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专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式
目录
题型一：分组求和：公式法.................................................................................................................................................1
题型二：分组求和：奇偶分段型.........................................................................................................................................3
题型三：分组求和：正负相间型.........................................................................................................................................5
题型四：倒序求和型.............................................................................................................................................................7
题型五：裂项相消1：函数型..............................................................................................................................................9
题型六：裂项相消2：指数型............................................................................................................................................12
题型七：裂项相消3：无理根号型....................................................................................................................................14
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型....................................................................................................................17
题型九：裂项相消5：等差指数混合型............................................................................................................................20
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型............................................................................................................................22
题型十一：裂项相消7：三角函数型................................................................................................................................26
题型十二：裂项型证明数列不等式...................................................................................................................................28
题型十三：三角函数型数列不等式证明...........................................................................................................................30
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式.......................................................................................................................35
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式.......................................................................................................................39
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式...................................................................................................................43
题型一：分组求和：公式法
1．（23-24 高三·河北唐山·模拟）已知数列
，
，
．
(1)证明：数列
，
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件得到
，
，即可证明答案.
（2）根据题意得到
，再解方程组即可.
（3）利用分组求和的方法求解即可.
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
等差：前n 项和公式：Sn＝na1＋d＝.
等比：前n 项和公式：Sn＝
1
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【详解】（1）因为
，
，
所以
，
.
而
，
，所以
，
，
.所以数列
是以首项
，公比为的等比数列.
数列
是以首项
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）知：
，
.
（3）因为
，所以
.
2．（2024·山东·二模）已知数列
，
中，
，
，
是公差为1 的等差数列，数列
是公比为2 的等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列
的通项公式，再根据等比数列的通项公式
计算出数列
的通项公式，即可计算出数列
的通项公式；
（2）根据数列
的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前
项和
．
【详解】（1）由题意，可得
，
故
，
，
数列
是公比为2 的等比数列，且
，
，
，
．
（2）由题意及（1），可得
，则
．
3．（23-24 高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可；
（2）利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可.
【详解】（1）由题意可知
，所以
，
设
的公差为d，则
，所以
；
（2）由题意知，
，
2
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易知
，
故
.
4．（22-23 高三·河南郑州·期中）已知数列
的前n 项和为
，且满足
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由
和
的关系式消去
得递推式
，由此构造等比数列
；
（2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得.
【详解】（1）当
时，
，解得
因
①，
当
时，
②
①-②得，
，即
， 则
，即
，
，又
所以
是以2 为首项，2 为公比的等比数列.
（2）法一、由（1）可得
，即
，
法二、由（1）可知
，即
，
又由题知：
代入可得
题型二：分组求和：奇偶分段型
1．（23-24 高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列{an}中，
，前n 项和为
，{bn}为各项均为正数的等
比数列，
，且
，
．(1)求
与
；
(2)定义新数列
满足
，
，求
前20 项的和
．
【答案】(1)
(2)
分组求和法：
1.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
3
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【分析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通
项；
（2）根据数列
的奇偶性特征，运用分组求和法计算
，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即
得.
【详解】（1）设数列{an}的公差为
，数列{bn}的公比为
，
则由
可得，
，解得：
故
（2）由（1）得，
，
，
则
2．（2024·山西·三模）已知等差数列
的公差
，前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意得到关于
、
的方程组，解得
、
，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得
，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，解得
或
，
因为
，所以
，则
；
（2）由（1）可得
，
所以
.
3．（23-24 高三下·广东·模拟）已知数列{an}是公差不为0 的等差数列，其前n 项和为
，
，
，
，
成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若
，
，求数列{bn}的前100 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项，
（2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解.
4
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【详解】（1）设数列{an}的首项为
，公差为
，根据题意得
即
解得
或
．又因
，所以
．所以{an}的通项公式为
．
（2）由（1）得
．即数列{bn}的偶数项是以4 为首项，4 为公差的等差数列，
奇数项是以
为首项，16 为公比的等比数列．
数列{bn}的前100 项中偶数项有50 项，奇数项有50 项，
数列{bn}的前100 项和
．
，
．
所以
．
4．（23-24 高三·江苏盐城·期末）已知等差数列
的首项为1，公差
.数列
为公比
的等比数
列，且
成等差数列.
(1)求数列
和数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果；
（2）分为奇数项和偶数项结合等差数列和等比数列的前
项和即可得结果.
【详解】（1）由于等差数列
的首项为1，公差
所以
，
由数列
为公比是2 的等比数列且
成等差数列，
知
，解得
，所以
.
（2）由（1）知，
，
.
题型三：分组求和：正负相间型
5
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1．（24-25 高三·全国·练习）已知数列
，求数列
的前
项和
．
【答案】
【分析】分奇偶讨论，结合分组（并项）求和即可.
【详解】若
是偶数，则
．
若
是奇数，则
．
综上所述，
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
与
的关系直接求通项公式即可；
（2）根据（1）中{an}的通项公式得到
，分奇偶讨论
并整合即可得到答案.
【详解】（1）由题意，当
时，
，
当
时，
，当
时，上式也符合，
所以{an}的通项公式为
.
（2）由（1）得，
，所以
，
．
（ⅰ）当n 为偶数时，
；
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的
奇数项通项。
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（ⅱ）当n 为奇数时，
；
综上所述，
.
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，对任意
，有
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
的前100 项的和.
