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专题10 指数与指数函数
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：指数幂的运算
题型二：指数型复合函数的定义域和值域
题型三：指数函数的图象及应用
题型四：比较指数式的大小
题型五：解简单的指数方程或不等式
题型六：指数函数性质的综合应用
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
【考点预测】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0 的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
1
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④＝a(n 为大于1 的奇数).
⑤＝|a|＝(n 为大于1 的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意
义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r ，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0
，＋
∞
)
性质
过定点(0
，
1)
，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y >1
；
当x<0 时，0<
y <1
当x<0 时，y >1
；
当x>0 时，0<
y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y 轴对称
【常用结论】
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a>1 与0<a<1
来研究.
3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2
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4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换得到.特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
6.比较指数式的大小的方法是：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0 或1”等中间量比较大小.
7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，
涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
二、【题型归类】
【题型一】指数幂的运算
【典例1】
(a>0，b>0)＝________.
【解析】原式＝
＝.
【典例2】若
＋
＝3(x>0)，则
＝________.
【解析】由
＋
＝3，
两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47，
∴x2＋x－2－2＝45.
＋
＝
＋
＝
(x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
3
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∴
＝.
【典例3】已知a>0，则
化为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】原式＝
＝
＝
＝
.故选B.
【题型二】指数型复合函数的定义域和值域
【典例1】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝2√−x2−3 x+4.
【解析】(1)定义域为R.因为－|x＋1|≤0，
所以y＝≥＝1，所以值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.又因为y＝＝1－，而0＜＜1，所以－1＜－＜0，则0＜y＜1，所以值域为(0，
1)．
(3)令－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，所以函数y＝2√−x2−3 x+4的定义域为[－4，1]．设u＝
(－4≤x≤1)，易得u 在x＝－时取得最大值，在x＝－4 或1 时取得最小值0，即0≤u≤.所以
函数y＝2u的值域为，即函数y＝2√−x2−3 x+4的值域为[1，4]．
【典例2】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝8； (2)y＝4x＋2x＋1＋1； (3)y＝.
【解析】(1)因为2x－1≠0，所以x≠，所以原函数的定义域是.
令t＝，则t∈R 且t≠0，所以由y＝8t(t∈R，t≠0)得y＞0 且y≠1.
所以，原函数的值域是{y|y＞0 且y≠1}．
(2)定义域为R，因为y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，且2x＞0.
所以y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为{y|y＞1}．
(3)设u＝x2－6x＋17，由于函数u＝x2－6x＋17 的定义域是(－∞，＋∞)，故y＝的定义域为
(－∞，＋∞)．
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又函数u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，所以≤，又＞0，故原函数的值域为.
【题型三】指数函数的图象及应用
【典例1】(多选)已知实数a，b 满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0
B．a<b<0
C．0<a<b
D．0<b<a
【解析】如图，观察易知，a<b<0 或0<b<a 或a＝b＝0，故选ABD.
【典例2】在同一直角坐标系中，指数函数y＝x，二次函数y＝ax2－bx 的图象可能是( )
【解析】指数函数y＝x的图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx
＝(ax－b)x，有零点，0.
A，B 选项中，指数函数y＝x在R 上单调递增，故>1，故A 错误，B 正确．
C，D 选项中，指数函数y＝x在R 上单调递减，故0<<1，故C，D 错误．
故选B.
【典例3】若存在正数x 使ex(x＋a)<1 成立，则a 的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－∞，1)
C.
D．(－∞，－1)
【解析】由题设知，∃x>0 使x＋a<e－x成立，
令y＝x＋a，y1＝e－x，
∴x>0 时有y1＝e－x∈(0,1)，
而y＝x＋a∈(a，＋∞)，
∴当a<1 时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1 成立．
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【题型四】比较指数式的大小
【典例1】若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．a>c>b
【解析】∵函数y＝0.3x在R 上是减函数，
∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
0．3<0.7，
∴0<0.30.3<0.70.3，
∴0<a<b<1，
而函数y＝1.2x是R 上的增函数，
∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
故选B.
【典例2】若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0
B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0
D．ln|x－y|<0
【解析】设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R 上均单调递增，所以f(x)在R 上单调递增．
原式等价于2x－3－x<2y－3－y，
即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A 正确，B 不正确．
因为|x－y|与1 的大小关系不能确定，所以C，D 不正确．
故选A.
【典例3】若－1<a<0，则3a，
，a3的大小关系是__________．(用“>”连接)
【解析】易知3a>0，
<0，a3<0，又由－1<a<0，得0<－a<1，所以(－a)3<
，即－a3<－
，所以a3>
，因此3a>a3>
.
【题型五】解简单的指数方程或不等式
【典例1】已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a 的值为______．
【解析】当a<1 时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1 时，代入不成立．故a 的值为.
