文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题15 导数的运算及几何意义
考点一
平均变化率和瞬时变化率
考点二
导数的定义
考点三
导数的运算
考点四
利用导数求直线的倾斜角（范围）
考点五
“在”点的切线问题
考点六
“过”点的切线问题
考点七
已知切线（斜率）求参数
考点八
公切线问题
一、导数的概念及几何意义
1.平均变化率
函数
从
到
的平均变化率为
，若
，
，则平均
变化率可表示为
.
2.瞬时变化率
定义式
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
3.导数的概念
一般地，函数
在
处的瞬时变化率是
，我们称它为函数
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
处的导数，记作
或
，即
.
【注】函数
在
处的导数是
在
处的瞬时变化率.
4．导数的几何意义
函数
在
处的导数
就是曲线
在点
处的切线的斜率
，即
.
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
基本初等函数
导函数
（c 为常数）
2.导数的运算法则
若
存在，则有：
加减运算
乘法运算
除法运算
，则
．
3.复合函数的导数
复合函数
的导数和函数
，
的导数间关系为
：
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点一
平均变化率和瞬时变化率
例1．（2023 春·江西·高二校联考期中）函数
在区间
上的平均变化率为______.
【答案】
【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可.
【详解】解：函数
在区间
上的平均变化率为
.
故答案为：
例2．（2023 春·甘肃白银·高三校考期中）汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数如图所示，在时间段[t0，
t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为
，三者的大小关系为__．（由大到小排列）
【答案】
【分析】连接
根据题意，由变化率的定义分析可得
即直线OA、AB、BC 的斜率，据此
分析可得答案．
【详解】连接
根据题意，汽车在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为
，
即直线OA、AB、BC 的斜率，
由题得
，
则有
.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：
．
例3．（2023·全国·高三专题练习）我国自主研发的世界首套设计时速达600 公里的高速磁浮交通系统，标
志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁
浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600 公里阶段为匀加速状态，若此过
程中，位移x 与时间t 关系满足函数
（
为初速度，k 为加速度且
）．位移的导函数
是速度与时间的关系
．已知从静止状态匀加速至位移
公里需
，则时速从零加速到时
速600 公里需（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题中所给函数解析式
先求得k 的值，再利用
即可求得答案.
【详解】由题意得匀加速过程中，位移x 与时间t 关系满足函数
，
则由从静止状态匀加速至位移
公里需
可得
，
则由
可得
（s），
故选：C
例4．（2023 春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）一质点做直线运动，其位移与时间的关系为
，设其在
内的平均速度为
，在
时的瞬时速度为
，则
（ ）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的定义，可分别计算求得
，
即可得出结果.
【详解】根据平均速度定义可知，
在
内的平均速度为
；
在
时的瞬时速度为
；
所以
.
故选：B
例5．（2023 春·河北石家庄·高三校联考期中）如图，在墙角有一根长1 米的直木棒AB 紧贴墙面，墙面与
底面垂直.在
时，木棒的端点A 以
的速度竖直向下匀速运动，端点B 向右沿直线运动，则端点
B 在
这一时刻的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得秒后
移动
，对其求导并将
代入求瞬时速度.
【详解】由题意，秒后
移动
米，则
移动
米，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，则
时，
瞬时速度为
.
故选：A
考点二
导数的定义
例6．（2023 春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知函数
在
处可导，若
，则
＝（ ）
A．1
B．
C．2
D．8
【答案】B
【分析】利用导数的定义求解．
【详解】
.
故选：B
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若
，则
______.
【答案】－1
【分析】根据题意，由导数的定义可得
，计算即可得出结果.
【详解】根据题意，由导数的定义可得
，
.
故答案为：－1.
例8．（2023·全国·高三专题练习）用定义求函数
的导数．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
.
【分析】先求出平均变化率
，根据导数的定义求极限即可得到结果.
【详解】函数
的定义域为
.
设
，因为
，
根据导数的定义知，
.
例9．（2023 春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）已知函数
，则
__________.
【答案】
【分析】根据导数定义，结合求导公式直接求解即可.
【详解】由导数定义可知，
因为
，所以
，即
.
故答案为：
例10．（2023 春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
是可导函数，且
，则
__________.
【答案】
/
【详解】因为函数
是可导函数，且
，
根据导数的定义，有
.
