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第一章集合、常用逻辑用语、不等式
§1.6 一元二次方程、不等式
【高考考向预测】
近三年高考里一元二次方程与不等式考查频次极高，不仅单独命制小题，还广泛融入集合、
函数、导数等各类题型中，重点考查方程求解、不等式解集运算及含参范围讨论，是全卷通用解
题基础；预测2027 年高考依旧会延续高频考查态势，基础题型侧重解集求解与大小比较，重难点
偏向恒成立、存在性问题以及参数取值范围探究，命题更注重知识融合与实际应用，强化分类讨
论思想，整体立足基础、稳中微变。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. ( )
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x ，x )，则a<0. ( )
1 2
(3)若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0. ( )
x−a
(4)不等式 ≥0等价于(x-a)(x-b)≥0. ( )
x−b
【答案】（1）× （2）√（3）×（4）×
x−2
2.已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式 <0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的( )
x−1
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0，
解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}，
x−2
由 <0，即(x-2)(x-1)<0，解得1<x<2，
x−1
所以B={x|1<x<2}，
所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
3.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两实根一个比2大另一个比2小，则实数m的取值范围是
.【答案】{m|m<-3}
【解析】因为关于x的方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两实根一个比2大另一个比2小，
则22+2(2m-1)+4-2m=6+2m<0，
解得m<-3，
所以实数m的取值范围是{m|m<-3}.
3
4.(2025·兰州模拟)若不等式2kx2+kx- <0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 .
8
【答案】(-3，0]
3
【解析】当k=0时，不等式为- <0，显然成立，符合题意；
8
{
k<0,
当k≠0时，则 Δ=k2−4×2k× ( − 3) <0,
8
解得-3<k<0.
综上所述，k的取值范围是(-3，0].
【核心梳理●明考点】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)，不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应
关系
方程的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数的图象
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根x ，
1
方程的根 b 没有实数根
x (x <x ) x =x =-
2 1 2 1 2 2a
{ | b }
不等式的解集 { x | x < x 或 x > x } x x≠− R
1 2 2a
2.分式不等式与整式不等式
f(x)
(1) >0(<0) f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
g(x)
⇔
f(x)
(2) ≥0(≤0) f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
g(x)
⇔3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 (- ∞ ， - a ) ∪ ( a ， + ∞ ) ，|x|<a(a>0)的解集为 (- a ， a ) .
谨防三个易误点
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是∅.
【题型突破●明方向】
题型一 求解一元二次不等式
命题点1 不含参的不等式
例1 (多选)下列选项中，正确的是( )
{ | 3}
A.不等式-2x2+x≤-3的解集为 x x≤−1或x≥
2
2x+1
B.不等式 ≤1的解集为{x|-3≤x<2}
x−2
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
x+4
D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“ <0”的充分不必要条件
x−5
【答案】ABD
3
【解析】由-2x2+x≤-3，可得2x2-x-3≥0，即(2x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥ ，
2
{ | 3}
故不等式-2x2+x≤-3的解集为 x x≤−1或x≥ ，故A正确；
2
2x+1 x+3
因为 -1≤0，即 ≤0，即(x+3)(x-2)≤0且x-2≠0，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为
x−2 x−2
{x|-3≤x<2}，故B正确；
由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
x+4
由|x-1|<1，可得-1<x-1<1，解得0<x<2，由 <0，即(x+4)(x-5)<0，可得-4<x<5，因此“|x-1|<1”是
x−5
x+4
“ <0”的充分不必要条件，故D正确.
x−5
命题点2 含参的不等式
例2 解关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2≤m-1(m∈R).
【解析】不等式mx2+(1-m)x+m-2≤m-1，即mx2+(1-m)x-1=(mx+1)(x-1)≤0，
当m=0时，x-1≤0，解得x≤1；
1
若m≠0，则关于x的方程mx2+(1-m)x-1=0的两根分别为1，- ，
m
1
当m>0时，- <1，
m
1
解原不等式可得- ≤x≤1；
m
1
当-1<m<0时，- >1，
m
1
解原不等式可得x≤1或x≥- ；
m
当m=-1时，原不等式即为-(x-1)2≤0，即(x-1)2≥0恒成立，此时不等式的解集为R；
1
当m<-1时，- <1，
m
1
解原不等式可得x≤- 或x≥1.
