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专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式
考点一
知弦求弦、切或知切求弦
考点二
利用平方关系求参数
考点三
与
关系的应用
考点四
正余弦齐次式的运算
考点五
利用同角三角函数基本关系证明三角函数恒等式
考点六
利用诱导公式化简、求值
考点七
利用诱导公式证明三角函数恒等式
一、同角三角函数的基本关系式
平方关系
商的关系
二、三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
奇变偶不变，符号看象限
考点一
知弦求弦、切或知切求弦
例1．（2022 秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知
，
，则
的
值为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平方关系和商数关系列式计算作答.
【详解】由
，
，知
，
，而
，
于是
，而
，所以
.
故选：C
例2．（2023 春·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）设
，
，且
，则
_______.
【答案】1
【分析】由向量平行的坐标表示，结合同角三角函数关系和商数关系可得．
【详解】因为
，所以
.
故答案为:1.
例3．（2023 春·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知
，
，则
_________.
【答案】
【分析】利用诱导公式与平方和关系求解即可.
【详解】因为
，所以
，所以
故答案为：
例4．已知
，
为第四象限角．
(1)求
的值；
2
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(2)设
,求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得
，再根据
求解即可；
（2）利用诱导公式化简得
，则有
，利用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】（1）解：因为
，
为第四象限角，
所以
，
所以
.
（2）解：因为
，
所以
例5．（2023 春·江西·高三校联考期中）已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求解即可.
【详解】由
，且
，
3
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得
，
所以
.
故选：A.
考点二
利用平方关系求参数
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，则
___________.
【答案】5
【分析】由同角平方和关系可解得
或
，将
代入检验即可得
，由半角公式即可求解.
【详解】由
，得
，解得
或
.
当
时，
，不符合题意，舍去；
当
时，
，
，
∴
.
故答案为：5
例7．（2022 秋·广东深圳·高三深圳中学校考期末）已知
，
是关于x 的方程
的两
根，则实数
________．
【答案】
【分析】利用韦达定理列出关于m 的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解．
【详解】由
，
是关于
的方程
的两根，所以
，
4
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由
，可得
，则
，
经检验符合题意，所以实数
的值为
.
故答案为：
例8．（2022 秋·湖南邵阳·高三湖南省隆回县第二中学校考阶段练习）设
，且
，
（
为锐角），则
的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据三角函数的有界性结合对数函数的单调性可得出
，再利用同角三角函数的平方关系可
求得
的值，即可得解.
【详解】由已知可得
，解得
，
又因为
，
所以，
，所以，
.
故答案为：
.
例9．（2022 秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考开学考试）已知
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简求解即可.
【详解】
，
，可得
，
上式两边平方可得
，
即
，解得
或
(舍去).
故选：D
例10．（2022 秋·湖北武汉·高三统考期末）已知
为正实数，且
对任意的实数
均成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．9
【答案】D
【分析】
，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得
答案.
【详解】由
对任意的实数
均成立，
可得
.
，当且仅当
，即
时取等号.则
.
故选：D
6
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考点三
与
关系的应用
例11．（2023 春·北京·高三大峪中学校考期中）若
是
的一个内角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将所求式子平方后，利用完全平方公式展开，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将
的值代入，开方即可求解．
【详解】
，
，即
，
，
则
，
故选：C.
例12．（2023 春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）已知
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据同角关系平方可得
，由二倍角公式以及诱导公式化简即
可代入求值.
【详解】由
平方得
，
，
7
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故选：A
例13．（2023 春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）已知
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知等式两边平方，求出
的值，结合
，可知
为第二象限角，可得
的值；
（2）由（1）知
的值，与已知等式联立可求出
的值，则
的值可求.
【详解】（1）把
平方后得，1+2sin
，可得2sin
=
，
由
，可得
，
，有
所以
<0．
由
得
．
（2）由（1）有
解得
所以
例14．（2023·全国·高三专题练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将题中式子平方即可求出
，先计算出
的值，再根据同角三角函数关系计算出
的值，最后根据公式
求出
，得出结果.