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据
作差得到
，从而得到
，
结合等差数列的定义计算可得；
（2）由（1）可得
，记
，则
，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）由
，
，
两式相减得
，即
，
因为
，所以
，即
，
故
是首项为，公差为
的等差数列，所以
；
（2）由（1）知
，所以
，
记
，则
，
4．（23-24 高三·广东深圳·期末）已知等差数列
的前
项和为
，
，且
，
，
成
等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，
，
是数列
的前
项和.求
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）设出公差，根据条件求解公差，即可求出通项公式；
（2）利用并项求和法求解即可.
【详解】（1）
为等差数列，设公差为
，
，
，
，
，
成等比数列，
，
即
，整理得
，解得
或
，
当
时，
，
，当
时，
，
，
数列
的通项公式为
或
；
（2）
，由（1）知，
，
，
7
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，
.故
.
题型四：倒序求和型
1．（2022 高三·全国·模拟）设
是函数
的图象上任意两点，且
，已知点
的横坐标为
．
(1)求证：
点的纵坐标为定值；
(2)若
且
求
；
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到
，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运
算法则，可以得到常数；
（2）利用（1）中所求，当
时，
，可以采用倒序相加法，求和即可.
【详解】（1）证明：设
，因为
，故可得
，
由
知
，故
，
故
.
故
点的纵坐标为定值
.
（2）由（1）知
，两式相加得：
，
故
.
2．（20-21 高三·全国·模拟）已知函数
，数列
的前
项和为
，点
均在
函数
的图象上．
（1）求数列
的通项公式；
倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有
组合数。
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（2）若函数
，令
，求数列
的前2020 项和
．
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】（1）由题意可得
，然后利用
可求出数列
的通项公式；
（2）由题意可得
，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】（1）∵点
均在函数
的图象上，∴
．
当
时，
；
当
时，
，适合上式，∴
．
（2）∵
，∴
．又由（1）知
，∴
．
∴
，①
又
，②
①+②，
，∴
．
3．（20-21 高三·江苏苏州·期中）已知
（1）若
，求
；
（2）若
，求
除以5 的余数
【答案】（1）
；（2）余数为1.
【分析】（1）根据倒序相加法，结合二项式系数和公式进行求解即可；
（2）根据二项式定理进行求解即可.
【详解】（1）因为
所以
，
（2）因为
.
除以5 余数为1，所以
除以5 的余数为1.
4．（23-24 高三·四川成都·模拟）已知数列
满足：
，数列
满足
.(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
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【分析】（1）根据题意，当
时，可得
，两式相减，求得
，再由
，得到
，即可求得数列{an}的通项公式.
（2）由（1）得
，结合指数幂的运算法则，即可求得
的值；.
（3）由（2）知
，结合倒序相加法，即可求解.
【详解】（1）由数列{an}满足：
，当
时，可得
，
两式相减，可得
，所以
，当
，可得
，所以
，适合上式，
所以数列{an}的通项公式为
.
（2）由数列{bn}满足
，
则
.
（3）由（2）知
，
可得
，
则
，
两式相加可得
，所以
.
题型五：裂项相消1：函数型
1．（24-25 高三·广东·开学考试）已知数列
的各项均为正数，
为
的前
项和，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，记
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
函数型，指的是
（1）f（n）=t（q-p），差型；
（2）f（n）是分离常数型；
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【分析】（1）由题意知，当
时，
，代入题干表达式可得
，通过计算
数列
的通项公式即可计算出前
项和
的表达式，最后结合公式
，即可计算出数
列{an}的通项公式；
（2）由（1）计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前
项和
的表达式，最后根据不等
式的性质即可证明结论成立．
【详解】（1）由
，得
，即
；
又
，
所以
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
，又{an}是正项数列，所以
．
当
时，
，又当
时，
不符合
时
的形式．
所以
（2）证明：
，
．
2．（23-24 高三·江西·模拟）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法得到
，即可求出
的通项公式；
（2）由（1）可得
，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）因为
，当
时
，所以
；
当
时
，
所以
，所以
，经检验当
时
也成立，
所以
.
（2）由（1）可得
，
所以
，当
时，
，
11
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且
，
所以
单调递增，所以
．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
恒成立，求实数
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用
与
间的关系，得到
，再利用累积法，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果得到
，利用裂项相消法得到
，即可求出结果.
【详解】（1）因为
①，所以当
时，
②，
由①
②得到
，整理得到
，又
，所以
，得到
，
所以当
时，
，
当
，满足
，所以
.
（2）由（1）知
，
所以
，
因为
，且
，所以
是关于
的递增数列，由
恒成立，得到
，
所以实数
的最小值为.
4．（23-24 高三·河北石家庄·模拟）已知等差数列{an}的前n 项的和为
成等差数列，且
成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若
，数列{bn}的前n 项的和为
，试比较
与
的大小，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出{an}的通
项公式；
（2）将
化简，利用裂项相消法求和，即可得
，从而判断
.
【详解】（1）设
的公差为
，由题意得
，
12
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即
，解得
，
所以
.
（2）
，
所以
，
因为
，所以
，即
.
题型六：裂项相消2：指数型
1．（23-24 高三·河南·模拟）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）构造等比数列
，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求
，利用裂项求和法，求得
，再证明即可.
【详解】（1）因为
，所以
又
，
所以
，
所以
是以9 为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，所以
.
（2）由（1）知
，
所以
，又
，所以
.
2．（23-24 高三下·河南·模拟）已知数列
满足
(1)求证:
为等比数列；
指数型，类似函数型的列项思维
形如
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(2)数列
的前n 项和为
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.
（2）由（1）求出数列
的通项公式及前n 项和，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）数列{an}中，
，则
，
而
，即
，
所以数列
是以2 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
，
，
，
，
所以数列
的前n 项和
.
