一、集合与逻辑
1、区分集合中元素的形式
.如：
}
1
2
|
{
2
x
x
y
x
A
;
}
1
2
|
{
2
x
x
y
y
B
;
}1
2
|)
,
{(
2
x
x
y
y
x
C
.
2、条件为
B
A
，在讨论的时候不要忘了
A
的情况
.
3、
}
|
{
B
x
A
x
x
B
A
且
;
}
|
{
B
x
A
x
x
B
A
或
；C
UA={x|x∈U 但xA}.
4、A∩B=A A∪B=B A B.
5、含
n 个元素的集合的子集个数为
2n,真子集
(非空子集
)个数为
2n－1;
6、逻辑联结词（
“或”
、“且”
、“非”
)：
复合命题的形式
: p 或q (同假为假
,否则为真
);
p 且q (同真为真
, 否则为假
); 非p(记”┑p”
,与p 真假相反
).
7、原命题
:若p 则q ; 逆命题
: 若q 则p ; 否命题
: 若
p 则
q ；
逆否命题
: 若
q 则
p ； 互为逆否的两个命题是等价的
.
8、注意命题
p
q
的否定与它的否命题的区别
:
命题
p
q
的否定是
p
q
；否命题是
p
q
命题“
p 或q”的否定是“┐P
且┐Q”
，“ p 且q”的否定是“┐P
或┐Q”
.
9、若
,
q
p
则p 是q 的充分条件
; 若
,
p
q
则p 是q 的必要条件
;
若
,
q
p
则p 是q 的充要条件
.
二、不等式
1、a>b a-b>0; a<b a-b<0;a=b a-b=0;
2、a>b,c>d a+c>b+d,a-d>b-c; 3、a>b,c>0 ac>bc, a>b,c<0 ac<bc
4、a>b>0,c>d>0 ac>bd,
c
b
d
a
; 5、
n
n
b
a
b
a
0
,
n
n
b
a
,n∈N
+
6、重要不等式：①
ab
b
a
R
b
a
2
,
,
2
2
则
; ②
2
2
2
)
2
(
2
b
a
b
a
;
③
R
b
a,
,则
ab
b
a
2
; ab
2)
2
(
b
a
.
求最值
: ① 一正二定三取等，若等号取不到则用单调性；②
积定和最小
,和定积最大
.
7、证法
:①比较法（差法）
: 作差
--变形
(分解或通分配方
) ---定号，常用来比较两式的大小。
② 综合法
--由因导果
; ③ 分析法
--执果索因
; ④ 反证法
--正难则反。
8、ax2+bx+c>0(a>0)若△
>0,x
1<x
2 , 则解集为
{x|x<x
1或x>x
2}; 若△
<0,则解集为
R ;
ax2+bx+c<0(a>0)若△
>0,x
1<x
2 , 则解集为
{x|x
1<x<x
2}; 若△
<0,则解集为
φ .
9、解指数、对数不等式用函数单调性
(注意真数大于
0);含参数时要分类讨论
.
10、线性规划问题：
当A>0 时,Ax+By+C>0 表示直线的斜右侧区域
; Ax+By+C<0 表示直线的斜左侧区域
;
求最优解时注意：①
目标函数值≠截距；②
目标函数斜率与区域边界斜率的大小关系
.
三、平面向量
1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量
2、加、减法的平行四边形与三角形法则
:
AC
BC
AB
;
C B
AC
AB
3、
A
B
A
B
y
y
x
x
AB
,
;若
2
2
1
1
,
,
,
y
x
b
y
x
a
，则
a
=(
1
1, y
x
);
2
1
2
1
,
y
y
x
x
b
a
;
cos
|
|
|
|
b
a
b
a
=
2
1
2
1
y
y
x
x
;
b
a
b
b
a
)
0
(
//
0
1
2
2
1
y
x
y
x
( >0
b
a 与
同向
;<0 反向
)
4、非零向量：
0
b
a
b
a
0
2
1
2
1
y
y
x
x
2
2
)
(
)
(
|
|
A
B
A
B
y
y
x
x
AB
AB
AB
,
2
2
1
1
y
x
a
a
a
.
cos
b
a,
=
b
a
b
a
=
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
y
x
x
, b 在a 上的投影为
a
b
a
.
5、若
),
|
|
|
|
(
OB
OB
OA
OA
OP
则P 在∠
AOB 平分线上
; 若
O
OC
OB
OA
,则O 为重心
.
6、
1e 和
2e 是平面一组基底
,则该平面任一向量
2
2
1
1
e
e
a
(
2
1,
唯一
)
7、设
P(x,y),P
1(x
1,y
1),中点公式：
.
