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专题10 复数（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（23-24 高三下·上海青浦·阶段练习）i 为虚数单位，则
．
【答案】
/
【解析】因为
，
所以
，
故答案为：
.
2．（23-24 高三下·上海·期中）已知复数
，则
的值等于 .
【答案】
【分析】利用复数的除法运算求出
，再利用共轭复数及复数乘法计算即得.
【解析】复数
，
，
所以
.
故答案为：2
3．（2024·上海·三模）已知复数
（为虚数单位），则
的实部为 ．
【答案】
【分析】利用复数的运算法则，化简为
的形式，即a 为实部.
【解析】
.
1
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所以复数的实部为
.
故答案为：
4．（2023·上海崇明·一模）已知复数
，
，若
是纯虚数，则实数
.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算，求得
，再根据
为纯虚数，即可求解.
【解析】
，若
是纯虚数
所以
即
故答案为：
5．（22-23 高三上·上海普陀·阶段练习）若复数
（为虚数单位），则
.
【答案】
/
【分析】根据共轭复数的定义以及复数的乘法、加法运算即可求解.
【解析】由
得
，
所以
，
故答案为：
6．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）已知复数
（i 为虚数单位），则满足
的复数
为
．
【答案】
【分析】根据已知结合共轭复数得出
，代入化简，即可得出答案.
【解析】
，则
，
则
，为
，
即
，
故答案为：
7．（2024·上海·模拟预测）已知复数z 满足
，则
．
【答案】
【分析】利用复数的乘法运算求出
即可得解.
2
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【解析】依题意，
，所以
.
故答案为：2
8．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知是虚数单位，则
．
【答案】
/
【分析】由复数除法运算以及虚部的概念即可求解.
【解析】
.
故答案为：
.
9．（23-24 高三上·上海奉贤·阶段练习）已知复数
，其中是虚数单位，
，则
.
【答案】
【分析】先求得
，然后根据
的实部求得
.
【解析】依题意，
，
而
，所以
.
故答案为：
10．（21-22 高三下·上海浦东新·阶段练习）已知复数
满足
，若
，则的值为
.
【答案】2 或
【分析】先由
求出
，再由
列方程可求出的值
【解析】由
，得
，
因为
，
所以
，解得
或
，
3
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故答案为：2 或
11．（23-24 高三上·上海·期中）若复数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题设条件确定复数
对应点在以
为焦点，长轴长为10 的椭圆上，结合椭圆性质及
的几何意义确定最小值.
【解析】设
且
，又
，
所以
，
即点
到两定点
的距离之和为
，
所以点
在以
为焦点，长轴长为10 的椭圆上，
由
表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴
.
故答案为：
12．（23-24 高三上·上海浦东新·开学考试）已知复数
满足
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】
设复数
的代数形式，根据给定的等式求出复数
在复平面内对应点的轨迹作答.
【解析】设复数
，由
，得
，
整理得
，即
，
因此复数
在复平面内对应点
在以点
为圆心，
为半径的圆，
为原点，
4
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所以
.
故答案为：
13．（23-24 高三下·上海浦东新·阶段练习）若
（为虚数单位）是关于
的实系数方程
的一个根，则
．
【答案】
【分析】由题意可将
代入方程
，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得
，即
得答案.
【解析】由题意
是关于
的实系数方程
的一个根，
则
，即
，
即得
，
故
，
故答案为：
14．（21-22 高三上·上海虹口·期中）已知
，其中为虚数单位，
，复数
的虚部减去
它的实部所得的差等于
，则复数
的模为 ．
【答案】
/
【分析】利用复数乘法法则计算出
，从而列出方程，求出
，进而求出模长.
【解析】把
，代入
中，
5
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得
，
由
，得
，又
，所以
，
故
．
故答案为：
15．（21-22 高三下·上海浦东新·阶段练习）已知
是偶函数，则复数
的模为 ．
【答案】
【分析】根据
是偶函数可得
，根据复数的乘法运算求出
的结
果，根据模的计算求得答案.
【解析】由
是偶函数，
可得
，
即
，因为
，故
，
所以
，
故复数
的模为
，
故答案为：
16．（2023·上海虹口·一模）设
，
，为虚数单位，若
是关于
的二次方程
的
一个虚根，则
．
【答案】2
【分析】将根代入方程，化简即可得到
，列方程组即可求得
.