3．（23-24 高三·云南曲靖·模拟）设等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设数列
的公差为
，然后由已知条件列方程组求出
，从而可求出其通项公式；
（2）由（1）得
，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列
的公差为
，由题意可得
，解得
；
（2）由（1）可知
，
.
4．（23-24 高三·湖北武汉·模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人
称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球……，设各层球数构
成一个数列{an}
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(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的前
项和
，数列
满足
，求数列
的前
项和
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，可得当
时，
，
，再利用累加法求出
的通项.
（2）利用（1）的结论，结合
求出
，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）依题意，当
时，
，
，
，
满足上式，
所以数列
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，当
时，
，而
满足上式，
于是
，
，
因此
，所以数列
的前
项和
.
题型七：裂项相消3：无理根号型
1．（23-24 高三·四川南充·期末）已知数列
是等差数列，且
是数列
的前
项
和.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，求证：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
无理根式型裂项：
一般情况下，无理型裂项相消满足：
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【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可；
（2）先求出
，再求出
，后裂项相消，求出
，结合不等式性质证明即可.
【详解】（1）由于
则
，
则
，因此
，故数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知，
，则
，
则
，即
.
，由于
，则
，故
成立.
2．（23-24 高三·辽宁本溪·期末）设正项数列
是公差为
的等差数列，其前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据条件式结合等差数列的前n 项和公式，得出
，进一步得出
的二元一次
方程，解出即可求得{an}的通项公式；
（2）由（1）可得
，进一步得出
，再采用裂项法即可求得
.
【详解】（1）由
，得
，
又
，所以
，当
时，
，当
时，
，解得
，
所以
，故{an}的通项公式为
.
（2）由（1）可知
，所以
，
故
.
3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数
，
．
(1)若
在
处取得极值，讨论
的单调性；
(2)设曲线
在点
处的切线为，证明：除点
外，曲线段
总在的下方；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）由
在
处取极值待定
，再求导函数
，根据导函数的单调性与零点确定符号
变化区间，从而讨论
的单调性；
16
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（2）构造函数将命题转化为
在区间[0,2]恒成立，通过二次求导方法，逐次观
察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可；
（3）应用第（2）问结论赋值
得
，由此放缩后运算求和即可得证.
【详解】（1）
，x∈R，
，
由
在
处取得极值，得
，解得
.
当
时，
，
设
，则
在R上单调递减，且
.
则当
时，
，即
，故
在
单调递增；
当
时，
，即
，故
在
单调递减；
故
在
处取到极大值，满足题意.
在
单调递增；
在
单调递减.
（2）
，x∈R，
，
曲线y = f (x)在点
处的切线的斜率为
，
.
故切线方程为
，即
；
构造函数
，
，即
，其中
，
则
，x∈R设
，其中
，
则
，令
，得
，当
时，
，故
在
单调递减；
当
时，
，故
在
单调递增；
所以
在[0,2]单调递减，且
，
.
故当
时，
，即
，则
在
单调递增；
当
时，
，即
，则
在
单调递减；
故
在
处取极大值，且极大值为
，当且仅当
时，
.
所以当x∈[0,2]时，
恒成立.即
恒成立，
故除点
外，曲线段
总在的下方，命题得证.
（3）由（2）结论，任意
，
，
恒成立.
又由
可知，
单调递减，
则
，故
恒成立，
令
，则
恒成立.又由
所以
.
17
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故
，
故
.即
成立，命题得证.
【点睛】关键点点睛：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图
象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不
能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发现二次求导的可行性，进而继续求
导研究导函数性质，直至新的导函数符号可判断，再依次连锁回归分析即可；三是结论借用，本题第
（3）问解决的关键在于应用第（2）问所证明的切线放缩结论，进行赋值构造，再结合所求证结论中的特
殊取值加以猜想赋值，值得注意的是赋值一定要先研究参变量需要满足的取值范围，不能盲目入手导致错
误.
4．（2024·福建三明·三模）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，求实数t 的取值范围；
(3)记
，求证：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当
时求出
，
时，用
，即可求解；
（2）由
得出
，由
得
，根据对勾函数的单调性及
的值，即可求
出得范围；
（3）由（1）得
，则
，根据放缩法得
即可证明．
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
时成立， 所以
．
（2）由
得，
，显然
时，
单调递增，
，
由
得，
，又
，当且仅当
时，即
时
等号成立，因为
，
，且
，
，
，
所以当
时，
，解得
，当
时，
，解得
，
所以
．
18
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（3）证明：由（1）得
，
，
因为
所以
．
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型
1．（23-24 高三·浙江丽水·期中）设数列
为等差数列，前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的性质和前n 项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得
，根据裂项相消法计算可得
，即可证明.
【详解】（1）
，
由
，
所以
，
所以
．
（2）
所以
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列{an}的前n 项和为
，已知
.
(1)求数列{an}的通项公式；
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，
把分子次幂降下来。
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(2)设
，求数列{bn}的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
和
关系作差得
，再求出首项结合等差数列通项公式即可得到答案；
（2）求出
，代入化简得
，最后利用裂项相消求和法即可.
【详解】（1）由
，得
①，
当
时，
，解得
（负值舍去）.当
时，
②，
①
②，得
，化为
，
因为
，
，解得
，所以数列{an}是首项为3、公差为2 的等差数列，
所以
，即
.
（2）由（1）知
，所以
，
从而
，
则
，
，…，
，
以上n 个式子相加，得
.
3．（23-24 高三·安徽芜湖·模拟）设
是正项数列，且其前
项和为
，已知
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求得
的值，然后结合递推关系式整理可得数列{an}为等差数列，结合等差数列通项公
式可得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得
，利用分组法与裂项相消法求和即可.