2
,
2
2
1
2
1
y
y
y
x
x
x
； 三角形重心公式：
.
3
y
y
y
y
,
3
x
x
x
x
3
2
1
3
2
1
四、数列
1、a
n ={
)
,
2
(
)
1
(
*
1
1
N
n
n
S
S
n
S
n
n
，注意验证
a
1是否包含在
a
n 的公式中
.
2、
)
*
,
2
(
2
)
(
1
1
1
中项
常数
｝等差
｛
N
n
n
a
a
a
d
a
a
a
n
n
n
n
n
n
);
0
(
)
(
2
的二次函数
常数项为
一次函数
Bn
An
s
b
an
a
n
n
3、
);
(
q
)
N
n
2,
(n
a
a
a
}
a
1
1
n
1
-
n
2
n
n
定值
中项
等比
｛
n
n
a
a
;
a
a
1
1
n
m
n
m
n
n
q
a
a
q
4、首项正的递减
(或首项负的递增
)等差数列前
n 项和最大
(或最小
)问题
,转化为解
不等式
)
0
0
(
0
0
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
或
,或用二次函数处理
;
5、等差数列中
a
n=a
1+(n-1)d;S
n=
d
n
n
na
2
)
1
(
1
=
2
)
(
1
n
a
a
n
=
d
n
n
na
n
2
)
1
(
等比数列中
a
n= a
1 qn-1;当q=1,S
n=na
1 ; 当q≠1,S
n=
q
q
a
n
1
)
1
(
1
=
q
q
a
a
n
1
1
;
6. 等差数列中
, a
n=a
m+ (n－m)d,
n
m
a
a
d
n
m
; 当m+n=p+q,a
m+a
n=a
p+a
q；
等比数列中，
a
n=a
mqn-m; 当m+n=p+q ，a
ma
n=a
pa
q；
7. 等差三数设为
: a-d,a,a+d ; 等比三数可设为
: a/q,a,aq ；
8. 数列求和时关键要看通项的结构，常用方法
:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加
.
求通项常用法
:公式、迭加、迭乘、构造等比
,如：
a
n=ka
n－1+b (k≠0,k≠1).
9. 常
用
结
论
：
1 ）
，
2 ）
，
3 ）
4)
k
k
k
k
k
1
1
1
)1
(
1
1
2
；
1
1
1
)1
(
1
1
2
k
k
k
k
k
5)
)
1
1
1
1
(
2
1
)1
)(
1
(
1
1
1
1
2
2
k
k
k
k
k
k
；
五、概率与统计
１、必然事件
P(A)=1,不可能事件
P(A)=0,随机事件的定义
0<P(A)<1；
2、互斥事件
(不可能同时发生的
): P(A+B)=P(A)+P(B);
对立事件
(A、B 不可能同时发生
,但A、B 中必然有一发生
):P(A)+P( A )＝1;
独立事件
(事件
A、B 的发生互不影响
): P(A•B)＝P(A)· P(B);
3、总体、个体、样本、样本容量
;
抽样方法
: ①简单随机抽样
(包括随机数表法
,抽签法
) ;
②系统抽样
(等距离抽样
) ; ③分层抽样
(用于个体有明显差异时
).
4、古典概型的概率公式：
如果一次试验中可能出现的结果有
个，而且所有结果都是等可能的，
如果事件
A 包含
m 个结果，那么事件
A 的概率
n
m
A
P
)
(
.
5、几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则
称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
6、回归直线方程为
y
a
bx
，它过样本点的中心
)
,
(
y
x
; 相关系数
r 满足
|r|≤1,
|r|越近于
1,相关程度越大
;|r|越近于
0,相关程度越小；
r>0 则正相关
, r<0 则负相关
.
7、在频率分布直方图中：
① 小矩形的面积
=组距
组距
频率
=频率，所有小矩形面积的和
=1；
② 众数是最高矩形的中点的横坐标；
③ 中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值；
六、三角函数
1、终边相同
(β =2kπ +α ); 终边落在坐标轴上的角
( 如α = 2
k
); 其中
Z
k
。
1
1
1
)1
(
1
n
n
n
n
)
2
1
1
(
2
1
)
2
(
1
n
n
n
n
)
(
)
1
1
(
1
1
q
p
q
p
p
q
pq
n
α 、
2
关系
(如:α 终边在一、二象限，则
2
终边在一或三象限
).
