）设出直线l 方程→与椭圆方程联立→直线AM ，BN 方程→两直线交点的横坐标→结合韦达定理
化简得定值
【解】（1）由题可知
2
2
2
2
4
2
2
a
c
a
a
b
c
=
ì
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2,
2,
2,
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ．
（2）
【第1 步】设直线l 的方程
(
4)
y
k x
=
-
与椭圆方程联立，根据判别式求k 的范围
设直线l 的方程为
(
4)
y
k x
=
-
，
联立C 的方程，消去y 得
2
2
2
2
2
1
16
32
4
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
．
其中
2
2
2
2
2
Δ
16
4
2
1
32
4
16
96
0
k
k
k
k
=
- ´
+
´
-
=
-
>
，
即
2
1
6
6
6
6
6
k
k
<
Þ -
<
<
，
【第2 步】由韦达定理写出两根之和与积，并消参k
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
2
1
2
2
16
2
1
k
x
x
k
+
=
+ ，
2
1
2
2
32
4
2
1
k
x x
k
-
=
+
，
1
2
1
2
5
4
2
x x
x
x
\
=
+
-
，又
( 2,0)
A -
，
(2,0)
B
，
【第3 步】求直线AM ，BN 的方程，并联立求
kx
\直线AM 的方程为
1
1
(
2)
2
y
y
x
x
=
+
+
，直线BN 的方程为y =
2
2
(
2)
2
y
x
x
-
-
，
联立得
1
2
1
2
(
2)
(
2)
2
2
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
4
2
2
4
2
2
6
2
4
2
4
2
3
8
K
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
+
-
+
-
-
\
=
=
-
+
-
-
-
-
-
．
【第4 步】结合韦达定理化简得定值
又
1
2
1
2
5
4
2
x x
x
x
=
+
-
Q
，
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
5
8
6
2
3
8
1
3
8
3
8
K
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
- -
-
-
-
\
=
=
=
-
-
-
-
，
即点K 到y 轴的距离为定值1．
6.（2025·吉林·三模）已知
,
A B 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点，
6 2
ab =
，
,
M N 均为椭
圆C 上异于顶点的点，H 为椭圆C 上的点，直线HM 经过左焦点
1F ，直线HN 经过右焦点
2 1,0
F
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)试问
1
2
1
2
HF
HF
MF
NF
+
是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解】（1）由椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= 满足
6 2
ab =
，且右焦点
2 1,0
F
，
可得
2
2
6 2
1
ab
a
b
ì
=
ïí
-
=
ïî
，解得
2
2
9,
8
a
b
=
=
，所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
9
8
x
y
+
= .
（2）解：由题意知：椭圆的左、右焦点为
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，
设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，且
0
0
(
,
)
H x
y
，
再设
1
2
,
HM
tHF HN
kHF
=
=
uuuur
uuuur uuur
uuuur
，其中
1,
1
t
k
>
> ，
则
1
0
1
0
(1
)
(1
)
x
t x
t
y
t y
=
-
-
ì
í
=
-
î
，可得
2
2
0
0
2
2
0
0
1
9
8
[(1
)
]
[(1
)
]
1
9
8
x
y
t x
t
t y
ì
+
=
ïïí
-
-
-
ï
+
=
ïî
，
整理得
0
0
0
9
4
1
5
5
x
t
x
x
+
=
= +
+
+
，同理可得
0
0
0
9
4
1
5
5
x
k
x
x
-
=
= -
-
-
，
则
1
2
0
0
1
2
5
5
1
1
5
1
1
4
4
2
HF
HF
x
x
MF
NF
t
k
+
-
+
=
+
=
-
=
-
-
，
所以存在
1
2
1
2
HF
HF
MF
NF
+
为定值，定值为5
2 .
题型04 存在性问题
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的离心率为
3 ，且C 过点
3,
2 ，O 为坐标原点．
(1)求C 的方程．
(2)动直线l 过C 的右焦点F 且与C 交于A ，B 两点，证明：OA OB
uuur uuur
为定值．
(3)C 上是否存在互不重合的三点P ，Q ，M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，求出直线PQ的
方程；若不存在，请说明理由．
【解】（1）已知离心率
3
=
=
c
e
a
，故
2
2
2
3
c
e
a
=
=
，结合
2
2
2
c
a
b
=
+
得
2
2
2
b
a
=
,
所以双曲线方程可写为
2
2
2
2
1
2
x
y
a
a
-
= ，代入点( 3, 2) 得：
2
2
3
2
1
2
a
a
-
= ，
解得
2
2
a =
，所以
2
4
b =
，双曲线C 的方程为
2
2
1
2
4
x
y
-
= .
（2）由（1）得右焦点
( 6,0)
F
，分两种情况讨论：
若直线l 斜率不存在，则:
6
l x =
，由
2
2
6
1
2
4
x
x
y
ì =
ïí
-
=
ïî
得
2 2
6
y
x
ì
= ±
ïí
=
ïî
，
不妨设
( 6,2 2),
( 6, 2 2)
A
B
-
，
则：
6,2 2 ,
6, 2 2
OA
OB
=
=
-
uuur
uuur
，所以
·
6
8
2
OAOB =
-
= -
uuur uuur
；
若直线l 斜率存在，设为k ，则:
(
6)
l y
k x
=
-
，
由
2
2
6
1
2
4
y
k x
x
y
ì
=
-
ï
í
ï
-
=
î
，得
2
2
2
2
2
2 6
6
4
0
k
x
k x
k
-
+
-
-
=
，
此时
4
2
2
2
24
4 2
6
4
32
32
0
k
k
k
k
D =
+
-
+
=
+
>
且
2
k ¹ ±
.
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)， 由韦达定理：
2
2
1
2
1
2
2
2
2 6
(6
4)
,
2
2
k
k
x
x
x x
k
k
-
-
+
+
=
=
-
-
，
存在性问题的求解策略
（1）假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在；
（2）用待定系数法设出；
（3）列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，
元素（点、直线、曲线或参数）不存在.
