函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、恒成立问题、能成立问题专项训练
考点目录
利用导数研究函数的图像与性质
利用导数研究函数的恒成立问题
利用导数研究函数的能成立问题
1．（25-26 高三上·广西南宁·开学考试·多选）设函数
2
2
f x
x x
=
-
，则（ ）
A．
2
x =
是
f x 的极小值点
B．
f x 图象的对称中心是
0,0
C．当
2
x >
时，
2
f
x
f
x
<
D．当0
1
x
<
< 时，
32
9
2
1
27
f
x
- <
-
£
2．（25-26 高三上·辽宁·开学考试·多选）已知函数
2
2
3
1
f x
x
x
=
-
，则（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 存在最小值
C．直线
0
y =
是曲线
y
f x
=
的一条切线
D．
f x 有4 个单调区间
3．（25-26 高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习·多选）已知函数
f x 是定义域为R 的奇函数，当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f
x
x
x
=
+
，则（ ）
A．当
0
x <
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
-
-
B．
f x 在区间
1,1
-
上单调递减
C．
0
f x £
当且仅当
1
x £ -
D．x 轴是曲线
y
f x
=
的一条切线
4．（25-26 高三上·广西·开学考试·多选）已知
f x 是定义在R 上的偶函数，且当
0
x ³
时，
3
2
2
f x
x
x
x
=
+
-
+
，
则（ ）
A．
1
4
f ¢ -
=
B．
f x 在
1 ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø和1 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø 上单调递增
C．当
0
x <
时，
3
2
2
f x
x
x
x
= -
-
+
-
D．
f x 有2 个极小值点
考点一
利用导数研究函数的图像与性质
5．（24-25 高三下·云南昭通·期中·多选）已知函数
f x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x >
时，
1
x
f x
x
-
=
-
e
，则
（ ）
A．函数
f x 的极大值点为2
B．函数
f x 有2 个零点
C．函数
f x 在点
1,0
-
处的切线方程为
e
1
0
x
y
+
+ =
D．函数
f x 的值域为
1,1
-
6．（2025·辽宁大连·一模·多选）记
f x 的导函数
3
2
1,
R
f
x
x
x
x
=
-
-
Î
¢
，下列说法正确的是（ ）
A．
f x 在R 上一定有3 个极值点
B．
f x 在R 上一定有4 个零点
C．过
f x 上一点作切线:l y
kx
b
=
+
，若存在三个点的切线斜率相同，则k 的取值范围为
4 6
4 6
1,
1
9
9
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．记
1
g
x
f
x
¢
¢
=
+ ，则
g x 一定是偶函数
7．（25-26 高三上·海南海口·开学考试·多选）已知函数
ln
1
sin
f x
x
a
x
=
+
-
，
f
x
¢
为
f x 的导数，则下列说法
正确的是（ ）
A．当
0
a =
时，
2
f x
x
£
恒成立
B．当
0
a <
时，
f
x
¢
在区间
0,π 单调递减
C．当
1
a = 时，
f
x
¢
在区间
π
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上存在唯一极小值点
D．当
0
a =
时，
f x 有2 个零点
8．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试·多选）已知函数
1
1
2
,
0
2
,
0
e
x
x
x
f x
x
x
-
ì
æ
ö
-
<
ï
ç
÷
ï
è
ø
= í
ï
³
ïî
，则下列说法正确的是（ ）
A．
f x 的单调递增区间为
,0 , 0,1
-¥
B．
f x 有3 个零点
C．若关于x 的方程
2
1
0
f x
a f x
a
é
ù
-
û +
-
=
ë
有四个不同实根，则
0,1
aÎ
D．若
0
x
" ³
，
1
2
f x
mx
m
£
+
恒成立，则
1
2
1 e ,
2
m
é
ö
Î
+¥÷
ê
ë
ø
9．（25-26 高三上·安徽阜阳·开学考试·多选）已知
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，且当
0
x >
时，
3
2
( )
f x
x
x
x
=
-
-
，
则（ ）
A．当
0
x <
时，
3
2
( ) =
+
-
f x
x
x
x
B．
( )
f x 在区间( 1,1)
-
上单调递减
C．当且仅当
2
x >
时，
( )
2
f x >
D．
( ( ))
f f x
在区间( 1,1)
-
上单调递减
10．（25-26 高三上·河南·开学考试·多选）已知函数
f x 是定义域为R 的奇函数，当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
+
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
0
x <
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
-
-
B．
0
1
1
f
f
+
=
C．当
0
x >
时，
f x 单调递增
D．x 轴是曲线
y
f x
=
的一条切线
1．（25-26 高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数
e
e
2sin
x
x
f x
x
-
=
-
-
，若
2
2
0
f a
x
f x
+
+
+
³
恒成立，则a 的
取值范围是（
）
A．
7 ,
4
é
ö
-
+¥÷
êë
ø
B．
7
4
æ
ù
-¥ -
ç
ú
è
û
，
C．
7
2
æ
ù
-¥ -
ç
ú
è
û
，
D．