m
{ | 1 }
综上所述，当m<-1时，原不等式的解集为 x x≤− 或x≥1 ；
m
当m=-1时，原不等式的解集为R；
{ | 1 }
当-1<m<0时，原不等式的解集为 x x≤1或x≥− ；
m
当m=0时，原不等式的解集为{x|x≤1}；
{ | 1 }
当m>0时，原不等式的解集为 x − ≤x≤1 .
m
【思维升华】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
x−4
【跟踪训练】1 (1)(2025·全国Ⅱ卷)不等式 ≥2的解集是( )
x−1
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
【答案】C
x−4 x+2 {(x+2)(x−1)≤0,
【解析】 ≥2即为 ≤0，即 故-2≤x<1，
x−1 x−1 x−1≠0,
故不等式的解集为{x|-2≤x<1}.(2)解关于x的不等式ax2+x+1>0，a∈R.
【解析】当a=0时，x+1>0，得x>-1；
当a<0时，Δ=1-4a>0，
−1+❑√1−4a
关于x的方程ax2+x+1=0的两个根分别为x = ，
1 2a
−1−❑√1−4a
x = ，x <x ，
2 2a 1 2
{ |−1+❑√1−4a −1−❑√1−4a}
此时不等式的解集为 x <x< ；
2a 2a
当a>0时，则当Δ=1-4a<0，
1
即a> 时，不等式的解集为R，
4
1
当Δ=1-4a=0，即a= 时，不等式的解集为{x|x≠-2}，
4
1
当Δ=1-4a>0，即0<a< 时，
4
−1+❑√1−4a
关于x的方程ax2+x+1=0的两个根分别为x = ，
1 2a
−1−❑√1−4a
x = ，x >x ，
2 2a 1 2
{ | −1−❑√1−4a −1+❑√1−4a}
此时不等式的解集为 x x< 或x> ，
2a 2a
综上可知，当a=0时，不等式的解集为{x|x>-1}；
{ |−1+❑√1−4a −1−❑√1−4a}
当a<0时，不等式的解集为 x <x< ；
2a 2a
1
当a> 时，不等式的解集为R；
4
1
当a= 时，不等式的解集为{x|x≠-2}；
4
1 { | −1−❑√1−4a −1+❑√1−4a}
当0<a< 时，不等式的解集为 x x< 或x> .
4 2a 2a
题型二 三个二次之间的关系
例3 (1)(多选)(2026·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞，1)∪(5，+∞)，则下
列结论正确的是( )
A.a>0
B.a+b+c>0{ | 5}
C.bx+c>0的解集是 x x>
6
{ | 1 }
D.cx2-bx+a<0的解集是 x x>− 或x<−1
5
【答案】CD
【解析】由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，
b c
由根与系数的关系可得1+5=- ，1×5= ，
a a
得b=-6a，c=5a，
对于A，因为a<0，故A错误；
对于B，a+b+c=a-6a+5a=0，故B错误；
对于C，不等式bx+c>0，
5
即-6ax+5a>0，即6x-5>0，得x> ，
6
{ | 5}
所以不等式bx+c>0的解集是 x x> ，故C正确；
6
对于D，由不等式cx2-bx+a<0，
得a(5x2+6x+1)<0，即5x2+6x+1>0，
1
则(5x+1)(x+1)>0，得x>- 或x<-1，
5
{ | 1 }
即解集为 x x>− 或x<−1 ，故D正确.
5
(2)若关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x ，x ，且x <1<x ，则实数a的取值范
1 2 1 2
围是( )
2 2 2
A.- <a< B.a>
7 5 5
2 2
C.a<- D.- <a<0
7 11
【答案】D
【解析】方法一 显然a≠0.
令f(x)=ax2+(a+2)x+9a，
则由题意得当a>0时，f(1)<0，
当a<0时，f(1)>0，
故af(1)<0，即a(11a+2)<0，
2
解得- <a<0.
11方法二 显然a≠0.
