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专题19 计数原理与二项式定理
一、知识速览
二、考点速览
1
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知识点1 两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1 类方案中有m 种不同的方法，
在第2 类方案中有n 种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同的方
法，完成这件事共有N＝m·n 种不同的方法。
3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事
的方法数时，使用分步计数原理．
知识点2 排列与组合
1、排列与排列数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素排成一列，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个排列．从
个不同元素中取出
个元素的所有排列的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的排列数，用符号
表示．
（2）排列数的公式：
．
特例：当
时，
；规定：
．
（3）排列数的性质：①
；②
；③
．
2、组合与组合数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个组合．从
个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的组合数，用符号
表示．
（2）组合数公式及其推导
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
个不同元素中取出
个元素的组合数
；
第二步，求每一个组合中
个元素的全排列数
；
根据分步计数原理，得到
；
2
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因此
．
这里
，
，且
，这个公式叫做组合数公式．因为
，所以组合数公式还可表
示为：
．特例：
．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是
按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式
常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①
；②
．
3、排列和组合的区别
（1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在
于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是
在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排
列”．
知识点3 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理：
，
（2）通项公式：
，表示展开式的第
项：，
（3）二项式系数：系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
（2）二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
3
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②如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
（3）系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，
设第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
3、二项展开式中的系数和问题
（1）二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，
变形式
．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
（3）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
一、求解排列应用问题的六种常用方法
1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；
3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
6、间接法：正难则反、等价转化的方法
【典例1】（2023 上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南
苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为
“村BA”.村BA 给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，
同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023 年8 月20 日晚上村BA 西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛
顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2 名球员参加扣
篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A．
B．
C．
D．
4
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【典例2】（2023 上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）现有4 男3 女共7 个人排成一排照相，其中三个女
生不全相邻的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2022 上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、
乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可
以不相邻），则这样的出场排序有（ ）
A．24 种 B．40 种 C．60 种 D．84 种
【典例4】（2023·湖南永州·统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有
《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排
序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【典例5】（2023 上·上海·高三延安中学校考期中）从甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同项目的比赛，
要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1 人入选的不同参赛方案共有 种.
二、组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
【典例1】（2023 上·河北邢台·高三校联考期中）现有红色、黄色、蓝色的小球各4 个，每个小球上都标
有不同的编号.从中任取3 个小球，若这3 个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（
）
A．160 种 B．220 种 C．256 种 D．472 种
【典例2】（2023·云南·高三校联考模拟预测）2023 年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备
优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，
则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
5
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三、分组分配问题的解题思路
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例1】（2023 上·江苏常州·高三统考期中）将5 本不同的书分发给4 位同学，其中甲、乙两本书不能同
时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为 （用
数字作答）
【典例2】（2023 上·广东广州·高三空港实验中学校考期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比
赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
【典例3】（2023 上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，
书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2 门，该校学生小明想用前3 学年将五门选修课
程选完，则小明的不同选修方式有 种.（用数字作答）
【典例4】（2023 上·重庆·高三统考期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设
三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60 种 B．150 种 C．180 种 D．300 种
四、二项展开式中的特定项求解
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特
定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（2023 上·天津·高三南开中学校考阶段练习）二项式
的展开式中的常数项为
6
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.
【典例2】（2023 上·重庆·高三八中校考阶段练习）
的展开式的第4 项是 .
【典例3】（2023 下·河北邯郸·高三校联考开学考试）
的展开式中,有理项是 .（用关于x
的式子表示）
五、三项展开式中某些特定项的系数的求法
（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．
（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要
得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（2019 下·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）
的展开式中常数项为 .
【典例2】（2020 下·山东枣庄·高二枣庄第三中学校考阶段练习）在
的展开式中，x2项的系
数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【典例3】（2022 上·广东深圳·高三校联考阶段练习）下列各式中，不是
的展开式中的项是（
）
A．
B．
C．
D．
六、求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展
开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
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（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（2023 上·河南·高三实验中学校考期中）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
【典例2】（2023·全国·模拟预测）
的展开式中，常数项为（ ）
A．
B．
C．180 D．300
【典例3】（2023·河南·高三校联考模拟预测）在
的展开式中，按
的升幂排列的第三项为
.
七、二项式系数的和与各项的系数和问题
（1）系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和
题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1 等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.
【典例1】（2023·浙江·模拟预测）若
，且奇数项二项式系数之和为
512，则
.
【典例2】（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（2023 上·山西大同·高三统考阶段练习）若
，则
.
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八、二项式系数最大与最小
二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
（2）如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
【典例1】（2023 下·云南·高三师大附中校考阶段练习）
的展开式中二项式系数最大的项是（
）
A．160 B．240 C．
D．
【典例2】（2023 上·海南·高三洋浦中学校考阶段练习）若
的展开式中只有第5 项的二项式系数
最大，则展开式中的
项为 .
【典例3】（2023·山东·高三省实验中学校考二模）
展开式中二项式系数最大的项的系数为 ．
九、二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为
A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用 从而解出k 来，即得．
【典例1】（2023 上·全国·高三阶段练习）已知
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023·湖北襄阳·高三襄阳四中校考模拟预测）已知
的展开式中前三项的二项式系数和
为
，则展开式中系数最大的项为第（ ）
A．项 B．项 C．项 D．
项
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易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误
点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一
个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一
种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分
成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成n 个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同
的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.
【典例1】（2023 上·广东佛山·高三统考阶段练习）5 名同学去听同时举行的3 个课外知识讲座，每名同学
可自由选择听其中的1 个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5 个行政区域，现给该地区的5 个区域涂色，要求相
邻区域不得使用同一种颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.
【典例2】（2023 上·陕西西安·高三阶段练习）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、
西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，
且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点2 数字排列中“0”的位置不明
点拨：对于数字排列问题，0 是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0 不在首位的特殊要求。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）从0，1，…，9 中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数
字可以出现两次），如5224．则这样的四位数共有 个．
【典例2】（2023·福建泉州·高三统考模拟预测）将，，
，，
任意排成一行，可以组成 个
不同的6 位数．（用数字作答）
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【典例3】（2023·广东·高三深圳中学校联考模拟预测）用0，1，2，3，4，5 这六个数字组成无重复数字
的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有 个.
易错点3 忽略二项式中的负号
点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b 的系数为-1，展开求解释不要忽略。
【典例1】（2023 上·北京·高三三十五中学校考期中）二项式
展开式的常数项为 ．
【典例2】（2023·浙江·高三统考一模）
展开式中
的系数为 .
易错点4 混淆二项式系数与系数
点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1 项的系数是
，
其值只与
有关，与
无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；
但当a，b 的系数不是1 时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性
具体讨论而定.
【典例1】（2023 上·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）在二项式
的展开式中，下列说法
正确的是（ ）
A．第6 项的二项式系数最大 B．第6 项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为
D．所有项的系数之和为1
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列关于
的展开式的说法中正确的是（ ）
A．常数项为－160 B．第4 项的系数最大
C．第4 项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1
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