文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题17 圆锥曲线的综合应用
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置判断
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设直线方程为
，椭圆方程为
联立
消去y 得一个关于x 的一元二次方程
①
直线和椭圆相交
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
直线和椭圆相离
直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：
知识点2 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程
与直线方程
联立消去
得到关于
的一元二次方程
，
（1）当
，即
，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当
，即
，设该一元二次方程的判别式为
，
若
，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若
，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若
，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
2、直线与双曲线弦长求法
若直线
与双曲线
（
，
）交于
，
两点，
则
或
（
）．（具体同椭圆相同）
知识点3 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况
相交（有两个公共点或一个公共点）；
相切（有一个公共点）；
相离（没有公共点）.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2、以抛物线
与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率
不存在，设直线方程为
，
若
，直线与抛物线有两个交点；
若
，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若
，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率
存在.
设直线
，抛物线
，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组
，的解的个数，
即二次方程
（或
）解的个数.
①若
，
则当
时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当
时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当
时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若
，则直线
与抛物线
相交，有一个公共点.
3、直线与抛物线相交弦长问题
（1）一般弦长
设
为抛物线
的弦，
，
，弦AB 的中点为
.
①弦长公式：
（
为直线
的斜率，且
）.
②
,
推导：由题意，知
，①
②
由①-②，得
，故
，即
.
③直线
的方程为
.
（2）焦点弦长
如图，
是抛物线
过焦点
的一条弦，
设
，
，
的中点
，
过点
，
，
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点
，
，
，
根据抛物线的定义有
，
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
.
又因为
是梯形
的中位线，所以
，
从而有下列结论；
①以
为直径的圆必与准线相切.
②
(焦点弦长与中点关系)
③
.
④若直线
的倾斜角为
，则
.
⑤
，
两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即
，
.
⑥
为定值
.
一、直线与圆锥曲线位置关系
1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到
一元二次方程，其中
；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直
线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，
或直线与圆锥曲线相切．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l：
与椭圆C：
的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【解析】将直线l：
变形为l：
，
由
得
，于是直线l 过定点
，
而
，于是点
在椭圆C：
内部，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因此直线l：
与椭圆C：
相交．故选：A．
【典例2】（2023·高三课时练习）直线
与抛物线
的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【解析】直线
过定点
，
∵
，∴
在抛物线
内部，
∴直线
与抛物线
相交，故选：A．
【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p：
，命题q：直线
与抛物线
有两个公共点，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由
和
可得
，
整理得到：
，
因为直线与抛物线有两个不同的交点，故
，
故
，故命题q 成立能推出命题p 成立；
反之，若
，取
，此时
仅有一个实数根
，
故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，
故命题p 成立不能推出命题q 成立，
故p 是q 的必要不充分条件，故选：B.
【典例4】（2023 上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线
与双曲线
，若直线与双曲
线左支交于两点，求实数
的取值范围.
【答案】
【解析】因为直线与双曲线
左支交于两点，所以两点横坐标皆小于
，
把
代入
得：
，
所以
有两个小于
的零点，
因为
，所以
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，解得
，
则实数
的范围为
.
二、直线与圆锥曲线的弦长问题
设
，
根据两点距离公式
．
（1）若
在直线
上，代入化简，得
；
（2）若
所在直线方程为
，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，
．其中
为直线
斜率，
为直线倾斜角．
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆
，过左焦点
作倾斜角为
的直线交椭圆于
、
两点，则弦
的长为 ．
【答案】
【解析】在椭圆
中，
，
，则
，故点
，
设点
、
，由题意可知，直线
的方程为
，即
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，
，
所以，
.
故答案为：
.
【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线
与抛物线
交于点
、
，
以线段
为直径的圆经过定点
，则
（ ）
A．
B． C． D．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【解析】记
，则直线的方程可表示为
，设点
、
，
联立
可得
，
，可得
，
由韦达定理可得
，
，
，
，
由已知可得
，
则
，
可得
，
所以，
.故选：C.
【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C 两条准线之间的距离为1，离心率为2，直
线l 经过C 的右焦点，且与C 相交于A、B 两点.
（1）求C 的标准方程；
（2）若直线l 与该双曲线的渐近线垂直，求AB 的长度.
【答案】（1）
=1；（2）3
【解析】（1）因为直线l 经过C 的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C 两条准线之间的距离为1，
所以有
，
又因为离心率为2，
所以有
代入
中，可得
，
∴C 的标准方程为：
；
（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为
，
所以直线l 的斜率为
，
由于双曲线和两条直线都关于y 轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，
因此不妨设直线l 的斜率为
，
方程为
与双曲线方程联立为：
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
设
，则有
，
三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的
常量当成变量，将变量x，y 当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(k 是原方程中的
常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知，
是过点
的两条互相垂直的直线，且与椭
圆
相交于A，B 两点，
与椭圆
相交于C，D 两点．
（1）求直线的斜率k 的取值范围；
（2）若线段
，
的中点分别为M，N，证明直线
经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【答案】（1）
；（2）证明见解析；定点
.