6
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【解析】将
代入方程得：
，
即
，即
，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：2
17．（22-23 高二上·上海虹口·阶段练习）已知关于x 的方程
有两个虚根
与
，且
，实数k 的值是 ．
【答案】
【分析】由求根公式得虚根，再由题意列方程求解
【解析】由求根公式得
的虚根为
，
故
，解得
，
故答案为：
18．（2023·上海闵行·模拟预测）若
，则
的最大值与最小值的和为 .
【答案】
【分析】由题意结合复数的何意义可得复数
表示以（
）为圆心的半径为1 的圆，从而可求出
的最
值，进而可得答案.
【解析】由几何意义可得：复数
表示以（
）为圆心的半径为1 的圆，
则
.
故答案为：
7
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19．（21-22 高三下·上海虹口·阶段练习）已知
，
且z 是复数，当
的最大值为3，则
.
【答案】
【分析】由
可知，
，化简
可得其最值为
，进而求出
的值.
【解析】设
，因为
，所以
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
解得，
，
故答案为：
.
20．（21-22 高三下·上海浦东新·阶段练习）欧拉公式
，它将指数函数的定义域扩大到复
数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列
的通项公式为
，则数列
前2022 项的乘积为 .
【答案】
【分析】根据题意，
，然后根据指数运算法则求积，再根据等差数列求和公
式化简，最后根据定义求结果.
【解析】因为
，所以
，
所以
8
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.
故答案为:
.
21．（21-22 高三下·上海虹口·阶段练习）已知关于
的方程：
有实数根
，
若复数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】首先由方程求
，再根据模的公式化简为
，再根据几何意义求
的最小
值.
【解析】由条件可知，
，
所以
，
即
，解得：
，
设
，
，
，
因为
，所以
，
即
，
所以点
在以
为圆心，
为半径的圆上，所以
表示圆上的点到原点的距离，由图可知
.
9
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故答案为：
22．（21-22 高三下·上海徐汇·阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是 ．
①
； ②若
，则
；
③若
，则
； ④
；
⑤
，则
； ⑥
；
⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若
，则z 必为实数．
【答案】①⑤⑧
【分析】根据复数的四则运算法则以及模长公式逐一判断，判断一个真命题需要证明，判断一个假命题需
要举反例.
【解析】①设
，则
，
所以①正确
②设
，
，但
与
不能比较大小
所以②不正确
③设
，
，
则
所以③不正确
④设
，
则
，
所以④不正确
⑤设
，
10
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则
，
⑥当
，
时，
，
所以⑥不正确
⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，
所以⑦不正确
⑧设
（
，
），则
，
所以⑧正确
故答案为：①⑤⑧
二、单选题
23．（2024 高三·上海·专题练习）设
，“复数
是纯虚数”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件；
B．必要不充分条件；
C．充分必要条件；
D．既不充分也不必要条件.
【答案】A
【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.
【解析】当
是纯虚数时，一定有
，但是当
时，只有当
时，
才能是纯虚数，所以
11
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“复数
是纯虚数”是“
”的充分而不必要条件，
故选：A
24．（23-24 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若
，则z 为实数
B．若
，则z 为纯虚数
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】依题意由
可知若
可得
，即A 正确；若
，可得
，
，即
B 正确；由
可得
，则z 的取值有无数个；由
可知，
或
，可得D 正确.
【解析】由题意，设复数
，
对于A，由
，即
，解得
，所以复数z 为实数，所以A 正确；
对于B，复数
，因为
，可得
，
，所以复数z 为纯虚数，所以B 正确；
对于C，令
，由
整理得
，则z 的取值有无数个，所以C 不正确；
对于D，由
，可得
，即
，
解得
或
，所以
，所以D 正确.
故选：C.
25．（23-24 高三下·上海·开学考试）下列命题不正确的为（ ）
A．若复数
，
的模相等，则
，
是共轭复数
B．
，
都是复数，若
是虚数，则
不是
的共轭复数
C．复数是实数的充要条件是
D．
，
，则
对应的点
的轨迹为线段
12
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【答案】A
【分析】根据共轭复数的定义可判断ABC，根据复数的几何意义可判断D.
