《2026初高衔接》[第十四讲]——指数与指数函数_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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指数与指数函数
指数与指数函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
指数的再认识
熟练完成根式、分数指数幂的化简
与混合运算
数学运算、数学抽象
指数函数的认识与应用
依据指数函数的图象解决图象类、
变换类函数的综合问题，
直观想象、逻辑推理
一指数与指数函数
前面我们在第一讲的幂与根式中对指数的计算已经作了相应的介绍，特别是从初中到高中有什么不同．大
家还记得吗？
次方根
若xn= a，则x 叫做a 的n 次方根．(n > 1，n ∈N*)
当n 为奇数时，x = n a；当n 为偶数时，x =± n a；n a 称之为根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
根式性质
n a


n= a
n an =
a，当n为奇数时；
a

，当n为偶数时．

分数指数幂
设a > 0，m，n ∈N*，且n > 1
a
m
n =
n am
a
- m
n = 1
a
m
n =
1
n am
指数函数
形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
(1) 形式上的严格性：只有形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数才是指数函数．像y = 2 ⋅3x，y = 2
1
x ，y = 3x
+ 1 等函数都不是指数函数．
(2) 为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果a = 0，则x>0时，ax恒等于0，
x≤0时,ax无意义.

②如果a < 0，则对于一些函数，比如y = (-4)x，当x = 1
2 ,x = 1
4 , ⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．
③如果a = 1，则y = 1x= 1 是个常量，就没研究的必要了．
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1 (★★☆☆☆)指数函数f(x) = ax(a > 0，且a ≠1)，对任意x，y ∈R，恒满足
(
)
A. f(x + y) = f(x) + f(y)
B. f(xy) = f(x) + f(y)
C. f(x + y) = f(x)f(y)
D. f(x + y) = f(x) + f(y) - 2xy
1
(★☆☆☆☆)计算
a2
a⋅
3 a2 的结果为
(
)
A. a
3
2
B. a
1
6
C. a
5
6
D. a
6
5
2
(★☆☆☆☆)下列指数幂互化中，正确的是
(
)
A. -
x = (-x)
- 1
2 (x ≠0)
B. x
- 1
3 = 3 x
C.
x
y


- 3
4 =
4
y
x


3
(xy ≠0)
D.
4 y2 = 1
y2 (y < 0)
3
(★☆☆☆☆)已知10m = 2，10n= 3，则10
3m-2n
2
=
(
)
A. 4
9
B. 8
9
C.
2
3
D. 2 2
3
4 (★☆☆☆☆)
y - 1
y = m，则1+y2
y
的结果是
(
)
A. m2 + 2
B. m2 - 2
C.
m + 2
D.
m - 2
5
(★☆☆☆☆)函数y = (a2- 3a - 3)ax是指数函数，则有
(
)
A. a =-1 或a = 4
B. a = 4
C. a =-1
D. a > 0 或a ≠1
6
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) = (a2- 3a + 3)ax是指数函数，
(1) 求f(x) 的表达式；
(2) 判断F(x) = f(x) - f(-x) 的奇偶性，并加以证明．
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二指数函数的图象与性质
五点作图绘图法
对于指数函数f(x) = 2x的作图：
①确定函数定义域：x ∈R；
②判定函数奇偶性：f(-x) = 2-x= 1
2x ，函数f(x) 不具备奇偶性。
③当x →-∞时，2-∞= 1
2∞→0，∴x 轴是函数f(x) 的渐近线。
④列表取点，光滑曲线连点成图。
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
1
4
1
2
1
2
4
因为y =
1
2


x
= 2-x，点(x，y) 与点(-x，y) 关于y 轴对称，所以函数y = 2x 图象上任意一点P(x，y) 关
于y 轴的对称点P1(-x，y) 都在函数y =
1
2


x
的图象上，反之亦然，由此可知，底数互为倒数的两个指数函数
的图象关于y 轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
指数函数的图象性质
函数名称
指数函数
定义
形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做指数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
1
y=ax
O
x
y
a>1
1
y=ax
O
x
y
0<a<1
定义域
R
值域
(0, +∞)
过定点
图象过定点(0,1)，即当x = 0 时，y = 1．
渐近线
y = 0 即x 轴
奇偶性
非奇非偶
指数函数y = ax与y =
1
a