【解析】（1）根据题意直线，
的斜率均存在且不为0
直线，
分别为
，
，
联立
得
，
由
得
，则
或
，
同理
，则
，
所以k 的取值范围为
．
（2）设
，
，由（1）得
，
所以
，则
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，则
，
同理
，
则直线
的方程为
，
化简整理得
因此直线
经过一个定点
．
【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E 上任意一点Q 到定点
的距离
与Q 到定直线
的距离之比为
．
（1）求曲线E 的轨迹方程；
（2）斜率为
的直线l 交曲线E 于B，C 两点，线段BC 的中点为M，点M 在x 轴下方，直线OM
交曲线E 于点N，交直线
于点D，且满足
（O 为原点）．求证：直线l 过定点．
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）设曲线E 上任意一点
，由题意知
，
化简整理得
，所以曲线E 的轨迹方程为
；
（2）设
，
，直线l 的方程为
，
联立
，得
，
因为有两个交点，所以
，即
，
所以
，
，
即
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为点M 在x 轴下方，所以
，又
，所以
，
所以直线OM 的斜率
，则直线OM 的直线方程为
，
将其代入双曲线E 的方程，整理得
，
所以
，
将
代入直线
，解得
，
又因为
，所以有
．
由
，解得
，
因为
，
，所以
，
因此直线l 的方程为
，故直线l 过定点
．
【典例3】（2022 上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知点
在抛
物线
上，圆
（1）若
，
为圆
上的动点，求线段
长度的最小值；
（2）若点
的纵坐标为4，过
的直线
与圆
相切，分别交抛物线
于
（异于点
），求证：直
线
过定点．
【答案】（1）1；（2）证明见解析
【解析】（1）设
，则
，
当
，Q 为
线段与圆
的交点时，
（2）题意可知
，过P 点直线
与圆
相切，
则
，即
，①
设直线
为：
，
则与抛物线C 的交点方程可化为：
，
令
，则：
，②
题意有，①②方程同解，故有
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即：
，
所以直线
为：
，即
，
由
，解得
，
直线
恒过
．
四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求
得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（2023 上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭
圆过点
．
（1）求椭圆的方程．
（2）设
是椭圆上一点（异于
），直线
与
轴分别交于
两点．证明在
轴上存在两点
，使得
是定值，并求此定值．
【答案】（1）
；（2）证明见解析，定值为
.
【解析】（1）设椭圆方程为
，
则
，解得
，
所以椭圆的方程为
．
（2）设
，
，
则
，
由
，得
，
而
，于是
，
，
同理
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
而
，于是
，
则
，
，
令
，
而
是椭圆上的动点，则
，得
，
于是
，
所以存在
和
，使得
是定值，且定值为
.
【典例2】（2023 上·广东深圳·高三统考期末）点
是平面直角坐标系
上一动点，两直线
，
，已知
于点
，
位于第一象限；
于点
，
位于第四象限.若四边形
的面积
为2.
（1）若动点
的轨迹为
，求
的方程.
（2）设
，过点
分别作直线
，
交
于点
，
.若
与
的倾斜角互补，证明直线
的斜率为一定值，并求出这个定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，定值为
.
【解析】（1）设
，依题意得
且
，即
且
，
设
，则
，
因为直线的方向向量为
，
所以
，
，即
，
所以
，
所以四边形
的面积为
，
即动点
的轨迹方程为
.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）设直线
（
或
），
则
，
联立
得
，
整理得
，
所以
，即
，
所以
，
同理得
，
，
所以直线
的斜率
，得证.
【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点
在抛物线
上，过点
的直线与
相交于
两点，直线
分别与
轴相交于点
.
（1）当弦
的中点横坐标为3 时，求的一般方程;
（2）设
为原点，若
，求证:
为定值.
【答案】（1）
或
；（2）证明见解析
【解析】（1）由点
在抛物线
上，所以
，
所以抛物线
的方程为
.
设直线的方程为
.
由
，得
.
依题意
，解得
且
.
且
.
因为弦
的中点横坐标为3，
所以
，即
，解得
或
，
所以的一般方程为
或
.
（2）直线
的方程为
，
又
，令
，得点
的纵坐标为
.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
同理得点
的坐标为
.
由
，得
，
.
所以
.
所以
，即
为定值
.
五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【典例1】（2022 上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知
为椭圆
的左､右焦点，点
为
其上一点，且
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知直线
与椭圆
相交于
两点，与
轴交于点
，若存在
，使得
，
求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为
，
因为点
为椭圆上一点，且
，
所以
，解得
，
所以椭圆的标准方程为
.