【解析】对于A，若复数
，
的模相等，则
，
还可能是相等的复数，故A 错误；
对于B，若
和
是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；
对于C，若复数是实数，则
，从而
，所以
，
反之若
，则由
得
，所以
，
所以复数是实数的充要条件是
，故C 正确；
对于D，设
，
由复数的几何意义可知
表示点
到点
和
距离之和为2，
而点
和
之间距离为2，所以
对应的点
的轨迹为线段，故D 正确.
故选：A
26．（2023·上海宝山·一模）已知
是复数，
是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．
B．若
，则
的最大值为
C．若
，则复平面内
对应的点位于第一象限
D．若
是关于
的方程
的一个根，则
【答案】B
【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数
判断C；利用复数相
等求出
判断D.
【解析】对于A，设
，则
，
，A 错误；
对于B，由
知，在复平面内表示复数
的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作该单位圆上的点到点
的距离，因为圆心到
的距离为
，
13
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则该单位圆上的点到点
的距离最大值为
，B 正确；
对于C，
，则复平面内
对应的点位于第二象限，C 错误；
对于D，依题意，
，整理得
，
而
，因此
，解得
，D 错误．
故选：B.
27．（2002·上海·高考真题）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及
坐标，据此进行计算可得答案.
【解析】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故
；
又复数对应点的纵坐标大于等于
，故其虚部大于等于
，
所以阴影部分（含边界）对应的复数集合为
，
如图可得
，可得
，
14
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所以
，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合是
.
故选：D.
28．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数
的定义域为
,复数
,
若
,则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
的定义域
,然后化简复数,把
表示成
的函数求值域即可.
【解析】由
,得
,即
,所以
因为复数
所以
因为
,所以
故选：B
29．（2023·上海闵行·一模）已知复数
、
在复平面内对应的点分别为
、
，
（
为坐标原
15
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点），且
，则对任意
，下列选项中为定值的是（ ）
A．
B．
C．
的周长
D．
的面积
【答案】A
【分析】由已知可得出
，求出方程
的虚根，结合复数模的性质可得
出结论.
【解析】因为复数
、
在复平面内对应的点分别为
、
，
（
为坐标原点），则
，
由
可得
，
对于方程
，则
，
解方程
可得
，
所以，
，所以，
，
中，由于
不是定值，则
的面积、
均不为定值，
故选：A.
30．（22-23 高三下·上海宝山·阶段练习）数学家们在探寻自然对数底
与圆周率
之间的联系时，
发现了以下公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
上述公式中，
，n 为正整数．
据此判断以下命题中正确的个数是（ ）（i 为虚数单位）．
16
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①
；②
；③
；④
；⑤
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据题目中的公式，结合复数乘方的运算，可得答案.
【解析】由公式：
，则
，
即
，且当
时，
，当
时，
，
由公式
，则
显然
，故①正确，②错误；
当
时，
，即
，
，故③正确，④错误；
由公式
，则
，
显然
，故⑤正确.
故选：C.
三、解答题
31．（2012 高三上·上海徐汇·学业考试）已知复数
．
(1)若复数
在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；
(2)若虚数
是方程
的一个根，求实数m 的值．
【答案】(1)
17
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(2)13
【分析】（1）根据复数的减法，确定实部与虚部，根据其几何意义，可得实部与虚部的取值范围，可得
答案；
（2）根据复数与一元二次方程的关系，再由韦达定理，可得答案.
【解析】（1）
．因为
在复平面内的对应点落在第一象限，所以
即
解得
．因此，实数a 的取值范围是
．
（2）因为虚数
是方程
的一个根，所以
也是方程
的一个根，于是
，解得
．把
代入，得
，
，所以
．
32．（2021·上海·模拟预测）已知关于
的方程
的虚数根为
、
.
（1）求
的取值范围；
（2）若
，求实数
的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）由题意
，从而
，由复数的运算可得
，根据判别
式得出
的范围，从而得出答案.
（2）将
平方，将韦达定理代入，结合判别式得出
的范围，可得答案.
【解析】由题意知，
，则
，
，
（1）
，
18
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因为
，所以
，故
的取值范围是
.
（2）
因为
，所以
，所以
.
33．（21-22 高一下·上海嘉定·期末）已知复数
，若
和
互为共轭复数.
(1)求实数a 的值；
(2)求满足不等式
的实数m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
或
.
【分析】（1）由共轭复数的概念列方程组求参数a；
（2）应用复数的四则运算化简
，根据模的范围解不等式求m 范围.