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【典例2 】若偶函数f(x) 满足f(x) ＝2x －4(x≥0) ，则不等式f(x －2)>0 的解集为
________________．
【解析】∵f(x)为偶函数，
当x<0 时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，
∴f(x)＝
当f(x－2)>0 时，有或
解得x>4 或x<0.
∴不等式的解集为{x|x>4 或x<0}．
【典例3】已知y＝4x－3·2x＋3 的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( )
A．[2,4]
B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4]
D．(－∞，0]∪[1,2]
【解析】∵y＝4x－3·2x＋3 的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1 或2≤2x≤4.
∴x≤0 或1≤x≤2.
故选D.
【题型六】指数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值
范围是________．
【解析】令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t是增函
数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，
即m≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．
【典例2】(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73
B.
C．1.70.3>0.93.1
D.
【解析】∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确；
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＝
，y＝x为减函数，
∴
＝
，故B 正确；
∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，
∴1.70.3>0.93.1，故C 正确；
∵y＝x为减函数，∴
，
又y＝
在(0，＋∞)上单调递增，
∴
，
∴
，故D 正确．
故选BCD.
【典例3】函数f(x)＝x2－bx＋c 满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是
( )
A．f(bx)≤f(cx)
B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx)
D．与x 有关，不确定
【解析】∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1 对称，
易知b＝2，c＝3，
当x＝0 时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，
当x>0 时，3x>2x>1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)<f(cx)，
当x<0 时，3x<2x<1，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，
∴f(bx)<f(cx)，
综上，f(bx)≤f(cx)．故选A.
三、【培优训练】
【训练一】定义在R 上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(log43)＝
________.
【解析】根据题意，对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，
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又∵f(x)是定义在R 上的增函数，
∴在R 上存在常数a 使得f(a)＝3，
∴f(x)＝2x＋a，∴f(a)＝2a＋a＝3，
解得a＝1，
∴f(x)＝2x＋1，
∴f(log43)＝
＋1＝＋1.
【训练二】设f(x)＝|2x－1－1|，a<c 且f(a)>f(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)
【解析】f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，
即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.
【训练三】已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0 有解，求实数λ 的取值范围．
【解析】(1)f(x)＝－＋4
＝2x－2λ·x＋4(－1≤x≤2)．
设t＝x，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4
＝2＋.
所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0 有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2)．
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1 时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2 时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为.
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故实数λ 的取值范围是.
【训练四】已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x 满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为
“局部奇函数”，若函数f(x)＝4x－m·2x－3 是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取
值范围是( )
A．[－2，2)
B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．[－4，－2)
【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，方程f(－x)＝－f(x)有解即可，即4－x－m·2－x－
3＝－(4x－m·2x－3)，所以4－x＋4x－m(2－x＋2x)－6＝0，
化为(2－x＋2x)2－m(2－x＋2x)－8＝0 有解，
令2－x＋2x＝t(t≥2)，
则有t2－mt－8＝0 在[2，＋∞)上有解，
设g(t)＝t2－mt－8，对称轴为x＝.①若m≥4，则Δ＝m2＋32>0，满足方程有解；②若
m<4，要使t2－mt－8＝0 在t≥2 时有解，
则需
解得－2≤m<4.
综上可得实数m 的取值范围为[－2，＋∞)．故选B.
【训练五】已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3 的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：
①m＞n＞3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．
若存在，求出m，n 的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为x∈[－1，1]，所以∈.
设＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a＜时，h(a)＝φ＝－；
当≤a≤3 时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当a＞3 时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.
所以h(a)＝
(2)假设存在满足条件的实数m，n.
因为m＞n＞3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.
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因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，所以 两式相减得6(m－n)＝
(m－n)(m＋n)，因为m＞n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故不存在
满足条件的实数m，n.
【训练六】已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a 为常数，a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3 在x∈[0,1]上有实根，求实数k 的取值范围．
【解析】(1)∵函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R，
又∵f(－x)＝2－x＋a·2x，
∴①当f(－x)＝f(x)，
即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1，
即当a＝1 时，函数f(x)为偶函数；
②当f(－x)＝－f(x)，
即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x)
＝－2x－a·2－x时，
可得a＝－1，
即当a＝－1 时，函数f(x)为奇函数．
(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1，
即f(x)＝2x＋2－x，
f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2，
由题可得，
(2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3⇔(2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0，
令t＝2x＋2－x，
则有t2－kt－5＝0，
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
根据对勾函数的性质可知，2x＋2－x∈，
即t∈，
方程t2－kt－5＝0 在t∈上有实数根，
则k＝＝t－，
令φ(t)＝t－，
∴φ(t)在上单调递增，
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且φ(2)＝－，φ＝，
∴－≤k≤，
∴实数k 的取值范围是.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4
B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1
D．
【解析】对于A，(－2)－2＝，故A 错误；对于B,2a－3＝，故B 错误；对于C，(－2)0＝1，故
C 错误；对于D，
，故D 正确．故选D.
