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第1 节 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、
图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.2.理解集合间包含与相等的含义，能
识别给定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合
的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用
Venn 图表达集合间的基本关系与基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N * 或
N ＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B
中的元素，就称集合A 为集合B 的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的
真子集，记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
1
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符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集
合A 的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或
x∈B}
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空子集
有2n－1 个，非空真子集有2n－2 个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1 或1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线
y＝x2＋1 上的点集.
(3)错误.当x＝1 时，不满足集合中元素的互异性.
2.(易错题)已知集合A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝( )
A.[0，＋∞)
B.[－1，＋∞)
C.[－1，0]
D.(－1，0)
答案 A
2
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解析 易知A＝[0，＋∞)，B＝[－1，＋∞)，故A∩B＝[0，＋∞).
3.(易错题)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m 的值为( )
A.1
B.－
C.1 或－
D.－1 或
答案 B
解析 当m＋2＝3 时，m＝1，此时，m＋2＝2m2＋m＝1，故舍去；
当2m2＋m＝3 时，解得m＝－(m＝1 舍去).
4.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(
)
A.{2}
B.{2，3}
C.{3，4}
D.{2，3，4}
答案 B
解析 因为A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B.
5.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，
3，4}，则A∩(∁UB)＝( )
A.{3}
B.{1，6}
C.{5，6}
D.{1，3}
答案 B
解析 由题设可得∁UB＝{1，5，6}，
故A∩(∁UB)＝{1，6}.
6.若集合A，B，U 满足ABU，则U＝( )
A.A∪(∁UB)
B.B∪(∁UA)
C.A∩(∁UB)
D.B∩(∁UA)
答案 B
解析 由题意，ABU，作出韦恩图如图所示，所以B∪(∁UA)＝U，故选B.
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考点一 集合的基本概念
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝
8}，则A∩B 中元素的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 C
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，
5)，(4，4)}.
2.已知集合A＝，则集合A 中的元素个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 C
解析 ∵∈Z，∴2－x 的取值有－3，－1，1，3，
又∵x∈Z，∴x 值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.
3.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A 且2x∈A}，则集合B 为
________.
答案 {0，1，2}
解析 由题意知，∵0∈A 且2×0∈A，1∈A 且2×1∈A，2∈A 且2×2∈A，故
B＝{0，1，2}.
4.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 024＝________.
答案 0
解析 由题意知a≠0，
因为{1，a＋b，a}＝.
所以a＋b＝0，则＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该
集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件
是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检
验集合中的元素是否满足互异性.
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考点二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集
合A，B，C 的关系为( )
A.B⊆A
B.A＝B
C.C⊆B
D.A⊆C
答案 D
解析 因为x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，
3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；
因为≤0，所以－5＜x≤4，则C＝(－5，4]，所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m
的取值范围为________.
答案 (－∞，3]
解析 ∵B⊆A，
∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
若B≠∅，则解得2≤m≤3.
故实数m 的取值范围为(－∞，3].
感悟提升 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或
区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn 图帮助分析及
对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏
解.
训练1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件
A⊆C⊆B 的集合C 的个数为________.
答案 4
解析 由题意，可得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}.
又∵A⊆C⊆B，
∴C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，共4 个.
(2)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m 的取值
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范围为________.
答案 [－2，2)
解析 若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；
若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝，不符合题意.
综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2).
考点三 集合的运算
例2 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，
n∈Z}，则S∩T＝( )
A.∅
B.S
C.T
D.Z
答案 C
解析 法一 在集合T 中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集
合S 中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可
知，T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.
(2)设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁RB)＝( )
A.{x|－1＜x＜2}
B.{x|0＜x＜1}
C.∅
D.{x|0＜x＜2}
答案 B
解析 由题意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1 或x≥1}，所以∁RB＝{x|－1＜x
＜1}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
(3)集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a
的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.(－∞，1]
答案 B
解析 易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝.
∵N＝{x|2x＋a＞0}＝，
∴∁UN＝.
由M∩(∁UN)＝∅，则－≤－，得a≥1.
感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研
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究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还
是空心.
训练2 (1)(多选)(2022·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|
≤2}，则下列关系式正确的是( )
A.A∩B＝∅
B.A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C.A∪∁RB＝{x|x≤－1 或x＞2}
D.A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}
答案 BD
解析 ∵A＝{x|－1＜x≤3}，
B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－1＜x≤2}，A 错误；
A∪B＝{x|－2≤x≤3}，B 正确；
∵∁RB＝{x|x＜－2 或x＞2}，
∴A∪∁RB＝{x|x＜－2 或x＞－1}，C 错误；
A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}，D 正确.
(2)(2021·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}，B＝{x|4x＞2m}，若A∩B
中有三个元素，则实数m 的取值范围是( )
A.[3，6)
B.[1，2)
C.[2，4)
D.(2，4]
答案 C
解析 集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|4x＞2m}＝，
∵A∩B 中有三个元素，∴1≤＜2，
解得2≤m＜4.
