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8.2 两条直线的位置关系
目录
01
标
求
课
要
...........................................................................................................................................2
02
知识
落实主干
...................................................................................................................................3
知识点一、直线平行与垂直的判定....................................................................................................3
知识点二、三种距离公式....................................................................................................................3
03
题型
探究核心
...................................................................................................................................4
题型一：位置关系的判定....................................................................................................................4
题型二：距离公式的简单应用问题....................................................................................................5
题型三：线段和差最值问题................................................................................................................5
题型四：含参数双直线问题................................................................................................................5
题型五：点关于线对称........................................................................................................................6
题型六：线关于点对称........................................................................................................................7
题型七：线关于线对称........................................................................................................................8
题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题....................................................................8
04 课时精练.........................................................................................................................................10
1
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（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
2
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知识点一、直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或
中有一个为
0，另一个不存在．
知识点二、三种距离公式
1、两点间的距离
平面上两点
的距离公式为
．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点
到直线
的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点
到l 的距离
；若直线为l：y=n，则点
到
l 的距离
3、两条平行线间的距离
已知
是两条平行线，求
间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设
，则
与
之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y 前面对应系数要相等．
3
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题型一：位置关系的判定
【典例1-1】（2025·高三·浙江·月考）已知点
，
是曲线
（
为非零常数）
上两个不同的点，则关于x，y 的方程组
的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．当
时，对任意的
，方程组总是有解
B．当
时，对任意的
，方程组总是有解
C．当
时，存在
，使方程组有唯一解
D．当
时，存在
，使方程组有唯一解
【典例1-2】已知集合
，
．若
，则
的
所有取值是（ ）
A．0，1
B．
C．
D．
【解题方法总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设
（
不全为0），
（
不全为0），则：
当
时，直线
相交；
当
时，
直线平行或重合，代回检验；
当
时，
直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
【变式1-1】已知直线
与射线
恒有公共点，则m 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】若直线
与直线
的交点在第一象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【变式1-3】若直线
与直线
的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：距离公式的简单应用问题
【典例2-1】已知平行四边形
的三个顶点
，
，
，而且
，
，
，
按逆时
针方向排列，则线段
的长度为 ，
点的坐标为 ．
【典例2-2】原点
到直线
的距离
.
【解题方法总结】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式2-1】以
和
轴上一点
为顶点的三角形的面积为5，则
的纵坐标为 .
【变式2-2】已知点
到直线
的距离为1，则
.
【变式2-3】直线
与直线
之间的距离为 .
【变式2-4】若直线
与直线
间的距离为1，则
.
题型三：线段和差最值问题
【典例3-1】（2025·高三·上海杨浦·期中）设
，
的最小值为 ；
【典例3-2】（2025·高三·黑龙江·月考）函数
的最大值为 ．
【解题方法总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
【变式3-1】（2025·陕西西安·一模）已知
，
满足
，则
的最小值为 .
【变式3-2】函数
的取值范围是 ．
【变式3-3】已知函数
，则
的最小值为 ．
题型四：含参数双直线问题
【典例4-1】设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交于点P，
5
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点P 不与点A，B 重合，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【典例4-2】已知直线
恒过定点
，点
也在直线
上，其中
、
均为正
数，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化
【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知直线
，直线
，若与
的交点
为
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【变式4-2】设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
下列说法正确的是（ ）
A．点
的轨迹是一条线段
B．
的最大值为2
C．
的最大值为4
D．点
到直线
的距离的最大值为
【变式4-3】已知直线：
与直线
：
交于点
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．8
C．32
D．64
题型五：点关于线对称
【典例5-1】已知点
与
关于
轴对称，点
与点
关于
轴对称，点
与点
关于直线
对称，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】点
关于直线
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】
6
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求点
关于直线
对称的点
方法一：（一中一垂），即线段
的中点M 在对称轴
上，若直线
的斜率存在，则直线
的
斜率与对称轴
的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点
且垂直于对称轴
的直线（法线）
，然后由
得线段
的中
点
，从而得
【变式5-1】点
关于直线
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·广东深圳·模拟预测）点
关于直线
的对称点为
，则点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】点
关于直线
的对称点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：线关于点对称
【典例6-1】以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1 的正方形的四条边的方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】点
在直线上，直线与关于点
对称，则一定在直线上的点为（ ）
A．
B．
C．
D．（1，0）
【方法技巧】
求直线l 关于点
中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l 上取一点
关于点
中心对称得
，再利用
，由
点斜式方程求得直线
的方程（或者由
，且点
到直线l 及
的距离相等来求解）．
【变式6-1】直线l：
关于点
对称的直线方程为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
【变式6-2】直线ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【变式6-3】直线
关于点
对称的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：线关于线对称
【典例7-1】已知直线l：
，则直线m：
关于直线的对称直线
的方程为 ．
【典例7-2】已知直线
，
，若直线与
关于直线l 对称，则直线l 的方程为
.