8
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【详解】因为
，
所以
．
又
，
所以
，故
．
所以
．
故选：D.
例15．（2023 春·四川南充·高三四川省南充市第九中学校考阶段练习）（多选）
已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A 项；由已知可得，
，展开即可得出B 项；先
得出
，根据已知可得
，开方即可判断C 项；根据
，
结合三角函数的符号，即可推出
，进而得出
，即可得出D 项.
【详解】对于A 项，因为
，
9
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所以
，故A 项正确；
对于B 项，由已知可得，
，
即
，
所以，
，故B 项正确；
对于C 项，
.
由已知
，
，可知
，所以
，
所以，
，故C 项错误；
对于D 项，因为
，
，
，所以
，
所以，
.
又
，所以
，故D 项正确.
故选：ABD.
考点四
正余弦齐次式的运算
例16．（2023 春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)3；
(2)1.
【分析】（1）根据给定条件，求出
，再利用齐次式法求值作答.
（2）利用二倍角公式变形，再利用齐次式法求值作答.
【详解】（1）由
，得
，
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所以
.
（2）由（1）知，
，
.
例17．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】利用正弦与余弦的二倍角公式整理等式，里根据三角函数的平方关系以及商式关系，进行弦化切，
并解得正切值，根据诱导公式，可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
解得
，则
，
故选：B．
例18．已知
，且
，求下列各式的值．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）解方程求出
，化简
即得解；
（2）化简
即得解.
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【详解】（1）由
，解得
或
，
又因为
，
．
则
．
（2）
．
．
例19．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，变形为
，得到
，
再由
，利用商数关系求解.
【详解】解：因为方程
，
所以
，
即
，则
或
（舍去），
所以
，
所以
，
，
故选：B
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例20．（2023·河北·统考模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两角和正切公式得
，再利用二倍角公式化简，根据同角三角函数的基本关系
将弦化切，代入计算可得.
【详解】因为
，所以
，
则
.
故选：D
考点五
利用同角三角函数基本关系证明三角函数恒等式
例21．（2023·高三课时练习）证明下列恒等式：
．
【答案】证明详见解析
【分析】根据同角三角函数的基本关系式证得等式成立.
【详解】左边
右边，
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所以原等式成立.
例22．（2023 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）证明：
．
【答案】证明见解析
【分析】利用
代入
，结合和的立方展开化简，即可证明三角等式.
【详解】证明：
，
即
.
例23．（1）若
，化简：
；
（2）求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【分析】（1）由已知
，结合平方关系式及角的范围化
简计算即可；
（2）利用切化弦公式化简等式的左边得到右边.
【详解】（1）原式
，
因为
，所以，原式
.
14
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（2）证明：
.
例24．求证：
(1)
；
(2)已知
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】利用同角三角函数的基本关系进行证明即可.
【详解】（1）左边
=右边.
（2）
，成立
例25．（2021·高三单元测试）求证:
.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形
式，再化简求值.
方法二：在等式的左侧同时乘以
，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式
的分子相乘，再化简计算得出结果.
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【详解】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=
=
=右边.
考点六
利用诱导公式化简、求值
例26．（2023 春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式求三角函数值即可.
【详解】因为
，
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，
所以
.
故选：A.
例27．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．-
D．
【答案】A
【分析】因为
，由诱导公式可得选项.
【详解】
.
故选：A.
例28．（2023 春·北京·高一北京十四中校考期中）已知
.
(1)化简
；
(2)若
是第三象限角，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）先利用诱导公式求出
，再根据平方关系求出
即可得解.
【详解】（1）
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；
（2）
，则
,
因为
是第三象限角，所以
，
所以
.
例29．（2023 春·北京海淀·高三人大附中校考期中）化简
______________．
【答案】
【分析】先利用诱导公式化简
，再根据同角的平方关系化简．
【详解】∵
，∴
，
∴
.
