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专题11 数列的通项公式、数列求和与综合应用策略
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................7
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................11
题型一：等差、等比数列的基本量问题
11
题型二：证明等差等比数列
12
题型三：等差等比数列的交汇问题
14
题型四：数列的通项公式
16
题型五：数列求和
18
题型六：数列性质的综合问题
21
题型七：实际应用中的数列问题
23
题型八：以数列为载体的情境题
25
题型九：数列的递推问题
26
重难点突破：数列新定义
29
1
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数列作为高考数学中的核心考察点，其命题形态丰富多变，涵盖了从基础到复杂的各个层次。在小题
部分，重点聚焦于等差数列、等比数列的基本概念、性质以及数列的递推关系，并且呈现出与其他数学知
识（尤其是函数、导数）相融合的趋势。至于解答题，其难度通常处于中等或稍难水平，随着文理合卷的
改革推进，数列与不等式相结合的难题（以往常作为压轴题）热度有所减退，难度趋于稳定，保持在中等
偏难的程度。这类题目往往在考察数列基本问题之后，进一步探讨数列求和，而求和之后又常与不等式、
函数、最值等问题相互交织。在考查等差数列、等比数列求和技巧的基础上，更深入地考察“裂项相消
法”、“错位相减法”等高级求和技巧，并且与不等式紧密结合，其中“放缩”思想及方法的应用显得尤
为重要。此外，数列与数学归纳法的结合问题也是一个值得关注的领域，应给予适当的重视。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
等差、等比数列
掌握定义公式应用
2024 年甲卷第4 题，5 分
2024 年I 卷第19 题，17 分
2024 年II 卷第12 题，5 分
2023 年甲卷第5、13 题，10 分
2022 年乙卷第13 题，5 分
2021 年II 卷第17 题，10 分
2023 年II 卷第8 题，5 分
2025 年高考数列考查
将聚焦核心点是递推公式
求通项公式，特别是利用
数列前n 项和
与第n 项
的关系进行推导，此部
分题型多样，常作为选择
填空或最后一题数列新定
义压轴题，挑战考生的思
维深度与解题能力。
数列通项
能熟练求解通项问
题
2023 年乙卷第18 题，12 分
2023 年II 卷第18 题，12 分
2022 年I 卷第17 题，10 分
2022 年上海卷第21 题，18 分
数列求和
理解数列求和方
法，能准确计算数
列和
2024 年甲卷第18 题，12 分
2023 年甲卷第17 题，12 分
2022 年甲卷第18 题，12 分
2021 年I 卷第16 题，5 分
2021 年乙卷第19 题，12 分
2021 年I 卷第17 题，10 分
2
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3
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1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列
满足
（常数）（
，
）不能判断数列
为等差数列，需要补充证明
；
2、数列
满足
，则
是等差数列；
3、数列
满足
，
为非零常数，且
，则
为等比数列；
4、在处理含
，
的式子时，一般情况下利用公式
，消去
，进而求
出
的通项公式；但是有些题目虽然要求
的通项公式，但是并不便于运用
，这时可以考虑先消去
，得到关于
的递推公式，求出
后再求解
．
5、遇到形如
的递推关系式，可利用累加法求
的通项公式，遇到形如
的
递推关系式，可利用累乘法求
的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足
进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求
解该数列的通项公式：
（1）形如
（
，
），可变形为
，则
是以
为首项，以
为公比的等比数列，由此可以求出
；
（2）形如
（
，
），此类问题可两边同时除以
，得
，设
4
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，从而变成
，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如
，可以考虑两边同时除以
，转化为
的形式，设
，
则有
，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差
或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8 、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：
，
，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，
也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“
”与“
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；
5
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（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于1 两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若
，且
，
为等差或等比数列，可采用分组求和法求
的前
项和；
（2）通项公式为
，其中数列
，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列
中，若
（
，
，，，
），则
．
在等比数列
中，若
（
，
，，，
），则
．
12、前
项和与积的性质
（1）设等差数列
的公差为
，前
项和为
．
①
，
，
，…也成等差数列，公差为
．
②
也是等差数列，且
，公差为
．
③若项数为偶数
，则
，
．
若项数为奇数
，则
，
．
（2）设等比数列
的公比为
，前
项和为
①当
时，
，
，
，…也成等比数列，公比为
②相邻
项积
，
，
，…也成等比数列，公比为
．
③若项数为偶数
，则
，
；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列
和
均是等差数列，且等差数列
的公差为
，
，
为常数．
①
的等距子数列
也是等差数列，公差为
．
②数列
，
也是等差数列，而
是等比数列．
6
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（2）设数列
和
均是等比数列，且等比数列
的公比为
，
为常数．
①
的等距子数列
也是等比数列，公比为
．
②数列
，
，
，
，
，
也是等比数列，而
是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为
，解方程组
，再与首项比较大小．
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1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 年北京高考数学真题）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4 个结论：
①若
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是 .
