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8.3 直线的两点式和截距式方程（讲义）
目录
1
知识点01 直线的两点式方程....................................................................2
2
知识点02 直线的截距式方程....................................................................2
3
题型一、直线的两点式定义.....................................................................2
4
题型二、直线的截距式定义.....................................................................8
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1 知识点01 直线的两点式方程
两点式：y −y1
y2−y1
= x−x1
x2−x1
适用范围：不含直线x = x1( x1≠x2)和直线y = y1( y1≠y2)
2 知识点02 直线的截距式方程
截距式：x
a + y
b =1
适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线
3 题型一、直线的两点式定义
1．若直线l 过点
和
，且点
在直线l 上，则b 的值为
（ ）
A．183
B．182
C．181
D．180
【答案】A
【分析】根据两点坐标可利用两点式求直线的方程，代入即可求解
.
【详解】因为直线l 过点
和
，由直线的两点式方程，得直线
l 的方程为
，即
.由于点
直线l 上，所以
，解得
.
故选:A.
2．过点
，
的直线方程是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.
【详解】因为直线过点
，
，所以直线方程为
，
故选：B.
3．经过点
的直线的两点式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解
【详解】因为直线经过点
，
所以由方程的两点式可得直线方程为
，即
．
故选：A
4．过两点
，
的直线在
轴上的截距为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由两点式得出直线方程，令
，即可解出直线在
轴上的截距.
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【详解】过两点
，
的直线的为
，
令
，解得：
，
故选：A.
5．过点
和
的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意利用直线的截距式方程，直接写出经过
和
两点的直线
方程，化简求得结果.
【详解】∵直线经过两点
和
，而这两个点恰是直线和坐标
轴的交点，
∴由直线的截距式方程可得
，即
，
故选：C.
6．直线l 过点
，则直线l 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线的两点式方程运算求解.
【详解】因为
，则线l 的方程为
，整理得
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，
所以直线l 的方程为
.
故选：D.
7．已知直线过点
点
，则直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用直线的两点式方程即可得解.
【详解】因为过点
点
，
所以直线的方程为
，即
．
故选：A．
8．经过点
，
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由直线的两点式方程求解即可；
【详解】由题意得
，整理得
．
故选：A．
9．已知直线l 过点
和
，则直线l 在x 轴上的截距为（ ）
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A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】用两点式来求直线的方程，当
时
的值即为所求.
【详解】根据直线方程的两点式公式可得：
，
化简可得：
.
把
代入
，得：
，即
.
所以直线在
轴上的截距为
.
故选：D
二、填空题
10．若直线l 经过点
，则直线l 的方程为 ．
【答案】
【分析】根据所给的坐标可判断直线的斜率不存在，从而可求出直线方程.
【详解】由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 的斜率不存在，
所求的直线方程为
．
故答案为：
11．若三点
，
，
在同一条直线上，则
的值为
.
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【答案】
【分析】求出直线
的方程，将
代入直线方程，求出答案.
【详解】由题意得直线
的方程为
，即
，
将
代入直线
中，则
，解得
.
故答案为：
12．过点
和点
的直线的两点式方程是 ．
【答案】
【分析】直接由直线方程的两点式得出答案
【详解】由题意，
不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件，
当直线经过
时，两点式方程为：
，
于是直线
的两点式方程为：
.
故答案为：
13．（1）若直线l 经过点
，则直线l 的方程为 ；
（2）若点
在过点
的直线上，则
.
【答案】
【分析】（1）由两点横坐标相等，即可直接确定直线方程；
（2）利用斜率两点式列方程求参数.
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【详解】（1）由点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，
所求的直线方程为
.
（2）由斜率两点式
，即
，可得
.
故答案为：
；
.
三、解答题
14．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
(1)斜率是
，且经过点
；
(2)经过
，
两点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点斜式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程；
（2）根据两点式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程.
【详解】（1）由点斜式方程，可知所求直线的方程为
，
化为一般式方程为
；
（2）由两点式方程，可知所求直线的方程为
，化为一般式
方程为
．
15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是3，且经过点
；
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(2)斜率为4，在
轴上的截距为
；
(3)经过两点
；
(4)在x 轴、y 轴上的截距分别是
，
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解；
（2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解；
（3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解；
（4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解.
【详解】（1）直线斜率是3，且经过点
，
则直线方程为
，化为一般式方程为
；
（2）直线斜率为4，在
轴上的截距为
，
则直线方程为
，化为一般式方程为
；
（3）直线经过两点
，
则直线方程为
，化为一般式方程是为
；
（4）直线在x 轴、y 轴上的截距分别是
，
，
则直线方程为
，化为一般式方程为
.
