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专题10 复数（练习）
一、填空题
1．已知复数
，则
.
【答案】
【分析】先化简
求出复数
，从而可求出其共轭复数.
【解析】因为
，
所以
.
故答案为：
2．已知复数
，且
为纯虚数，其中是虚数单位，则
【答案】
【分析】根据
为纯虚数列方程来求得
.
【解析】依题意，
为纯虚数，
所以
，解得
.
故答案为：
3．复数
, 则
.
【答案】
1
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【分析】由共轭复数及复数的模运算求解．
【解析】依题意，得
，则
，
故答案为：
4．设为虚数单位，若复数
，则
.
【答案】
【分析】根据复数的除法运算和虚部的概念即可.
【解析】
，则
.
故答案为：
.
5．已知复数
在复平面内对应的点的坐标为(−3,2)，则
．
【答案】
/
【分析】由复数
在复平面内对应的点的坐标写出复数
，再写出
，代入
计算可得.
【解析】由题意可知
，则
，
所以
．
故答案为：
.
6．若复数
（是虚数单位），则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、减法求解即得.
【解析】复数
，则
，
所以
.
故答案为：
7．已知复数
（i 为虚数单位），则满足
的复数
为 ．
【答案】
【分析】根据已知结合共轭复数得出
，代入化简，即可得出答案.
【解析】
，则
，
2
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则
，为
，
即
，
故答案为：
8．已知复数
是关于
的方程
的一个根，则
.
【答案】
【分析】利用求根公式求复数z，然后可得.
【解析】由求根公式可得
或
，
所以
故答案为：
9．已知
，
为
的共轭复数，若
，则
．
【答案】
/
【分析】设
，根据复数相等列方程组求解即可.
【解析】设
，则
，由题意得
，即
，
所以
，解得
，则
，
所以
．
故答案为：
10．已知
，方程
的一个根为
（为虚数单位），则
【答案】6
【分析】根据题意可知：方程
的另一个根为
，利用韦达定理运算求解.
【解析】因为方程
的一个根为
，
可知方程
的另一个根为
，
3
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所以
.
故答案为：6.
11．已知复数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】设
，由条件得
，所求式
消元后化成
，结合点的轨
迹图形特征，求得
的范围，结合函数单调性即得
的最小值.
【解析】设
，由
两边平方整理得：
，
即
而
，
作出复数
对应的点
的轨迹
的图形如图.
易得
，因
在定义域内为增函数，
故
，
即当且仅当
时，
取最小值
.
故答案为:
.
12．已知关于
的一元二次方程
有两个虚根
，且
，则实数
的值为
.
【答案】3
4
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【分析】由题意可得
，求出
的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出
，然后利用
列方程可求出
的值.
【解析】因为关于
的一元二次方程
有两个虚根
，
所以
，即
，得
或
，
所以
中
，
因为
，
整理得
，解得
或
（舍），故
，
所以实数
的值为3.
故答案为：3
13．若复数
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设
，由复数的几何意义得
，
，进而利用
的范围可得
的取值范围.
【解析】设
，
，则
，
，则
.
故答案为：
．
14．若
（为虚数单位）是关于
的实系数方程
的一个根，则
．
【答案】
【分析】由题意可将
代入方程
，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得
，即
得答案.
5
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【解析】由题意
是关于
的实系数方程
的一个根，
则
，即
，
即得
，
故
，
故答案为：
15．关于
的实系数方程
和
有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的
点共圆，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】解出方程
，可得其对应的点
，对于方程
，讨论其
，进一步分
析计算即可.
【解析】因为
的解为
，
设所对应的两点分别为
，
则
，
，
设
的解所对应的两点分别为
，
，
记为
,
,
，
当
，即
时，因为
关于
轴对称，
且
，
，关于
轴对称，显然四点共圆；
当
，即
或
时，
此时
,
,
，且
，
故此圆的圆心为
，半径
，
又圆心
到
的距离
，
解得
，
6
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综上：
,
故答案为：
.
16．在复平面中，已知点
，复数
对应的点分别为
，且满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，由
，分析得
关于原点对称，所以确定
，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最
值问题.
【解析】解：因为复数
对应的点为
且
则可确定点
在以O 为圆心，2 为半径的圆上
又
，所以
为圆的直径，即
关于原点对称
所以
因为
所以
又
，
，
则
所以
7
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即
的最大值为
，所以
的最大值为
.
故答案为：
.