2、掌握正余弦、正切图象和性质
:定义域、值域、周期、奇偶性、单调性、最值
;
3、函数
)
(x
f
y
=
)
sin(
x
A
b（
0
,0
A
）的图像掌握
:
① 五点法作图
; ② 周期
T=
2
；③
当φ =kπ 时,奇函数
; 当φ =kπ + 2
时偶函数
;
④ 对称轴处取最值
,中心处值为
b,余弦正切可类比正弦
;
⑤ 变换
:
)
sin(
)
sin(
sin
1
|
|
x
y
x
y
x
y
倍
横坐标伸缩到原来的
左或右平移
)
sin(
sin
sin
|
|
1
x
y
x
y
x
y
左或右平移
倍
横坐标伸缩到原来的
b
x
A
y
x
A
y
b
A
)
sin(
)
sin(
|
|
上或下平移
倍
纵坐标伸缩到原来的
4、=
R
L ; L
弧长= R ; S
扇= 2
1 LR= 2
1 R2 (其中角为弧度制
) ; π =1800, 1 弧=57.30
5、同角基本关系：
⑴ 商的关系：
①
tan
cos
sin
r
y
②
r
x
cos
③
tan
= x
y =
cos
sin
⑵ 平方关系：
1
cos
sin
2
2
号规律
: 一全
正
,
二正
弦
,
三是
切
,
四余
弦 ;
6、诱导公式简记
:奇变偶不变
．．．．．
,．符号看象限
．．．．．
．(注意：公式中始终视
．．．
．为锐角）
．．．．
7、和差倍公式：
sin
cos
cos
sin
)
sin(
,
sin
sin
cos
cos
)
cos(
；
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
,
2
tan
1
tan
2
2
tan
cos
sin
2
2
sin
,
2
2
2
2
sin
2
1
1
cos
2
sin
cos
2
cos
降幂公式：
2
2
cos
1
sin2
；
2
2
cos
1
cos2
．辅助角公式：
)
sin(
cos
sin
2
2
x
b
a
x
b
x
a
8、正弦定理
:2R=
A
a
sin
=
B
b
sin
=
C
c
sin
; 余弦定理：
a 2 =b 2 +c 2 -2bc
A
cos
,
bc
a
c
b
A
2
cos
2
2
2
等；
面积公式：
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B
。
七、函数与导数
1、映射的概念
(象唯一
,原象未必有且也未必唯一
),函数的概念
(三要素
).
2、分数指数幂
:
n
m
n
m
a
a
;
|
| a
a
n
n
(
0,
,
a
m n
N
,且
1
n
),
运算法则：
as·a
t=as +t; (as)t=as t; (ab)s=as bs;
s
s
a
a
1
(s,t∈Q,a>0)
3、对数
: log
aN=b ab=N(a>0,a≠1,N>0);
N
log
a
a
=N; log
aab=b;
1
log
,
0
1
log
a
a
a
;
运算法则
: log
aMn = nlog
aM ; log
aMN=log
aM+log
aN; log
a N
M =log
aM-log
aN;
换底公式
:
log
log
log
m
a
m
N
N
a
. 推论
:log
log
m
n
a
a
n
b
b
m
,
a
b
b
a
log
1
log
4、指数函数
y=ax与对数函数
y=log
ax 互为反函数
(a>0,a≠1)，它们的图象关于直线
x
y
对
称。
注意
: 已知函数
y=log
a(x2+bx+c)定义域为
R 时，则△
<0; 若值域为
R 时，则△≥
0.
5、一次函数
:y=ax+b(a≠0),a>0 时增函数
;a<0 时减函数
;b=0 时奇函数
;
6、二次函数
① 三种形式
: 一般式
: f(x)=ax2+bx+c (对称轴
x=-b/2a ,a≠0);
顶点式
: f(x)=a(x-h)2+k; 零点式
: f(x)=a(x-x
1)(x-x
2) ；
② 区间上的最值
: 讨论开口方向
,对称轴与区间的相对位置关系
;
③ 实根分布
: 先画图再研究△
>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号。
7、反比例函数
:
)
0
x
(
x
c
y
平移
b
x
c
a
y
( 中心为
(b,a) )
8、函数
x
a
x
y
是奇函数：
上为增函数
，
，
在区间
时
当
)
0
(
),
0
(
,
0
a
;
递减
，
，在
为双钩函数
时
当
)
0,
[
],
0
(
,
0
a
a
a
,
递增；
，
在
)
,
[
],
(
a
a
9、单调性
: ① 定义法
: x
1,x
2∈M =[a,b],则f(x)在[a,b]上递增（减）
,
,
2
1
M
x
x
当
2
1
x
x
时
)
0
(
0
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
)
0
(
0
)]
(
)
(
)[
(
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
)
0
(
0
)
(
)
(
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
；
② 导数法
: 函数
y=f(x) 在某区间内可导
,若
0
)
(
x
f
,则
)
( x
f
为增函数
;
若
0
)
(
x
f
,则f(x)递减
; ③ 复合函数由同增异减判定
,别忘记分析定义域
.