因为方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
{
a+2
x +x =− ,
所以 1 2 a
x x =9,
1 2
因为x <1<x ，
1 2
所以(x -1)(x -1)<0，
1 2
即x x -(x +x )+1<0，
1 2 1 2
a+2 2
则9+ +1<0，解得- <a<0.
a 11
【思维升华】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关
系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【跟踪训练】2 (2025·苏州模拟)下列命题正确的是( )
A.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x>1或x<-3}，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点为
A(-3，0)，B(1，0)
{ | 1}
B.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3或x<-1}，则cx2+bx+a>0的解集为 x −1<x<
3
C.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则a>0且b2-4ac<0
D.若关于x的不等式ax2+bx+c>0(abc≠0)的解集与不等式a x2+b x+c >0(a b c ≠0)的解集都是R，则
1 1 1 1 1 1
a b c
= =
a b c
1 1 1
【答案】C
【解析】A选项，由函数零点的定义知，A选项错误；
B选项，若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3或x<-1}，则a<0，且其对应的方程ax2+bx+c=0
b c
有两个解x =3，x =-1，且x +x =2=- ，x x =-3= ，即b=-2a，c=-3a，
1 2 1 2 a 1 2 a
1
所以cx2+bx+a=-3ax2-2ax+a>0，又a<0，即3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)>0，解得x<-1或x> ，所以不等式的
3
{ | 1}
解集为 x x<−1或x> ，B选项错误；
3
C选项，若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则a>0且其对应的方程ax2+bx+c=0无解，
即b2-4ac<0，C选项正确；
D选项，若关于x的不等式ax2+bx+c>0(abc≠0)的解集为R，
则a>0，且b2-4ac<0，
关于x的不等式a x2+b x+c >0(a b c ≠0)的解集是R，
1 1 1 1 1 1
则a >0，且b2 -4a c <0，无法确定其比例关系，D选项错误.
1 1 1 1题型三 一元二次不等式恒(能)成立问题
例4 已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求实数m的取值范围；
[ 1 1]
(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈ − ， 恒成立，求实数m的取值范围；
2 2
(3)若存在m∈(0，2)，使不等式f(x)>2成立，求x的取值范围.
【解析】(1)不等式f(x)<1，
即mx2-(m-1)x+m-2<0，
当m=0时，x-2<0，解得x<2，不符合题意；
{ m<0,
当m≠0时，有
Δ=[−(m−1)] 2−4m(m−2)<0,
3−2❑√3
解得m< ，
3
( 3−2❑√3)
综上所述，实数m的取值范围为 −∞， .
3
[ 1 1]
(2)不等式f(x)≥0对一切x∈ − ， 恒成立，
2 2
[ 1 1]
即m(x2-x+1)≥1-x对一切x∈ − ， 恒成立，
2 2
( 1) 2 3
因为x2-x+1= x− + >0，
2 4
1−x [ 1 1]
则不等式等价于m≥ 对一切x∈ − ， 恒成立，
x2−x+1 2 2
[ 1 1] [1 3]
由x∈ − ， ，1-x∈ ， ，
2 2 2 2
1 1
1−x
得 = x2−x+1= 1
x2−x+1 −x+
1−x 1−x
1 1
= 1 ≤ √ 1 =1，
1−x+ −1 2❑(1−x)· −1
1−x 1−x
1
当且仅当1-x= ，即x=0时等号成立，
1−x
( 1−x )
所以 =1，
x2−x+1
max
所以m≥1，即m的取值范围是[1，+∞).(3)若∃m∈(0，2)，使不等式f(x)>2成立，
即∃m∈(0，2)，(x2-x+1)m+x-3>0成立，
令h(m)=(x2-x+1)m+x-3，
( 1) 2 3
因为x2-x+1= x− + >0，
2 4
所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0，2)上单调递增，
1
则h(2)=2x2-x-1>0，所以x<- 或x>1，
2
( 1)
所以x的取值范围为 −∞，− ∪(1，+∞).
2
【思维升华】恒(能)成立问题中求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别
式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
(3)求能成立问题中的参数范围可转化为m>y 或m<y 的形式，通过求y的最小值或最大值，求得参
min max
数的取值范围.
【跟踪训练】3 已知y=x2+2(a-2)x+4.
(1)如果存在x∈R，y<0成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得对任意x∈{x|-3≤x≤1}，y<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不
存在，请说明理由.
【解析】(1)由题意知，只有当二次函数y=x2+2(a-2)x+4的图象与x轴有两个交点时，才能满足题意，
∴Δ=4(a-2)2-16>0，解得a<0或a>4，
∴实数a的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞).
(2)若对任意x∈{x|-3≤x≤1}，y<0恒成立，则满足题意的函数y=x2+2(a-2)x+4的图象如图所示，
25
{a> ,
{9−6(a−2)+4<0, 6
由图象可知，此时a应该满足 则
1+2(a−2)+4<0, 1
a<− ,
2
∴不等式组无解，
∴不存在实数a，使得对任意x∈{x|-3≤x≤1}，y<0恒成立.