提醒 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
则：
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6
6
1
6
6
OA OB
x x
y y
x x
k
x
x
k
x x
k
x
x
k
=
+
=
+
-
-
=
+
-
+
+
uuur uuur
2
2
2
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
2 6
6
6
4
4
12
12
6
2
4
1
·
6
·
6
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
-
-
-
-
+
+
-
-
=
+
-
+
=
=
= -
-
-
-
-
.
综上，
2
OA OB
= -
uuur uuur
，即
·
OAOB
uuur uuur
为定值.
（3）假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则OM 与PQ中点重合，
设PQ中点为
0
0
(
,
)
G x
y
，则
0
0
(2
,2
)
M
x
y
。
设
1
1
2
2)
( ,
),
(
,
P x y
Q x
y
，则
2
2
2
2
1
1
2
2
1,
1
2
4
2
4
x
y
x
y
-
=
-
= ，两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
4
·
2
y
y
x
x
x
x
y
y
-
+
=
-
+
，即
0
0
2
PQ
x
k
y
=
，
整理得PQ方程为
2
2
0
0
0
0
2
2
xx
yy
x
y
-
=
-
。
又M 在双曲线上，代入得
2
2
0
0
(2
)
(2
)
1
2
4
x
y
-
= ，即
2
2
0
0
2
1
x
y
-
= ，故PQ方程为
0
0
2
1
xx
yy
-
= .
若
0
0
y ¹
，
联立PQ与双曲线
2
2
2
4
x
y
-
=
，消去y 得
2
2
2
2
0
0
0
0
4
2
4
1
4
0
x
y
x
x x
y
-
-
+ +
=
，
即
2
2
0
0
2
4
1
4
0
x
x x
y
-
+ +
=
，判别式
2
2
2
0
0
0
Δ
16
8(1
4
)
24
0
x
y
y
=
-
+
-
<
=
：
若
0
0
y =
，则
2
0
2
1
x = ，
2
:
2
PQ x = ±
，代入双曲线得
2
3
y = - ，无实根.
因此不存在满足条件的三点.
8.（2026·宁夏银川·一模）已知抛物线C ：
2
2
y
px
=
0
p >
上的点N 与焦点F 的距离为2，点N 到x 轴的距
离也为2.
(1)求C 的方程；
(2)过点F 且斜率为3 的直线与C 交于D ，E 两点，过点F 且斜率为3
- 的直线与C 交于G ，H 两点，求四
边形DHEG 的面积；
(3)过点
,0
P t
且倾斜角为π
4 的直线与C 交于A ，B 两点.点
2
,
M
t
a t
-
，记直线MA ，MB 的斜率分别为
1k ，
2k ，是否存在常数a ，使得
1 2
k k 为常数？若存在，求出a 及
1 2
k k 的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）该抛物线的准线方程为
2
p
x = -
，焦点坐标为
,0
2
p
F æ
ö
ç
÷
è
ø，
因为点N 到x 轴的距离为2，
所以设点N 的坐标为
, 2
0
a
a
±
>
，代入抛物线
2
2
y
px
=
中，得
2
4
2pa
a
p
=
Þ
=
，
因为点N 与焦点F 的距离为2，
所以2
2
2
2
p
p
p
æ
ö
- -
=
Þ
=
ç
÷
è
ø
，即抛物线的方程为
2
4
y
x
=
.
（2）直线DE 的方程为
3
1
y
x
=
-
，与抛物线方程联立，得
2
2
3
1
9
22
9
0
4
y
x
x
x
y
x
ì
=
-
Þ
-
+
=
í
=
î
，
2
Δ
22
4 9 9
160
0
= -
- ´ ´
=
>
，
设
1
1
2
2
,
,
,
D x y
E x
y
，则有
1
2
1
2
22 ,
1
9
x
x
x x
+
=
= ，所以
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
10
4
DE
x
x
y
y
x
x
x
x
x
x
x x
=
-
+
-
=
-
+
-
=
+
-
2
22
40
10
4
9
9
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
.
直线GH 的方程为
3
1
y
x
= -
-
，与抛物线方程联立，得
2
2
3
1
9
22
9
0
4
y
x
x
x
y
x
ì
= -
-
Þ
-
+
=
í
=
î
，
2
Δ
22
4 9 9
160
0
= -
- ´ ´
=
>
，
设
3
3
4
4
,
,
,
G x
y
H x
y
，则有
3
4
3
4
22 ,
1
9
x
x
x x
+
=
= ，
显然
1
2
3
4
,
,
,
0
x x
x x >
，
点
3
3
,
G x
y
到直线
3
1
y
x
=
-
的距离为
3
3
3
3
3
1
2
2
3
3
1
3
3
3
6
10
10
3
1
x
x
x
y
x
d
+
-
-
-
-
=
=
=
+ -
，
同理点
4
4
,
H x
y
到直线
3
1
y
x
=
-
的距离为
4
2
6
10
x
d =
，
因此四边形DHEG 的面积为
3
4
1
2
6
6
1
1
40
20
22
88 10
6
2
2
9
9
27
10
10
9 10
x
x
DE
d
d
æ
ö
+
=
´
+
=
´ ´
=
ç
÷
è
ø
.
（3）直线AB 的方程为y
x
t
=
- ，与抛物线方程联立，得
2
2
4
4
0
4
y
x
t
y
y
t
y
x
=
-
ì
Þ
-
-
=
í
=
î
，
2
Δ
4
4
4
16 16
0
1
t
t
t
= -
- ´ -
=
+
>
Þ > - ，
设
5
5
6
6
,
,
,
A x
y
B x
y
，则有
5
6
5
6
4,
4
y
y
y y
t
+
=
= -
，所以
2
2
5
6
5
6
5
6
1
2
2
5
6
5
6
5
6
5
6
4
4
2
2
y y
t y
y
t
y
t
y
t
t
t
t
k k
x
t
a x
t
a
y
a
t
y
a
t
y y
a
t
y
y
a
t
-
+
+
-
-
-
-
+
=
=
=
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
+
-
2
2
2
2
2
2
8
8
4
4
2
8
2
4
t
t
t
t
t
a
t
a
at
t
t
t
a
at
a
-
-
=
=
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
，
要想
1 2
k k 为定值，只需
2
2
4
0
2
4
0
a
at
a
a a
t
-
+
=
Þ
-
+
=
，
当
0
a =
时，
1
2
1
k k = ，
当
2
4
0
a
t
-
+
=
时，此时a 不是常数，
所以存在常数a ，使得
1 2
k k 为常数，此时
0
a =
，
1
2
1
k k = .
