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专题11 圆锥曲线
易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹
方程）
求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：
第一类：直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含
的代数式表示，如选用距离和斜率
公式等将其转化为
的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
第二类：定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点
和满足焦点标
志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为
的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线
的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
第三类：相关点法求动点的轨迹方程
如果动点
的运动是由另外某一点
的运动引发的，而该点的运动规律已知，
（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出
，用
表示出相关点
的
坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点
的轨迹方程．
第四类：交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常
1
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可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方
法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限
制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
例．已知
是圆
：
上的动点，点
，直线
与圆
的另
一个交点为，点
在直线
上，
，动点
的轨迹为曲线
.
求曲线
的方程；
变式1．在平面直角坐标系中
中，动点
到定点
的距离比它到
轴的距离
大1，
的轨迹为
. 求曲线
的方程；
变式2．已知y 轴右侧一动圆Q 与圆P：
相外切，与y 轴相切.
求动圆圆心Q 的轨迹M 的方程；
变式3．已知点
，点
，点
是
轴上的动点，点
在
轴上，直线
与直线
垂直，
关于
的对称点为
．
求
的轨迹
的方程；
1．已知圆
，圆
，动圆
与圆
和圆
均相
切，且一个内切、一个外切．
求动圆圆心
的轨迹
的方程．
2
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2．在平面直角坐标系
中，点
到点
的距离等于点
到直线
的距离，
记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
3．设抛物线
的方程为
，其中常数
，F 是抛物线
的焦点．
(1)若直线
被抛物线
所截得的弦长为6，求
的值；
(2)设
是点
关于顶点O 的对称点，
是抛物线
上的动点，求
的最大值；
(3)设
是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，与抛物线
交于点
,
与抛物线
交于点
，若点G 满足
，求点G 的轨迹方程．
4．已知平面上动点
到点
与到圆
的圆心
的距离之和等
于该圆的半径.记
的轨迹为曲线
.
说明
是什么曲线，并求
的方程；
5．已知
为圆
：
上任一点，
，
，
，
且满足
.
求动点
的轨迹
的方程；
6．已知点A 为圆
上任意一点，点
的坐标为
，线
段
的垂直平分线与直线
交于点
．
求点
的轨迹
的方程；
3
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7．已知圆
，一动圆与直线
相切且与圆C 外切．
(1)求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；
(2)若经过定点
的直线l 与曲线
相交于
两点，M 是线段
的中点，过
作
轴的平行线与曲线
相交于点
，试问是否存在直线l，使得
，若存在，求
出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
8．圆
，圆心为
，点
，作圆上任意一点
与
点连线的中
垂线，交
于
.
求
的轨迹
的方程；
9．已知
，
，对于平面内一动点
，
轴于点
M，且
.
求点Р 的轨迹C 的方程；
10．在平面直角坐标系
中，已知点
、
，
的内切圆与直线
相切于点
，记点M 的轨迹为C.
求C 的方程；
易错点二：忽略了给定条件对e 范围的限定（离心率的求
算）
求离心率范围的方法
建立不等式法：
4
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技巧1：建立关于
和
的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的
左、右焦点，
为椭圆上的任意一点，
；
为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线上的任一点，
．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦
点，
为椭圆上的动点，若
，则椭圆离心率的取值范围为
．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
技巧5：涉及PF 1⋅PF 2 的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是
，而双曲
线的离心率范围是
，在求范围的时候要时刻注意.
