专题2.7 指数与指数函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质
(2)熟练掌握指数函数的图象与性质
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
指数与指数
函数
天津卷：第2 题，5 分
天津卷：第5 题，5 分
北京卷：第4 题，4 分
天津卷：第7 题，5 分
上海卷（秋考）：第
13 题，4 分
天津卷：第6 题，5 分
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命题规律
分析
1、指数与指数函数
指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，
从近三年的高考情况来看，主要考查指数幂的运算、指数函数的性质，指数
函数较少单读考查，常结合幂函数与对数函数的图象与性质解决具体的问
题，包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考
察，难度较易。
知识点1
指数运算的解题策略
1．根式与分数指数幂
(1)根式的定义：式子
叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)分数指数幂
①正数的正分数指数幂：
；
②正数的负分数指数幂：
；
规定：0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义.
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2．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底
数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
知识点2
指数函数的常见问题及解题思路
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0 或1”等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单
调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【题型1
指数幂的运算】
【例1】（2026·北京大兴·三模）已知2�= 3, log25 = �，则2�−�的值为（
）
A．15
B．
5
3
C．
3
5
D．−2
【变式1-1】（2026·四川自贡·一模）已知�> �> 1，若log��+ log��=
5
2，��= ��，则��=（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
【变式1-2】（2026·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不
断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增
长符合模型：��= �0e��，其中�0为种群起始个体数量，�为增长系数，��为�时刻的种群个体数量.当�= 3
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.若�4 = 150，则�10 =（
）
A．300
B．450
C．600
D．750
【变式1-3】（2026·浙江嘉兴·二模）若实数�, �满足e�e2�−1 = 1，则��的最大值为（
）
A．
1
16
B．
1
2
C．
1
4
D．
1
8
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【题型2
指数函数的图象及应用】
【例2】（2026·安徽合肥·三模）当�< 0 时，函数��=
e�
�2−��的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数�=
�2
e|�|−2的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2026·河南·三模）函数��= 2−�−2�
�
�的大致图象是（
）
A．
B．
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C．
D．
【变式2-3】（25-26 高一上·湖南常德·阶段检测）函数��=
2�−2−�
�2−1 的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【题型3
比较指数幂的大小】
【例3】（2026·重庆北碚·模拟预测）设�=
2
3 ，�=
1
2
2
3，�=
2
3
1
2，则（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【变式3-1】（2026·天津河西·三模）设�= 2.10.7，�= 0.72.1，�= log2.10.7，则�，�，�的大小关系是（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【变式3-2】（2026·河南·模拟预测）已知�= log0.50.4，�= 0.50.4，�= log45，则（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【变式3-3】（2026·天津东丽·一模）已知�= ( 0.25)0.6, �= log40.6, �=
1
4
−0.3
则a，b，c 的大小关系是（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【题型4
解指数不等式】
【例4】（2026·重庆·模拟预测）已知集合�= {�|�≤3}，�= {�|2�> 1}，则�∩�=(
)
A．(1,3]
B．(0,3]
C．(0, + ∞)
D．( −∞, 3]
【变式4-1】（2026·广东汕头·一模）“log3�> log3�”是“3�> 3�”的（
）
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式4-2】（2026·陕西咸阳·二模）已知集合�= �∈��2 −2�−3 ≤0 ，�= �2�≤4 ，则�∩�=（
）
A．1,2
B．−1,0,1,2
C．0,1,2
D．0,1,2,3
【变式4-3】（2026·江西南昌·一模）已知��=
2−�, �≤−1
−�2 + 4�+ 1, �>−1 ，则不等式��< 1 的解集为（
）
A．−∞, −1
B．4, + ∞
C．−∞, 0 ∪4, + ∞
D．−1,0 ∪4, + ∞
【题型5
指数（型）函数的单调性问题】
【例5】（2026·广东广州·模拟预测）若函数��=
1
3
��+�
在区间0,2 单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．−∞, 4
B．4, + ∞
C．−4, + ∞
D．−∞, −4
【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）函数�(�) = 2 �2−4�−21的单调递减区间为（
）
A．( −∞, 2]
B．( −∞, −3]
C．[2, + ∞)
D．[7, + ∞)
【变式5-2】（2026·江西·二模）若函数��= 2025∣�−�∣在区间[2026, + ∞)上单调递增，则a 的取值范围为
