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专题11 等差数列与等比数列
一、知识速览
二、考点速览
1
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知识点1 数列的有关概念
1、数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
其中n∈N*
递减数列
常数列
按其他标
准分类
有界数列
存在正数M，使
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列
的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列
的首项(或前几项)，且任一项
与它的前一项
(或前几
项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 等差数列的概念及公式
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：
(
，
为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a，b 的等差中项．
3、通项公式与前n 项和公式
（1）通项公式：
．
（2）前项和公式：
．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差
时，等差数列的通项公式
是关于
的一次函数，
且一次项系数为公差
.若公差
，则为递增数列，若公差
，则为递减数列．
2
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②前n 项和：当公差
时，
是关于
的二次函数且常数项为0.
知识点3 等差数列的性质
已知数列
是等差数列，
是其前
项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：
．
（2）若
，则
．
（3）若
的公差为d，则
也是等差数列，公差为
．
（4）若
是等差数列，则
也是等差数列．
2、等差数列前
项和的性质
（1）
；
（2）
；
（3）两个等差数列
，
的前n 项和
，
之间的关系为
.
（4）数列
，
，
，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为
，则
，
；
（2）若项数为
，则
，
，
，
.
知识点4 等比数列的概念及公式
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
表示。
数学语言表达式：
(
，
为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项，其中
.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n 项和公式
（1）通项公式：若等比数列
的首项为
，公比是
，则其通项公式为
；
通项公式的推广：
.
（2）等比数列的前
项和公式：当
时，
；当
时，
.
3
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知识点5 等比数列的性质
已知
是等比数列，
是数列
的前
项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
，
，
，…仍是等比数列，公比为
.
（2）若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比数
列．
（3）若
，则有
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若
是等比数列，且
，则
（
且
）是以
为首项，
为公差的
等差数列。
（5）若
是等比数列，
，则
构成公比为
的等比数列。
2、等比数列前
项和的性质
（1）在公比
或
且
为奇数时，
，
，
，……仍成等比数列，其公比为
；
（2）对
，有
；
（3）若等比数列
共有
项，则
，其中
，
分别是数列
的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前
项和
，令
，则
（
为常数，且
）
一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数
列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征
和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用
或
，
处理.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列
，
，
，
，…则该数列的第211 项为（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列
的前四项依次是2，0，2，0，则
的通项公式不可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）根据数列的前4 项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…； （2）
（3）
； （4）
二、数列周期性解题策略
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而
求有关项的值或者前
项的和．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列
满足
，且
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列
中，
，且
，则
.
5
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【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列
满足
，且
，则数列的
前2009 项之和为 .
三、求数列最大项或最小项的方法
（1）将数列视为函数
当x∈N*时所对应的一列函数值，根据
的类型作出相应的函数图象，或利
用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）通过通项公式
研究数列的单调性，
利用
确定最大项，利用
确定最小项．
（3）比较法：
①若有
（或
时，
），
则
，即数列
是递增数列，所以数列
的最小项为
；
②若有
（或
时，
），
则
，即数列
是递减数列，所以数列
的最大项为
．
【典例1】（2023 秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知数列
的前n 项的积为
，且
，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列
的前
项积
，则
的最大值与最小值的和
为（ ）
A．
B．
C．2 D．3
【典例3】（2023 秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列
的通项为
，
，则（ ）
A．数列
的最小项为
B．数列
的最大项为
6
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C．数列
的最小值为－0.8 D．数列
的最大值为2.4
四、等差数列的基本运算的解题策略
1、等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体
现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用
它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（2023 秋·江西吉安·高三校考开学考试）已知
为等差数列，
为其前
项和，
，则
（ ）
A．36 B．45 C．54 D．63
【典例2】（2023 秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）（多选）设等差数列
的前
项和为
，若
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
最大
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列
的前n 项和为
，
，
，
，则实数m 的值是 ．
五、等差数列的判定与证明的方法：
1、定义法：
或
是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足
；
3、等差中项法：
为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如
为常数
为等差数列；
5、前n 项和公式法：
为常数
为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项
，使得
即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
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【典例1】（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列
的首项不为零，满足
，
，
则
.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列
中，
是1 与
的等差中项，求证：数列
是等差数列.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）记
为数列
的前
项和．已知
．证明：
是等差数列；
【典例4】（2023 秋·江苏南京·高三统考开学考试）已知公比大于1 的等比数列
满足：
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）记数列
的前n 项和为
，若
，
，证明：
是等差数列．
六、等差数列性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n 时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【典例1】（2023·河南·统考模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，若
，则
（
）
A．15 B．30 C．45 D．60
【典例2】（2022 秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）设等差数列
中，
，
，
8
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则
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
七、等差数列的前n 项和常用的性质应用
1、等差数列的依次k 项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d 的等差数列．
2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数列为等差数列．
3、若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1 时，S 奇－S 偶＝an，＝.