1.（2025·江西·二模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
E y
px p
=
>
与双曲线
2
2
1
9
12
x
y
-
= 的渐近线在第一象限的交点为Q ，
且Q 点的横坐标为6．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过点
( 3,0)
M -
的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，B 关于x 轴的对称点为B¢，证明：直线AB¢必过定
点．
【解】（1）设点Q 的坐标为
0
6, y
，因为点Q 在第一象限，所以
0
0
y >
，
双曲线
2
2
1
9
12
x
y
-
= 的渐近线方程为
2 3
3
y
x
= ±
，因为点Q 在双曲线的渐近线上，
所以
0
4 3
y =
，
所以点Q 的坐标为
6,4 3 ，又点
6,4 3
Q
在抛物线
2
2
y
px
=
上，
所以48
2
6
p
=
´
，所以
4
p =
，
故抛物线的标准方程为：
2
8
y
x
=
；
（2）设直线AB 的方程为
3
x
my
=
- ，联立
2
8
y
x
=
，消x 得，
2
8
24
0
y
my
-
+
=
，
方程
2
8
24
0
y
my
-
+
=
的判别式
2
Δ
64
96
0
m
=
-
>
，即
2
2
3
0
m -
>
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
1
2
8 ,
24
y
y
m y y
+
=
=
，
设B 关于x 轴的对称点为
2
2
,
B x
y
¢
-
，
则直线AB¢的方程为
2
1
2
2
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
-
-
+
=
-
-
，
根据抛物线的对称性可知定点必定在x 轴上，
令
0
y =
得：
2
1
2
2
2
1
x
x
x
y
x
y
y
-
=
+
-
´
-
1
2
2
1
2
1
x y
x y
y
y
+
=
+
1
2
2
1
1
2
3
3
y
my
y
my
y
y
-
+
-
=
+
2
1
1
2
1
2
2
3
my y
y
y
y
y
-
+
=
+
48
24
3
8
m
m
m
-
=
=
．
直线AB¢过定点(3,0) ．
2.（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点为
,
A B ，右焦点为
5,0 ，
离心率为
5 ．
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点
2,0
T
的直线l 交双曲线C 于点
,
M N （点M 在第一象限），记直线MA 的斜率为
1k ，直线NB 的斜率
为
2k ，求证：
1
2
k
k 为定值．
【解】（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，
右焦点为
5,0 ，离心率为
5 ，
可得
2
2
2
5
5
c
c
e
a
b
c
a
ì
=
ïï
=
=
í
ï
=
-
ïî
，解得
1
a = ，
2
b =
，
所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
4
y
x -
= ，其渐近线方程为
2
y
x
= ±
．
（2）由（1）知，
1,0
A -
，
1,0
B
．
显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为
2
x
my
=
+
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，由
2
2
1
4
2
y
x
x
my
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，消去x ，得
2
2
4
1
16
12
0
m
y
my
-
+
+
=
，
显然
2
4
1
0
m - ¹
，
0
D >
，则
1
2
2
16
4
1
m
y
y
m
+
= -
- ，
1
2
2
12
4
1
y y
m
=
- ，
1
2
1
2
3
4
my y
y
y
= -
+
，
直线MA 的斜率
1
1
1
1
y
k
x
=
+ ，直线NB 的斜率
2
2
2
1
y
k
x
=
- ，
所以
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
3
1
1
3
1
4
3
3
3
3
9
3
3
4
1
y
y
y
y
y
my
k
x
my y
y
y
y
y
k
y
my
my y
y
y
y
y
y
y
x
-
+
+
+
+
+
-
=
=
=
=
=
= -
+
+
-
+
-
+
+
-
，为定值
3．（山西省部分重点中学2024-2025 学年高三下学期4 月模拟）在坐标平面xOy 中，
1A ，
2
A 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左右顶点，且C 的短轴长为2，离心率为
6
3
.过
1
OA 的中点B 的直线l（不与x 轴
重合）与C 交于D，E 两点.
(1)求C 的方程；
(2)证明：
1
1
A D
A E
^
；
(3)直线
1A D 和
2
A E 的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【解】（1）因为C 的短轴长为2，离心率为
6
3
，
所以
2
2
1
6
3
1
b
c
a
a
c
=
ì
ïï
=
í
ï
- =
ïî
，解得
2
3
a =
，
所以C 的方程为：
2
2
1
3
x
y
+
= .
（2）设直线l 方程为：
3
2
x
my
=
-
，设
1
1
( ,
)
D x y ，
2
2
(
,
)
E x
y
，
联立直线l 与椭圆C 的方程，消去x 得，
2
2
9
(
3
3
0
4
)
m
y
my
+
-
-
= ，
因为
2
2
2
3
9(
3
27
0
)
12
m
m
m
D
+
+
=
=
+
> ，
所以
1
2
2
3
3
m
y
y
m
+
=
+
，
1
2
2
)
9
4(
3
y y
m
= -
+
，（*）
因为
1
1
1
1
2
2
(
3,
) (
3,
)
A D A E
x
y
x
y
=
+
+
uuuur uuur
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
(
1)
(
)
2
2
2
4
m
my
my
y y
m
y y
y
y
æ
öæ
ö
=
+
+
+
=
+
+
+
+
ç
֍
÷
ç
֍
÷
è
øè
ø
2
2
2
2
9(
1)
3
3
0
4(
3)
2(
3)
4
m
m
m
m
+
= -
+
+
=
+
+
，
所以
1
1
A D
A E
^
uuuur
uuur
，即
1
1
A D
A E
^
.