故答案为：
.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点三
导数的运算
例11．（2023 春·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）求下列函数的导函数．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据导数的四则运算规则和复合函数运算规则求解.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
.
例12．求下列函数的导数．
(1)
；
(2)
；
(3)
(4)
；
【答案】(1)
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
(3)
(4)
【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.
【详解】（1）因为
，所以
.
（2）因为
，所以
.
（3）因为
，所以
（4）因为
，所以
例13．（2023 春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考期中）若函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的运算法则及简单的复合函数的导数计算规则计算可得.
【详解】因为
，所以
.
故选：A
例14．（2023 春·陕西宝鸡·高三统考期中）下列求导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数公式与运算法则判断即可.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】对于选项A：
，故A 不正确；
对于选项B：
，故B 不正确；
对于选项C：
，故C 不正确；
对于选项D：
，故D 正确.
故选：D
例15．（2023 春·浙江·高三期中）已知函数
，
为
的导函数，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．0
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.
【详解】因为
，所以
，所以
.
故选：B
考点四
利用导数求直线的倾斜角（范围）
例16．（2023 春·河北邯郸·高三校考阶段练习）设
存在导数，且满足
，则
曲线
在
处的切线倾斜角为（ ）
A．30°
B．135°
C．45°
D．120°
【答案】B
【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线
在
处的斜率，再结合斜率的定义即可求解．
【详解】设曲线
在
处的切线倾斜角为
，
由
，可得
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则曲线
在
处的斜率为
，
则
，
，解得
，
故选：B．
例17．（2023 春·北京·高三北京十四中校考期中）曲线
在点
处的切线斜率
________．
【答案】3
【分析】求导，根据导数的几何意义求解.
【详解】
，当
时，
，即在点
处切线的斜率为3；
故答案为：3.
例18．（2023 春·安徽合肥·高三校联考阶段练习））（多选）下列函数在
处的切线倾斜角是锐角的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】求出函数的导数，继而求得
处的切线的斜率，根据其正负，即可判断答案.
【详解】由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是钝角，A 错误；
由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是锐角，B 正确；
由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是锐角，C 正确；
由
可得
，则
，
故
在
处的切线倾斜角是钝角，D 正确；
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：BC
例19．（2023 春·河南郑州·高三郑州十九中校联考期中）设点
是函数
图象
上的任意一点，点
处切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导，令
即可求得
，再求出导函数的值域，即点
处切线的斜率
的取值范围，即
可得出答案.
【详解】
,
则
，所以
，
所以
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以
.
故选：D.
例20．（2023 春·湖北·高三校联考期中）点
在曲线
上移动，设点
处切线的倾斜角为
，
则角
的范围是（ ）
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导得
，即
，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求解即可.
【详解】解：由
，可得
，
所以
，即
，
当
时，
，当
时，
，
所以角
的范围是
.
故选：B.
考点五
“在”点的切线问题
例21．（2023·江西赣州·统考二模）曲线
在点
处的切线与坐标轴所围成的三角形的面
积为______．
【答案】
/0.25
【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积.
【详解】
，故
，
故
在点
处的切线方程为
，
令
得
，令
得
，
所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为
.
故答案为：
例22．（2023 春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）曲线
在原点
处的切线方程是
________.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】求导，利用切点处的导数值得切线斜率，进而可由点斜式得切线方程.
【详解】
,故
，
又
，所以原点处的切线方程为：
，
故答案为：
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线
在
处的切线为m，则过点
且与切
线m 垂直的直线方程为__________．
【答案】
．
【分析】求得
，得到切线的斜率，进而求得所求直线的斜率，结合点斜式方程，即可求
解.
【详解】由函数
，可得
，
则
，即切线m 的斜率为
，
所以所求直线的斜率为1，其方程为
，即
．
故答案为：
.
例24．（2023 春·云南曲靖·高三曲靖市民族中学校考期中）曲线
在点
处的切线与抛物线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】运用导数几何意义及直线的点斜式方程求得
在点
处的切线的方程，方法1：再结
合l 与抛物线
相切时
求得a 的值.方法2：由l 与抛物线
相切，设出切点并运用导
数几何意义可求得a 的值.