【解析】（1）由题意
，可得
.
（2）由（1）知：
，
所以
，
则
，即
，可得
或
.
34．（21-22 高三下·上海宝山·期中）已知虚数z＝a+icosθ，其中a，θ∈R，i 为虚数单位．
(1)若对满足条件的任意实数θ，均有|z+2-i|≤3，求实数a 的取值范围；
(2)若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ 的值．
【答案】(1)
；
19
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(2)
，且
．
【分析】（1）利用复数模的意义，结合给定不等式及恒成立的条件，求解作答.
（2）根据给定条件，利用韦达定理，结合复数的分类列式求解作答.
【解析】（1）虚数
，则
，
不等式
，
而
，
，且
，则
有最大值4，
依题意，
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
（2）虚数
，则
，因z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
则
，而
，
，
因此
，而
，解得
，则
，且
，
所以
，且
．
35．（2020 高三·上海·专题练习）已知复数
，
，
，
，
，
满足
，
．
（1）若
所对应点
在圆
上，求
所对应点的轨迹；
（2）是否存在这样的直线，
对应点在上，
所对应点也在直线上？若存在，求出所有这些直线；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）
所对应点的轨迹是以
为圆心，4 为半径的圆；（2）存在且有两条
或
20
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．
【分析】（1）先根据
，
，得到
，进而求得
，然后将
，
，代
入
，利用复数相等，得到
，
，再代入
求解.
（2）设存在且为
．由
，得到
，
．根据
对应
点在上，代入
，利用待定系数法求解.
【解析】（1）因为
，
，所以
，所以
．
由
，得
．
所以
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
化简，得
，
即
．
所以
所对应点的轨迹是以
为圆心，4 为半径的圆；
（2）由
，得
，
．
假设满足条件的直线存在，则斜率存在，设为
．
21
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因为
对应点在上，得
，即
．
∴
．
所以
．解方程组，得
，
，
所以这样的直线存在且有两条
或
．
【点睛】本题主要考查复数的运算，复数的相等，复数的几何意义以及轨迹问题，还考查了运算求解的能
力，属于中档题.
36．（22-23 高一下·上海杨浦·期末）设
是一个关于复数z 的表达式，若
（其中x，
y，
，
为虚数单位），就称f 将点
“f 对应”到点
．例如
将点
“f
对应”到点
．
(1)若
点
“f 对应”到点
，点
“f 对应”到点
，求点
、
的坐标；
(2)设常数
，
，若直线l：
，
，是否存在一个有序实数对
，使得直线l
上的任意一点
“对应”到点
后，点Q 仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对
；若不存在，请说明理由；
(3)设常数
，
，集合
且
和
且
，若
满足：①对于
集合D 中的任意一个元素z，都有
；②对于集合A 中的任意一个元素
，都存在集合D 中的元素
z 使得
．请写出满足条件的一个有序实数对
，并论证此时的
满足条件．
22
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【答案】(1)
(2)
(3)
，证明见解析
【分析】（1）根据题中的新定义求解即可；
（2）由题意可得
，进而由条件得出关于
的方程组，求解即可；
（3）满足条件的一个有序实数对为
，即
，
，结合复数模的求法及复数的运
算证明即可.
【解析】（1）由
知
，则
，故
；
设
，则
，
由
知
，则
，即
.
（2）直线l 上的任意一点
“对应”到点
，
，且
，
，即
，
由题意，点
仍在直线上，则
，又
，
则
，
展开整理得
，
则
，解得
，
所以，所求的有序实数对
为
.
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（3）满足条件的一个有序实数对为
，即
，
，证明如下：
设
，则
，
，
∵
，∴
，
，即
，满足条件①；
设
，且
，即
，得
，
由
得
，
则
，
则
，满足条件②，
综上，满足条件的一个有序实数对为
.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，
实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义
的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
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一、填空题
1．（2024·上海闵行·三模）复数
（为虚数单位），则
.
【答案】
【分析】先对
化简，然后可求出其共轭复数
【解析】
，
所以共轭复数是
.
故答案为：
2．（2024·上海奉贤·二模）已知复数
（为虚数单位），则
．
【答案】
/
【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.
【解析】
.
故答案为：
.
3．（2023·上海黄浦·一模）已知复数
满足
（为虚数单位），则复数
的模等于 .