【详解】（1）当
时，
，解得：
，
当
且
时，
，∴
，
整理可得：
，∵
，∴
，∴
，
∴数列{an}以2 为首项，4 为公差的等差数列，∴
.
（2）
，
20
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.
32．（23-24 高三·江苏盐城·期末）数列
中，
，
，设
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)若
，
为数列
的前
项和，求不超过
的最大的整数.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)2021
【分析】（1）对
两边都加
得到
，即可证明数列{bn}是等比数列；
（2）由
，利用错位相减法求和；
（3）由
得到
，
，裂项相消法求和得到
，所以不超过
的最大的整数为2021.
【详解】（1）将
两边都加
，得
，而
，所以
，
即有
，又
，即
，
，
所以数列{bn}是首项为
，公比为
的等比数列；
（2）由（1）知，
，则
，
，
则
，
因此，两式作差得到，
，所以
；
（3）由（2）知
，于是得
，则
，
因此，
，
所以
，
所以不超过
的最大的整数是2021.
题型九：裂项相消5：等差指数混合型
21
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1．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)记
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由题意进行因式分解，求得
，再根据
与
的关系式求得通项公式；
（2）由
代入求得
，结合裂项相消法求和得出结果.
【详解】（1）由题意，得
，又
，所以
，从而
．
当
时，
．由于
不符合上式，
故
（2）由（1）知
当
时，
，
所以当
时，
．又
也适合上式，所以
．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列
满足
．
(1)计算
，并求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
，
(2)
【分析】（1）由
，可得
，可得
，法一：可得
为常数列，可求数列{an}的通项公式；法二：可得
，
注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
22
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，利用累乘法可求数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得
，进而由裂项相消法可求
的前
项和
.
【详解】（1）由题可知，
，
令
，
，得
；令
，得
．
由已知
，可得
，
两式相减得
．
解法一：整理得：
．又
满足上式．从而
对
均成立．
因此
为常数列，即有
，故
．
解法二：
整理得：
．又
满足上式．故
．
即
．当
时符合上式，故
．
（2）由（1）可知
，所以
．因此
=
.
3．（2024 高三·全国·模拟）已知等差数列
的前n 项和为
，数列
是等比数列，
，
，
．
(1)求
与
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式和前n 项求和公式建立方程组，解之即可求解；
（2）由（1）可得
，进而
，结合裂项相消求和法计算即可求解.
【详解】（1）设数列
的公差为d，数列
的公比为
，
则由
，
，
，得
，
，
两式相除得
，所以
，
，
所以
，
．
（2）由（1）得
，
，所以
，所以
，
所以
．
4．（23-24 高三·江苏连云港·期中）已知数列
的前
项和为
，且满足：
，
.
23
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(1)求数列
的通项公式
；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设数列
的通项公式为
，问:是否存在正整数，使得
成等差数列？
若存在，求出和
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)
；(3)存在，，
取值见解析.
【分析】（1）利用
的关系求得递推公式
，变形可得
为常数列，然后可得通
项；
（2）由
，根据裂项相消法可得；
（3）根据等差中项列式整理可得
，由和
都为正整数可解.
【详解】（1）由
①，当
时，
，
当
时，
②，
①-②得
，即
，
所以
，所以
，当
时，
，上式也成立，
所以数列
为常数列，
， 所以
.
（2）由
，
，则
，
所以{bn}的前
项和为
.
（3）由（1）知
.要使
成等差数列，则
，
即
，整理得
， 因为
，为正整数，所以只能取2，3，5.
当
时，
；当
时，
；当
时，
.
故存在正整数，使得
成等差数列.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将
分裂为
，然后根据裂项相消法即可
得解.
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型
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1．（23-24 高三·湖北武汉·期中）已知数列
的首项
，且满足
，数列
的前
项和
满足
，且
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）由递推关系借助等比数列的定义进行证明；
（2）利用当
时，
，求出数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，可得通项公式；
（3）由
，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列.所以
.
（2）当
时，
，得
；
当
时，
，整理得
，
因为
，所以
，则
，
故数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，从而
，
所以数列
的通项公式为
.
（3）由
，
设数列
的前
项和为
，当
正负型：等差裂和型
25
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当
时，
综上：
.
2．（2024·四川·模拟预测）已知
为正项数列
的前
项和，
且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的前10 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知
与
的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对
时
进行检验，得到数列
是等差数列，从而写出通项公式；
（2）根据
得到
，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10 项和
.
【详解】（1）由题意知：
，即
，
当
时，
，两式相减，可得
，
因为
，可得
．
又因为
，当
时，
，即
，
解得
或
（舍去），所以
（符合），
从而
，所以数列
表示首项为3，公差为2 的等差数列．
所以数列
的通项公式为
．
（2）由题意得
，
所以
，所以
.
3．（23-24 高三·海南省直辖县级单位·模拟）设数列
的前
项和为
．若对任意的正整数
，总存在正
整数
，使得
，则称
是“
数列”．
(1)若
，判断数列
是否是“
数列”；
(2)设
是等差数列，其首项
，公差
，且
是“
数列”，
①求
的值；
②设
为数列
的前
项和，证明：
【答案】(1)
是“
数列”(2)①
；②证明见解析
26
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【分析】（1）首先求出
，再根据所给定义判断即可；
（2）①当
时,设{bn}的前
项和为
，根据
得到方程，解得
，又
，
为正整
数，故只有
时才满足要求，再利用数学归纳法进行证明；②由①可得
，
，
利用裂项相消法求出
，即可证明.