（3）直线
1A D 和
2
A E 的斜率比值为定值，理由如下：
法1：因为
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
(
)
(
)
3
3
3
3
A D
A E
k
y
y
y x
k
x
x
y
x
-
=
=
+
-
+
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
3 3
3 3
2
2
3
3
2
2
y
my
my y
y
my y
y
y
my
æ
ö
-
ç
÷
-
è
ø
=
=
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，
由（*）知，
1
2
1
2)
3 3 (
4
my y
y
y
=
+
-
，代入上式得，
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
3 3
3 3
9 3
3 3
(
)
4
2
4
4
3
3 3
3
3 3
3
(
)
4
2
4
4
A D
A E
y
y
y
y
y
k
k
y
y
y
y
y
-
+
-
-
-
=
=
=
-
+
+
-
-
.
所以直线
1A D 和
2
A E 的斜率比值为定值3.
法2 因为
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
A E
A E
y
y
y
k
k
x
x
x
=
=
-
+
-
，
因为
2
2
2
2
1
3
x
y
+
= ，所以
2
2
2
2
3
3
x
y
-
= -
，所以
1
2
1
3
A E
A E
k
k
= -
，
由（2）知
1
1
1
A D
A E
k
k
= - ，两式相除得，
1
2
3
A D
A E
k
k
= .
4．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，其左顶点为A，上顶点为B，
AOB
V
的面积是1，其中O 是原点，平行于AB 的直线l 与C 交于M，N.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l 的方程；若不
存在，请说明理由.
【解】（1）因为椭圆C 的离心率为
2
3
1
2
c
b
e
a
a
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
è
ø
，可得
1
2
b
a =
，即
2
a
b
=
，
则
2
OA
a
b
=
=
，OB
b
=
，
又因为
AOB
V
的面积
2
1
1
2
AOB
S
OA OB
b
=
=
=
V
，即
1
b = ，
2
a =
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）由（1）可知：
2,0
A -
，
0,1
B
，
则直线AB 的斜率
1
2
k =
，且线段AB 的中点为
1
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
假设存在直线l 满足题意，设直线l：
1
,
1
2
y
x
m m
=
+
¹ ，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立方程
2
2
1
2
1
4
y
x
m
x
y
ì
=
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去y 可得
2
2
2
2
2
0
x
mx
m
+
+
-
=
，
则
2
2
Δ
4
4 2
2
0
m
m
=
-
-
>
，解得
2
2
m
-
<
<
，
可得
1
2
2
x
x
m
+
= -
，
2
1
2
2
2
x x
m
=
- ，
即
1
2
2
x
x
m
+
= -
，则
1
2
1
2
1
2
2
2
2
y
y
x
x
m
m
+
+
=
´
+
=
，
可得线段MN 的中点为
, 2
m
Q
m
æ
ö
-
ç
÷
è
ø，直线PQ的斜率
1
1
2
2
1
2
PQ
m
k
m
-
=
= -
-
+
，
此时
1
1
4
PQ
k k
= -
¹ - ，可知直线AB 与直线PQ不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l 满足题意.
5．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
：
经过点
2 3
，，且离心率为2．
(1)求C 的方程；
(2)过C 的右焦点且斜率不为0 的直线l 与C 交于
,
A B 两点，设
,
M N 分别为C 的左、右顶点，且直线
,
AM BN
的斜率分别为
1
2
,
k k ，判断：
1
2
k
k 是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
【解】（1）由题意，可得
2
2
2
2
2
4
9
1
2
a
b
c
a
a
c
b
ì
-
=
ï
ïï
=
í
ï
=
-
ï
ïî
，
解得
2
2
1
3
a
b
=
=
，
.
所以C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）由（1）知，C 的右焦点为
2 2,0
F
，设l 的方程为
2
x
my
=
+
，
与方程
2
2
1
3
y
x -
= 联立，得
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
+
+
=
.
因为l 与C 有两个交点，所以
2
3
1
0
m - ¹
且
2
2
2
144
36(3
1)
36(
1)
0
m
m
m
D =
-
-
=
+
>
，解得
3
3
m ¹ ±
．
设
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
，则
1
2
1
2
2
2
12
9
3
1
3
1
m
y
y
y y
m
m
-
+
=
=
-
-
，
，则有
1
2
1
2
3
4
my y
y
y
= -
+
因
( 1,0),
(1,0)
M
N
-
，则
1
2
1
2
1
2
1
1
y
y
k
k
x
x
=
=
+
-
，
，
所以
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
3
3
y
x
y
my
k
my y
y
k
y
x
y
my
my y
y
-
+
+
=
=
=
+
+
+
，因
1
2
1
2
3
4
my y
y
y
= -
+
，
代入可得，
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
3
1
4
4
4
3
3
9
3
3
4
4
4
y
y
y
y
y
k
k
y
y
y
y
y
-
+
+
-
=
=
= -
-
+
+
-
+
，即
1
2
k
k 为定值.