x
的图象关于y 轴对称
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
a 变化对
图象影响
a 越大，开口越靠近y 轴
a 越小，开口越靠近y 轴
1
y=2x
O
x
y
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1 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = ax-2 + 1(a > 0，a ≠1) 的图像恒过一点P，且点P 在直线ax + by - 1 = 0
(ab > 0) 的图像上，则1
a + 1
b 的最小值为
(
)
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
7
(★☆☆☆☆)如图是指数函数f(x) = ax(a > 0 且a ≠1) 的部分图象，已知a 取1
3 ，1
2 ，2，3 这四个
值，则曲线C1，C2，C3，C4相对应的a 依次为
(
)
A. 1
3 ，1
2 ，2，3
B. 1
3 ，1
2 ，3，2
C. 1
2 ，1
3 ，2，3
D. 1
2 ，1
3 ，3，2
8
(★☆☆☆☆)“a = 1
2 ”是“指数函数y = ax在R 上是严格减函数”的
(
)
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分也非必要条件
9
(★☆☆☆☆)函数f(x) = 2x与g(x) =-2-x的图象关于
(
)
A. x 轴对称
B. y 轴对称
C. 原点对称
D. 直线y = x 对称
10 (★☆☆☆☆)指数函数f(x) = ax(a > 0，a ≠1)，在R 上是减函数，则函数g(x) = (a - 2)x3 在R 上的
单调性为
(
)
A. 单调递增
B. 在(0，+∞) 上递减，在(-∞，0) 上递增
C. 单调递减
D. 在(0，+∞) 上递增，在(-∞，0) 上递减
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
y
C1
C2
C3
C4
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11 (★☆☆☆☆)已知函数f(x) = 2 + a2x-4(a > 0 且a ≠1) 的图象恒过定点P，则P 点的坐标为
(
)
A. (0，2)
B. (2，3)
C. (2，4)
D. (4，0)
12 (★★☆☆☆)函数y = ax- 1
a (a > 0，且a ≠1) 的图象可能是
(
)
A.
2
1
2
1
1 x
y
B.
1
2
1
1 x
y
C.
1
2
1
1 x
y
D.
1
2
1
1
1
x
y
13 (★★☆☆☆)函数f(x) = 2|x-1|的单调递减区间是
(
)
A. (-∞，+∞)
B. [1，+∞)
C. (-∞，1]
D. [0，+∞)
14 (★★☆☆☆)若函数f(x) = a|2x-4|(a > 0，a ≠1)，满足f(1) = 1
9 ，则f(x) 的单调递减区间是
(
)
A. (-∞，2]
B. [2，+∞)
C. [-2，+∞)
D. (-∞，-2]
15 (★★☆☆☆)设函数f(x) = a-x - 2(a > 0 且a ≠1) 的图象经过第二、三、四象限，则不等式f(1 - m)
< f(m2- 1) 的解集为
(
)
A. (-2，1)
B. (0，1)
C. (-2，1]
D. (-∞，-2) ∪(1，+∞)
16 (★★★☆☆)若a =
1
3


2
3 ，b =
1
5


2
3 ，c =
1
3


1
2 ，则a、b、c 的大小关系是
(
)
A. a < b < c
B. c < a < b
C. b < c < a
D. b < a < c
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17 (★★★☆☆)设函数f(x) 定义在R 上，它的图象关于直线x = 1 对称，且当x ≥1 时，f(x) = 3x - 1，
则有
(
)
A. f 1
3


< f 3
2


< f 2
3


B. f 2
3


< f 3
2


< f 1
3


C. f 2
3


< f 1
3


< f 3
2


D. f 3
2


< f 2
3


< f 1
3


18 (★★★☆☆)已知函数f(x) =
2
2x-1 ，若f(a) <-5，则
(
)
A. f(-a) < 7
B. f(-a) < 0
C. f(-a) > 5
D. f(-a) > 3
19 (★★★☆☆)已知函数y = ax-1 + 1(a > 0，a ≠1) 的图像恒过定点A，且点A 在直线y = mx + n(m，
n > 0) 上，则1
m + 1
n 的最小值为
(
)
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
2
20 (★★★★☆)已知函数f(x) = |2x- 2|，若x1< x2且f(x1) = f(x2)，则2-x1 + 22-x2 的最小值为
(
)
A. 9
4
B. 9
C. 5 + 2 2
D. 3+2 2
4
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21 (★★★☆☆)已知函数f(x) = 1-2x
1+2x ．
(1) 试确定f(x) 的奇偶性；
(2) 求证：函数f(x) 在R 上是减函数；
(3) 若对任意的t ∈R，不等式f(t2- 2t) + f(2t2- k) < 0 恒成立，求k 的取值范围．
22 (★★★★☆)已知定义在(-1，1) 上的奇函数f(x)．在x ∈(-1，0) 时，f(x) = 2x+ 2-x．
(1) 试求f(x) 的表达式；
(2) 用定义证明f(x) 在(-1，0) 上是减函数；
(3) 若对于x ∈(0，1) 上的每一个值，不等式t•2x•f(x) < 4x- 1 恒成立，求实数t 的取值范围．
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1 (★☆☆☆☆)下列函数中是指数函数的为
(
)
A. y = x3
B. y = (-4)x
C. y = 5x+1
D. v = 52x
2 (★☆☆☆☆)命题p：指数函数f(x) = (3a - 1)x是减函数，命题q：a > 1
3 ，则p 是q 的
(
)
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = ax+1 - 3
4 (a > 0，且a ≠1) 的图象过定点(m，n)，则
16
81


mn
= (
)
A. 3
2
B. 2
3
C. 27
8
D.
8
27
4 (★★☆☆☆)函数y = 2-|x-1|的图象大致形状是
(
)
A.
1
2
1
x
y
B.
1
1
2
1
x
y
C.
1
1
2
1
x
y
D.
2
1
2
1
x
y
5 (★★☆☆☆) f(x) = ax(a > 0，且a ≠1) 在x ∈[1，2] 上最大值与最小值差为a
2 ，则a =
(
)
A. 1
2
B. 3
2
C. 2
3 或2
D. 1
2 或3
2
6 (★★☆☆☆)已知全集U = R，A = {x 2x> 1
2


，B = {-2，-1，0，1}，则(∁UA) ∩B =
(
)
A. {-2，-1}
B. {-2}
C. {-1，0，1}
D. {0，1}
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7 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = 1 +
2
2x-1
(1) 求函数f(x) 的定义域
(2) 证明函数f(x) 在(-∞，0) 上为减函数．
8 (★★★☆☆)指数函数f(x) 图象过点
1
2 ，
2
2


．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 若函数g(x) = f(2x) - mf(x - 1) + 1，且在区间(-1，+∞) 上有两个零点，求m 的取值范围．