【详解】因为
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
所以
所以
在点
处的切线的方程为
，
方法1：联立方程
，消去
后整理为
，
因为l 与抛物线
相切，
所以
，解得
.
方法2：因为
，
设l 与抛物线
相切时切点为
，
则
，解得
.
故选：C.
例25．（江西省南昌市2023 届高三三模数学（文）试题）若直线
是函数
的一条切线，
则
________．
【答案】
/
【分析】由导数的几何意义求出
在
出的切线方程
，由题意可得
，即可得出答案.
【详解】函数
的定义域为
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，设切点为
，所以在
点处的切线斜率为
，
由导数的几何意义可得：
，
则
，又因为直线
是函数
的一条切线，
所以
，
.
故答案为：
.
考点六
“过”点的切线问题
例26．（2023 春·江苏苏州·高三统考期中）已知函数
，若过点
的直线与曲线
相切，则该直线斜率为______．
【答案】3
【分析】设出切点坐标
，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为
，再根据切线过点
，可求出
，进而求出结果．
【详解】∵点
不在曲线
上，设切点坐标为
．
又∵
，所以
∴
在
处的切线方程为
，
∵切线过点
，
∴
，解得
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴切线斜率为
.
故答案为：3．
例27．（2023 春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数
，而且
.
(1)求
；
(2)若l 是曲线
的切线，且经过点
，求l 的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由
求
，令
可求
；
（2）设切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点
求出未知系数，可得切线方程.
【详解】（1）
，则
，
所以
，得
.
（2）由(1)可得，
，
设切点为
，所以切线的斜率为
，又因为
，
所以直线l 的方程为：
将
代入上式并整理，可得
，由此可解得
或
，
因此，切点为
或
，切线方程为
或
，
即l 的方程为
或
.
例28．（2023·全国·校联考模拟预测）（多选）已知函数
，过点
的直线与曲线
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
相切，则与直线垂直的直线为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为
，即可表示出切线方程，再将
代入方程，
即可得到关于
的方程，解得
，从而求出切线的斜率，再一一判断即可.
【详解】
，则
，
设切点坐标为
，则
，所以切线方程为
，
又切线过点
，所以
，
即
，故
，解得
或
，
所以直线的斜率为
或
，
对于A：直线
的斜率为
，符合题意，故A 正确；
对于B：直线
的斜率为
，不符合题意，故B 错误；
对于C：直线
的斜率为
，不符合题意，故C 错误；
对于D：直线
的斜率为
，符合题意，故D 正确；
故选：AD
例29．（2023 春·陕西汉中·高三校联考期中）过点
作曲线
切线有且只有两条，则b 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【分析】设切点
，进而求得切线方程，进而得到
，构造函数
分析
的单调性与取值范围即可判断
有且仅有两根时b 的取值范围．
【详解】设切点为
，
由
，则
，
所以过
的切线方程为
，即
，
故
有且仅有两根，
设
，则
，
当
时，
，此时
单调递增；
当
，
，此时
单调递减，
又当
时，
，
，
，
所以
的图象如下：
故
有且仅有两根，则b 的取值范围为
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于
写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利
用导数与数形结合思想求解．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例30．（2023·全国·高三专题练习）若过点
可作曲线
的两条切线，则点
可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点坐标为
，利用导数写出切线方程，将点
的坐标代入切线方程，可得出关于
的二次方程有两个不等的实根，可得出
，可得出
，然后逐项检验可得出合适的选项.
【详解】设切点坐标为
，对函数
求导可得
，
所以，切线斜率为
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，即
，
因为过点
可作曲线
的两条切线，则关于的方程
有两个不等的实数解，
所以，
，即
，即
，
对于点
，
，A 不满足；
对于点
，
，B 不满足；
对于点
，
，C 满足；
对于点
，
，D 不满足.
故选：C.
考点七
已知切线（斜率）求参数
例31．（2023 春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期中）若
与
两个函
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
数的图象有一条与直线
平行的公共切线，则
_______．
【答案】0
【分析】设公切线与
相切于
，与
相切于
，根据公切线斜率为1 以及点在函数
图像上列出方程求解.
【详解】
，
，
如图所示，设公切线与
相切于
，与
相切于
，则有以下关系：
求得
，
故公切线方程为
，所以
即
，
.