题型四 一元二次不等式的实际应用例5 (北师大版必修第一册P39例6)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府
协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承
担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为
每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近
似满足一次函数：y=-10x+500.
(1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3
000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
【解析】(1)依题意可知每件的销售利润为(x-10)元，每月的销售量为(-10x+500)件，所以每月获得的利
润w与销售单价x的函数关系为w=(x-10)(-10x+500)(10≤x≤50).
(2)由每月获得的利润不小于3 000元，得(x-10)(-10x+500)≥3 000.
化简，得x2-60x+800≤0.
解得20≤x≤40.
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25.
设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1 000.
由20≤x≤25，得500≤-20x+1 000≤600.
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500，600]元.
【思维升华】利用一元二次不等式解决实际问题时，将实际问题通过建模，建立一元二次不等式模型，
再解决一元二次不等式问题，但应注意实际意义.
【跟踪训练】4 (湘教版必修第一册P57例9)某化学试剂生产厂以x kg/h的速度运输生产某种产品
( 3)
(生产条件要求边生产边运输，且1≤x≤10)，每小时可获得利润100 5x+1− 元.
x
(1)要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围.
(2)要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大，该工厂应该选取何种运输生产速度？并求最大利
润.
( 3)
【解析】(1)依题意可得2×100 5x+1− ≥3 000，
x
3
即5x-14- ≥0.
x
1
因为1≤x≤10，所以5x2-14x-3≥0，即(x-3)(5x+1)≥0，解得x≥3或x≤- .结合1≤x≤10知，x的取值
5
范围为3≤x≤10.
(2)设利润为y元，则依题意可得
900 ( 3)
y= ×100 5x+1−
x x( 3 1 )
=90 000 − + +5
x2 x
[ (1 1) 2 61]
=90 000 −3 − + .
x 6 12
1 1
因此，当 = ，即运输生产速度为6 kg/h时，该工厂获得的利润最大，最大利润为457 500元.
x 6
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·南昌模拟)设x∈R，则“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
{2x−1≥0, { 2x−1<0, 1
【解析】由|2x-1|≤x，得 或 解得 ≤x≤1.
2x−1≤x −2x+1≤x, 3
由x2+x-2≤0，解得-2≤x≤1，
1
当 ≤x≤1时，-2≤x≤1一定成立，反之，不一定成立，
3
所以“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的充分不必要条件.
2.设p：实数m满足-1<m<0，q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根，
{Δ=32−4×1×(m+1)≥0, 5
所以 解得-1<m≤ ，
m+1>0, 4
所以p是q的充分不必要条件.
3.(2026·济南模拟)若∃x∈R，mx2+2(m-3)x+4≤0，则实数m的取值范围为( )A.(1，9)
B.(-∞，0)
C.(-∞，1)∪(9，+∞)
D.(-∞，1]∪[9，+∞)
【答案】D
2
【解析】由题意知，当m=0时，不等式为-3x+2≤0，即x≥ ，显然-3x+2≤0在R上有解，符合题意；
3
当m<0时，抛物线y=mx2+2(m-3)x+4的开口向下，
显然mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解，符合题意；
当m>0时，要使mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解，
只需Δ=[2(m-3)]2-4×4×m≥0，
解得m≤1或m≥9，
又m>0，所以0<m≤1或m≥9，
综上，实数m的取值范围是(-∞，1]∪[9，+∞).
4.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成
本为C(元)，其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是( )
A.[20，30] B.[20，45]
C.[15，30] D.[15，45]
【答案】B
【解析】设该厂每天获得的利润为y元，
则y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500(0<x<80).
由题意知-2x2+130x-500≥1 300，即x2-65x+900≤0，解得20≤x≤45，
所以日销量x的取值范围是[20，45].
5.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a
的值的和是( )
A.13 B.21 C.26 D.30
【答案】B
【解析】设f(x)=x2-6x+a，其图象是开口向上，对称轴为直线x=3的抛物线，如图所示.
若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，{f(2)≤0, {4−12+a≤0,
则 即 解得5<a≤8，
f(1)>0, 1−6+a>0,
又因为a∈Z，所以a=6，7，8，故所有符合条件的a的值的和是6+7+8=21.