名称
图过定点
定义域
值域
性质
y=ax
(0,1)
R
R+
a>1 增; 0<a<1 减
y=log
ax
（1,0）
R+
R
同上
10、f(x)是偶函数
f(-x)=f(x)=f(|x|); f(x)是奇函数
f(-x)=-f(x);
定义域中含零的奇函数过原点，
(f(0)=0);
判断奇偶性时要注意：①定义域关于原点对称否；
②对于对数型函数用
f(x)± f(-x)=0;
奇函数在对称区间内单调性相同
; 偶函数在对称区间内单调性相反
;
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于
Y 轴对称。
函数
x
f
y
关于
y 轴的对称曲线方程为
x
f
y
；
函数
x
f
y
关于
x 轴的对称曲线方程为
x
f
y
；
函数
x
f
y
关于原点的对称曲线方程为
x
f
y
；
11、若
y=f(x)满足
f(x+a)= f(a-x)(或f(x+2a)= f(-x))，则
f(x) 关于轴
x=a 对称；
若y=f(x)满足
f(x+a)= - f(a-x)(或f(x+2a)= - f(-x))，则
f(x) 关于点（
a，0）对称。
12、周期性
:y=f(x)满足
f(x +a)=f(x－a)或f(x± 2a)=f(x)恒成立
,则2a 为周期
;
若y=f(x)满足
f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=
)
x
(f
1
),则2a 为f(x)的一个周期
;
若y=f(x)有两个对称中心，或有两条对称轴，或一个中心一条轴，则它有周期，可类比三角函
数记忆。
13、图形变换
:
y=f(x)→y=|f(x)|,把ｘ轴上方的图象保留
,ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称得到上方图
象;
y=f(x)→y=f(|x|),把ｙ轴右边图象保留
,并将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称得到左方图
象.
14、恒成立问题与存在问题常常转化为求函数的最值来解决
,若能参变分离则分离。
一般步骤：①分离参数
; ②求最值
;
a≥f(x)恒成立
a≥[f(x)]
max,;
a
f(x)恒成立
a≤[f(x)]
min;
存在
,
0
M
x
使得
)
(
0x
f
a
a
[f(x)]
max ; 存在
,
0
M
x
使得
)
(
0x
f
a
a
[f(x)]
min;
15、y=f(x)在点
x
0处的导数几何意义
:
k=f/(x
0)表示曲线
y=f(x)在点
P(x
0,f(x
0))处切线的斜率。
导数
瞬时变化率。
V＝s/(t)表示
t 时刻即时速度。
16、基本公式
:
cosx ;
)
(sinx
Q);
(m
mx
)
(x
;)
(
))
(
(
1
-
m
m
x
f
C
x
Cf
x
a
ln
1
)
(log
;
x
1
)
(lnx
lna;
a
)
(a
;
e
)
(e
-sinx;
)
(cosx
x
a
x
x
x
x
法则
:
;
)
(
;
)
(
;
)
(
2
v
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
uv
v
u
v
u
17、导数应用
: ⑴求切线斜率
; ⑵研究单调性步骤
: 分析
y=f(x)定义域
; 求导数
;
解不等式
f/(x)>0 得增区间
; 解不等式
f/(x)<0 得减区间
;
⑶ 求极值、最值步骤
:求导数
;求
0
)
(
x
f
的根
;检验
)
(x
f
在根左右两侧符号：
若左正右负
,则f(x)在该根处取极大值
;若左负右正
,则f(x)在该根处取极小值
;
最后把极值与区间端点函数值比较
,最大的为最大值
,最小的是最小值
.
八、立体几何
1、平面的基本性质：三个公理及推论
; 共点、共线、共面问题
;
2、斜二测作图法；
几何体的三视图：理解三视图的投影规律
“长对正，高平齐，宽相等”
的含义
.
3、位置关系：①
空间两直线
: 平行、相交、异面
;
② 直线与平面
: a α 、a α ( a∥α 、a∩α =A ) ；
③ 平面与平面
: α ∥β 、α ∩β =a ；
4、求空间角与距离几何法步骤
:一作、二证、三算
.
