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第19 讲 等差数列中Sn 的最值及含绝对值求和问题
目 录
题型01 等差数列Sn 的最大值问题
题型02 等差数列Sn 的最小值问题
题型03 含绝对值求和问题
强化训练（共10 题）
题型精讲
题型1 等差数列Sn 的最大值问题
题型点拨
1、公差
为递减等差数列，
有最大值；
2、在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
【典例1】（25-26·云南曲靖）等差数列
满足
，若
为前
项和，则
最大时，
的
值为（ ）
A．9 或10
B．8
C．9
D．10 或11
【答案】A
【分析】根据已知条件求出
，把
表示为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
，
∴
，
关于n 的二次函数
，其对称轴为
，
∵
，∴当
或
时，
最大．
故选：A．
【变式1】（25-26·吉林）已知等差数列
，
为其前n 项和，且满足
，
，则当
（ ）时，
最大.
A．1010
B．1011
C．1012
D．1013
【答案】C
【分析】根据题意，由等差数列前n 项和的性质分析可得
且
，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，等差数列
中，若
，
，
则有
，
所以
，
同时S2025= (a1+a2025)×2025
2
=2025a1013<0，即
，
必有
且
，
故当
时，
最大．
故选：C
【变式2】（25-26·江西）记等差数列
的前
项和为
，若
，则
最大时
的
值为 ．
【答案】5
【分析】设
，则
为等差数列，根据当
时，
，当
时，
即可得解.
【详解】设
，则
为等差数列，
且
，公差为
，即
，
故
就是
的前
项和．
因为当
时，
，当
时，
，
所以
时
最大．
故答案为：5
题型2 等差数列Sn 的最小值问题
题型点拨
1、公差
为递增等差数列，
有最小值；
2、在等差数列
中
若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
若
，则
有最小值（所有负项或非正项之和）．
【典例1】（25-26·甘肃平凉）设
为等差数列
的前
项和，且
，若
，
则
的最小值为（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
【答案】C
【分析】由等差数列的性质及前
项和求解．
【详解】由
，得
，又
，所以
，
等差数列
的公差
，
即
是递减数列，由
，得
，
所以
时，
，
由
，得
，
所以当
时，
的最小值为30.
故选：C.
【变式1】（多选）已知数列
是等差数列，公差为
，前
项和为
，且
，则
（ ）
A．当
时，
取最大值
B．使得
的
的最大值为4048
C．使得
的
的最小值为4050
D．
【答案】ABD
【分析】根据等差数列的性质可得
，
结合等差数列求和公式判断C 和B，利用通项
公式求
的范围，即可判断D.
【详解】由
，
，得
．所以
，A 正确，
由
和
得
，
结合
，
，
故使得
的
的最大值为4048，使得
的
的最小值为4049，所以B 正确，C 错误．
，解得
，D 正确．
故选：ABD．
【变式2】（25-26·江西）已知
是公差不为0 的等差数列
的前
项和，数列
是等差数列，
．
若
，记
是数列
的前
项和，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】设出公差，表达出
，从而得到
，得到
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，从而求出
的最小值.
【详解】设数列
的公差为
，
则
，
，
因为数列
是等差数列，所以
或
，故
或
（舍去），
解得
，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以当
或5 时，
取得最小值，最小值为
．
故答案为：
题型3 含绝对值求和问题
题型点拨
1、对于首项小于0 而公差大于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和
为
的前
项和为
,数列
的第
项小于0 而从第
项开始大于或等于0,于是有
2、对于首项大于0 而公差小于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和
为
的前
项和为
,数列
的第
项大于0 而从第
项开始小于或等于0,于是有
【典例1】（25-26·陕西西安）已知数列
的前
项和
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
与
的关系即可求解；
（2）结合数列项的正负特点对
的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
所以
；
（2）由
可知当
时，
，当
时，
．
当
时，
，
当
时，
，
所以
【变式1】（25-26·重庆）已知等差数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)记
，数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
，
.
(2)
，
.
【分析】（1）设公差为
，利用条件等式计算
，分类讨论
的取值，验证再利用等差数列的通项公式计
算即可；
（2）利用（1）的结论，分类讨论
的范围，结合等差数列求和公式计算即可.
【详解】（1）设
的公差为
，由
，则
或
，
若
，则
，此时
，
，
满足条件等式；
若
，则
，
此时
，
，
不满足条件等式，舍去；
综上
，
.
（2）由上可知
，
所以当
时，
此时
，
当
时，
此时
，
综上
，
.
【变式2】（2025·江苏南京）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用作差法求出
的值，进而得到
的通项.
（2）由（1）的结论求出
，再按
分段，并结合等差数列的前n 项和公式求解.
【详解】（1）在数列
中，
，
当
时，
，
两式相减，得
，则
，当n＝1 时，
，即
，满足上式，
所以
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
令
，得
，则
，记
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则a3
2−a2
2= 41
2−13
2=54×28≠8×3−72
，
所以数列
的前n 项和
.
强化训练（共10 题）
1．（25-26·福建龙岩）（多选）已知数列
的前
项和
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
是等差数列
C．
的最小值为
D．
【答案】ABD
【分析】根据
与
的关系求出数列的通项公式，即可判断A；根据等差数列的定义即可判断B；由数列
的通项得出每一项的符号情况，即可判断C；根据等差数列前
项和公式即可判断D.