【典例1】（2023 秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列
中，已知
，
，则
（
）
A．90 B．40 C．50 D．60
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
.
【典例3】（2022 秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）若等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，且
，则
.
【典例4】（2022·浙江·高三专题练习）在项数为2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数
项的和为150，则n 等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
八、等差数列前n 项和最值求法
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n 配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次
函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
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【典例1】（2023 秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）设等差数列
的前
项和为
，若
，则当
取得最大值时，
.
【典例2】（2023·四川南充·模拟预测）等差数列
的前
项和为
，则
的
最大值为（ ）
A．60 B．50 C．
D．30
【典例3】（2023 秋·江苏·高三校联考阶段练习）（多选）设等差数列
的前n 项和为
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
最大 C．
D．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列
的前n 项和为
，且
．
（1）求
及数列
的通项公式；
（2）求
的最小值及对应的n 的值．
九、已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n 项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【典例1】（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列
前三项的和为
，前三项的积为8.
（1）求等差数列
的通项公式；
（2）若
，
，
成等比数列，求数列
的前10 项和
.
【典例2】（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
（1）求
的通项公式；
10
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（2）求数列
的前
项和
．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列
的前n 项和为
，其中
，
．
（1）求数列
的通项；
（2）求数列
的前n 项和为
．
十、求解等比数列的基本量常用的思想方法
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：
，已知其中三个量，
可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q 的方
程或者方程组，是解题的关键．
2、分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当
时，
；当
时，
；在判断等比数列单调性时，也必须对
与
分类讨论．
【典例1】（2023 秋·湖南岳阳·高三校考开学考试）设等比数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【典例2】（2023 秋·江西·高三校联考阶段练习）设
为等比数列
的前
项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【典例3】（2023 秋·山东济南·高三统考开学考试）记
为等比数列
的前
项和，若
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．85 D．120
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十一、等比数列的性质及应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n 项和公式的变
形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2 个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若
，则有
”，可以减少运算量，提高解题
速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意
设而不求思想的运用．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在等比数列
中，
，
，则
（
）
A．3 B．6 C．9 D．18
【典例2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列
的前
项和为
.若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2022 秋·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）在正项等比数列
中，若
，则
．
【典例4】（2023 秋·云南·高三校考阶段练习）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，若
，
，则
（ ）
A．90 B．135 C．150 D．180
【典例5】（2022 秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知等比数列
的公比
，且
，则
.
12
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十二、等比数列的判定与证明常用的方法：
1、定义法：
为常数且
数列
是等比数列．
2、等比中项法：
数列
是等比数列．
3、通项公式法：
数列
是等比数列．
4、前
项和公式法：若数列的前
项和
，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足
的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要
.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的首项为1，向量
，
，且
.证明：
为等比数列.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的前n 项和为
，数列
满足
（
），再从下面的条件①与②中任选一个作为已知条件，证明：
是等比数列. ①
，
（
）；②
，
（
）.
易错点1 混淆数列与函数的区别
点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解
数列问题，要注意
的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
【典例1】（2023 秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在数列
中，若
，前
项和
，则
的最大值为 .
13
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【典例2】（2023 秋·江苏淮安·高三统考开学考试）已知等差数列
的前n 项和为
，
．
数列
的前n 项和为
，
，
．
（1）求数列
和
的通项公式；
（2）设
，求数列
的最大项．
易错点2 忽视两个“中项”的区别
点拨：若
成等比数列，则
为
和
的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “
”仅是“
为
和
的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）若
，
，成等比数列，
是
，
的等比中项，
是
，的等
比中项，则（ ）
A．
B．
C．
，
，同号 D．
与
同号
【典例2】（2022 秋·河南三门峡·高三统考期中）设等差数列
的公差
不为0，
，若
是
与
的等比中项，则k 等于 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知
是公差为3 的等差数列，其前
项的和为
，设甲：
的首项为零；乙：
是
和
的等比中项，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
易错点3 等比数列求和时忽视对
讨论
点拨： 注意等比数列的求和公式是分段表示的：
，所以在利用等比数列求和公式求
14
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和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1 和q≠1 讨论.
【典例1】（2023 秋·江苏·高三校联考阶段练习）记
为等比数列
的前
项和，若
，
则
（ ）
A．6 B．
C．
D．18
【典例2】（2023 秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120 B．85 C．
D．
【典例3】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设数列
的前
项和为
.记命题
：“数列
为等比数
列”，命题
：“
，
，
成等比数列”，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15