7 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø
2．（25-26 高三上·重庆南岸·阶段练习）已知
0,
x
" Î
+ ¥ ，有ln
1
0
x
a x
-
+ £
，则a 的取值范围是（ ）
A．3
e ,
æ
ö
+ ¥
ç
÷
è
ø
B．3,
e
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
C．
2 ,
e
æ
ö
+ ¥
ç
÷
è
ø
D．
2 ,
e
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
3．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）已知当
0
x >
时，e
2
2ln
x
x
x
a
x
-
³
+
恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
,1
¥
-
B．
,2
2ln2
¥
-
+
C．
,2ln 2
¥
-
D．
,2
2ln2
¥
-
-
4．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）若关于x 的不等式
3
2
e
ln
1
x
ax x
x
x ³
-
+
在区间
1,+¥ 上恒成立，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
,1
-¥
B．
1
, 2
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
C．
,e
-¥
D．
1
, e
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
5．（25-26 高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数
e
ln
x
f
x
a
x
b
x
a
=
-
-
-
，,
R
a bÎ
，若
0
f x ³ 恒成立，
则2a
b
-
的最小值为
．
6．（2025·黑龙江大庆·一模）对于任意的xÎR ，不等式
2
e
ln
e
2
3
0
x
x
x
a
a
x
a
x
a
é
ù
+
-
-
-
-
+
+
£
ë
û
恒成立，则实数
a =
.
考点二
利用导数研究函数的恒成立问题
7．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）已知aÎR ，函数
e
1
x
f x =
- ，若
f
x
ax
³
恒成立，则a 的取值范围
是
.
8．（25-26 高三上·天津南开·开学考试）若关于x 的不等式
2
ln
2e x
a
ax £
在
0, ¥
+
上恒成立，则实数a 的取值范围
为
．
9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
2
( )
ln(
1)
f x
x
ax
x
=
+
+
-
（aÎR ）.
(1)当
1
a = 时，讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
0
x ³
时，
( )
0
f x ³
恒成立，求a 的取值范围.
10．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知函数
ln ,
1
0,
R
a
f
x
x g x
x
a
x
=
= -
>
Î
.
(1)若曲线
y
f x
=
在点
1,0
P
处的切线与曲线
y
g x
=
也相切，求a 的值；
(2)若
f x
g x
³
，求a 的最小值.
11．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
3
ln
1
2
x
f x
ax
b x
x
=
+
+
-
-
．
(1)若
0
b =
，且
0
f
x
¢
³
，求a 的最小值；
(2)证明：曲线
y
f x
=
是中心对称图形；
(3)若
2
a = - ，证明：当
0
b ³
时，
2
f x > - 在区间
1,2 上恒成立．
12．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知
ln
f x
ax
x
=
-
．
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)若
f x 在
2
0,e ùû 有两个零点，求a 的取值范围；
(3)若
2sin
cos
ln
x
x
x
x
f x
-
-
³
在
π
0, 2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 上恒成立，求a 的取值范围．
13．（25-26 高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数
2
1
1 ln 1
,
0,
f x
x
x
x
¥
é
ù
=
-
+
+
Î
+
ë
û
，
f
x
¢
为
f x 的导函
数.
(1)讨论
f
x
¢
的单调性；
(2)证明：
1
f x
x
£
+ ；
(3)若
1
f x
ax
£
+ ，求a 的取值范围.
14．（25-26 高三上·河南商丘·开学考试）已知定义域为R 的函数
f x 的导函数
2
3
2cos
f
x
ax
x
m
¢
=
+
-
，且曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程为y
x
=
．
(1)求m 的值；
(2)当
1
a = 时，讨论
f x 的单调性；
(3)若
0
f x ³ 在
0,
xÎ
+¥ 上恒成立，求a 的取值范围．
15．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）已知函数
sin
0
f x
x
mx x
=
+
³
.
(1)若函数
f x 的最大值为0，求m 的取值范围；
(2)证明：当
0
x ³
时，有sin
sin3
2
x
x
x
-
³ -
；
(3)若对任意
0
x ³
，都有sin
sin3
x
x
ax
-
£
成立，求实数a 的取值范围.
16．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知函数
2
ln
.
f x
x
a x
a a
=
-
-
ÎR
(1)讨论
f x 的单调性，并求相应极值.