（2）
设
又
，
由
得，
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立
可得
，
即
，
，
且
，
又
，
则
，
，
代入
得
，
，解得
.
的取值范围是
.
【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线
实轴的一个端点是
，虚
轴的一个端点是
，直线
与双曲线的一条渐近线的交点为
.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与曲线
有两个不同的交点
是坐标原点，求
的面积最小值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设点
，点
，则直线
的方程为
，
与渐近线
联立，得
，解之得
，
即直线
与双曲线的一条渐近线交点为
，
又直线
与双曲线的一条渐近线的交点为
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即
，因此双曲线方程为
.
（2）设
，
把
代入
，得
，
则
，
，
，
点
到直线
的距离
，
所以
的面积为
，
令
，所以
，
令
，则
，
因为
，所以
，
由
，得
，
由
，得
，
由
，得
，
即当
时，等号成立，
此时满足
，所以
面积的最小值为
.
【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知
是抛物线
的焦点，过点
的直线交抛物
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
线
于
、
两点，且
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）若
为坐标原点，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，过点
作直线
的垂线与抛物线
的另
一交点为
，
的中点为
，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）抛物线
的焦点为
，
若直线
与
轴重合，则直线
与抛物线
只有一个公共点，不合乎题意，
设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，
，
，解得
，
所以，抛物线
的方程为
.
（2）设点
、
，则
，
由（1）可得
，
，
又因为直线
的方程为
，
将
代入直线
的方程可得
，
可得
，即点
，
所以，
，
因为
，则
，
所以，直线
的方程为
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
联立
可得
，
则
，故
，
则
，
由
的中点为
，可得
，
故
、
、
三点共线，
则
．
又由
，知
，
故
.
故
的取值范围为
．
六、圆锥曲线中的证明问题
1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，
如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用
直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆
过
和
两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M 在定直线
上运动时，直线
，
分
别交椭圆于两点P 和Q（不同于B，A）.证明：点B 在以
为直径的圆内.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意，将点
和
的坐标代入椭圆
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
得
，解得
，
所以椭圆方程为
（2）由（1）知
，显然点
不在x 轴上，设
，
，
直线
斜率分别为
，
直线
的方程为
，
的方程为
，
由
，消去
得
，显然
，
于是
，解得
，
则
，
由
，消去
得
，显然
，
于是
，解得
，
则
，
因此
，
，
则
，
则有
为钝角， 所以点B 在以
为直径的圆内.
【典例2】（2023 上·福建泉州·高三校考阶段练习）点
是抛物线
：
（
）的焦点，
为坐
标原点，过点
作垂直于
轴的直线，与抛物线
相交于
，
两点，
，抛物线
的准线与
轴
交于点
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）设
、
是抛物线
上异于
、
两点的两个不同的点，直线
、
相交于点
，直线
、
相交于点
，证明：
、
、
三点共线．
【答案】（1）
；（2）详见解析.
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】（1）抛物线
：
（
）的焦点坐标为：
过点
作垂因为直于
轴的直线，与抛物线
相交于
，
两点，且
，
不妨设
，则
，
解得
或
（舍去），
所以抛物线
的方程为
；
（2）如图所示：
由（1）知
，设
，
则直线AC 的方程为：
，
直线BD 的方程为：
，
联立得
，解得
，
则
，
所以
，
则直线BC 的方程为：
，
直线AD 的方程为：
，
联立得
，解得
，
则
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，则
，
所以E，K，G 三点共线.
七、圆锥曲线中的探索性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程
有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2023 下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆
过点
和
．
（1）求C 的方程；
（2）不过原点
的直线与
交于不同的
两点，且直线
的斜率成等比数列．在
上是否存
在一点
，使得四边形
为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在；
或
或
或
.
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
故C 的方程为
；
（2）由题意知直线的斜率一定存在，设直线的l 方程为
，
设
，
由
，得
，
需满足
，
则
，
所以
，
故
；
由于直线
的斜率成等比数列，即
，即
，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
，解得
，
存在点M，使得四边形
为平行四边形，
理由如下：四边形
为平行四边形，则
,
故
，
又点M 在椭圆C 上，故
，
因为
，
所以
，即
，
当
，满足
，
所以直线l 的方程为
或
或
或
.
【典例2】（2023 上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线
经过点
，直线
与
交于
，
两点（异于坐标原点
）．
（1）若
，证明：直线过定点．
（2）已知
，直线
在直线的右侧，
，与
之间的距离
，
交
于
，
两点，试问
是否存在
，使得
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析;（2）存在，
【解析】（1）证明：将点
代入
，得
，即
．
联立
得
，
由
，设
，
，
则
，
．
因为
，
所以
恒成立，则
，
所以的方程为
，
故直线过定点
．
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）联立
得
，
则
且
，即
，
，
设
，同理可得
．
因为直线
在的右侧，所以
，
则
，即
．
所以
，
即
，解得
，
因为
，所以满足条件的
存在，
.