4．（2024 年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，底
面直径依次为
，且斛量器的高为
，则斗量器的高为
，升量器的高
为
．
5．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若
8
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从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称
数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
6．（2024 年北京高考数学真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
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7．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
8．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
9．（2024 年天津高考数学真题）已知
为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）求证：当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
10
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10．（2023 年北京高考数学真题）已知数列
满足
，则（ ）
A．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
11．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记
为等差数列
的前
项和．若
，
则
（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
12．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
13．（2023 年天津高考数学真题）已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)设
是等比数列，且对任意的
，当
时，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
11
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（Ⅱ）求
的通项公式及前
项和．
14．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数
列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
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题型一：等差、等比数列的基本量问题
【典例1-1】已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】记
为数列
的前
项和，若
，
为等比数列，则
（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，
将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【变式1-1】已知各项均为正数的等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．25
B．16
C．9
D．4
【变式1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）等比数列
的前
项和为
，公比为
，若
，
则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
13
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1．已知正项等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：证明等差等比数列
【典例2-1】已知数列
满足
，公差不为0 的等差数列
满足
成等比数列，
(1)证明：数列
是等比数列．
(2)求
和
的通项公式．
【典例2-2】已知数列
的各项均为正数，记
为
的前
项和，从下面①②③中选取两个作为条件，
证明另外一个成立.
①数列
是等差数列；②数列
是等差数列；③
.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
14
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判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于
的任意正整数：
①若
为一常数，则
为等差数列；
②若
为常数，则
为等比数列．
（2）通项公式法：
①若
，则
为等差数列；
（2）若
，则
为等比数列．
（3）中项公式法：
①若
，则
为等差数列；
②若
，则
为等比数列．
（4）前
项和法：若
的前
项和
满足：
①
，则
为等差数列．
②
，则
为等比数列．
【变式2-1】设数列
满足
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式．
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【变式2-2】[新考法]（2024·山西吕梁·二模）已知双曲线
，点
在
上.按如下方式构
造点
：过点
作斜率为1 的直线与
的左支交于点
，点
关于
轴的对称点为
，记点
的坐标为
.
(1)求点
的坐标；
(2)记
，证明：数列
为等比数列；
1．[新考法]在等差数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
满足
，其前
项和为
，证明：数列
为等比数列，且
；
题型三：等差等比数列的交汇问题
【典例3-1】已知数列
满足
，且
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若数列
的前
项和为
，证明：数列
中任意不同的三项都
不能构成等差数列.
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【典例3-2】（2024·湖北十堰·三模）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)在
和
之间插入n 个数，使这
个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为
，求数列
的前n 项和
．
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
【变式3-1】已知等差数列
和等比数列
满足
，
，
，
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设数列
中不在数列
中的项按从小到大的顺序构成数列
，记数列
的前
项和为
，求
.
【变式3-2】已知数列
中，
，
，
对任意
都成立，数列
的前n 项
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和为
．
(1)若
是等差数列，求k 的值；
(2)若
，
，求
；
(3)是否存在实数k，使数列
是公比不为1 的等比数列，且任意相邻三项
，
，
按某顺序排列
后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．
1．已知等比数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在不同
的3 项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由．
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题型四：数列的通项公式
【典例4-1】已知数列
满足：
，且
，则数列
的通项公式是
【典例4-2】在数列
中，已知
，且
，则该数列的通项公式为 .
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如
的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如
的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公
式．
【变式4-1】求通项公式
(1)已知数列
、
、
、
、
求通项公式；
(2)在数列
中，
，且点
在直线
上，求数列
的通项公式；
(3)数列
的首项为，且前
项和
满足
，求数列
的通项公式；
(4)数列
满足
，
，求数列
的通项公式；
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【变式4-2】（1）已知数列
满足
（n 为正整数），且
．求数列
的通项公式．
（2）记
为数列
的前n 项和．已知
，
．求
的通项公式．
（3）已知数列
中，
，
．求数列
的通项公式．
（4）设数列
满足
，对于n 为正整数，都有
．求数列
的通项公式．
1．已知数列
的前
项和为
，且
.
证明：
是等比数列，并求出
的通项公式；
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题型五：数列求和
【典例5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知
是等差数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式及
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列
的前
项和
.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【典例5-2】（2024·高三·天津滨海新·期末）已知数列
是等差数列，设
为数列
的前
项
和，数列
是等比数列，
，若
，
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和；
(3)若
，求数列
的前
项和．
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求数列前
项和
的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前
项和公式求数列的前
项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有
两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：
；
②根式裂项：
；
③对数式裂项
；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【变式5-1】设
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列. 且
，
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
的前
项和，求证：
；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
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【变式5-2】（2024·山东潍坊·三模）在①数列
为等差数列，且
；②
，
；③正项数列
满足
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给
出解答.