例．已知双曲线
：
的右焦点为
，关于原点对称的两点A、
B 分别在双曲线的左、右两支上，
，
，且点C 在双曲线上，则双
曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．已知
分别是双曲线
的左、右焦点，P 为双曲线
右支上一点，若
，
，则双曲线的离心率为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．2
变式2．已知双曲线
的上焦点为
，点P 在双曲线的下支上，若
，且
的最小值为7，则双曲线E 的离心率为（ ）
A．2 或
B．3 或
C．2
D．3
变式3．过双曲线
：
的右焦点
作双曲线一条渐近线的垂线，
垂足为
，且与另一条渐近线交于点
，若
，则双曲线
的离心率是
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
1．已知圆
与双曲线
，若在双曲线
上存在一点
，使得过点
所作的圆
的两条切线，切点为
、
，且
，则
双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
2．已知双曲线
的离心率为
，且双曲线
上的点到焦点的
最近距离为2，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，P 为双曲线C
的右支上一点，且
，
，则双曲线C 的离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知直线
过双曲线
的右焦点
，且与双
曲线右支交于
，
两点．若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是其右支上一点．
7
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若
，
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知直线
与双曲线
交于
两点，点
是双曲线上与
不同的一点，直线
的斜率分别为
，则当
取得最小值时，
该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，
是双曲线
的左、右焦点，
的右支上存在
一点
满足
与双曲线
左支的交点
满足
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
8．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，以
为直径的圆与
双曲线在第二象限的部分交于点
，若双曲线上的点
满足
，则双曲线的
离心率为（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
9．已知
为双曲线
：
的右焦点，平行于
轴的直线分别交
的渐近线和右支于点
，
，且
，
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线与双曲线
的右支交于
，
两点，且
，点
关于原点
的对称点为点
，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点三：易忽略判别式自身参数范围（求最值问题）
知识点一、直线和圆锥曲线联立（设点设线联立化解韦达判别）
（1）椭圆
与直线
相交于
两点，设
，
，
椭圆
与过定点
的直线
相交于
两点，设为
9
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，如此消去
，保留
，构造的方程如下：
，
（2）抛物线
与直线
相交于
两点，设
，
联立可得
，
时，
特
殊
地
，
当
直
线
过
焦
点
的
时
候
，
即
，
抛物线
与直线
相交于
两点，设
，
联立可得
，
时，
知识点二、根的判别式和韦达定理
与
联立，两边同时乘上
即可得到
，为了方便叙述，将上式简记为
．该式可以看成一个关于
的一元二次方程，判别式为
可简单记
．
同理
和
联立
，
为了方便叙述，将上式简记为
，
与C 相离
；与C 相切
；与C 相交
．
注意：
1.如果是焦点在y 轴上的椭圆，只需要把
，
互换位置即可．
2.直线和双曲线联立结果类似，焦点在x 轴的双曲线，只要把
换成
即可；焦点在
y 轴的双曲线，把
换成
即可，
换成
即可．
易错提醒：求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式
的前提（判别式也存在隐含自变量的范围）
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例．已知
，
是椭圆
的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则
的取值范围是 ．
变式1．已知椭圆
的左焦点为
是C 上的动点，点
，
若
的最大值为6，则C 的离心率为 ．
变式2．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上一个动点，
为圆
上一个动点，则
的最大值为
变式3．设
，
分别为椭圆
（
）的左，右焦点，
为
内
一点，
为
上任意一点，若
的最小值为，则
的方程为 .
1．已知直线过圆
的圆心，且与圆相交于
，
两点，
为椭圆
上一个动点，则
的最大值与最小值之和为 ．
2．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
则
面积的最大值为 ．
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3．已知椭圆
离心率为
，
为椭圆
的右焦点，
，
是
椭圆
上的两点，且
.若
，则实数
的取值范围是 .
4．已知椭圆
是椭圆上两点，线段
的垂直平分线与
轴交于
，
则
的取值范围是 .
5．已知椭圆
的面积为
，点
在椭圆
上，点A 关于x 轴，y 轴，原点的对称点分别为B，C，D，记四边
形ABDC 的面积为S，则
的取值范围为 ．
6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
是
上异于左、右顶点
的一点，
外接圆的圆心为M，O 为坐标原点，则
的最小值为 .
7．椭圆
的左右焦点分别为
､
，离心率为
为椭圆
的
左顶点，且
，过原点的直线交椭圆
于
两点，则
的取值
范围为 .
8．已知
为函数
图象上第一象限内的一个动点，
为
坐标原点，则四边形
的面积最大值为 .
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9．过椭圆
左焦点F 的直线与椭圆C 交于A，B 两点，若线段AB 的垂直平
分线与x 轴及y 轴各有唯一公共点M，N，则
的取值范围是 .