【方法技巧】
求直线l 关于直线
对称的直线
若直线
，则
，且对称轴
与直线l 及
之间的距离相等．
此
时
分
别
为
，
由
，求得
，从而得
．
若直线l 与
不平行，则
．在直线l 上取异于Q 的一点
，然后求得
关于直线
对称的点
，再由
两点确定直线
（其中
）．
【变式7-1】若直线l 与直线
的夹角平分线为
，则直线l 的方程为 .
【变式7-2】若直线与直线
关于直线
对称，则直线的一般式方程为 .
【变式7-3】直线：
关于直线
：
的对称直线方程为 ．
题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题
【典例8-1】（2025·高三·江西·月考）相传我国古代有这样一个故事：一个身处他乡的小伙子得知父亲病
重的消息，便连夜赶回家，他父亲弥留之际不停念叨“胡不归？胡不归？”，这就是流传千百年的“胡不
归问题”.如图，假设小伙子处于
地，家在
地，
是驿道，其他地方均为沙地，
，小伙子在驿道，沙地上行走的速度分别为
，若小伙子为了更快
8
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回到家中，从
沿
走到
（
在
上），再从
走沙地直线回家，设
，则此
方案所用时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】已知
，
是直线
上两动点，且
，点
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】
利用几何意义进行转化．
【变式8-1】唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着数学中的“将军饮马”问
题．在平面直角坐标系
中，军营所表示的区域为
，军营附近有两条河流
，
，河
流
的方程为
，河流
的方程为
．一位将军观望烽火之后从山脚点
处出发，先
到河流
处饮马，再到河流
处饮马，最后返回军营（只要到达军营所在区域即为返回军营），则“将军
饮马”的总路程最短为 ．
【变式8-2】2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出
塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐
代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个
有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，
怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
，军营所在位置为
，河
岸线所在直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程
最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【变式8-3】（2025·高三·吉林长春·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后
从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军
营所在位置为
，若将军从点
处出发，河岸线所在直线方程为
．则“将军饮马”
的最短总路程为 ．
9
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1．如图，已知两点
，
，从点
射出的光线经直线
反射后射到直线
上，再经直线
反射后射到
点，则光线所经过的路程
等于（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2
2．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知
的顶点
，
边上的中线
所在直线方程为
，直线
的方程为
，则
边上的高
所在直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·高三·北京顺义·月考）长度为4 的线段
的两个端点分别在
轴及
轴上运动，则线段
的
中点到直线
距离的最大值为（ ）
A．
B．3
C．4
D．6
4．（2025·高三·河北·期中）已知
，且
.若直线
与直线
平
行，且两直线间的距离为
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．已知实数
满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．16
6．求点
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．5
7．已知x，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期中）设
，点
，
，若
，则直线AB 的斜率
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可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·上海普陀·一模）设
，直线
经过点
，若向量
，则点
到直线的
距离为 ．
10．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知直线：
与直线
：
交于点M，点M
关于直线
对称的点为
，则
的取值范围是 .
11．（2025·高三·陕西西安·月考）若抛物线
与抛物线
关于直线
对称，则
的焦点坐
标为 ．
12．（2025·高三·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，设
为点
到直线
的距离，
当
变化时
的最大值为 .
13．已知直线
与直线
平行，则平行线间的距离为 .
14．（2025·高三·上海嘉定·月考）在直角坐标平面
内有一直角
，
，顶点
的坐标为
，
所在直线方程为
，则顶点
的坐标为 .
15．求函数
的最小值．
16．求函数
的值域.
17．（2025·高三·甘肃天水·期中）已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所
在直线的方程为
，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标.
11
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12