问题：已知数列
的前
项和为
，且__________.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和为
，求
.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
1．已知等比数列
是递减数列，
的前n 项和为
，且
，
，
成等差数列，
.数
列
的前n 项和为
，满足
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求
23
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题型六：数列性质的综合问题
【典例6-1】（多选题）（2024·高三·重庆·期末）设等差数列
的前
项和为
，公差为
，已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．满足
的最小
值是14
C．满足
的最大
值是14
D．数列
的最小项为第8 项
【典例6-2】（多选题）（2024·高三·甘肃白银·期末）已知数列
满足：
，则
下列说法不正确的是（ ）
A．数列
为递减数列
B．存在
，使得
C．存在
，使得
D．存在
，使得
解题时，首先要深刻理解等差、等比数列的基本概念和性质，并熟练掌握常用的方法和技能。对于复
杂的数列问题，要学会将大问题分解成小问题，运用函数与方程的数学思想处理数列问题。同时，要善于
运用猜想与归纳等数学思想，将实际问题或非分等比等差问题转化为等比等差问题处理。此外，数列与不
等式、函数、解析几何等知识的交汇也是常考点，需要灵活运用相关知识和方法。总之，解决数列性质的
综合问题，需要综合运用多种数学思想和方法，加强解题反思，提高运用知识解决问题的能力。
【变式6-1】（多选题）（2024·广东·二模）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
24
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则（ ）
A．
B．
C．当
时，
取得最小值
D．记
，则数列
的前
项和为
【变式6-2】（多选题）（2024·四川眉山·一模）已知数列
满足
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．
1．（多选题）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
或10 时，
取得最大值
B．
C．
成立的n 的最大值为20
D．
25
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题型七：实际应用中的数列问题
【典例7-1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达
到10 年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3 倍再减去3.已知第一年（2024 年）该公
司该产品的销售额为100 万元，则按照计划该公司从2024 年到2033 年该产品的销售总额约为（ ）（参
考数据：
）
A．3937 万元
B．3837 万元
C．3737 万元
D．3637 万元
【典例7-2】刚考入大学的小明准备向银行贷款a 元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来
分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12 次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，
贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．
B．
C．
D．
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【变式7-1】某医院购买一台大型医疗机器价格为
万元，实行分期付款，每期付款
万元，每期为一个月，
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共付12 次，如果月利率为
，每月复利一次，则
，
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形
垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有
个小球，第二层有
个小球，第三层有
个小球……依此类推，最底层有
个小球，共有
层，由
“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为
若由小球堆成的某个长
方台形垛积共8 层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
1．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角
三角形演化而成的.已知
为直角顶点，
设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为
，令
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
27
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2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，
次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今
有人持金出五关，第1 关收税金为持金的
，第2 关收税金为剩余金的
，第3 关收税金为剩余金的
，
第4 关收税金为剩余金的
，第5 关收税金为剩余金的
，5 关所收税金之和恰好重1 斤．问原来持金多
少？”．记这个人原来持金为
斤，设
，则
（ ）
A．
B．7
C．13
D．26
题型八：以数列为载体的情境题
【典例8-1】（2024·福建宁德·二模）若数列
相邻两项的和依次构成等差数列，则称
是“邻和等差
数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10 为“邻和等差数列”.已知数列
是“邻和等差数列”，
是
其前
项和，且
，
，
，则
（ ）
A．39700
B．39800
C．39900
D．40000
【典例8-2】若数列
中不超过
的项数恰为
，则称数列
是数列
的生成数列，称
相应的函数
是数列
生成
的控制函数.已知数列
满足
，且
是数列
生
成
的控制函数，数列
的前
项和为
，若
，则
的值为（ ）
A．19
B．21
C．22
D．23
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1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出
结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
【变式8-1】（2024·浙江温州·一模）已知数列
的通项公式
，在其相邻两项
之间插入
个
，得到新的数列
，记
的前
项和为
，则使
成立的
的最小值为（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
【变式8-2】（2024·上海奉贤·一模）已知数列
不是常数列，前
项和为
，
．若对任意正整数
，存在正整数
，使得
，则称
是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列
满足公差
，则
是“可控数列”；
②若等比数列
是“可控数列”，则其公比
．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题
B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①为真命题，②为假命题
1．在数学上，斐波纳契数列
定义为：
，
，
，斐波纳契数列有种看起来很神
奇的巧合，如根据
可得
，所以
，类比这一方法，可得
（ ）
A．714
B．1870
C．4895
D．4896
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题型九：数列的递推问题
【典例9-1】（2024·河北沧州·三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物
在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为
，
在该生物个体的随机交配过程中，基因型为
的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲
代只有
基因型个体时，其子1 代的基因型如下表所示：
雌
雄
×
由上表可知，子1 代中
，子1 代产生的配子中
占
，
占
.以此类推，则子10 代中
个
体所占比例为 .