① 异面直线所成角
(00,900]: 平移法求角，有中点多用中位线
;
② 线面角
[00,900]: 作平面的垂线找射影
；
5、平面图形翻折
(展开
): 注意翻折
(展开
)后在同一平面图形中角度、长度不变
;
6、长方体
: 对角线长
2
2
2
l
a
b
c
; 正方体和长方体外接球直径
=体对角线的长
;
7、正方体、长方体、特殊椎体的外接球面积
8、常用定理
: ① 线面平行：
//
//
a
a
b
b
a
;
//
//
a
a
;
//
a
a
a
；
② 线线平行
:
b
a
b
a
a
//
//
;
b
a
b
a
//
;
b
a
b
a
//
//
;
b
c
c
a
b
a
//
//
//
；
③ 面面平行
:
//
//
,
//
,
b
a
O
b
a
b
a
;
//
a
a
;
//
//
//
④ 线线垂直
:
b
a
b
a
; 所成角为
900；
⑤ 线面垂直
:
l
b
l
a
l
O
b
a
b
a
,
,
;
a
l
a
a
l
,
;
a
a
//
;
b
a
b
a //
⑥ 面面垂直：
a
a
;
a
a//
⑤ 线线平行
线面平行
面面平行
; ⑥ 线线垂直
线面垂直
面面垂直。
九、解析几何
1、倾斜角
α ∈[0,π ),α =900斜率不存在
; 斜率
k=tanα =
1
2
1
2
x
x
y
y
；理解倾斜角和斜率的关系。
2、直线方程
: 点斜式：
y-y
1=k(x-x
1); 斜截式：
y=kx+b;
一般式
: Ax+By+C=0 ； 截距式
:
1
b
y
a
x
(a≠0;b≠0);
注意：求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解。
3、两直线平行和垂直：
① 若l
1: y=k
1x+b
1,l
2:y=k
2x+b
2 ，则l
1∥l
2 k
1=k
2,b
1≠b
2 ; l
1⊥l
2 k
1k
2=-1 ；
② 若l
1: A
1x+B
1y+C
1 =0, l
2: A
2x+B
2y+C
2 =0, 且A
1、A
2、B
1、B
2都不为零
,
则l
1⊥l
2 A
1A
2+B
1B
2 =0 ；l
1∥l
2
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
;
(k 不存在或
A
1、A
2、B
1、B
2为0 时需讨论
)
③ l
1∥l
2 ，则化为同
x、y 系数后再求距离
: d =
2
2
2
1
|
|
B
A
C
C
4、点线距：
d=
2
2
0
0
|
|
B
A
C
By
Ax
;
5、圆
:标准方程：
(x－a)2+(y－b)2=r2; 一般方程
: x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
6、直线与圆关系
,常常化为弦心距与半径关系，如：用垂径定理
,构造
Rt△解决弦长问题；
又:ｄ>r 相离
; d=r 相切
;d<r 相交
.
7、 圆与圆关系
,常化为圆心距与两圆半径间关系
.设圆心距为
d,两圆半径分别为
r,R,则有：
d>r+R
两圆相离
; d＝r+R 两圆相外切
; |R－r|<d<r+R 两圆相交
;d＝|R－r| 两圆相内切。
8、椭圆
：①
方程
1
b
y
a
x
2
2
2
2
(a>b>0); ② 定义
: |PF
1|+|PF
2|=2a>2c ；
③ e=
2
2
a
b
1
a
c
,a2=b2+c2 ； ④ 椭圆上距焦点最近距离：
a-c， 最远距离：
a+c;
9、双曲线：①方程
1
b
y
a
x
2
2
2
2
(a,b>0)； ② 定义
: ||PF
1|-|PF
2||=2a<2c ；
③ e =
2
2
a
b
1
a
c
,c2=a2+b2 ；④
渐近线：
0
b
y
a
x
2
2
2
2
或
x
a
b
y
; 焦点到渐近线的距离为
b;
10、抛物线：①方程
y2=2px ；②
定义
:|PF|=d
准 ； ③焦点
F(
2
p ,0),准线
x=-
2
p ；
④ 焦点弦
AB ＝x
1+x
2+p; y
1y
2=－p2, x
1x
2 =
4
2
p
其中
A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2);
11、求动点的轨迹方程
: ① 直接法：建系、设点、列式、化简、定范围
；
② 定义法：说明动点
P(x,y)满足已知曲线的定义，由定义直接写出方程；
③ 相关点法：
动点
P(x,y)依赖于动点
Q(x
1,y
1)而变化
,Q(x
1,y
1)在已知曲线上
,用x、y 表示
x
1、
y
1,再将
x
1、y
1代入已知曲线即得所求方程。