故答案为：0.
例32．（2023 春·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）（多选）若曲线
的一条切线垂
直于直线
，则切点的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据曲线的一条切线垂直于直线，求出切点处切线的斜率，推出对应的切点的横坐标，即可确定
切点的坐标.
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】由题意，
在直线
中，
设切点为
，
在
中，
，一条切线垂直于直线
∴
，解得
，
当
时，
，此时点
的坐标为
；
当
时，
，此时点
的坐标为
.
故选：BC.
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知直线
与曲线
相切，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】A
【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设切点为
，易知
，则
，解之得
，
故选：A
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的图象的一条切线为
，则a＝______
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义，由题目中的切线方程，设出切点，求导，建立方程，可得答案.
【详解】求导函数得
，设直线
与曲线
切于点
，
则
，
，解得
.
故答案为：.
例35．（2023 春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）若曲线
的一条切线的斜率为4，则切点的横
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义计算即可.
【详解】切点的横坐标为
，则由题意可得：
.
故选：B
考点八
公切线问题
例36．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线
与曲线
相切，直线
与曲线
相切，则
的值为___________.
【答案】1
【分析】构造函数
，设切点为
，设
，设切点为
，结合条件得到
是函
数
和
的图象与曲线
交点的横坐标，利用对称性得出
关于直线
对
称，从而得出
，
，然后计算出
．
【详解】设
，则
，设切点为
，则
，
则切线方程为
，即
，
直线
过定点
，
所以
，所以
，
设
，则
，设切点为
，则
，
则切线方程为
，即
，
直线
过定点
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，所以
，
则
是函数
和
的图象与曲线
交点的横坐标，
易知
与
的图象关于直线
对称，而曲线
也关于直线
对称，
因此点
关于直线
对称，
从而
，
，
所以
．
故答案为：1.
例37．（2023 春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
（ ）．
A．26
B．23
C．15
D．11
【答案】D
【分析】先由
，利用切线斜率为-1 求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线
与
的切点为
，利用切线斜率为-1 和切点在切线上求解.
【详解】解：因为
，
所以
，由
，解得
或
（舍去），
所以切点为
，
因为切点在切线
上，解得
，
所以切线方程为
，
设切点为
，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由题意得
，解得
，
所以
，
故选：D
例38．（2023 春·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学统考期中）已知曲线
和曲线
在
公共点处的切线相同，则该切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切点及切线斜率作答.
【详解】依题意，设切点坐标为
，
由
求导得：
，由
求导得
，
于是
，整理得
，而
，解得
，
因此切点坐标为
，切线斜率为
，切线方程为
，即
，
此时
，令
，
，
递减，
递增，
，
即
恒成立，当且仅当
时取等号，因此两曲线有唯一公共点
，符合题意，
所以切线方程为
.
故选：A
例39．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线
和曲线
恰好
存在两条公切线，则实数a 的取值范围为__________．
【答案】
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】设与曲线
相切的切点为
，与曲线
相切的切点为
，根
据导数的几何意义写出切线方程，可得到
，由此构造函数
，将问题转化为方程
有两解问题即可.
【详解】由题意得
，
设与曲线
相切的切点为
，与曲线
相切的切点为
，
则切线方程为
，即
，
，即
，
由于两切线为同一直线，所以
，得
．
令
，则
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增．
即有
处
取得极小值，也为最小值，且为
．
又两曲线恰好存在两条公切线，即
有两解，
结合当
时，
趋近于0，
趋于负无穷小，故
趋近于正无穷大，
当
时，
趋近于正无穷大，且增加幅度远大于
的增加幅度，故
趋近于正无穷大，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由此结合图像可得a 的范围是
，
故答案为：
例40．（2023·全国·高三专题练习）与曲线
和
都相切的直线方程为__________.
【答案】
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程
求解.
【详解】设直线与曲线
相切于点
，
因为
，所以该直线的方程为
，即
，
设直线与曲线
相切于点
，
因为
，所以该直线的方程为
，即
，
所以
，解得
，
所以该直线的方程为
，
故答案为：
.
一、单选题
1．（2023 春·江西·高二校联考期中）已知函数
的导函数为
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】求出函数的导函数，再令
计算可得.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，解得
.