(2)若
0
a >
，关于x 的不等式
ln
2e
2
a
f x
a
a
> - -
+
恒成立，求实数a 的取值范围.
1．（24-25 高二下·江西九江·期末）已知函数
cos
sin
f x
x
x
x
=
-
，若存在实数
0,2π
x Î
，使得
f
x
t
£ 成立，则
实数t 的最小值是（ ）
A．π
-
B．2π
C．-1
D．1
2．（25-26 高三上·山东·开学考试）若关于x 的不等式
2
ln
0
x ax
ax
-
-
³
有且只有一个整数解，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．ln3 ln 2
,
12
6
æ
ù
ç
ú
è
û
B．ln3 ln 2
,
12
6
é
ö
÷
êë
ø
C．ln 2 ln3
,
10
12
æ
ù
ç
ú
è
û
D．ln 2 ln3
,
10
12
é
ö
÷
êë
ø
3．（24-25 高二下·河北·期末）已知函数
e
1
0
x
f x
x
a
x
a
=
-
-
+
>
，若不等式
0
f x <
的整数解有且仅有两
个，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
1,2e 1
-
B．
2
1
1,2
e
æ
ù
-
ç
ú
è
û
C．
2
1
2
,2e 1
e
æ
ù
-
-
ç
ú
è
û
D．
2
1
1
,1
e
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
4．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）设函数
e
0
x
f x
ax a
=
-
>
，若存在唯一整数
0x 使
0
0
f
x
<
，则a 的取值
范围为（ ）
A．e ,e
2
æ
ù
ç
ú
è
û
B．e ,e
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
2e
e, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
D．
2e
e, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
5．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知函数
2 1e
x
f x
x
-
=
，
ln
(
0)
g x
a x
x a
=
-
<
，若对任意的
1
1,3
x Î
，总存在
2
1 ,1
e
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，使得
1
2
f x
g x
£
，则a 的取值范围是
.
考点三
利用导数研究函数的能成立问题
6．（2025 高三下·甘肃白银·学业考试）已知函数
e x
f x
mx
-
=
-
，若存在xÎR ，使得
f x
x
³
成立，则m 的取值
范围为
.
7．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）已知
f x 是定义域为
,0
0,
¥
¥
-
È
+
的奇函数，
f x 的导函数为
f
x
¢
，且当
0
x <
时，
0
f
x
f x
¢
>
恒成立.若关于x 的方程
1
f
ax
f
x
-
=
-
有解，则正实数a 的取值范围
为
.
8．（24-25 高二下·江西·期末）若关于x 的方程
2
2
2 ln
e
1
ax
x
x
ax
+
=
+
在区间
1,+¥ 上有解，则a 的取值范围是
．
9．（24-25 高二下·四川广元·期末）已知函数
3
2
1
3
f x
x
x
=
-
．
(1)求函数
f x 的图象在
3
x =
处的切线方程；
(2)若
f x
m
£
在
0,3
xÎ
上有解，求m 的取值范围．
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
2 e
1
x
f x
mx
=
-
- ，且
f x 在
0
x =
处取得极值．
(1)求m 的值及
f x 的单调区间；
(2)若存在
R
xÎ
，使得
2e
1
f x
x
a
£
-
- ，求实数a 的取值范围．
11．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知函数
eax
f x
x
=
-
．
(1)当
1
a = 时，求
f x 在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)求
f x 的单调区间；
(3)若
1,1
x
$ Î -
，使
3
f
x ³
成立，求a 的取值范围．
12．（25-26 高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数
2eax
f x
x
=
，其中
0
a >
．
(1)求
f x 在
0,
0
f
处的切线方程；
(2)求函数
f x 的极值；
(3)若关于x 的不等式
2
ea
f x £
在
,a +¥ 上有解，求实数a 的取值范围．
13．（24-25 高二下·福建泉州·期末）已知函数
( )
ln
f x
x
ax
b
=
+
-
，其中,
R
a bÎ
．
(1)若函数
( )
f x 有
1
x = 处取得极大值0，求,a b 的值；
(2)函数( )
( )
g x
xf x
=
．
（i）证明：曲线
( )
y
g x
=
图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
（ii）当
1
b = 时，若
( 1,
)
x
$ Î - +¥ ，使得(
1)
2sin
0
g x
x
+
-
<
成立，求实数a 的取值范围．
14．（24-25 高三上·福建三明·阶段练习）已知函数
2
2
2
1
2
2
ln
2
2
2
f x
x
ax
a
x
x
a
a
x
=
-
-
-
+
+
+
，
R
a Î
.
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)判断是否存在
1,
aÎ
+¥ ，使得
f x 的最小值为
2
1
4
ea
a
-
-
，并说明理由.
