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专题12 直线与圆中的最值和范围问题
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题型01 与对称有关的三点共线最值问题...............................................................................................................1
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题....................................................................................................... 2
题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题....................................................................................................... 4
题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题...................................................................................................5
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题...........................................................................................6
题型01 与对称有关的三点共线最值问题
【解题规律·提分快招】
1、点A 、B在直线l同侧，点P在直线l上，则( AP+ BP)min= AB'(当点A 、P、B'共线时取到)，点B'是
点B关于直线l的对称点.
2、点A 、B在直线l同侧，点P在直线l上，则| AP−BP|max = AB(当点A 、P、B共线时取到).
3、点A 、B在直线l异侧，点P在直线l上，则| AP−BP|max= AB'(当点A 、P、B共线时取到)，点B'
是点B关于直线l的对称点.
1
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【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：
，点
，
，P 为l 上任意
一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·广东·阶段练习）若一束光线从点
处出发，经过直线
上一点
反射后，
反射光线与圆
交于点
，则光线从点A 到点
经过的最短路线长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．（24-25 高三上·重庆·期中）已知直线
与圆
，点
在直线上，
过点
作圆
的切线，切点分别为
，当
取最小值时，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·湖南益阳·三模）已知
是抛物线
上一点，圆
关于直线
对
称的圆为
，
是圆
上的一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、若点M在圆内，则M N min= M N 1=r −OM，M N max = M N 2=r +OM；
2、若点M在圆外，则M N min= M N 1=OM −r，M N max = M N 2=r +OM；
3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值
2
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若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r
为圆半径，则PEmin= P1 F =d −r，PEmax= P2 F =d +r.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）已知
是圆
上的动点，点
满足
，点
，则
的最大值为（ ）
A．8
B．9
C．
D．
2．（2024·广东茂名·二模）已知平面
内的动点
，直线：
，当
变化时点
始终不
在直线上，点
为
：
上的动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为
亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q，P 的距离之比
（
，
），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M 与定点
和定点
的
距离之比为2，其方程为
，若点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三下·广西桂林·开学考试）已知直线：
与直线
：
交于点
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．8
C．32
D．64
5．（24-25 高三上·广东·期中）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个
不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆
与圆
，
是这两个圆根轴上一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、形如y= y−b
x−a ，可以转化为过点(x , y)和点(a,b)的动直线斜率；
2、形如z=( x−a)2+( y−b)2，可以转化为点(x , y)和点(a,b)的距离的平方；
3、形如z=ax +by ，可以转化为动直线纵截距
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·福建福州·期中）已知实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知
且
．则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·四川南充·期中）已知点
是圆
上的动点，则下面说法正
确的是（ ）
A．圆的半径为2
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为5
4．（24-25 高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆
是圆上的两个动点，
且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·吉林·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（23-24 高三上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数
形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知
，则
的最小值为 ．
4
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题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直
的弦弦长为
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·天津和平·期末）若直线：
与圆
：
相交于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·河北廊坊·期末）已知点
、
在圆
上，点
在直线
上，
点
为
中点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知直线
与圆
交于
两
点，则线段
的长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆
与圆
，过
动点
分别作圆
､圆
的切线
（
分别为切点），若
，则
到圆
距离的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·福建三明·阶段练习）已知
，直线
，
为
上的动点.过点
作
的切线
，切点为
，当四边形
面积最小时，直线
的方程为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·安徽芜湖·期中）已知
是圆
上的两个不同的点，
若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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7．（24-25 高三上·重庆·期中）圆
，
是直线
上的动点，过点
作圆
的
切线，切点为
，
，那么
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为椭圆
上一动点，过点
作圆
的两条切
线，切点分别为
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题
【解题规律·提分快招】
圆的标准方程(x−a)
2+( y −b)
2=r
2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：{
x =rcosθ+a
y =rsinθ+b (θ 是参数).
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点
在圆
上，则
的最大
值是( )
A．
B．10
C．
D．
2．（24-25 高三上·云南昆明·期中）已知
，
，
三点，点
在圆
上运动，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆
上(正方形ABCD 内部，含边界)，则
的取值范围为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（24-25 高三上·安徽·期中）已知直线恒过点
，圆
，则圆
上的点到直线的
距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）
，函数
的最小
值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知圆C：
，直线l：
，则直线l
被圆C 截得的弦长的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
4．（23-24 高三上·海南海口·期中）已知实数
，
满足
，则
的最小值是
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．9
5．（24-25 高三上·浙江绍兴·期中）已知点
是直线
上的动点，过点
引圆
的两条切线
为切点，当
的最大值为
，则的值为（ ）
A．4
B．
C．1
D．
6．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）若线段
与圆
有两个
交点
，则弦
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，
很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与
相关的代数问题，可以转化为点
与点
之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数
的最小值
是（ ）
A．
B．4
C．
D．
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知
为直线
上一点，过点
作圆
的切
线
（
点为切点），
为圆
上一动点． 则
的最小值是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）已知点
，且点
在直线
上，则下列
命题中错误的是（ ）
A．存在点
，使得
B．存在点
，使得
C．
的最小值为
D．
的最大值为3
10．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知圆
，点
为直线
上的动
点，以
为直径的圆与圆
相交于
两点，则四边形
面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
11．（24-25 高三下·江西九江·阶段练习）已知
，点P 为直线
上的一动点，点Q 为
上的一动点，则|
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（23-24 高三下·河南开封·阶段练习）已知点
，点
为圆
上一动点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·湖南岳阳·二模）已知点
是圆
上的两点，若
，则
的最大值为（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
14．（23-24 高三上·山西运城·阶段练习）设平面点集
包含于
，若按照某对应法则
，使得
中每一点
都有唯一的实数
与之对应，则称
为在
上的二元函数，且称
为
的定义域，
对应的值
为
在点
的函数值，记作
，若二元函数
，其中
，
，则二元
函数
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
二、填空题
8
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15．（24-25 高三上·河南洛阳·期末）已知O 为坐标原点，点M 满足
，则点M 到直线
距离的最大值为 .
16．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知O 为坐标原点，直线
与直线
相
交于点P，则
的最大值为 ．
17．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知动圆C 的半径为
，其圆心到点
的距离为2，点P 为圆
C 上的一点，则点P 到直线
距离的最大值为 ．
18．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知P，Q，R 是半径为2 的圆C 上的点，若
，则
的
取值范围是 ．
19．（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如
下：在直角坐标平面上任意两点
的“曼哈顿距离”为
，已知
动点
在圆
上，定点
，则
两点的“曼哈顿距离”的最大值为 .
20．（24-25 高三上·广东江门·阶段练习）已知圆
，圆
，点
分别是圆
，圆
上的动点，
为
轴上的动点，，则
的最大值为 .
21．（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知圆
是圆
上的动点，则
的最大值为 ；
的最小值为 ．
22．（24-25 高三上·江苏常州·期末）动点
是两直线
与
的交点，过
作圆
的两条切线
，切点分别为A，B，则
的最大值为 .
9