故选：A
2．（2023 春·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）已知函数
的图像在
处的切线在
y 轴上的截距为2，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数
的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程，.
【详解】由函数
，
求导得：
，
，而
，
因此函数
在
处的切线方程为：
，
令
，得
，于是
，解得
，
所以
.
故选：A.
3．（2023 春·天津南开·高三南开中学校考期中）函数
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复合函数的导函数运算求解.
【详解】由题意可得：
，
则
.
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：C.
4．（2022·江苏·高三专题练习）如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积
相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为
，定义域为
，设
分别表示
在区间
上的平均变化率，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢，可判断出结果.
【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
所以
在区间
上的平均变化率由大变小，即
．
故选：A
5．（2023 春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期中）若直线
是函数
图像的
切线，则
的最小值为（ ）
A．－1
B．－2
C．－e
D．e
【答案】A
【分析】设出切点坐标，根据切线斜率以及切点在函数
图像上及直线上列出方程，表示
，再利
用导数求其最小值.
【详解】设切点
，由题可知
，∴切线斜率为
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∵
为切线，∴
，
，
令
，则
，故
令
，
则
，由
解得
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，
∴
.
故选：A.
6．（2023·江西赣州·统考二模）已知曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而求切线与坐标轴的交点，根据题意列式求解即可.
【详解】由题意可得：
，则
，
即切点坐标为
，斜率
，
切线方程为
，
令
，解得
，即切线与y 轴交点坐标为
；
令
，解得
，即切线与x 轴交点坐标为
；
可得与坐标轴围成的面积
，解得
.
故选：A.
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2022 秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知过点
可以作函数
的
三条切线，如果
，则
和
应该满足的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数过某点的切线方程的求法可求解.
【详解】设切点
，由
可得
切线方程为
，
将
代入得
，
整理得
，
设
，
，
令
，解得
或
，因为
，
所以
在
，
单调递减，在
单调递增，
由题意得
有3 个不相等的实数根，
则有
，即
.
故选:D.
8．（2022 秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知
，过原点作曲线
的切线，则切
点的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】设切点坐标为
，根据导数几何意义可得切线方程，代入坐标原点可构造方程求得
.
【详解】由
得：
；
设切点坐标为
，
，
则切线方程为：
，
切线过原点，
，解得：
，
即切点横坐标为
.
故选：C.
二、多选题
9．（2023 春·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）以下函数求导正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用基本初等函数的求导公式及运算法则即可逐一求导得出结论.
【详解】
, A 正确；
，常数的导数为0，B 错误；
，C 错误；
，D 正确.
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：AD.
10．（2023 春·山东聊城·高二校考阶段练习）已知函数
的图象如图，
是
的导函数，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据导数的几何意义可得
，即可判断选项AB，记
，
，作直
线AB，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出CD 选项..
【详解】由函数的图像可知函数
是单调递增的，
所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零，
并且由图像可知，
函数图像在
处的切线斜率
大于在
处的切线斜率
，
所以
；
故A 错误，B 正确；
记
，
，作直线
，则直线
的斜率
，由函数图像，
可知
，
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
.
故C，D 正确；
故选：BCD
11．（2023·全国·高三专题练习）若存在过点
的直线l 与曲线
和
都相切，
则a 的值可以是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据题意，分点
是切点与点
不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到
相应的切线方程，从而得到
的值.
【详解】由题意可得，
，
因为
在直线l 上，当
为
的切点时，
则
，所以直线l 的方程为
，
又直线l 与
相切，
所以
满足
，得
；
当
不是
的切点时，
设切点为
，
则
，
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，得
，
所以
，所以直线的方程为
.
由
，得
，
由题意得
，所以
.
综上得
或
.
故选:AB
12．（2023 春·山东菏泽·高二统考阶段练习）若曲线
在
处的切线与直线
互相垂直，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由已知，选项A、选项B，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C，可将
带入
求解出的
中进行求解判断，选项D，根据求解出的
结合直线方程的斜率，利用在
处的切
线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出
的值.
【详解】选项A，已知曲线
，所以
，故该选项错误；
选项B，已知曲线
，所以
，故该选项正确；
选项C，因为
，所以
，故该选项正确；
选项D，直线
的斜率为
，而
，由已知，曲线
在
处的切线
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
与直线
互相垂直，所以
，所以
，该选项正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）过原点作曲线
的切线l，并与曲线
交于
，
两点，若
，则
________．
【答案】
【分析】首先求切线的方程，再利用点
三点共线，利用斜率公式，转化为方程，即可求解.