【详解】（1）因为
，当
时，
，
当
时，
，
又
，即
也满足
，综上可得
，
当
时存在
或
使得
（即
或
），
对于任意的正整数
，总存在正整数
，此时
，
综上可得对于任意的正整数
，总存在正整数
，此时
，
故{an}是“
数列”；
（2）①因为{bn}是等差数列，其首项
，公差
，设{bn}的前
项和为
，
故
，
，对任意的正整数
，总存在正整数
，使得
，
即
，当
时，
，此时只需
，
当
时，
，解得
，
又
，故
,又
为正整数，故
,此时
；
当
时，
，下面证明
恒为正偶数，
当
时，
，满足要求，假设当
时，
为正偶数，
则当
时，
，
由于
和
均为正偶数，故
为正偶数，满足要求，
所以
恒为正偶数，证毕，所以
.
②由①可得
，所以
，
所以
，因为
，
所以
单调递减且
，所以
，所以
.
27
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4．（23-24 高三·湖北·期中）已知等差数列{an}的前
项和为
，且
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前
项和为
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式构成方程组即可求得
的通项公式；
（2）将原式变形为
，再利用裂项相消法即可求得答案.
【详解】（1）设等差数列{an}的首项为
，公差为
．
因为
，所以
，
化简得
，所以
所以数列{an}的通项公式为
；
（2）
，整理得
，
所以
，
整理得
题型十一：裂项相消7：三角函数型
1．（2024 高三·全国·模拟）已知在数列{an}中，
.
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)若数列{bn}满足
，求数列
的前2024 项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到
，结合裂项法求和法，即可求解；
（2）由（1）知，
，结合
，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，可得
，
所以，当
时，
，
即
，又因为
，则
；
当
时，
成立，所以
.
（2）解：由（1）知，
，
所以
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，
因为
，
于是
，
，
所以
，所以数列{bn}的前
项的和为
.
2．（23-24 高三下·河南·模拟）已知数列
的前n 项和为
，
，
，
(1)求
；
(2)若
，求数列
的前1012 项和
．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得答案；
（2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案.
【详解】（1）当
时，因为
，所以
，
即
．又
，所以{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
．
（2）由（1）知，
，
，
而
所以
．
3．（2024·福建泉州·二模）已知数列{an}和{bn}的各项均为正，且
，{bn}是公比3 的等比数列．数
列{an}的前n 项和
满足
．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用递推公式可证得数列{an}是等差数列，可求出数列{an}的通项；利用等比数列的性质，
可求出{bn}通项；
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
【详解】（1）由题设，当
时
或
（舍），
由
，知
，
两式相减得
，
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（舍）或
，即
，
∴数列{an}是首项为2，公差为2 的等差数列，
．
又
．
（2）
则
当n 为偶数时，
；当n 为奇数时，
．
所以
.
4．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知
.
(1)求
；
(2)证明：
是等差数列，并求出
；
(3)设
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)证明见解析，
；(3)
【分析】（1）根据数列递推公式计算即可；
（2）根据等差数列定义即可证明，根据等差数列通项公式计算可得数列
通项公式；
（3）由
，根据裂项相消计算即可.
【详解】（1）
.
（2）
，故
是以1 为首项1 为公差的等差数列.故
.
（3）因为
，所以
题型十二：裂项型证明数列不等式
30
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45．（23-24 高三·江苏常州·模拟）已知数列
的前
项和为
，满足：
，且
．
(1)求证：数列
为等差数列，并求其通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，若不等式
对一切
恒成
立，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用数列
中
与
的关系结合等差数列的定义证明求解；
（2）利用裂项相消法求和以及等差数列的前
项和公式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
①，
②，
②
①得
，即
③，则
④，
④
③得
，化简得
，所以
，
所以数列
为等差数列，
由
，当
时
，解得
，
因为
，所以数列
以1 为首项，2 为公差，所以
.
（2）由（1）可得
,设
的前
项和中，奇数项的和为
，偶数项的和为
，
所以
，
，
当
为奇数时，
，
所以
，
当
为偶数时，
，
所以
，
由
，得
，即
，
当
为偶数时，
对一切偶数成立，
当
时，
有最小值为5，,所以
，
当
为奇数时，
对一切奇数成立，即
对一切奇数成立，
当
时，
有最大值为
，所以此时
，
综上，对一切
恒成立，则
的取值范围是
．
2．（23-24 高三·安徽·期中）已知数列{an}的前n 项和为
，满足
，
，
.
裂项型证明数列不等式：
1. 裂项求和。
2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。
3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明
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(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的前n 项和为
，证明：当
时
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用公式
时，
，得到关于数列
的递推关系式，法一，转化为
，利用累乘法求通项公式，法二，转化为
，判断数列
是常数列，即
可求通项公式；
（2）首先根据（1）的结果求数列
的通项公式，并放缩为
，利用裂项相消
法求和，即可证明.
【详解】（1）根据题意，当
时，
法一：
∴
当
时，
，也满足
.
法二：可得
，所以数列
是常数列，
.
（2）
，
，
首项
满足，所以
，所以
，设数列
，
数列
前n 项和为
，
分析可得，数列
从第2 项开始放缩成
，设数列
数列
前n 项和为
，所以
.
3．（23-24 高三·山西·期中）已知数列
满足
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前
项和公式进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行证明即可.
【详解】（1）由题可得
，则
，…，
，
，
将这
项相加，可得
，
所以
，经检验
成立，所以
.
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（2）由题可得，
，当
时，
，又因为当
时，
，
所以
.