【详解】对于A，当
时，
，
而
满足上式，因此
，则
，故A 正确；
对于B，
，当
时，
，
数列
是等差数列，故B 正确；
对于C，由选项A 知，数列
单调递增，
由
，得
，即数列
前5 项均为负数，
第6 项为0，从第7 项起为正数，
最小值为
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：ABD.
2．（25-26·天津滨海新）（多选）设等差数列
的前
项的和为
，公差为
，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
时，
的最小值为14
【答案】AC
【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n 项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可
得到答案.
【详解】由题意，
，而
，
可以判断
是递减
数列，所以
，C 正确，
而
，D 错误；
又
，所以
，B 错误；
而
，A 正确.
故选：AC
3．（25-26·浙江嘉兴）（多选）首项为正数，公差不为0 的等差数列
，其前
项和为
，则下列说法
正确的是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
中
最大；
D．若
，则使
的
的最大值为11
【答案】BCD
【分析】利用等差数列的通项公式，求和公式，结合等差数列的性质，可逐项判断真假.
【详解】若
，则
，不能推出
，即不能推出
，故A 错误；
若
，则
，即
，则
，故B 正确；
若
，
，则
，
，
所以
，
，则
中
最大，故C 正确；
若
，则
，
即
，
因为首项为正数，则公差小于0，则
，
，
则
，
，
则使
的
的最大值为11，故D 正确.
故选：BCD
4．（25-26·河北）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则（ ）
A．
是递减数列
B．
C．当
时，
取得最小值
D．当
时，
取得最大值
【答案】ABD
【分析】运用等差数列下标和的性质、等差数列的前
项和公式以及
的符号，依次判断即可.
【详解】对于A：
，
.又
，
，故等差数列
是递减数列，故A 正确；
对于B：由A 可知
，且数列
是递减数列，故有
，
，
因此有
，故
，即
，故B 正确；
对于C、D：由B 可知，当
时，
；当
时，
，故当
时，
取得最大值，故C 错
误，D 正确.
故选：ABD.
5．（25-26·江苏常州）（多选）设
是等差数列
的前
项和，若
，
，则（ ）
A．
B．
中最小值为
C．当
取得最大值时，
D．使
成立的最大整数
为15
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得
，且
，
，结
合选项，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由
，可得
，
又因为
，可得
，即
，所以
，
所以
，所以A 正确；
对于B，因为
，且
，所以
且
，所以B 正确；
对于C，在等差数列
中，由
且
，
则当
时，可得
；当
时，可得
，
所以当
取得最大值时，
，所以C 正确；
对于D，由
，且
，
所以使得
成立的最大整数
为
，所以D 错误.
故选：ABC.
6．（25-26·山东菏泽）（多选）若数列
为等差数列，
为前n 项和，
，
，
，下
列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．
和
均为
的最大值
D．
【答案】AC
【分析】运用等差数列单调性及下标和性质可解.
【详解】
，则
，
，则
，
因此
，且
，故A 正确，B 错误；
而且
均为
的最大值，故C 正确；
，故
，故D 错误.
故选：AC
7．（多选）已知
为数列
的前n 项和，
，
是公差为1 的等差数列，则（ ）
A．
B．当且仅当
时，
取得最小值
C．
D．数列
中第5 项的值最大
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的通项公式、
与
的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为
是公差为1 的等差数列，
所以
，
因此
，所以本选项正确；
B：由上可知：
，
因为
，所以当
或
时，
取得最小值，因此本选项不正确；
C：由上可知：
，
于是当
时，
，
显然
，符合
，所以本选项正确；
D：由上可知：
，
令
，
显然当
时，因为
，
所以
，而
，
显然数列
中第5 项的值最大，因此本选项正确，
故选：ACD
8．（25-26·甘肃兰州）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．数列
是递减数列
B．当
时，
最大
C．使得
成立的最小自然数
D．
中的最小项为
【答案】AB
【分析】根据等差数列前
项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件
，分析数列的单调
性、前
项和的最值、
时
的最小值以及
的最小项即可.
【详解】对于
：因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
且
0，所以数列
是递减的等差数列，
且
，
则当
时，
最大，故
正确；
对于C:由上述分析可知，当
时，
递减，
且
，
所以使得
成立的最小自然数
，故
错误；
对于
：因为当
时，
，所以
；
当
时，
，
，所以
；
当
时，
，所以
；
且
，
则有
，
所以
，即
，
所以
中的最小项为
，故D 错误.
故选：AB.
9．（25-26·甘肃兰州）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)记
，求数列
的前
项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知等式变形得出
，结合等差数列的定义可证得结论成立；
（2）求出数列
的通项公式，化简
的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列
的前
项
和.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
.
又
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列.
（2）由（1）知
，
可知，当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以数列
的前
项和为
.
10．（25-26·天津和平）记等差数列
的前
项和为
，已知
(1)求
的通项公式；
(2)求
的最大值以及取得最大值时的
的值；
(3)求
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
的最大值为
，取得最大值时的
或；
(3)
.
【分析】（1）结合
与
可计算出公差
，再结合
，即可得解；
（2）利用等差数列的前
项和公式，再结合二次函数的性质即可得解；
（3）分
与
两种情况讨论即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由题可得
，解得
，
故
；
（2）
，
是关于
的二次函数，对称轴为
，
在
或
时取得最大值，
，
的最大值为
；
（3）
，
.
①当
时，
；
②当
时，
.
因此，
.