【典例9-2】
4 人互相传球，由
开始发球，并作为第一次传球，经过5 次传球后，球仍回到
手
中，则不同的传球方式有多少种？若有
个人相互传球
次后又回到发球人
手中的不同传球方式有多少
种？
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利用构造或猜想，解决数列递推问题
【变式9-1】已知曲线
：
，点
在
上，
在
处的切线为，直线
的斜率是直线斜率
的2 倍，经过点
的直线
与
的另一个交点为
，
在
处的切线为
，直线
的斜率是直线
斜率
的2 倍，经过点
的直线
与
的另一个交点为
，照如此方法构造点
，
.
(1)证明：直线的方程为
.
(2)若
，证明数列
为等比数列，并求出
的通项公式.
【变式9-2】将正整数数列、
、、
、、
的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角
形数表：
(1)写出数表的第
行、第行；
(2)写出数表中第
行的第个数；
(3)设数表中每行的第个数依次构成数列
，数表中每行的最后一个数依次构成数列
，试分别写出
数列
、
的递推公式，并求出它们的通项公式．
31
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1．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是
有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．
下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段
的长度为
，在线段
上取两个点
，
，
使得
，以
为一边在线段
的上方做一个正六边形，然后去掉线段
，得到图2 中的
图形；对图2 中的最上方的线段
作相同的操作，得到图3 中的图形；依此类推，我们就得到了以下一
系列图形：
记第
个图形（图1 为第1 个图形）中的所有线段长的和为
，则（1）
；（2）如果对
，
恒成立，那么线段
的长度
的取值范围是 .
2．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：
上的点
作曲线C 的切线与
曲线C 交于
，过点
作曲线C 的切线
与曲线C 交于点
，依此类推，可得到点列：
，
，
，…，
，…，已知
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)记点
到直线
（即直线
）的距离为
，求证：
；
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重难点突破：数列新定义
【典例10-1】设
为常数，若存在大于 1 的整数
，使得无穷数列
满足
，则称数列
为 “
数列”.
(1)设
，若首项为 1 的数列
为“
(3)数列”，求
；
(2)若数列
为“
数列”，且
，求出相应的
的值及
；
(3)设
，若首项为 1 的数列
为 “
数列”，求数列
的前
项和
.
【典例10-2】一般地，对于无穷数列
，我们称幂级数
即
为无穷数列
的母函数，例如：数列
的母函数为
.附公式：
，
其中
.
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(1)已知数列
，
，
，求无穷数列
的母函数
；
(2)已知无穷数列
的母函数为
，记
，请用
表示数列
的母函数
（注：不必考虑
的范围）；
(3)已知数列
，
，记
，求
.
1、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和
加以简单运用的能力，考查了学生探究精神．要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂
和理解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的
能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、
套路总结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题．
2、解答与数列有关的新定义问题的策略：
（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问
题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，
达到灵活解题的目的.
（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的
要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决．
（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢．
【变式10-1】（2024·高三·河北·期末）已知有限数列
满足
，若给定一个正整数k，在数列
中
存在一项或一些连续项的和为i，其中i 的值可以取遍
中的所有元素，则称数列
为k 级可分解
数列．
(1)数列3，1，2 是否为4 级可分解数列？是否为5 级可分解数列？请说明理由；
(2)若有限数列
为8 级可分解数列，则数列
的项数最少为多少？
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(3)若有限数列
为20 级可分解数列，且
，判断数列
的项数是否最少
为6 项，请说明理由．
【变式10-2】给定数列
，若对任意
且
是
中的项，则称
为“
数列”；
若对任意
且
是
中的项，则称
为“
数列”.
(1)设数列
的前
项和为
，若
，试判断数列
是否为“
数列”，并说明理由；
(2)设数列
既是等比数列又是“
数列”，且
，求公比
的所有可能取值；
(3)设等差数列
的前
项和为
，对任意
是数列中的项，求证：数列
是“
数列”.
1．已知项数为m（
，
）的数列
为递增数列，且满足
，若
，且
，则称
为
的“伴随数列”.
(1)数列4，10，16，19 是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；
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(2)若
为
的“伴随数列”，证明：
；
(3)已知数列
存在“伴随数列”
，且
，
，求m 的最大值.
36