4．（23-24 高一下·上海·期中）设
是数列
的前
项和，且
是
和2 的等差中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
；
①求数列
的前
项和
；
②设
，是否存在常数，使
对
恒成立？若存在，求出的
最小值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)①
；②存在，
【分析】（1）由等差中项的性质可得
，再由
可证得数列
是首项为2，
公比为2 的等比数列，即可求出数列
的通项公式；
（2）①由等比数列的前
项和公式求解即可；
②由裂项相消法可求出
，再结合
的单调性即可求出答案.
【详解】（1）
是
和2 的等差中项，
①，
当
时，
，当
时，
②，
①-②得：
，
，
数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
.
（2）①
，
②由①可得：
，
，
由于
单调递增，可得
，即
，则存在常数，使
对
恒成
立，
可得
，即的最小值为
.
题型十三：三角函数型数列不等式证明
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1．（23-24 高三·湖北·期中）18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）
发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．其中，f
″ (x)表示
的二阶导数，
即为f
' (x)的导数，
表示
的
阶导数．
(1)根据公式估计
的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：
，当
时，请比较
与
的大小，
并给出证明；(3)已知
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
，证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据泰勒公式求得
，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数
，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为
，再
裂项求和即可证明.
【详解】（1）记
，则
，
，所以
，
因为
，
所以
且
，
，
．
三角函数数列不等式：
1. 利用三角函数的周期型。
2. 利用三角函数正余弦函数的有界性。
3. 一些题型，可以借助泰勒公式等导数形式证明的结论
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（2）令
，则
，
恒成立，
在
递增，
在
递增，
在
递增，
，即
.
（3）由题，
，则
，则
，
令
，
易得
在
上递增，在
上递减，从而
，
即
当且仅当
时取等号），
，即
，
，
，得证．
【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为
，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能
力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开
成无限项的多项式.当
在
处的
阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
.注：
表示函数
在原点处的一阶导
数，
表示在原点处的二阶导数，以此类推，
表示在原点处的
阶导数.
(1)根据公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(2)当
时，比较
与
的大小，并证明；
(3)设
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
，证明见解析(3)证明见解析
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【分析】（1）根据泰勒公式求得
，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数
，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式左边的通项放缩为
，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）由公式可得
，所以
.
（2）由（1）得
，得到结论：当
时，
下面给出证明：令
，则
，
令
，则
，
所以函数h(x)在(0,+ ∞)上单调递增，即当
时，
，
所以
在(0,+ ∞)上恒成立，所以函数
在(0,+ ∞)上单调递增，
即当
时，
，故当
时，
.
（3）因为
，所以
，则
，
由（2）可得：
且
，故
，
即
，
，
，
，所以，
.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式左边的通项放缩为
，再裂项求和即可证明.
3．（2024 高三·全国·模拟）已知函数
.
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(1)证明：
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数
的最小值即可得解.
（2）由
结合放缩法，转化证明
，即可推理得解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，则
，
当
时，
，当
时，
，函数
在
上递减，在
上递增，
所以
.
（2）先证
，设
，求导得
，
即函数
在区间
上单调递减，则
，即
，
于是
，
再证
，由（1）知
，当
时等号成立，
令
，则
，即
，
所以
，
，
，
累加可得
，所以
.
4．（23-24 高三·四川成都·期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下
垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数
的
图象，类似的可定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：
________；
(2)当
时，比较
与
的大小，并说明理由；
(3)证明：
【答案】(1)
(2)
，理由见解析(3)证明见解析
【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解；
（2）构造函数
，
，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论；
（3）利用导数先证明当
时，
成立，令
，
且
，可得
，再
结合
，和前面的解答过程可得
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，即可得证.
【详解】（1）
.
（2）
，理由如下：
构造函数
，
，故
，
，
而
，得
，所以
为增函数，此时
，故
.
（3）下面证明：当
时，
成立，
令
，则
，
，
因此
在
上递增；所以
，即有
，
所以
在
上递增，所以
，
所以当
时，
成立，（1）令
，
且
，可得
，
即
，
由题意
，令
，
且
，可得
，
由前面解答过程得当
时，
，
，
，
所以
，
所以
，所以可得
，
可得
，
.
【点睛】方法点睛：解决新概念问题，关键是读懂题意，理解新概念的本质，把新情境下的概念、法则、
运算化归到常规的数学背景中，结合已知结论求解.
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式
1．（24-25 高三·辽宁·开学考试）已知
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，
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.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的最大值；
(3)设
，证明：
.
【答案】(1)
(2) (3)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式；
（2）分组求和分别求出
,再计算化简结合指数函数单调性计算求解；
（3）先根据
得出
,再证明
，结合等比数列求和证明右侧不等式
【详解】（1）由
，得
，所以数列
为等差数列，
所以
，所以
.又
，所以
，
设
的公差为d，即
解得
所以
的通项公式是
.
（2）由（1）知
，所以
，
，
令
，得
，设
，则数列
是递增数列.
又
，
，所以n 的最大值为5.
（3）由（2）知
，设
是
的前n 项和，则
，所以
是递
增数列，所以
成立.又
，
所以当
时，
，所以
，
得
，
所以
.综上，
.
2．（23-24 高三·江西南昌·模拟）已知数列
的前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)是否存在实数
，使数列
为等差数列？若存在，求出
的值：若不存在，请说明理由；
(3)已知数列
，
，其前
项和为
，求使得
对所有
都成立的自
然数
的值.
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【答案】(1)
(2)存在，且
(3)
【分析】
（1）令
，求出
的值，令
，由
可得
，两式作差推导出数列
为等比数
列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列
的通项公式；
（2）记
，由数列
为等差数列，则
，求出
的值，然后利用等差数列的定
义验证数列
为等差数列，即可得出结论；
（3）利用裂项相消法求出
的表达式，求出
的取值范围，可得出关于
的不等式，即可得出符合条件
的自然数
的值.