Venn 图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn 图表示两个集合的
交、并、补集，借助于Venn 图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card 表
示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A 的元素个数.
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例 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的
学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学
既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62%
B.56% C.46%
D.42%
答案 C
解析 用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋
(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
(2)某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两
个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加
数学和物理小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有4 人，则同时参加数
学和化学小组的有________人.
答案 8
解析 设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参
加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图.
由全班共36 名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8 人.
1.(2021·重庆三模)若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，则A 中的元素个数为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 B
8
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解析 A＝{x∈N|x2－5x＜0}＝{x∈N|0＜x＜5}＝{1，2，3，4}.共4 个元素.
2.(2021·北京卷)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝( )
A.{x|0≤x<1}
B.{x|－1<x≤2}
C.{x|1<x≤2}
D.{x|0<x<1}
答案 B
解析 由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选B.
3.(2021·天津卷)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则
(A∩B)∪C＝( )
A.{0}
B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4}
D.{0，2，3，4}
答案 C
解析 ∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，∴A∩B＝{1}，
∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}.
4.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N 等于( )
A.[0，1]
B.(0，1]
C.[0，1)
D.(－∞，1]
答案 A
解析 ∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}.
5.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合
M 的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 C
解析 由得
∴A∩B＝{(2，－1)}.
由M⊆(A∩B)，知M＝∅或M＝{(2，－1)}.
6.(2021·上海卷)已知集合A＝{x|x＞－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2≥0，x∈R}，
则下列关系中，正确的是( )
A.A⊆B
B.∁RA⊆∁RB
C.A∩B＝∅
D.A∪B＝R
答案 D
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解析 ∵A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
∴A∪B＝R，D 正确，其余选项均错误.
7.(2022·长沙质检)已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实
数a＝( )
A.－1
B.2
C.－1 或2
D.1 或－1 或2
答案 C
解析 因为B⊆A，
所以必有a2－a＋1＝3 或a2－a＋1＝a.
①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1 或a＝2.
当a＝－1 时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足条件；
当a＝2 时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件.
②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，
此时集合A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1 应舍去.
综上，a＝－1 或a＝2.
8.(2021·河南名校联考)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－8x＋15)}，B＝{x|a＜x＜a＋
1}，若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，3]
B.(－∞，4]
C.(3，4)
D.[3，4]
答案 D
解析 易知A＝{x|x2－8x＋15＞0}＝{x|x＜3 或x＞5}，
由A∩B＝∅，可得所以3≤a≤4.
9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示
的集合为________.
答案 {x|0＜x≤6}
解析 由题图知阴影部分所表示的集合为
A∩B＝{x|0＜x≤6}.
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10.已知集合A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，若A∩B＝(－1，n)，
则m＋n＝________.
答案 0
解析 ∵A∩B＝(－1，n)，
∴m＝－1，n＝1，
∴m＋n＝0.
11.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.
答案 0 或3
解析 因为B⊆A，所以m＝3 或m＝.即m＝3 或m＝0 或m＝1，根据集合中元
素的互异性可知m≠1，所以m＝0 或3.
12.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m 的
取值范围是________.
答案 [0，＋∞)
解析 ①当2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②当2m＜1－m，即m＜时，需满足
或所以0≤m＜.
综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞).
13.(多选)(2021·济宁模拟)若集合A＝{x|sin 2x＝1}，B＝，则下列结论正确的是(
)
A.A∪B＝B
B.∁RB⊆∁RA
C.A∩B＝∅
D.∁RA⊆∁RB
答案 AB
解析 A＝{x|sin 2x＝1}
＝
＝，
B＝
＝，
显然集合
⊆，
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所以A⊆B，则A∪B＝B 成立，所以A 正确.
∁RB⊆∁RA 成立，所以B 正确，D 错误.
A∩B＝A，所以C 错误.
14.(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪，直到1872 年，德国数
学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德
金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无
理”的时代，也结束了持续2 000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金
分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N，且满足M∪N＝Q，
M∩N＝∅，M 中每一个元素小于N 中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.
试判断下列选项中，可能成立的是( )
A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B.M 没有最大元素，N 有一个最小元素
C.M 有一个最大元素，N 有一个最小元素
D.M 没有最大元素，N 也没有最小元素
答案 BD
解析 对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A
错误；
对于B，设M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M 中没有
最大元素，N 有一个最小元素0，故B 正确；
对于C，若M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝
Q，M∩N＝∅，故C 错误；
对于D，设M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M 没有最
大元素，N 也没有最小元素，故D 正确.
15.设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A 且k＋1∉A，那么k
是A 的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3 个元素
构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 符合题意的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，
{5，6，7}，{6，7，8}，共6 个.
16.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A 的一种分拆，并规定：
当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A 的同一种分拆.若集合A 有三个
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元素，则集合A 的不同分拆种数是________.
答案 27
解析 不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，
∴当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2 种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，
当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4 种，
同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4 种，
当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8 种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27 种不同的分拆.
13