6．（2026·河北邯郸·一模）已知
4,0 ,
4,0
B
C
-
是
ABC
V
的两个顶点，G 是
ABC
V
的重心，
,
D E 分别是边
,
AB AC 的中点，且
6
BE
CD
-
=
．记点G 的轨迹为曲线Γ ．
(1)求Γ 的方程．
(2)若VGBC 的面积为24，求点A 的坐标．
(3)已知点
1,0 ,
2,0 ,
2,0
F
M
N
-
-
，过F 的直线l 与曲线Γ 交于
,
P Q 两点，直线MP 与NQ 交于点H ，试
判断H 是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解】（1）由题可知
2
3
BG
BE
=
，
2
3
CG
CD
=
，则
2
4
3
BG
CG
BE
CD
BC
-
=
-
=
<
．
又
,
,
B G C 三点不共线，所以点G 的轨迹是以
4,0 ,
4,0
B
C
-
为焦点，4 为实轴长的双曲线（不包含顶点），
故Γ 的方程为
2
2
1
2
4
12
x
y
x
-
=
¹ ±
；
（2）设
0
0
,
G x
y
．因为VGBC 的面积为24，
所以
0
1 8
24
2
y
=
，得
0
6
y = ± ．
由
2
2
0
0
1
4
12
x
y
-
= ，得
0
4
x = ± ．
因为G 是
ABC
V
的重心，
所以
12,18
A
或
12, 18
A
-
或
12,18
A -
或
12, 18
A -
-
；
（3）由题可知l 的斜率存在，可设l 的方程为
1
1
2
2
1 ,
,
,
,
y
k x
P x y
Q x
y
=
+
．
由
2
2
1
4
12
1
x
y
y
k x
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
，得
2
2
2
2
3
2
12
0
k
x
k x
k
-
-
-
-
=
，
则
2
3
0
Δ
0
k
ì -
¹
í
>
î
，得
2
2
3
4
k
k
ì
¹
í
<
î
，则
2
1
2
2
2
3
k
x
x
k
+
=
-
，
2
1
2
2
12
3
k
x x
k
-
-
=
-
．
直线MP 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，直线NQ 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
x
y
x
x
x x
x
x
x
x
x
y
x
x
x x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
-
-
-
+
-
+
-
．
由
2
1
2
2
2
3
k
x
x
k
+
=
-
，
2
1
2
2
12
3
k
x x
k
-
-
=
-
，得
1
2
1
2
5
4
2
x x
x
x
= - -
+
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
2
2
2
1
2
2
9
3
2
2
2
3
6
2
2
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
- -
-
+
+
+
+
=
=
=
-
-
+
-
- -
-
，得
4
x = - ，
故点H 在定直线
4
x = - 上.
7.（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
,1 0
F -
，
2 1,0
F
，点M
在C 上，
2
MF
x
^
轴，且
2
3
2
MF =
．
(1)求C 的方程；
(2)过点
4,0
P
的直线交C 于不同的两点A、B，
2
AH
MF
^
于点H，证明：直线HB 过定点．
【解】（1）将x
c
=
代入
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 中得，
4
2
2
b
y
a
=
，则
2
b
y
a
=
，
因为
2
3
2
MF =
，所以
2
3
2
b
a =
，
又
2
2
2
1,
c
a
b
c
=
=
+
，得
2,
3,
1
a
b
c
=
=
= ，
故C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）若直线斜率不为0 ，则设直线
:
4
AB x
my
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
1
2
y
y
¹
，
联立
2
2
4
3
4
12
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，得
2
2
3
4
24
36
0
m
y
my
+
+
+
=
，
则
2
2
1
2
1
2
2
2
24
36
Δ
24
144 3
4
0,
,
3
4
3
4
m
m
m
y
y
y y
m
m
=
-
+
>
+
= -
=
+
+
，
得
2
4
m >
，
1
2
1
2
3
2
my y
y
y
= -
+
，
因为
2
AH
MF
^
，则
1
1,
H
y
，
则直线HB 的方程为
2
1
2
1
1
1
y
y
x
x
y
y
-
-
=
-
-
，
令
0
y =
，得
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
3
4
4
4
5
2
2
y
y
y
y
y
my
y
y
x y
y
y
my y
x
y
y
y
y
y
y
y
y
-
+
+
-
+
-
-
-
=
=
=
=
=
-
-
-
-
，
则直线HB 过定点5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
若直线斜率为0 ，则直线HB 为x 轴，过点5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
故直线HB 过定点5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø .
8．（2025·广东广州·一模）已知过点
1,0 的直线与抛物线
2
:
2
0
E
y
px p
=
>
交于A，B 两点，O 为坐标原点，
当直线AB 垂直于x 轴时，
AOB
V
的面积为2 ．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过曲线E 上一点
0
0
1 ,
0
2
P
y
y
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
作两条互相垂直的直线，分别交曲线E 于S，T（异于点P）两点，求
证：直线ST 恒过定点．
【解】（1）当
1
x = 时，
2
2
y
p
=
，
2
y
p
= ±
，所以
2 2
AB
p
=
由题意可知，
1 1 2 2
2
2
AOB
S
p
=
´ ´
=
V
所以
1
p = ，所以抛物线E 的方程为
2
2
y
x
=
（2）因为过点P 作两条相互垂直的直线与抛物线有2 个交点，
则直线ST 的斜率一定存在且不为0，
设其方程为x
my
t
=
+ ，
联立
2
2
y
x
m
x
y
t
ì
í
î
=
=
+ ，得
2
2
2
0
y
my
t
-
-
=
，且有
2
2
S
T
S
T
y
y
m
y y
t
ì
í
î
+
=
= -
，
2
2
2
4
( 2 )
4
8
0
m
t
m
t
D = -
-
´ -
=
+
> ，
根据题意
1 ,1
2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø，由于过P 的两条直线垂直，则
1
PS
PT
k
k
= - ，
且有
2
2
y
x =
，即
2
2
,
2
2
S
S
T
T
x
x
y
y
=
=
，
即
2
2
1
1
1
1
2
2
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
S
S
T
T
S
T
S
T
S
T
S
T
S
T
y
y
y
y
y
y
y
y
y y
y
y
x
x
-
-
-
-
=
=
=
= -
+
+
+
+
+
-
-
-
-
即
4
1
2
2
1
m
t
= -
-
+
，化简整理得到2
2
5
0
m
t
-
+
=
，所以
5
2
t
m
=
+
，
将其代入x
my
t
=
+ ，整理得
5
1
2
x
m y
-
=
+
，
若对任意m 等式都成立，则有
5
0
2
1
0
x
y
ì -
=
ïí
ï + =
î
，即
5
2
1
x
y
ì =
ïí
ï
= -
î
，
故直线ST 恒过定点5 , 1
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
9．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，虚轴长为2 5 ，点P 在双曲
线C 上，PF 垂直于x 轴，且PF 为实半轴长和半焦距的等差中项.
(1)求双曲线C 的标准方程.
(2)已知直线l 与双曲线C 相切.
①若l 与直线PF 相交于点Q ，与直线
4
3
x =
相交于点R ，证明|
|
|
|
QF
RF 恒为定值，并求此定值；
②若直线l 分别与双曲线C 的两条渐近线交于M，N 两点，O 为坐标原点，判断OMN
V
的面积是否为定值.