【详解】（1）解：因为数列
的前
项和为
，
，
，
当
时，有
，解得
，
当
时，由
可得
，
上述两个等式作差可得
，可得
，
所以，数列
是首项为，公比为
的等比数列，则
.
（2）解：由已知条件可得
，则
，
记
，若数列
为等差数列，且
，
，
，
则
，即
，解得
，
此时，
，所以，
，
故当
时，数列
为等差数列.
（3）解：因为
，
所以，
，
因为
，且
，故数列
单调递增，
所以，
，且
，故对任意的
，
，
因为不等式
对所有
恒成立，
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所以，
，解得
，因为
，则
的值为
.
3．（23-24 高三·浙江·模拟）已知数列
满足
，
.
(1)若
，求数列
的前n 项和
；
(2)若
，设数列
的前n 项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列{an}递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列
的前n 项和；
（2）若
，可得
，从而
，利用裂项相消法推导出前n 项和为
，
再由
的单调性可证明不等式成立.
【详解】（1）当
时，则
，得
，所以
，
所以数列{an}是以
为首项，公差为1 的等差数列.
所以
，则
，所以
，
，两式相减得
，所以
.
（2）当
时，由
，得
，所以
，
所以数列{an}单调递增，因为
，所以
，又由
，可得
，
所以
，即
，
则
，
所以
，易知
为递增数列，且
，
所以
，即：
.
【点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于
型数列，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于
型数列，利用分组求和法；
（4）对于
型数列，其中{an}是公差为
的等差数列，利用裂项相消法求和.
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4．（23-24 高三·河北承德·期末）已知正项数列
满足
，数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用对数运算，得
，再运用累乘法可求
，由
与
的关系可得
，则
时，数列
是以
为首项的常数列，可求{bn}的通项公式；
（2）利用错位相减法求
，从而得证.
【详解】（1）因为
，且
，所以
，
所以
，即
，所以
．
当
时，所以
，所以
．
因为
，所以
，所以
．
也符合上式，所以
．
当
时，
． 因为
，所以当
时，
，
所以当
时，
，即
， 所以当
时，数列
是以
为首项的常数
列，即
（
），所以
（
），所以{bn}的通项公式为
（2）因为
，
所以
， 两式相减得
，所以
．
【点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于
型数列，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于
型数列，利用分组求和法；
（4）对于
型数列，其中{an}是公差为
的等差数列，利用裂项相消法求和.
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式
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1．（23-24 高三·天津北辰·模拟）已知数列
为等差数列，
，
，数列
的前
项和为
，
且Sn=2bn−2(n∈N
*)，
(1)求
的通项公式．
(2)已知cn={
anbn,n 为奇数
(3an−4)bn
anan+2
,n 为偶数，求数列
的前
项和
．
(3)求证：
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的项求公差，即可求数列{an}的通项公式，由
，作差得到
，从而得到{bn}是以
为首项，
为公比的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）分
为奇数和偶数，求数列
的通项公式，再根据列项相消法和错位相减法求和；
（3）由
，再进行放缩，利用列项相消法求和，证明不等式.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为
，则
，
所以
，
因为
，当
时
，解得
，
当
时
，所以
，
即
，所以
，
即{bn}是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
.
（2）因为
，当
是奇数时，
，
当
是偶数时，
，
则
①，
②，
①-②得：
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以
求和，所以放缩成能求和的形式。
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即
，
化简得
.
，所以
.
（3）因为
，当
时
，
当
时，
，
所以
，
因为
，所以
，故
.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列，以及求和，不等式和放缩法的综合应用，第二位问的关
键是当
为偶数时，列项相消法求和，第三问的关键放缩后进行求和.
4．（2024·山东·二模）记
为数列
的前
项和，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
；
.(2)答案见解析
【分析】（1）分别取
和
即可求得
的值，对
进行分奇偶讨论，即可得到
的通项公式；
（2）根据题意化简得到
，再对该式进行两次放缩，分别求和即可证明不等式.
【详解】（1）因为
，所以当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，所以
.
又因为
，所以
.
当
为奇数时，
，所以
，
，
作差，
，所以
.
当
为偶数时，
，所以
，
，
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作差，
，所以
.
所以，
.
（2）由第1 小问得，
，所以令
，
所以
.
所以
.下面证明
：因为
，
所以
.
下面证明
：因为
，所以
，
所以
.所以
.
【点睛】方法点睛：本题考查数列的求通项、求和与放缩问题。求通项时要进行奇偶讨论，通项公式也要
写成分段函数的形式，放缩用到了两个不等式
和
，放缩之后再进行求和，即可证
明不等式.
3．（2024·广东肇庆·一模）已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且
，
，
，
.(1)求
；
(2)已知
，求数列
的前
项和
；(3)求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为
，等比数列{bn}的公比为
，由已知条件求出{an}和{bn}的通项，
利用等比数列前
项和公式求
；
（2）
为奇数和
是偶数时，分别求
的通项，利用分组求和求数列
的前
项和
；
（3）利用放缩和等比数列前
项和公式证明不等式.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为
，等比数列{bn}的公比为
，
由
，
，得
，解得
，
则
，
由
，
，得
，
，
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解得
，则
，
所以
．
（2）当
是奇数时，
，
当
是偶数时，
，
则
，
于是
，
两式相减，得
，
所以
，
，
所以
.
（3）证明：由（1）知，
，当且仅当
时取等号，
则
，所以
.