【答案】
【分析】利用复数的除法化简可得复数
，利用复数的模长公式可求得
.
【解析】因为
，则
，
.
故答案为：
.
4．（2023·上海金山·一模）已知
是实数，是虚数单位，若复数
的实部和虚部互为相反数，则
.
【答案】
【分析】利用复数的运算化简，结合题意求出
的值，再用模长公式计算即可.
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【解析】由题意
，
因为实部和虚部互为相反数，所以
，解得
，
此时
，则
，
故答案为：
5．（2023·上海静安·一模）已知复数
（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则
实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由复数的除法运算计算出
，再由复数的几何意义得出相应点的坐标，列方程组求解即可.
【解析】
，
∴复数
在复平面内对应的点为
，
由已知，
在第二象限，
∴
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
6．（2024·上海普陀·二模）已知复数
，其中为虚数单位，则
在复平面内所对应的点的坐标为
.
【答案】
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【分析】求出复数
的共轭复数，进而可得点的坐标．
【解析】由题意，复数
，在复平面内所对应的点的坐标为
．
故答案为：
．
7．（2024·上海宝山·二模）设实数
、
满足
为虚数单位，则
.
【答案】
【分析】利用复数的乘法运算，结合复数相等列出方程组求解即得.
【解析】由
，
得
，即
，
则
，解得
.
.
故答案为：
8．（2023·上海杨浦·模拟预测）已知复数
在复平面内对应的点是A， 其共轭复数
在复平面内对应的点
是
是坐标原点， 若A 在第一象限， 且
， 则
.
【答案】
【分析】设点A 坐标，根据共轭复数的概念得B 坐标，再由
得A 横纵坐标的关系式，根据复数的
除法运算求值即可.
【解析】设
，则由共轭复数的概念可得：
，
由
得：
，
因为
，所以
，故
，
故
.
27
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故答案为：
.
9．（2024·上海杨浦·二模）设复数
与
所对应的点为
与
，若
，
，则
.
【答案】2
【分析】由题设结合复数的乘法求出
，再借助复数的几何意义求出结果.
【解析】依题意，
，则
，
所以
.
故答案为：2
10．（2024·上海黄浦·二模）若实系数一元二次方程
有一个虚数根的模为4，则
的取值范围
是 .
【答案】
【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为
和
，则
，又
，再由
可求
的取值范围.
【解析】设实系数一元二次方程
的两个虚数根为
和
，
则
.
所以
.
由
.
故答案为：
11．（2024·上海·三模）已知关于
的一元二次方程
有两个虚根
，且
，
则实数
的值为 .
【答案】3
【分析】由题意可得
，求出
的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出
，然后利用
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列方程可求出
的值.
【解析】因为关于
的一元二次方程
有两个虚根
，
所以
，即
，得
或
，
所以
中
，
因为
，
整理得
，解得
或
（舍），故
，
所以实数
的值为3.
故答案为：3
12．（2017·上海·三模）已知函数
为偶函数，
为奇函数，其中
、
为常数，则
【答案】
【分析】由奇偶函数的定义列出关于
、
的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方
程的根，进而求出复数
和
，再利用和与积的值和
求出
，
，
等，找出具有
周期性
为3，再利用周期性求出式子的和．
【解析】解：
为偶函数，
为奇函数，
，
即
，
解得
；
复数
、
是方程
的两个根，
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解得，
，
；
已知
，
；则
，
，
同理可求
，
，
，
，归纳出有周期性且
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了奇（偶函数的定义和复数的运算，再求复数的值时用到转化思想，求和式的值时利
用
找出每项的和的周期，利用周期性求所求和式的值．
二、单选题
13．（2024·上海长宁·二模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.
【解析】设
，则
，
由
可得
，所以
，充分性成立，
当
时，即
，则
，满足
，
故“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
14．（2020·上海杨浦·一模）设
为复数,则下列命题中一定成立的是( )
A．如果
,那么
B．如果
,那么
C．如果
,那么
D．如果
,那么
【答案】C
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【解析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.
【解析】对于A,取
,
时,
,即
,但虚数不能比较大小, ,故A 错误;
对于B,由
,可得
,不能得到
,故B 错误;
对于C,因为
,所以
,故C 正确;
对于D,取
,
,满足
,但是
,故D 错误.
故选:C.
【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.