（
）
A．[2026, + ∞)
B．(0,2026]
C．( −∞, 2026)
D．( −∞, 2026]
【变式5-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数��= 2�2+��−3在1, + ∞上单调，则�的取值范围是（
）
A．−2, + ∞
B．−1, + ∞
C．−∞, −2
D．−∞, −1
【题型6
指数（型）函数的最值（值域）问题】
【例6】（2026·云南昆明·二模）已知函数��= 2 �+ �, �∈−1,2 ，则��的最大值与最小值之差为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式6-1】（2026·海南·一模）若函数��= �
�
2 −1(�> 0 且�≠1)在区间0,4 上的值域为0,4 ，则�=（
）
A．3
B．5
C．3
D．5
【变式6-2】（2026·湖南岳阳·模拟预测）若函数�= 3�+ �在0,2 上的最小值与最大值的和等于24，则�=
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式6-3】（2026·安徽六安·模拟预测）若�(�)是定义在R 上的偶函数，当�≤0 时，�(�) = |2�−4|，则
函数�(�)在[ −1,1]上的值域为（
）
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A．[3,
7
2 ]
B．[ −3,0] ∪[3, + ∞)
C．[ −2,
7
2 ]
D．[ −3,2]
一、单选题
1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合�= �∈��2 −�−12 < 0 , �= �2�< 8 ，则�∩�=（
）
A．−2, −1, 0, 1, 2
B．0, 1, 2
C．1, 2
D．−3, 3
2．（2026·山西忻州·模拟预测）设�= 40.1，�= 20.3，�= log43，则a，b，c 的大小关系为（）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数�=
4
3
�
,
−1 ≤�≤0
�
4
3,
0 < �≤1
的值域为（
）
A．(0,1]
B．
3
4 , 1
C．(
3
4 , 1]
D．0,1
4．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数�, �, �满足�= 0.5�，�= 0.5
1
�2，�= ln�，则�, �, �的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
5．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数��= 3��2−2�在−1, + ∞上单调递减，则实数�的取值范围为（
）
A．−1, + ∞
B．−∞, −1
C．−1,0
D．−1,0
6．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是�0，�min
后的温度是�，则
�−��
�0−��= 2−�
ℎ，其中��表示环境温度，ℎ称为半衰期．现有一杯88∘C 的咖啡放在24∘C 的房间
中，如果咖啡降温到40∘C 大约需要20min，那么降温到30∘C 大约需要（
）（参考数据；lg2 ≈0.301, lg3 ≈
0.477）
A．33min
B．34min
C．35min
D．36min
7．（2026·天津·模拟预测）已知�，�> 0，则“�0.5 < �0.5 < 1”是“0.5�< 0.5�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数��=
2�
2�+1，有如下描述：①��的定义域为�；②��的值域
为0,1 ；③��是减函数；④��的图象关于点0,
1
2 对称．其中描述正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
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二、多选题
9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（
）
A．
5
−0.1 5 = 0.1
B．lg2 2 + lg2lg25 + lg5 2 = 1
C．
16
81
−3
4 =
8
27
D．e2+ln2 = 2e2
10．（25-26 高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数��= ��(�> 0，且�≠1)，若�3 = 8，则下列说法正
确的有（
）
A．�−1 =
1
2
B．�5 = 16
C．��是增函数
D．不等式��2 + 3�+ 1 < 32 的解集是−4,1
11．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数��=
e�−1
e�+1，则下列结论正确的是（
）
A．函数��的定义域为R
B．函数��的值域为−1,1
C．��+ �−�= 0
D．函数��为减函数
三、填空题
12．（2026·上海闵行·一模）已知�> 0，�> 0，化简：
3 �
3 �13 ⋅�2−3�
2+ 3
⋅�2−3 =__________.
13．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数�= ��−2025 + 2025（�> 0，且�≠1）的图象恒过定点P，则点
P 的坐标为__________．
14．（2026·吉林长春·二模）已知函数��= 2�−2−�，若�2�+ �−4 > 0，则�的取值范围是___________．
四、解答题
15．（2026·四川眉山·一模）计算下列各式的值：
(1) log105 2 + 2log102 −log102 2；
(2) 2
1
4
1
2 −−7.8 0 −3
3
8
2
3+
2
3
−2
.
16．（2026·上海黄浦·二模）已知��= 2�．
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(1)若��−�2 −�= 3，求�的值；
(2)是否存在实数�，使函数�= ��+ ��−�是奇函数？请说明理由．
17．（25-26 高一下·上海·期中）已知函数�= 1 −
�
5�+1 ，�∈R 是奇函数，�为实数．
(1)求�的值；
(2)当�∈[ −1,2)时，求函数�= 1 −
�
5�+1的值域．
18．（2026·上海黄浦·三模）已知函数��= �⋅2�+ 2−�．
(1)判断函数��= �⋅2�+ 2−�的奇偶性并说明理由；
(2)当�= 1 时，若存在�∈0, + ∞，使得��= �⋅2�+ 1 成立，求实数t 的取值范围.
19．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数��= �⋅��（其中�，�为常数，且�> 0，�≠1）的图象经过
点�1,6 ，�3,24 ．
(1)求��的解析式；
(2)若不等式
1
�
�
+
1
�
�
−�≥0 在−∞, 1 上恒成立，求实数�的取值范围．
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