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4 题型二、直线的截距式定义
1．在平面直角坐标系中，直线
，则直线过（ ）
A．一、二、三象限
B．一、二、四象限
C．二、三、四象限
D．一、三、四象限
【答案】D
【分析】求出直线l 在x 轴和y 轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而
得解
【详解】解：直线在x 轴上截距为2，y 轴上截距为－3，
所以直线l 过一、三、四象限．
故选：D.
2．直线：
在
轴上的截距为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解.
【详解】令
，代入
，得
，
故选：B
3．已知直线的一般式方程为
，则（ ）
A．直线的截距式方程为
B．直线的截距式方程为
C．直线的斜截式方程为
0
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D．直线的斜截式方程为
【答案】A
【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别.
【详解】由
得
，
直线的截距式方程为：
，即
.
直线的斜截式方程为：
.
故选：A.
4．直线
在两坐标轴上的截距之和为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】令
表示出
，得到直线的纵截距．令
表示出
，得到
直线的横截距，根据题意列方程求解．
【详解】直线
，
令
，解得
，令
，解得
，
由题意得：
，解得
．
故选：B
5．过
、
两点的直线方程是（ ）
A．
B．
1
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C．
D．
【答案】A
【分析】由截距式得到直线方程.
【详解】由截距式可得直线方程为
，A 正确，BCD 错误.
故选：A
6．直线
在
轴上的截距为（ ）
A．
B．
C．-1
D．
【答案】A
【分析】直线方程中令
求得
值即得.
【详解】在
中令
得
，
故选：A.
7．直线
在
轴上的截距为（ ）
A．5
B．-5
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线的截距的概念求解.
【详解】在
中，令
，得
，
故直线
在
轴上的截距为
．
故选：D
2
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8．若直线
在y 轴上的截距为
，则
（ ）
A．8
B．12
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线在y 轴上的截距为直线与y 轴的交点的纵坐标可得.
【详解】因为直线
在y 轴上的截距为
，所以直线过点
，
所以
，解得
故选：D.
9．已知直线的方程为
，则直线在
轴上的截距为（ ）
A．-11
B．-5
C．5
D．11
【答案】C
【分析】根据直线的截距式方程特征直接求解即可.
【详解】根据直线的截距式方程可知，直线在
轴上的截距为5.
故选：C.
二、填空题
10．已知直线l 过点
，倾斜角为
，则直线l 的纵截距为 ．
【答案】1
【分析】由倾斜角得到斜率，再由点斜式求出直线方程，然后令
求出
即可；
【详解】由题意知，斜率为
，则直线方程为
，令即
3
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，直线1 的纵截距为1．
故答案为：1．
11．直线l 过点
且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为
．
【答案】
或
【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0 即可得出结果.
【详解】当截距均为0 时，即过
，此时直线l 的方程为
；
当截距不为0 时，设直线l 的方程为
，
满足
，解得
，此时直线l 的方程为
；
综上可得直线l 的方程为
或
.
故答案为：
或
12．直线
在x 轴上的截距为 .
【答案】
【分析】根据截距的定义计算即可.
【详解】令
，得
，所以直线
在x 轴上的截距为
.
故答案为：
13．过点
，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
4
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【答案】
或
.
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出
斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案．
【详解】显然直线的斜率是存在的.
若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为
，因为过点
，
所以
，所以直线方程为
；
若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为
，因为过点
，所以
，故
，所以直线方程为
，即
；
故答案为：
或
.
三、解答题
14．求符合下列条件的直线l 的方程：
(1)过点A(
1
﹣，﹣3)，且斜率为
；
(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB 的方程；
(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
或
.
【分析】(1)根据直线点斜式方程即可求解；
(2)根据直线两点式或点斜式方程即可求解；
5
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(3)分类讨论直线过原点与不过原点，根据点斜式或截距式方程即可计算﹒
【详解】（1）
所求直线过点
，且斜率为
，
，即
.
（2）
所求直线过
，
，
，即
.
（3）当直线过原点时，设直线方程为
，
直线过
点
，
，直线方程为
，即2x－3y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为
，
将点
代入上式得，
，解得
，
故直线的方程为
，
综上，直线方程为
或
.
15．已知直线l 过点
，根据下列条件分别求直线l 的方程：
(1)直线l 的倾斜角为45°；
(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等．
6
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【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由点斜式即可求解；
（2）分截距是否为0 进行讨论即可求解.
【详解】（1）因为直线l 过点
，直线l 的倾斜角为45°；
所以所求为
，即
；
（2）当直线l 在x 轴、y 轴上的截距都为0 时，所求为
，
当直线l 在x 轴、y 轴上的截距都为
时，设所求为
，
由题意
，解得
符合题意，故所求为
；
综上所述，符合题意的直线方程为
或
.
7