【解】（1）因为C 的虚轴长为2 5 ，所以
5
b =
.
因为PF 垂直于x 轴，所以
2
5
|
|
b
PF
a
a
=
=
，
因为PF 为实半轴长和半焦距的等差中项，所以
10
2 |
|
PF
a
c
a
=
=
+ ，
因为
2
2
2
c
a
b
-
=
，所以
10
5
c
a
c
a
c
a
a
-
-
+
=
=
，则2
3
c
a
=
，故
2,
3
a
c
=
=
，
所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
4
5
x
y
-
= ．
（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0 ，故设直线l 的方程为
,
0
x
ty
m t
=
+
¹
，
因为
:
3
PF x = ，所以直线l 与直线PF 的交点
3
3,
m
Q
t
-
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
直线l 与直线
4
3
x =
的交点
4 4
3
,
3
3
m
R
t
-
æ
ö
ç
÷
è
ø，
由
2
2
1
4
5
x
ty
m
x
y
=
+
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
2
5
4
10
5
20
0
t
y
tmy
m
-
+
+
-
=
，
则
2
2
2
2
Δ
100
4 5
4
5
4
0
t m
m
t
=
- ´
-
-
=
，即
2
2
5
4
0
t
m
+
-
=
.
①因为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(3
)
|
|
9(3
)
|
|
25
(4
3 )
4
(4
3 )
3
3
9
m
QF
m
t
RF
t
m
m
t
-
-
=
=
+
-
-
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
，且
2
2
5
4
t
m
=
-
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
|
|
9(3
)
9(3
)
9
|
|
20
5
(4
3 )
4(3
)
4
QF
m
m
RF
m
m
m
-
-
=
=
=
-
+
-
-
，所以|
|
3
|
|
2
QF
RF =
，为定值.
②由
5
2
x
ty
m
y
x
=
+
ìïí
=
ïî
得
5
2
5
M
m
y
t
=
-
，同理可得
5
2
5
N
m
y
t
= -
+
，
所以
2
2
2
4 5
1
1
4
5
M
N
m
t
MN
t
y
y
t
+
=
+
-
=
-
.
因为原点O 到直线l 的距离
2
|
|
1
m
d
t
=
+
，所以
2
2
1
2 5
2
4
5
OMN
m
S
MN d
t
=
=
-
V
.
因为
2
2
5
4
t
m
=
-
，所以
2 5
OMN
S
=
V
，即OMN
V
的面积为定值2 5 .
10.（2026·广西南宁·一模）已知抛物线
2
:
2
C y
px
=
（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，
2
HF
p
p
=
-
．
(1)求C 的标准方程．
(2)已知点
(7,0)
A
，O 为坐标原点，直线l 交C 于
1
1
2
2
,
,
P x y
Q x
y
，
两点，且P，Q 在x 轴的两侧．
（i）求|
|
AP 的最小值；
（ii）若
140
OP OQ
=
uuur uuur
，证明：l 过定点．
【解】（1）依题意，抛物线
2
:
2
C y
px
=
（p>0）的焦点为
(
,0)
2
p
F
，准线方程为
2
p
x = -
，
则准线与x 轴的交点为
(
,0)
2
p
H -
，则
2
(
)
2
2
p
p
HF
p
p
=
- -
=
-
，
解得
2
p =
（
0
p =
舍去），故抛物线C 的标准方程为
2
4
y
x
=
.
（2）（i）由题意，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
|
|
(
7)
(
7)
4
(
5)
24
AP
x
y
x
x
x
=
-
+
=
-
+
=
-
+
，
因
1
1
,
P x y
是抛物线上一点，则
1
0
x ³
，故当
1
5
x = 时，
2
|
|
AP
取得最小值24，
则此时|
|
AP 的最小值为2 6 .
（ii）依题意，直线l 的斜率不能为0，故可设直线l 的方程为x
my
t
=
+ ，
代入
2
4
y
x
=
，消去x ，可得
2
4
4
0
y
my
t
-
-
=
，则
2
16
0
(
)
m
t
D =
+
>
，
由韦达定理，
1
2
1
2
4
4
y
y
m
y y
t
+
=
ì
í
= -
î
，因P，Q 在x 轴的两侧，则
1
2
4
0
y y
t
= -
<
，即
0
t >
，
则
2
2
1
2
1
1
1
2
1 1
1
2
1
2
(
)
(
,
) (
,
)
4
140
16
y y
OP OQ
x y
x y
x x
y y
y y
t
t
=
=
+
=
+
=
-
=
uuur uuur
，
即(
14)(
10)
0
t
t
-
+
=
，
因
0
t >
，则
14
t =
，此时直线l 的方程为
14
x
my
=
+
，故直线l 必过定点14 0
(
, ) .
11．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦距为4，焦点到渐近线的距离为
3 ．
(1)求C 的方程；
(2)直线
2
1
:
2
3
l x
my
m
æ
ö
=
-
¹
ç
÷
è
ø 与C 相交于A ，B 两点．
（i）O 是坐标原点，若
AOB
V
的面积为3 2 ，求m 的值；
（ii）设C 的左焦点为
1F ，则
1
1
AF
BF
AB
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
【解】（1）设焦距为2c ，则2
4
c =
，所以
2
c =
，即
2
2
4
a
b
+
=
，
其渐近线方程为
0
bx
ay
±
=
，所以焦点
2,0 到渐近线的距离为
2
2
2
2
3
2
b
b
d
a
b
=
=
=
+
，即
3
b =
，
所以
2
2
2
1
a
c
b
=
-
= ，所以C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= ；
（2）（i）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，联立
2
2
2
1
3
x
my
y
x
=
-
ìïí
-
=
ïî
，化简得
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
-
+
=
，
2
2
2
Δ
144
36 3
1
36
1
0
m
m
m
=
-
-
=
+
>
，则
1
2
1
2
2
2
12
9
,
3
1
3
1
m
y
y
y y
m
m
+
=
=
-
- ，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
6
1
2
4
3 2
2
3
1
AOB
m
S
y
y
y
y
y y
m
+
=
´
-
=
+
-
=
=
-
V
，解得
1
m = ± ，
所以m 的值为1
± ．
（ii）由（i）知
2
2
1
2
1
2
1
2
2
6
1
4
3
1
m
y
y
y
y
y y
m
+
-
=
+
-
=
-
．
所以
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
9
1
1
1
1
3
3
1
2
1
6
1
3
1
m
AF
BF
m
y
m
y
m
y y
m
AB
y
y
m
y
y
m
m
+
+
+
+
-
=
=
=
=
-
+
-
+
-
，
即
1
1
AF
BF
AB
为定值3
2 .