15．（2022·上海黄浦·模拟预测）复平面内存在复数
，
对应的三点
，若
点
可与
共圆，则下列复数中可以表示为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，则
需满足
，计算出各选项中复数的模，即可得解.
【解析】解：由已知可得
，
则点
均在以原点为圆心且半径为1 的单位圆上，
若点
可与Z1.Z2.Z3共圆，则
，
对于A，
，所以A 错误，
对于B，
，所以B 错误，
对于C，
，所以C 错误，
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对于D，
，所以D 正确，
故选：D
16．（2022·上海奉贤·一模）复数
的模为1，其中为虚数单位，
，
则这样的
一共有（ ）个.
A．9
B．10
C．11
D．无数
【答案】C
【分析】先根据复数
的模为1 及复数模的运算公式，求得
即
，接下来分
与
两种情况进行求解，结合
，求出
的个数.
【解析】
，其中
，所以
，即
，
，当
时，①
，
，所以
，
，因为
，所以
或
；②
，
，所以
，
，因为
，所以
，
，
，
，
或
；当
时，①
，
，即
，
，因为
，所以
，②
，
，即
，
，因为
，所以
，
，
，
，
，综上：
，
，一共有11 个.
故选：C
三、解答题
17．（2019·上海·模拟预测）已知复数
满足
，
的虚部为2.
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（1）求复数
；
（2）设复数
、
、
在复平面上对应点分别为
、
、
，求
的值.
【答案】（1）
或
；（2）
【分析】（1）设出
,根据题意可得
,求解即可；
（2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可
【解析】（1）设
,由题,可得
,
,
的虚部为2
则
或
故
或
（2）由（1）可知
,即
为
,
当
时,即
为
,
,此时
,即
为
,
当
时,即
为
,
,此时
,即
为
,
综上,
【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力
18．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于
得二次方程：
.
(1)当方程有实数根时，求点
的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
33
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【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据复数相等结合条件可列出关于
的方程，整理即可求得点
的轨迹方程；
（2）由题可得
，然后根据判别式大于等于零即得．
【解析】（1）设方程的实数根为
，则有
，
即
，
所以
，
两式消去
可得
，
整理可得
，
即点
的轨迹方程是
；
（2）由
可得
，
整理得
，
，
，
解得
，
方程的实数根的取值范围是
.
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19．（2018·上海奉贤·二模）设复平面上点
对应的复数
（为虚数单位）满足
，点
的轨迹方程为曲线
. 双曲线
:
与曲线
有共同焦点，倾斜角为
的
直线与双曲线
的两条渐近线的交点是
、
，
，
为坐标原点.
（1）求点
的轨迹方程
；
（2）求直线的方程；
（3）设△PQR 三个顶点在曲线
上，求证：当
是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值.
【答案】(1)
；(2)
；(3)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）【方法一】根据椭圆的定义可知，结合
，即可求得点
的轨迹方程
；【方法二】根据复数的性质，化简即可得点
的轨迹方程
；（2）【方法一】根据双曲线
:
与曲线
有共同焦点，求得双曲线
的方程，进而可得双曲线
的渐近线方程，设直线的方
程为
，联立渐近线方程与直线的方程，求得
，
的坐标，再根据
，即可求得直线
的方程；【方法二】联立直线的方程与双曲线的方程，结合韦达定理，再根据
，即可求得直
线的方程；（3）【方法一】设
，
，由
是△PQR 重心可得
，根据
，即可求得定值；
【方法二】设
、
、
，则有：
，推出
，代入到椭圆
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方程，结合
，即可求得定值.
试题解析：（1）【方法一】由题意知，点
的轨迹为椭圆.
∵
∴
∴点
的轨迹方程
为
.
【方法二】由题意知
，,整理得
.
∴点
的轨迹方程
为
（2）【方法一】∵
与
有共同焦点
∴
，即
∴双曲线
的方程为
∴双曲线
的渐近线方程
设直线的方程为
.
联立方程
，得
.
，
，即直线的方程为
.
【方法二】∵
与
有共同焦点
∴
，即
.
∴双曲线
的方程为
设直线的方程为
，联立方程
得到
.
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∴
∴
，即直线的方程为
.
（3）【方法一】设
,
.
∵
为
的重心
（
.
不妨设
,则
.
【方法二】设
、
、
，则有：
，代入椭圆方程得：
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.
所以
.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该
问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求
定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显
现.
38