【点睛】方法点睛：
1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未
被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
2.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列
的前n 项和时，可采用错位相减法求
和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.
4．（23-24 高三·辽宁·期末）已知函数
，数列{an}满足
正整
数
(1)求
的最大值；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
【答案】(1)最大值为0；(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值；
（2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可；
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（3）
，所以
，得
，适当放缩后，再累加即可.
【详解】（1）因为
的定义域为
，所以
当
时，
，
在
上递增，
当
时，
，
在
上递减，
所以
在
时有最大值，所以
，即
的最大值为0；
（2）由（1）知，
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
，
，
累加得
，即
.
（3）因为
，所以
，得
，
，
，
，所以
，即
，所以
，
所以
，
，
，所以
，
，所以
得证．
【点睛】关键点点睛：第一问借助导数研究即可，第二问主要是要借助第一问的结论
，
得到
，再用对数性质，裂项累加求和；第三问关键要用
，两边平方，得到
，再放缩后，累加求和.转化思想要求很高，属于难题.
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式
1．（2024·全国·模拟预测）设整数
，
且
，函数
．
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析；2)证明见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）通过求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最小值
，从而
；
（2）构造函数
，求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最大值
，从
而g(x)<0，所以
；
（3）利用（1）（2）中的结论，
，
，得到
，
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放缩证明.
【详解】（1）
．因为
，
，所以
单调
递增．
因此，当
时，f
' (x)<0，
单调递减；当
时，f
' (x)>0，
单调递增，所以
．
（2）设
，则
，所以
在
上单调递减，
故
，从而当
时，
．
（3）由（1）知
，所以
，再利用
，
于是
因此，
．
【点睛】方法点睛：常见的放缩公式
；
；
；
2．（24-25 高三·四川成都·开学考试）已知
.
(1)求
的定义域；
(2)若
恒成立，求
能够取得的最大整数值；
(3)证明：
.
【答案】(1)
(2)1(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数有意义，得到不等式组
，构造函数
，通过求导推出
，即可得到函数的定义域；
（2）由题设不等式恒成立等价转化为
，
恒成立，讨论函数
得
，则须使
，令
得其
当且仅当
时取到最小值，得解.
（3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到
，取
，推得
再对
进行赋值相加即可得证.
【详解】（1）要使函数
有意义，需满足
，令
，
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则
，令
解得
，当
时，
在
上单调递
减，
当
时，
在
上单调递增，
∴f (x)的定义域为(0,+ ∞)；
（2）由
恒成立得，
，当
时，不等式恒成立；
下面说明当
且为整数时不等式成立的情况.当
时，不等式显然成立，
当
时，等价于
恒成立，此时
恒成立，
令
，则
，令
得
，
当
即
且
为整数时，无解；
当
即
且
为整数时，
若
，则
，若
，则
，即h(x)在
上单调递增，在
上单调递
减，
则要使不等式恒成立，须使
恒成立，
令
则
故
单调递增，
从而
，当且仅当
时取等号，此时恰有原不等式恒成立，
综上所述，
能够取得的最大整数值是1；
（3）由（2）可知，当
时，
恒成立，即
，即
，
当
时，
，即
，
令
，则有
即
于是，
，得证..
3．（24-25 高三·河北·开学考试）已知函数
.
(1)求证
；
(2)求方程
解的个数；
(3)设
，证明
.
【答案】(1)证明见解析(2)有两个解(3)证明见解析
【分析】（1）作差构造函数，结合导数求出构造函数的最小值即可得解；
（2）作差构造函数，将方程的解个数问题转化为了函数的零点个数问题，结合导数求出构造函数的极值
点和单调区间，即可得解；
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（3）借助第1 小问的结论
，通过换元转化为
，设
得
，等价于
然后利用裂项相消法进行计算即可
得证.
【详解】（1）令
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时，
单调递增，则
，所以
得证.
（2）由
得
，即
，
令
，
所以函数
的零点个数，即为方程
解的个数，
，令
，即
，解得
，
-
0
+
单调递减
单调递增
因为
，所以
在
上有唯一一个零点，
又
，所以
在
上有唯一一个零点.
综上所述，方程
有两个解.
（3）由（1）知，
，
令
，则
，即
，
设
，则满足
，所以
，即
，所以
所以
即
.
【点睛】关键点点睛：第（1）、（2）小问是通过转化化归，构造函数进行处理，第（3）问的关键是借
助第（1）问的结论，进行等价变形，然后进行裂项处理，结合数列的裂项相消求和即可得解.
4．（23-24 高三·山东日照·期中）已知数列
满足
，且对任意正整数
都有
.
(1)写出
，并求数列
的通项公式；
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(2)设数列
的前
项和为
，若存在正整数
，使得
，求
的值；
(3)设
是数列
的前
项和，求证：
.
【答案】(1)
，
，
(2)2
(3)证明见解析
【详解】（1）因为对任意正整数
都有
，
故
，
，
令
，可得
，
所以
.
当
时，
，
当
时，
，符合上式，所以
；
（2）由（1）得
，当
为偶数时，
当
为奇数时，
为偶数，
.
综上所述，
；
若
为偶数，则
为奇数，由
，得
，
解得
（舍去）或
；
若
为奇数，则
为偶数，由
，得
，方程无解，
不合题意，舍去.
综上，所求
的值为2.
（3）由
现在我们来证明
时，
，
令
，求导得
，
所以
在(0,+ ∞)上单调递增，所以
，
结合当
时，
，有
，
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所以
.故
【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简
，得
，再证明
时，
，
利用结论，对数列{bn}进行放缩，得到
，可证结论.
52
