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第十四题 空间几何体的表面积与体积
高考真题
14. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为________．
知识点总结
1. 空间几何体的结构特征
(1) 多面体的结构特征
(2) 旋转体的结构特征
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 所在的直线
圆锥 直角三角形 所在的直线
圆台 直角梯形 所在的直线
球 半圆 所在的直线
2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝ S ＝ S ＝
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧3. 柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝
表面积 侧 底
台体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝
表面积 侧 上 下
球 S＝ V＝
4. 常用结论
(1) 正方体与球的切、接常用结论：设正方体的棱长为 a，球的半径为R，若球为正方体
的外接球，则2R＝a；若球为正方体的内切球，则2R＝a；若球与正方体的各棱相切，则2R
＝a.
(2) 设长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3) 正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a(a为该正四面体的棱长)．
题型展示
空间几何体的表面积
木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示)，呈正棱台形，一般由四块梯形木和
一块正方形木组成，其上口是一个正方形，下面是一个封口较小的正方形．现有一木升子(厚
度忽略不计)，其上口周长为52cm，下口周长为40cm，侧面等腰梯形腰长为8cm，则该木升
子的侧面积约为(结果精确到0.1cm2，参考数据：≈15.72) ( )
A. 90.4cm2 B. 180.8cm2
C. 361.6cm2 D. 368.0cm2
空间几何体表面积的求法：
(1) 多面体：其表面积是各个面的面积之和；
(2) 旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和；
(3) 简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．空间几何体的体积
(2022·武汉调研)某圆锥的体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，
若圆台上底面和下底面的半径之比为，则该圆台的体积为( )
A. B.
C. D.
(1) 若所给定的几何体为可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进
行求解；
(2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等
方法进行求解．
空间几何体的侧面展开问题
如图，在圆锥SO中，已知底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一点，且SM＝
x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.
(1) 求绳子的最短长度的平方f(x)；
(2) 当绳子最短时，求顶点到绳子的距离；
(3) 求f(x)的最大值．
空间几何体表面上距离的最小问题的解题思路是将空间几何体的侧面展开，把立体几何
问题转化为平面几何问题，然后利用平面几何知识去解决．
空间几何体的外接球和内切球的表面积与体积(1) (2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为 3和4，其顶点
都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 100π B. 128π
C. 144π D. 192π
(2) 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
多面体与球的切、接问题的求解方法：
(1) 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切
点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2) 若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝
b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(3) 正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4) 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长．
(5) 利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，
确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
真题演练
一、单选题
1．在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ，则该棱锥的体积为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线， ，若 的面积
等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
4．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为
和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库
在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为（
）（ ）
A． B． C． D．
7．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，
则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨
道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是
一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能
直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
（单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
9．已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A． B． C． D．
二、填空题
11．在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为 ．
12．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为 .
13．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
14．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差
是 ．模拟训练
一、单选题
1．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为 ，它的内切
球的体积为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形 ，在该圆柱的底面内任取一点E，则当四棱锥
的体积最大时，该四棱锥的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，球O的半径为 ，球面上的三个点A，B，C的外接圆为圆 ，且 ，若 ，则三棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十
二面体、正二十面体.若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积
，则生成它的正方体的棱长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知正三棱锥 的侧棱长为 ，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为 ，则此正三棱锥
的棱切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最大
夹角为 .现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为 ，高为 .现在为了节省该沙堆的
占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分呈圆锥形.已知该容
器的底面半径为 ，则该容器的高至少为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题7．等腰梯形的上下底边之比为 ，若绕该梯形的对称轴旋转一周所得几何体的表面积为 ，则该梯形的
周长可能为（ ）
A． B．8 C． D．16
8．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r 和r，母线长为l，球
1 2
的表面积与体积分别为S 和V，圆台的表面积与体积分别为S 和V.则下列说法正确的是（ ）
1 1 2 2
A． B．
C． D． 的最大值为
三、填空题
9．已知过 三点的球 的小圆为 ，其面积为 ，且 ，则球 的表面积为
.
10．一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积 和球的体积 的比值 ．
11．已知一个圆锥的内切球的体积为 ，则该圆锥体积的最小值为 ．
12．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