12.（河北省NT20 名校联合体2024-2025 学年高三下学期第二次调研）平面直角坐标系xOy 中，圆A 的方
程为
2
2
1
16
x
y
+
-
=
，点B 的坐标为
0, 1
-
，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线交半径AP 于点
Q，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E．
(1)求点Q 的轨迹E 的方程；
(2)过点A 作一条直线l 与点Q 的轨迹E 相交于M，N 两点，满足MA
AN
m
=
uuur
uuur
，点H 满足HM
HN
m
=
uuuur
uuur
，问：
点H 是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
【解】（1）如图，
由题意知
4
2
QA
QB
QA
QP
AP
AB
+
=
+
=
=
>
=
所以Q 点的轨迹是以
0,1
A
，
0, 1
B
-
为焦点，长轴长为4 的椭圆．
设椭圆的方程为
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
+
=
>
>
，
则
2
a =
，
1
c = ，
3
b =
，
所以椭圆方程为
2
2
1
4
3
y
x
+
= ．
（2）如图，
解法一：
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
3
3
,
H x
y
，
0,1
A
，
由MA
AN
m
=
uuur
uuur
可得
1
1
2
2
,1
,
1
x
y
x
y
m
-
-
=
-
，
则
1
2
0
x
x
m
+
=
，即
1
2
x
x
m = -
①
由HM
HN
m
=
uuuur
uuur
可得
1
3
1
3
2
3
2
3
,
,
x
x
y
y
x
x
y
y
m
-
-
=
-
-
则
1
3
2
3
x
x
x
x
m
-
=
-
，即
1
3
2
3
x
x
x
x
m
-
=
-
②
所以
1
3
1
2
2
3
x
x
x
x
x
x
-
-
=
-
，整理得
1
2
3
1
2
2x x
x
x
x
=
+
③
当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为：
1
y
kx
=
+ ，联立得
2
2
1
1
4
3
y
kx
y
x
=
+
ìïí
+
=
ïî
，
消去y 得
2
2
3
4
6
9
0
k
x
kx
+
+
-
=
，
1
2
2
9
3
4
x x
k
-
=
+
，
1
2
2
6
3
4
k
x
x
k
-
+
=
+
，
代入③得
3
3
x
k
=
，又因为
3
3
1
y
kx
=
+ ，所以
3
4
y =
．
直线l 的斜率不存在时，不妨取
0,2
M
，
0, 2
N
-
，
则
1
AM = ，
3
AN =
，则
1
3
m =
，
1
3
HM
HN
=
uuuur
uuur
，解得
3
4
y =
，
综上可得，点H 在一条定直线上，直线方程为
4
y =
．
解法二：设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
3
3
,
H x
y
，
0,1
A
，
由MA
AN
m
=
uuur
uuur
可得
1
1
2
2
,1
,
1
x
y
x
y
m
-
-
=
-
，
则
1
2
1
1
y
y
m
-
=
-
，即
1
2
1
1
y
y
m
-
=
- ①
由HM
HN
m
=
uuuur
uuur
可得
1
3
1
3
2
3
2
3
,
,
x
x
y
y
x
x
y
y
m
-
-
=
-
-
，
则
1
3
2
3
y
y
y
y
m
-
=
-
，即
1
3
2
3
y
y
y
y
m
-
=
-
②
所以
1
3
1
2
2
3
1
1
y
y
y
y
y
y
-
-
=
-
-
，整理得
1
2
1
2
3
1
2
2
2
y y
y
y
y
y
y
-
+
+
=
-
+
③
当直线l 的斜率不存在或不为0 时，设直线方程为
1
x
m y
=
-
，
联立
2
2
1
1
4
3
x
m y
y
x
ì =
-
ïí
+
=
ïî
，消去x 得
2
2
2
2
3
4
8
4
12
0
m
y
m y
m
+
-
+
-
=
，
2
1 2
2
4
12
3 4
m
y y
m
-
=
+
，
2
1
2
2
8
3 4
m
y
y
m
+
= +
代入③得
3
4
y =
当直线l 的斜率为0 时，
3 ,1
2
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
3 ,1
2
N æ
ö
ç
÷
è
ø，
则
1
m = ，
3
3
1
1
1
y
y
-
=
-
恒成立，点H 在
4
y =
上也成立，
综上可得，点H 在一条定直线上，直线方程为
4
y =
．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为4，且点
3 2
, 1
æ
ö
ç
÷
è
ø
P
在椭圆
C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线:
(
0,
0)
l y
kx
m k
m
=
+
>
>
与椭圆C 交于A，B 两点，线段AB 的中点为D，连接OD（O 为坐标原点）
并延长，交椭圆C 于点E，交直线
4
x =
于点H．
①若
0
OA OB
=
uuur uuur
，求
2
2
1
1
OA
OB
+
∣
∣∣
∣的值；
②若
2
OE
OD OH
=
，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解】（1）因为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为4，
所以2
4
a =
，所以
2
a =
，
因为点
1
3, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 在椭圆C 上，
所以
2
2
1
3
4
1
a
b
+
= ，所以
1
b = ，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）①当直线OA，OB 的斜率一条不存在，另一条的斜率为0 时，
不妨设直线OA的斜率一条不存在，直线OB 的斜率为0，
则
0,
A
b ，
0
k >
Q
，
,0
B
a
\
-
，
2
2
1
1
5
|
|
|
|
4
OA
OB
\
+
=
，
当直线OA，OB 的斜率存在且不为0 时，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，因为
0
OA OB
=
uuur uuur
，所以OA
OB
^
，
设直线
1
:
OA y
k x
=
，
1
1
:
OB y
x
k
= -
，
联立方程得
2
2
1
1
4
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
î
，所以
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
4
4
1
4
4
1
x
k
k
y
k
ì
=
ï
+
ïí
ï
=
ï
+
î
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
2
1
4
4
|
|
4
1
k
OA
x
y
k
+
=
+
=
+
，
同理
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
4
4
4
4
|
|
4
1
4
1
k
k
OB
k
k
æ
ö
-
+
ç
÷
+
è
ø
=
=
+
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
4
1
4
5
|
|
|
|
4
4
4
4
4
k
k
OA
OB
k
k
+
+
+
=
+
=
+
+
.
