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第二章 函数
第2.6练 指数与指数函数
一、单选题
1．若函数 是指数函数，则 等于（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 是指数函数，
所以 .
故选：C
2．函数 在 上的最大值是（ ）
A． B．0
C．1 D．3
【答案】D
【详解】函数 在 上单调递减，
所以当 时， .
故选：D
3．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，所以 ，而 ，
所以
故选：D
4．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】令 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为 开口向下，对称轴为 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 在定义域内单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 在定义域内单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即函数 的单调递增区间为 .
故选：B.
5．已知曲线 且 过定点 ，若 且 ，则 的最小值为
（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【详解】曲线 且 中，由 ，得 ，因此该曲线过定点 ，
即 ，于是 ，又 ，
因此 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为16.
故选：C
6．函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】由 ，得 ，因此函数 的零点即为函数 与 的图象交
点横坐标，在同一坐标系内作出函数 与 的图象，如图，
观察图象知，函数 与 的图象有唯一公共点，
所以函数 的零点个数为1.
故选：B
7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么 后物体的温度
可由公式 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物
体放在 的空气中冷却， 物体的温度为 ， 再过 后物体的温度为 ，则该物体的初始温
度约为（ ）（结果精确到个位）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，
，
所以 ， ，
故选：B
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最
大整数，则 称为高斯函数．例如： ，已知函数 ，则函数 的值域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ,
又 ，所以 ,由高斯函数的定义可得：函数 的值域为 ,
故选：C.
二、多选题
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的值域为 B． 是 上的增函数
C． 是 上的奇函数 D． 有最大值
【答案】ABC
【详解】解：由题意得：
函数 的定义域为
对于选项A：函数 是一条连续的曲线，当 趋向于负无穷时， 趋近于正无穷， 趋近于零，
所以 趋近于负无穷，当 趋向于正无穷时， 趋近于零， 趋近于正无穷，
所以 趋近于正无穷，所以 的值域为 ，故A正确；
对于选项B：因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，所以 是 上的增函数，故B正
确；
对于选项C： 的定义域关于原点对称，又 ，所以 是 上的奇函数，故C
正确；
对于选项D： 是 上的增函数，无最值，所以D错误.
故选：ABC
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈
利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】对于A中，当 ， 时，满足 ，此时 ，故A不成立；
对于B中，当 ， 时，满足 ，此时 ，故B不成立；
对于C中，因为实数 ，所以 ，故C成立；
对于D，因为实数 ， ，所以 ，故D成立．故选：CD．
11．若 ，则下列选项中不正确的是（ ）
A． 在 上单调递减
B． 与 的图象关于y轴对称
C． 的图象过点
D． 的值域为
【答案】ACD
【详解】因为 在R上单调递增，则A错误；
与 的图象关于y轴对称，则B正确；
由 ，得 的图象过点 ，则C错误；
由 ，可得 ，则D错误，
故选：
12．已知函数 和 分别为奇函数和偶函数，且 ，则（ ）
A．
B． 在定义域 上单调递增
C． 的导函数
D．
【答案】BD
【详解】由 得 ，由于函数 和 分别为奇函数和偶函数，所以
，因此 ，
对于A, ,故A错误，
对于B，由于函数 在 单调递增， 在 单调递减，所以 在
单调递增，故B正确，
对于C， 当且仅当 时取等号，
而 ，所以C错误，
对于D， ，当且仅当 时取等号，所以D正确，
故选：BD三、填空题
13．已知m，n是正实数，函数 的图像经过点 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【详解】当 时， ，且 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为： .
14．设 ，若方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数 的图象，如图所示，
因为 由三个不同的实数根，
即函数 与 的图象有三个不同的交点，
结合图象，可得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
15．化简与求值：
(1) ；
(2) ．【详解】（1）
（2）
16．已知函数 ，且 .
(1)求 的解析式；
(2)当 时，求 的值域．
【详解】（1）由函数 ， ，得 ，
所以 .
（2）设 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ，
由 的对称轴为 ，如图所示：
由图可知：
当 ，即 时， 有大值 ，
当 ，即 时， 有最小值 ，
故 的值域是 .
17．某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，
教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量
y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为 (a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气
中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.
(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至
少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?
【详解】（1）由图象可知：当 时，图象为正比例函数图象，设为 ，
可得 ，解得
所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .
（2）当 ，令 ，则 ，
整理得 ，则 ，解得 ，
所以至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室.
18．已知函数 （ ，且 ）是奇函数，且 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若对于 ，不等式 成立，求 的取值范围．
【详解】（1）因为函数是奇函数，所以 ，
即 ，得 ，
所以 ， ，得 或 （舍），
综上， ， ；
（2）由（1）知， ，
则 恒成立，， ，
所以 ，对 恒成立，
即 恒成立，
设 ，函数由外层函数 和内层函数 复合而成，
当 ， ， 单调递增，当 ， 单调递增，
所以根据复合函数的单调性可知，函数 单调递增，最小值为 ，
即 ，则 .