【典例3】（2023 上·重庆·南开中学高三校考阶段练习）已知双曲线
的左、右顶点
分别为A、B，渐近线方程为
，焦点到渐近线距离为1，直线
与C 左右两支分别交于
P，Q，且点
在双曲线C 上.记
和
面积分别为
，
，
，
的斜率分别为
，
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若
，试问是否存在实数
，使得
，
，
.成等比数列，若存在，求出
的值，不存在
说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，
【解析】（1）由题可得
，解得
，所以双曲线C 的方程为
；
（2）由点
在
上可得：
.
联立
和
整理得：
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
，
，则有：
，
，
，
又由直线交左右两支各一点可得：
，所以
，即
，
所以
，
又
到直线
的距离
，
到直线
的距离
，
所以
，所以
，
所以
（
），解得
，
又
，
其中
，
，
所以
，假设存在实数
，使得
，
，
成等比数列，
则有
，所以
，解得
，故存在
满足题意.
易错点2 忽视直线与双曲线相交的特殊性
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种
一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程
，
（1）若
，直线与双曲线相交，有两个交点；若
，直线与渐进线平行，有一个交点
（2）若
，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
（3）若
，直线与双曲线相离，没有公共点；
二是可以利用数形结合的思想
【典例1】（2023·重庆·统考高三二模）已知点
和双曲线
，过点
且与双曲线
只有一
个公共点的直线有（ ）
A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线
的渐近线方程为
，点
是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为
，
此时，直线与双曲线
只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线
时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为
，则直线的方程为
，此时直线为双曲线
的一条渐近线，不合乎题
意.
综上所述，过点
与双曲线只有一个公共点的直线共有
条.故选：A.
【典例2】（2022·吉林·东北师大附中高三校考模拟预测）过点
且与双曲线
有且只有一个
公共点的直线有（ ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由双曲线
得其渐近线方程为
．
①过点
且分别与渐近线平行的两条直线
与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点
且与双曲线相切的直线为
，
联立
，化为
，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
得到
，解得
．
则切线
分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点
且与双曲线
仅有一个公共点的直线共有4 条．故选:
.
易错点2 忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系
点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题
时要注意，不要忘记其特殊性．
【典例1】（2023·全国·高三校联考期末）过点
作直线，使它与抛物线
仅有一个公共点，这样
的直线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【答案】B
【解析】当直线的斜率不存在时，直线
，代入抛物线方程可
，
故直线
与抛物线有两个交点．不满足要求，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
由
，消
得，
，
当
时，解得
，直线
与抛物线有且只有一个交点，符合题意；
当
时，由
，可得
，
即当
时，符合题意．综上，满足条件的直线有2 条．故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线
与曲线
恰有一个公共点，则实数a 的
值为 .
【答案】0 或
或
【解析】当
时，曲线
为直线
，显然直线
与
有唯一公共点
，因此
；
当
时，由
消去y 并整理得：
，
当
时，
，直线
与曲线
有唯一公共点
，因此
；
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
且
时，
，则
，
此时直线
与曲线
相切，有唯一公共点，因此
，
所以实数a 的值为0 或
或
.
故答案为：0 或
或
易错点3 解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论
点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为
方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方
程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。
【典例1】（2023 上·山东聊城·高三校联考期末）（多选）已知过点
的直线与椭圆
交于
、
两点，则弦长
可能是（ ）
A．1 B．
C．
D．3
【答案】BC
【解析】当直线斜率存在时，设过
斜率存在的直线方程为：
，
联立方程组
消去
，并整理得
，易得
，
设
，
，则
，
，
，
，
当斜率不存在时
，故
．故选:BC．
【典例2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
.过
的直线l 交C 的右支于M，N 两点，且当l 垂直于x 轴时，l 与C 的两条渐近线所围成的三角形的面积为
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4.
（1）求C 的方程；
（2）证明：
，求
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
【解析】（1）根据题意有
，C 的渐近线方程为
，
将
代入两个渐近线方程得到交点坐标为
，
，
l 与C 的两条渐近线所围成的三角形的面积为
，
所以
，C 的方程为
.
（2）设
，
，其中
，
，
由（1）可知
，
，
当
轴时，显然MN 与
不垂直.
当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为
时，代入C 的方程有：
，故
，
，
，
，
当
时有：
①，
由
得到
，代入
，
整理有
②，
由①，②可得
.
所以.
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
29