2. 已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
【解析】y＝0.4x为减函数，
∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，
又20.2>1，即a>b>c.故选A.
3. 已知函数f(x)＝则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
【解析】作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R 上为增函数．
故选C.
4. 已知函数y＝kx＋a 的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是( )
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【解析】由函数y＝kx＋a 的图象可得k<0，0<a<1.因为函数y＝kx＋a 的图象与x 轴交点的横
坐标大于1，所以k>－1，所以－1<k<0.函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移
－k 个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合
所给的选项，选B．
5. 设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1 且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a
－1)0.2与N＝的大小关系是( )
A．M＝N
B．M≤N
C．M<N
D．M>N
【解析】因为f(x)＝x2－a 与g(x)＝ax(a>1 且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以
a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D．
6.已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
【解析】
作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b)，
结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0<c<1.
所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又因为f(a)>f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D．
7. 基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者
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传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长
率r 与R0，T 近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺
炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天 D．3.5 天
【解析】由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
得r＝＝＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1 倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即
所以
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
所以t2－t1＝≈≈1.8.故选D.
8. 设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，
若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K 的最大值为0
B．K 的最小值为0
C．K 的最大值为1
D．K 的最小值为1
【解析】根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K 在x≤1 上恒
成立，即f(x)的最大值小于或等于K 即可．
令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选
D．
【多选题】
9. 已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A 的是( )
A．y＝＋2
B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log2(2x)＋1
D．y＝2x－1
【解析】函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以
恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2 代入各选项验证，只有D 中的函数没经过该点．故选ABC.
10. 函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
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【解析】当a>1 时，y＝ax－a 为增函数，且过点(1,0)，
当x＝0 时，y＝1－a<0，故选项A 不正确，B 正确．
当0<a<1 时，y＝ax－a 为减函数，且过点(1,0)，
当x＝0 时，y＝1－a∈(0,1)，故选项C 正确，D 不正确．
故选BC.
11. 设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.>0
D．f <
【解析】2x1·2x2＝2x1＋x2，所以A 成立，
2x1＋2x2≠2x1x2，所以B 不成立，
函数f(x)＝2x在R 上是增函数，
若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，则>0，
若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则>0，故C 正确，
f <说明函数是凹函数，可知f(x)＝2x的图象满足条件，故D 正确．
故选ACD.
12. 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73
B.
C．1.70.3>0.93.1
D.
【解析】∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确．
，y＝x为减函数，∴
，故B 正确；
∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C 正确；
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y＝x为减函数，∴
又
在(0，＋∞)上递增，∴
∴
，故D 正确．
故选BCD.
【填空题】
13. 计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________．
【解析】原式＝＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
答案：100
14. 函数y＝ax－b(a>0 且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
【解析】因为函数y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b 单调递减且其
图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0，
1)．
答案：(0，1)
15. 已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________．
【解析】当0≤x≤4 时，f(x)∈[－8，1]，
当a≤x<0 时，f(x)∈，
所以[－8，1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a 的取值范围是[－3，0)．
答案：[－3，0)
16. 已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是
________．
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.
【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，由图象可知a<0 时，b 的符号不确定，1>c>0，故①②
错；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成
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立；又2a＋2c>2，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立．
答案：④
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0 且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．
(1)求a 与b 的值；
(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．
【解析】(1)因为点(0，－2)，(2，0)在函数f(x)＝ax＋b(a>0 且a≠1)的图象上，所以所以
又a＝－不符合题意，所以
(2)由(1)可得f(x)＝()x－3.因为>1，所以y＝()x在其定义域上是增函数，所以f(x)＝()x－3 在区间
[－2，4]上单调递增．所以f(x)在区间[－2，4]上的最小值为f(－2)＝－，最大值为f(4)＝6.
18. 已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a 的值．
【解析】(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上
单调递增，又y＝是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是(0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，
且＝，
所以函数g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，从而a＝2.
19. 已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b 为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0 在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
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(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0 恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]上恒成
立.
又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1 时，y＝＋有最小值.
则m≤，故m 的取值范围是.
20. 已知定义域为R 的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0 且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k 的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m 的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2 符合题意，所以k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0 且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴0<a<1，
而y＝ax在R 上单调递减，y＝a－x在R 上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R 上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2<m<1，
∴实数m 的取值范围是(－2,1)
21. 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a 的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得m＝－1，
经检验当m＝－1 时，f(x)为奇函数，∴m＝－1.
(2)令＝2x＋1－a，
令t＝2x，∴t>0，
∴＝2t－a，
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即a＝t＋，
∴方程a＝t＋有正实数根，
∵t＋≥2，当且仅当t＝1 时取等号．∴a≥2.
即实数a 的取值范围是[2，＋∞)．
22. 已知定义在R 上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x 的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于t∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】(1)当x<0 时，f(x)＝0，无解；
当x≥0 时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2 或2x＝－，
因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
因为22t－1>0 ，
所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1,2]，
所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．
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