10．如图，在直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
点
、
为椭圆上位于
轴上方的两点，且
，则
的取值范围为
.
易错点四：意义不明导致定点问题错误（有关直线与圆锥曲
线的定点与定值问题）
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系
，用一个参数表示另外一
个参数
，即可带用其他式子，消去参数
．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为
时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式
，就和参数
没什么关系了，或者说参数
不起作
用．
2、求解直线过定点问题常用方法如下：
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（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目
的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个
直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个
方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：
，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到
和
的关系：
，等式带入消参，消掉
．
③参数无关找定点：找到和
没有关系的点．
易错提醒：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线
的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必
有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
例．椭圆
的离心率
，过点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与椭圆交于
两点，椭圆的左顶点为
，求直
线
与直线
的斜率之积.
变式1．已知圆
：
，点
，
是圆
上任意一点，线段
的
垂直平分线和半径
相交于
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)经过点
和
的圆与直线：
交于
，
，已知点
，且
、
分
别与
交于
、
.试探究直线
是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，
请说明理由.
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变式2．在平面直角坐标系
中，已知定点
，定直线
，动点
在上
的射影为
，且满足
.
(1)记点
的运动轨迹为
，求
的方程；
(2)过点
作斜率不为0 的直线与
交于
两点，与
轴的交点为
，记直线
和直线
的斜率分别为
，求证：
.
变式3．已知点
，
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线与椭圆
交于
两个不同的点（异于
），过
作
轴的垂线分别交直
线
于点
，当
是
中点时，证明．直线过定点.
1．已知椭圆C：
的离心率为
，点
在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若O 为坐标原点，过点
的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，椭圆C 上是否存在
点Q，使得直线
与直线
分别交于点A，B，且点A，B 关于x 轴对称？若存
在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2．已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程.
(2)已知过右焦点
的直线与
交于
两点，在
轴上是否存在一个定点
，使
？若存在，求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由.
3．已知椭圆
，其离心率为
，直线
被椭圆截得的弦长
为
．
(1)求椭圆
的标准方程．
(2)圆
的切线交椭圆
于
，
两点，切点为
，求证：
是定值．
4．已知平面上动点
到点
与到圆
的圆心
的距离之和等
于该圆的半径.记
的轨迹为曲线
.
(1)说明
是什么曲线，并求
的方程；
(2)设
是
上关于
轴对称的不同两点，点
在
上，且
异于
两点，
为
原点，直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，试问
是否为定值?
若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
5．已知
为椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上异于左､右顶点的任意一
点，
的周长为6，面积的最大值为
：
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
的另一交点为
，与
轴的交点为
.若
，
.
试问：
是否为定值？并说明理由.
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6．已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，长轴长为短轴长的2 倍，若椭圆
经过
点
，
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
是椭圆上不同于点
的两个动点，直线
与
轴围成底边在
轴上的等
腰三角形，证明：直线
的斜率为定值．
7．已知椭圆
的离心率为
，且直线
是抛物线
的一条切线．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的动直线
交椭圆
于
两点，试问：在直角坐标平面上是否存在
一个定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
？若存在，求出
的坐标；若不存在，
请说明理由．
8．已知椭圆
的焦距为2，圆
与椭圆
恰有两个公共
点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知结论：若点
为椭圆
上一点，则椭圆在该点处的切线方程为
．若椭圆
的短轴长小于4，过点
作椭圆
的两条切线，切点分别
为
，求证：直线
过定点．
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9．已知椭圆
过点
两点，椭圆的离心率为
，
为坐标原点，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设P 为椭圆
上第一象限内任意一点，直线
与y 轴交于点M，直线
与x 轴交
于点N，求证：四边形
的面积为定值.
10．已知椭圆
与椭圆
的离心率相同，
且椭圆
的焦距是椭圆
的焦距的
倍．
(1)求实数
和
的值；
(2)若梯形
的顶点都在椭圆
上，
，
，直线
与直线
相
交于点
．且点
在椭圆
上，证明直线
恒过定点．
18