6.已知关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x <x<x }，其中x <x ，且(x −1) 2 +(x −1) 2 =3，则a等于(
1 2 1 2 1 2
)
A.-1 B.1
C.3 D.-1或3
【答案】C
【解析】关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x <x<x }，且x <x ，则x 和x 是关于x的方程x2-
1 2 1 2 1 2
ax+1=0的两根，
则Δ=a2-4>0，解得a>2或a<-2，
有x2 +1=ax ，x2 +1=ax ，x +x =a，
1 1 2 2 1 2
(x −1) 2+(x −1) 2=x2-2x +1+x2-2x +1=ax -2x +ax -2x =(a-2)(x +x )=a(a-2)=3，
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
即a2-2a-3=0，解得a=3(a=-1舍去).
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是( )
A.a<0
B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2)
C.4a-2b+c>0
( 1)
D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 −1，
2
【答案】BC
【解析】由已知可得a>0且-1，2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以A选项不正确；
b
{−1+2=− ,
a
由根与系数的关系可得
c
−1×2= .
a
解得b=-a，c=-2a，则不等式bx+c>0可化为-ax-2a>0，即x+2<0，
所以x<-2，所以B选项正确；
因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0，所以C选项正确；
1
不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1<0，解得- <x<1，
2
( 1 )
故不等式cx2-bx+a>0的解集为 − ，1 ，所以D选项不正确.
2
8.下列命题正确的是( )A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则实数a的取值范围是(-2，1)
B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-∞，3)
ax+b
C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式 >0的解集是{x|x>2或x<-1}
x−2
1 2 1 4 1
D.若 + =1(a>0，b>0)，则 + 的最小值为
a b a2 b2 2
【答案】ACD
【解析】对于A，二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上，
若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，
则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0，解得-2<a<1，故A正确；
对于B，若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，
则只需k(x-1)>x2-1，即k>x+1在(1，2)上恒成立即可，则k≥3，故B错误；
对于C，若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则a>0，a=b，
ax+b x+1
所以关于x的不等式 >0 >0 x<-1或x>2，故C正确；
x−2 x−2
⇔ ⇔
1 2 1 2 √ 2 4 1
对于D，若 + =1(a>0，b>0)，则 + =1≥2❑ ，解得 ≤ ，当且仅当a=2，b=4时等号成立，
a b a b ab ab 2
1 4 (1 2) 2 4 4 1 1
所以 + = + - =1- ≥1- = ，当且仅当a=2，b=4时等号成立，故D正确.
a2 b2 a b ab ab 2 2
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数
c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为 .
【答案】(-2，3)
【解析】依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0，
即x2-x-6<0，解得-2<x<3，
所以原不等式的解集为(-2，3).
x−4
10.(2025·南昌模拟)已知p： <0，q：x2-(a+1)x+a<0(a∈R)，且p是q的必要不充分条件，则实数a
x+3
的取值范围为 .
【答案】[-3，4]
x−4
【解析】由 <0，解得-3<x<4，
x+3
即p：-3<x<4，记解集为A=(-3，4)；
记关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(a∈R)的解集为B，
因为p是q的必要不充分条件，所以B A.
由x2-(a+1)x+a<0(a∈R)，得(x-1)(x-a)<0，
当a=1时，解集为∅，即B=∅，符合题意；
当a>1时，解得1<x<a，即B=(1，a)，此时要使B A，则1<a≤4；
当a<1时，解得a<x<1，即B=(a，1)，此时要使B A，则-3≤a<1，
综上可得-3≤a≤4，
即实数a的取值范围为[-3，4].
四、解答题(共27分)
11.(10分)(苏教版必修第一册P69习题3.3 T13)如图，某房地产开发公司要在矩形地块ABCD上规划出
一块矩形地块PQCR建造住宅区.为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF.由实地
测量知，AB=200 m，AD=160 m，AE=60 m，AF=40 m.问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其
面积最大？最大面积是多少？
【解析】设CR=x m，矩形CRPQ的面积为y m2，
作EN⊥PQ于点N(图略)，
EN x−140 2x−280
则 = ，∴EN= ，
40 60 3
2x−280 760−2x
∴QC=160- = ，
3 3
760−2x 2 72 200
∴y=x· =- (x-190)2+ ，
3 3 3
760−2x 380 72 200
∴当矩形住宅区的长为x=190 m，宽为 = m时，才能使其面积最大，最大面积为
3 3 3
m2.