综上可知，
2
2
1
1
5
|
|
|
|
4
OA
OB
+
=
.
②设
3
3
,
D x
y
，将A ，B 代入椭圆方程，
得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
1
4
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，所以
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
x
x
y
y
-
+
-
=
，所以
2
2
1
2
2
2
1
2
1
4
y
y
x
x
-
= -
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
y
y
y
y
x
x
x
x
+
-
= -
+
-
，所以
1
4
OD
k k
= -
，所以
1
4
OD
k
k
= -
，
所以直线
1
:
4
OD y
x
k
= -
，
同理
2
2
2
2
2
1
4
4
16
1
4
|
|
4
1
1
4
1
4
k
k
OE
k
k
æ
ö
-
+
ç
÷
+
è
ø
=
=
+
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
，
联立
1
4
y
x
k
y
kx
m
ì
= -
ïí
ï
=
+
î
，所以
2
2
4
4
1
4
1
D
D
km
x
k
m
y
k
-
ì
=
ïï
+
í
ï
=
ï
+
î
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
1
4
|
|
4
1
4
1
4
1
k
m
km
m
OD
k
k
k
+
-
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
+
，
所以
2
2
16
1
4
1
m
k
OD
k
+
=
+
，
直线
1
:
4
OD y
x
k
= -
，令
4
x =
，则
1
H
y
k
= -
，则
2
16
1
k
OH
k
+
=
，
又因为
2
|
|
OE
OD OH
=
‖
，所以m
k
=
，
所以直线
:
1
l y
kx
m
kx
k
k x
=
+
=
+
=
+
，
所以直线l 过定点
1,0
-
.
14．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线E 的渐近线方程为
3
3
y
x
= ±
，右焦点为
(2,0)
F
，直线l 与E 相切于
点P .
(1)若l 与E 的渐近线分别交于A ，B 两点，证明：点P 为线段AB 的中点；
(2)已知直线1l ：
2
x =
，2l ：
3
2
x =
，若l 与1l ，2l 分别交于点M ，N ，是否存在实数l ，使得MF
NF
l
=
恒
成立？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
，
由题意得：
2
2
2
3 ,
3
2,
,
b
a
c
a
b
c
ì
=
ï
ïï =
í
ï
+
=
ï
ïî
解得
2
2
3
1.
a
b
ì
=
í
=
î
故双曲线方程为
2
2
1
3
x
y
-
= .
设
0
0
,
P x
y
，则
ⅰ）当切线l 斜率不存在时，由对称性可知，P 为AB 的中点.
ⅱ）当切线l 斜率存在时，设切线
0
0
:l y
y
k x
x
-
=
-
（
0
3
x >
或
0
3
x < -
）
联立方程组：
2
2
0
0
1,
3
,
x
y
y
y
k x
x
ì
-
=
ïí
ï -
=
-
î
消去y 得：
2
2
2
0
0
0
0
1
2
1
0
3
k
x
k y
kx
x
y
kx
æ
ö
-
-
-
-
-
- =
ç
÷
è
ø
.
由
0
D =
，即
2
2
2
0
0
0
0
3
2
1
0
x
k
x y k
y
-
-
+
+ =
.
又
2
2
0
0
3
3
x
y
-
=
，则
2
2
0
0
1
3
x
y
+ =
，
2
2
0
0
3
3
x
y
-
=
，
所以
2
2
2
0
0
0
0
3
2
0
3
x
y k
x y k
-
+
=
，即
2
0
0
3
0
y k
x
-
=
，解得
0
0
3
x
k
y
=
.
所以直线
0
0
0
0
:
3
x
l y
y
x
x
y
-
=
-
，又
2
2
0
0
1
3
x
y
-
= ，则
0
0
0
1
3
=
-
x
y
x
y
y .
联立方程组：
2
2
0
0
0
0,
3
1 ,
3
x
y
x
y
x
y
y
ì
-
=
ïïí
ï
=
-
ïî
消去y 得：
2
2
0
0
2
2
2
0
0
0
2
1
1
0
3
9
3
x
x x
x
y
y
y
æ
ö
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，因为
2
2
0
0
1
3
x
y
-
= .
则上式化简为
2
0
2
3
0
x
x x
-
+
=
，
2
0
4
12
0
x
D =
-
>
恒成立.
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
1
2
0
2
x
x
x
+
=
，所以P 为AB 的中点.
（2）因为l 与1l 相交，则切线l 的斜率存在，
由（1）知，切线
0
0
0
1
:
3
x
l y
x
y
y
=
-
，将
2
x =
，
3
2
x =
分别代入切线l 的方程得
所以
0
0
2
3
2,
3
x
M
y
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
0
0
2
3 ,
2
2
x
N
y
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，则
0
0
2
3
3
x
MF
y
-
=
，
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
4
1 4
4
2
4
4
2
3
3
3
2
2
4
2
2
2 3
x
x
x
y
x
x
x
NF
y
y
y
y
- -
+
-
+
-
+
-
æ
ö
=
-
+
=
=
=
ç
÷
è
ø
.
所以
0
0
0
0
2
3
2 3
2 3
3
2
3
3
MF
x
y
NF
y
x
-
=
´
=
-
.
故存在
2 3
3
l =
，使得
2 3
|
|
|
|
3
MF
NF
=
恒成立.