【详解】
，设切线与曲线相切于点
，
则
，切线过点
，代入解得
，
易知切线l 的方程为
，所以
，由
，解得
，所以
，
即
．
故答案为：
14．（2023 秋·湖南郴州·高三统考期末）设点P 是函数
图象上的任意一点，点
P 处切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到
，根据导数切线的几何意义得到
，即可得到答案.
【详解】因为
，
，
，
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
.
所以
，解得
或
.
故答案为：
15．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）
，
，且满足
，则
______．
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出
的值，再代入计算作答.
【详解】函数
，求导得
，
依题意，
，
因此
，解得
，
，
所以
.
故答案为：2
16．（2023 春·上海松江·高三上海市松江二中校考期中）已知函数
，则
__________.
【答案】
【分析】先求导，然后再求
.
【详解】由导数的运算可知，
，
.
故答案为：
四、解答题
17．（2023 春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）求下列函数的导数.
(1)
；
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用导数的运算法则求解.
【详解】（1）解：因为
，
所以
（2）
，
.
18．（2022 春·四川眉山·高三校考期中）已知抛物线
在
处的切线的斜率是.
(1)求该抛物线方程：
(2)求过点
的该抛物线的切线方程.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；
（2）因为点
不在抛物线
上，设切点坐标为
，然后利用导数的几何意义即可求解.
【详解】（1）
，
，
抛物线在
处的切线是
，
.
，
故该抛物线方程为
.
（2）设切点坐标为
，
，
切线的斜率为
，
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
切线方程为
.
又
点
在切线上，
.
解得
或
.
过点
的该抛物线切线方程为
或
，
即
或
.
19．（2023 春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）求下列直线的方程：
(1)曲线
在
处的切线；
(2)曲线
过点
的切线.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导，再根据直线的点斜式方程求解即可；
（2）设切点为
，再根据导数的几何意义求得切线方程，再代入
求解即可.
【详解】（1）
，故曲线
在
处的切线斜率为
，
故在
处的切线方程为
，即
（2）设切点为
，因为
，故曲线在
处的切线方程为
，
化简可得
，代入
可得
，
即
，解得
或
，
代入切线方程可得
或
20．（2023·北京东城·高三专题练习）设
.当
时，直线
是曲线
的
切线，求
的值;
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出切点坐标，代入切线方程可求
的值.
【详解】当
时，
，则
，
设切点
，则
，
所以
，
，
把切点坐标代入切线方程
，得
.
21．（2023 春·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知函数
满足
.
(1)求
的值；
(2)求
的图象在
处的切线与两坐标轴所围三角形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求导的法则和四则运算结合
是常数代入即可求解；
（2）根据导数的几何意义以及点斜式方程表示即可求解.
【详解】（1）因为
所以
，
取
得
，
所以
，
即
.
（2）因为
，
所以
，
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
在
处，
，
，
所以切线方程为
，
所以
，
令
得
，
令
得
，
所以
的图象在
处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为
.
22．（2022 秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数
，
，曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
(1)若
，求
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由
上的切点求出切线方程，设出
上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函
数值求出
即可；
（2）设出
上的切点坐标，分别由
和
及切点表示出切线方程，由切线重合表示出
，构造
函数，求导求出函数值域，即可求得
的取值范围.
【详解】（1）由题意知，
，
，
，
则
在点
处的切线方程为
，
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，
设该切线与
切于点
，
，则
，
解得
，则
，
因为点
在切线
上，
所以
，解得
；
（2）
，
则
在点
处的切线方程为
，整理得
，
设该切线与
切于点
，
，则
，
则切线方程为
，整理得
，
则
，整理得
，
令
，则
，
又
恒成立，
令
，解得
，令
，解得
，
则
在
递减，在
递增，
所以
，
的值域为
，
故
的取值范围为
.
【点睛】本题所涉及的公切线问题未提及切点坐标，故应设切点坐标，分别表示切线方程，借助公切线的
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
概念建立等量关系，进而利用导数研究参数的范围
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
44
