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第19 讲 等差数列中Sn 的最值及含绝对值求和问题
目 录
题型01 等差数列Sn 的最大值问题
题型02 等差数列Sn 的最小值问题
题型03 含绝对值求和问题
强化训练（共10 题）
题型精讲
题型1 等差数列Sn 的最大值问题
题型点拨
1、公差
为递减等差数列，
有最大值；
2、在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
【典例1】（25-26·云南曲靖）等差数列
满足
，若
为前
项和，则
最大时，
的
值为（ ）
A．9 或10
B．8
C．9
D．10 或11
【变式1】（25-26·吉林）已知等差数列
，
为其前n 项和，且满足
，
，则当
（ ）时，
最大.
A．1010
B．1011
C．1012
D．1013
【变式2】（25-26·江西）记等差数列
的前
项和为
，若
，则
最大时
的
值为 ．
题型2 等差数列Sn 的最小值问题
题型点拨
1、公差
为递增等差数列，
有最小值；
2、在等差数列
中
若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
若
，则
有最小值（所有负项或非正项之和）．
【典例1】（25-26·甘肃平凉）设
为等差数列
的前
项和，且
，若
，
则
的最小值为（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
【变式1】（多选）已知数列
是等差数列，公差为
，前
项和为
，且
，则
（ ）
A．当
时，
取最大值
B．使得
的
的最大值为4048
C．使得
的
的最小值为4050
D．
【变式2】（25-26·江西）已知
是公差不为0 的等差数列
的前
项和，数列
是等差数列，
．
若
，记
是数列
的前
项和，则
的最小值为 ．
题型3 含绝对值求和问题
题型点拨
1、对于首项小于0 而公差大于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和
为
的前
项和为
,数列
的第
项小于0 而从第
项开始大于或等于0,于是有
2、对于首项大于0 而公差小于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和
为
的前
项和为
,数列
的第
项大于0 而从第
项开始小于或等于0,于是有
【典例1】（25-26·陕西西安）已知数列
的前
项和
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
.
【变式1】（25-26·重庆）已知等差数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)记
，数列
的前
项和为
，求
.
【变式2】（2025·江苏南京）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
强化训练（共10 题）
1．（25-26·福建龙岩）（多选）已知数列
的前
项和
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
是等差数列
C．
的最小值为
D．
2．（25-26·天津滨海新）（多选）设等差数列
的前
项的和为
，公差为
，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
时，
的最小值为14
3．（25-26·浙江嘉兴）（多选）首项为正数，公差不为0 的等差数列
，其前
项和为
，则下列说法
正确的是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
中
最大；
D．若
，则使
的
的最大值为11
4．（25-26·河北）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则（ ）
A．
是递减数列
B．
C．当
时，
取得最小值
D．当
时，
取得最大值
5．（25-26·江苏常州）（多选）设
是等差数列
的前
项和，若
，
，则（ ）
A．
B．
中最小值为
C．当
取得最大值时，
D．使
成立的最大整数
为15
6．（25-26·山东菏泽）（多选）若数列
为等差数列，
为前n 项和，
，
，
，下
列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．
和
均为
的最大值
D．
7．（多选）已知
为数列
的前n 项和，
，
是公差为1 的等差数列，则（ ）
A．
B．当且仅当
时，
取得最小值
C．
D．数列
中第5 项的值最大
8．（25-26·甘肃兰州）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．数列
是递减数列
B．当
时，
最大
C．使得
成立的最小自然数
D．
中的最小项为
9．（25-26·甘肃兰州）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)记
，求数列
的前
项和.
10．（25-26·天津和平）记等差数列
的前
项和为
，已知
(1)求
的通项公式；
(2)求
的最大值以及取得最大值时的
的值；
(3)求
的前
项和
．