二、单选题
17．已知
为实数，则
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】D
【分析】利用
为实数求出
，再根据复数的模的公式求解．
【解析】由题意可得
，
由
为实数，得
，
即
，则
，
故
．
故选：D．
18．已知
，复数
，则“
”是“复数z 在复平面内所对应的点位于第一象
限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用复数的乘法法则计算，并根据所在象限得到不等式，求出
，得到结论.
【解析】由
，若复数z 在复平面内所对应的点位于第一象限，
则
可得
，
故“
”是“复数z 在复平面内所对应的点位于第一象限”的充要条件．
故选：C．
8
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19．若复数z 满足
，则z 的一个可能值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知结合复数的模长公式及共轭复数的概念即可求解.
【解析】设
，则
，
由
，得
，即
，整理得
，
显然选项ACD 不满足要求，B 符合要求.
故选：B
20．已知复数
满足
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，然后由已知条件列方程组可求出
，
,从而可求出
【解析】设
，则由
，得
，
由
，得
，即
，
所以
，化简整理得
，得
，
所以
，得
，
所以
，
故选：D
21．已知在复平面内复数
，
对应的向量分别为
，
．若
，
，则
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】首先表示出
，
，即可求出
，再求出
及
，最后根据投影向量的定义计
算可得.
【解析】因为
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
，
所以
在
上的投影向量为
.
故选：B
22．已知
个两两互不相等的复数
，满足
，且
，其中
；
，则
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】设
从而可得
即
对应平面内距离为
的
点，从而利用数学结合求解即可.
【解析】设
,
,
即
化为
故
对应平面内距离为
的点，如下图中
,
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,
与
对应点的距离为或
构成了点
共个点，
故
的最大值为
故选：
【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解．
三、解答题
23．设
，复数
．
(1)当
满足什么条件时，复数
是纯虚数？
(2)当
满足什么条件时，复数
在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将复数的实部与虚部整理出来，根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）利用复数的几何意义，根据第二象限内点的坐标正负性进行求解即可.
【解析】（1）由题意得，
，
当
是纯虚数时，
，解得
，
即
时，
是纯虚数．
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（2）当
在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限时，
，解得
，
即
时，
在复平面内对应的点在第二象限．
24．已知复数
满足
（是虚数单位）.
(1)求
；
(2)若复数
在复平面内对应的点在第三象限，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可；
（2）根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可.
【解析】（1）由
，
得
，所以
（2）因为
，
所以
，
因为该复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
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25．已知关于
的方程
有实数根
.
(1)求实数
的值；
(2)若复数
满足
，求当
为何值时，
有最小值，并求出
的最小值.
【答案】(1)
(2)当
时，
有最小值为
【分析】（1）根据复数相等的条件列式可求出结果；
（2）设
，代入
可得复数
对应的点的轨迹是圆，根据复数的模的几
何意义可求出结果.
【解析】（1）因为
是方程
的实数根，
所以
，即
，
所以
，解得
，
（2）设
，由
，得
，
得
，整理得
，
所以复数
对应的点的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，如图所示，
当复数
对应的点在
的延长线上时，
取最小值，
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因为
，圆的半径
，所以
的最小值为
.
此时复数
对应的点与
关于原点对称，则
.
26．在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们
能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若
在
附近连续，且若
存在，则
为
点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上
呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数
，若
在
附近连续（实际上可以考虑一个非常非
常小的圆），且若
存在，则
为
点处的导数．
(1)按此定义，验证导数的除法公式
在复函数求导下仍然成立．
(2)更一般地，若在某个区域
上
均可导，我们称
为
上解析的函数．考虑复函数
，
其中
为一个模长小于的复数，为一个模长为的复数．证明：
①该复函数将
上的点映为
上的点，且将
上的点映为
上的点．
②
为
上的解析函数．
(3)已知：（ⅰ）若函数
为
上的解析函数，且值域在
中，满足
，则有：
．
（ⅱ）若函数
，
分别为
，
上的解析函数，则
为
上的解析函数．
此时若
为
上的解析函数，且值域在
中，满足
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
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(3)证明见解析
【分析】（1）直接使用导数的定义证明；
（2）根据给出的函数表达式，利用复数的运算性质证明；
（3）利用（2）的结论构造复合函数，然后用给定的结论证明命题.
【解析】（1）
.
（2）①由于
，
且
.
故
.
当
即
时，有
，从而
；
当
即
时，有
，从而
.
②直接由（1）可得
，故
是
上的解析函数.
15
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（3）取
，则
，由（ⅱ）的结论，知
是
的解析函数.
则取
，就有
是
的解析函数，且
.
从而
，据（ⅰ）的结论，知
.
而
，故
.
直接计算可得
，
，故
.
所以
，故
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于恰当利用给出的已知结论，以证明新结论.
16