12.(17分)(2025·天津北辰区模拟)已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1<x<2}.
(1)求实数a，b的值；(4分)
(2)若m≤0，求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集；(7分)
(3)若对任意实数x∈[1，2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围.(6分)
【解析】(1)由题意可得(a-1)x2-2bx-2=0的两根为-1和2，
{ (a−1)+2b−2=0,
所以
4(a−1)−4b−2=0,
{a=2,
解得 1
b= .
2(2)由(1)知amx2+(m-a)x-1≥0可化为2mx2+(m-2)x-1≥0，
即(2x+1)(mx-1)≥0，
1
当m=0时，不等式为2x+1≤0，解得x≤- ；
2
1 1
当m≠0时，(2x+1)(mx-1)=0的两根为- 和 .
2 m
当m<0时，
1 1 { 1}
①当- = ，即m=-2时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为 − ；
2 m 2
1 1 [ 1 1 ]
②当- < ，即m<-2时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为 − ， ；
2 m 2 m
1 1 [ 1 1]
③当- > ，即-2<m<0时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为 ，− ，
2 m m 2
( 1]
综上，当m=0时，原不等式的解集为 −∞，− ；
2
{ 1}
当m=-2时，原不等式的解集为 − ；
2
[ 1 1 ]
当m<-2时，原不等式的解集为 − ， ；
2 m
[ 1 1]
当-2<m<0时，原不等式的解集为 ，− .
m 2
(3)由(1)知amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mx2-2x-1≥0，
1 1
即m≥ + ，对任意1≤x≤2恒成立，
x 2x2
1 [1 ] 1
令t= ，则t∈ ，1 ，可得m≥ t2+t，
x 2 2
1
易知y= t2+t的图象的对称轴为直线t=-1，
2
1 [1 ]
则y= t2+t在 ，1 上单调递增，
2 2
3
所以当t=1时，y = ，
max 2
3
所以m≥ .
2
[3 )
所以实数m的取值范围为 ，+∞ .
2[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，1] B.[-2，1]
C.[-1，2] D.[-1，+∞)
【答案】B
{x2−ax−2a2,x≥a,
【解析】f(x)=x|x-a|-2a2=
−x2+ax−2a2,x<a,
若a>2，当2<x<a时，f(x)=-x2+ax-2a2，此时关于x的方程-x2+ax-2a2=0的Δ=a2-4×2a2=-7a2<0，
所以f(x)<0，不符合题意；
若0<a≤2，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>2a，
则2a≤2，即0<a≤1；
若a=0，当x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意；
若a<0，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>-a，
则-a≤2，即-2≤a<0.
综上，-2≤a≤1，故实数a的取值范围是[-2，1].
14.(多选)(2026·芜湖模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中
m<n)，关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)，则( )
A.A∩B=B
B.(A∪B) B
C.m+n=p+q
⊆
q 2
D.当b<-2时， + 的最小值为3
p q
【答案】BC
【解析】因为关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n)，
所以二次函数y =ax2-2ax+b与x轴有两个交点且a<0，交点坐标分别为(m，0)，(n，0)(m<n)，
1
又关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)，
所以二次函数y =ax2-2ax+b+2与x轴有两个交点且a<0，交点坐标分别为(p，0)，(q，0)(p<q)，
2
又二次函数y =ax2-2ax+b+2的图象是由y =ax2-2ax+b的图象向上平移2个单位长度得到的，
2 1
且y =ax2-2ax+b的图象开口向下，对称轴为直线x=1，
1
由于无法确定b的值，故只能得到y =ax2-2ax+b与y =ax2-2ax+b+2的大致图象，如图(这里只列出其中
1 2
一种)，所以p<m<1<n<q，
则A B，所以A∩B=A，A∪B=B，
所以A∪B=B B，故A错误，B正确；
⊆
又m+n=2，p+q=2，所以m+n=p+q，故C正确；
⊆
因为p，q为关于x的方程ax2-2ax+b+2=0(a<0)的两根，
b+2
所以p+q=2，pq= ，
a
b+2
又b<-2，所以b+2<0，所以pq= >0，
a
所以p>0，q>0，
q 2 q p+q q p √q p q p
所以 + = + = + +1≥2❑ · +1=3，当且仅当 = ，即p=q=1时取等号，
p q p q p q p q p q
q 2
又p<q，所以 + >3，故D错误.
p q