故答案为：
．
例30．（2023 春·上海·高三上海市敬业中学校考期中）化简：
=______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答.
【详解】
.
故答案为：
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考点七
利用诱导公式证明三角函数恒等式
例31．求证：
【答案】证明见解析
【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明
【详解】左边＝
＝右边，所以原等式成立．
例32．（2021·高一课时练习）求证：当
或3 时，
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
【详解】当
时，左边=
；
当
时，左边=
；
综上，
或
有原等式恒成立.
例33．（1）求证：
；
（2）设
，求证
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【详解】（1）左边=
=右边，所以原等式成立.
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（2）方法1：左边=
=
=
=右边，所以原等式成立.
方法2：由
，得
，
所以，等式左边=
=
=
=
右边，等式成立.
例34．已知
、
、
为
的三个内角，求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用三角形的内角和定理可得出
，再结合诱导公式可证得原等式成立.
【详解】证明：在
中，
，则
.
所以，
，
故原等式得证.
例35．（2023·高三课时练习）证明：
，
．
【答案】证明见解析
【分析】按
的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证．
【详解】证明：当n 为偶数时，令
，
，
左边
．
右边
，∴左边=右边．
20
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当n 为奇数时，令
，
，
左边
．
右边
，∴左边=右边．
综上所述，
，
成立．
一、单选题
1．（2023 春·北京海淀·高三北大附中校考期中）已知
，则
（ ）
A．7
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】利用商数关系，由弦化切求值即可.
【详解】由题设
.
故选：A
2．（2023 春·北京海淀·高一北大附中校考期中）已知
角的终边交单位圆于点A，将A 绕原点
顺时针
旋转
至
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出简图，由三角函数定义及诱导公式计算即可.
21
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【详解】如图所示，易知B 为100°与单位圆的交点，
由三角函数的定义可知
，
由诱导公式化简可得
.
故选：C
3．（2023 春·辽宁鞍山·高三统考期中）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.
【详解】
.
故选：A
4．（2022 春·高三课时练习）求
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】应用平方关系化简
，结合
在第四象限,去绝对值符号即可.
【详解】由
，
又
，则
，
22
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所以
.
故选：C
5．（2023 春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知角
终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】确定
，化简得到原式为
，计算得到答案.
【详解】角
终边经过点
，故
，
，
故选：B
6．（2023 春·海南·高三农垦中学校考阶段练习）已知角
的终边过点
，且
，则
（ ）
A．40°
B．50°
C．220°
D．310°
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义和诱导公式即可.
【详解】
；
角
的终边过点
；
23
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且
；
故选：D
7．（2023 春·陕西宝鸡·高二宝鸡中学校考阶段练习）曲线
在
处切线的倾斜角为
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据给定函数，利用导数的几何意义求出
，再利用齐次式法计算作答.
【详解】因为
，则
，因此
，
所以
.
故选：C
8．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
，即得解.
【详解】∵
，
∴
∴
∵
，
∴
.
故选：D
24
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二、多选题
9．（2022 春·高三课时练习）已知
,且
和
是方程
的两个实数根,则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】解出方程的两根,再将所求式子同除
变成
的式子即可.
【详解】解方程得
或
;
分子分母同时除以
得
;
当
时,
,
当
时,
.
故选：
.
10．（2021·高三课时练习）若
为锐角，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据
为锐角，
先求出
，进而求出
，然后
，在根据
逐项分析即可.
【详解】因为
为锐角，
，
所以
25
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所以
，
所以A 错误；
所以
，
所以
，
所以B 正确;
因为
，
所以
，
所以C 正确；
由
，
所以D 正确，
故选：BCD.
11．（2022 秋·山东德州·高三校考阶段练习）下列三角函数值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】A.当
时，
；
当
时，
，故错误；
26
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B.
，故正确；
C.
，故正确；
D.
，故错误.
故选：BC
12．（2023 秋·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知
，则
角
的终边可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．
轴的负半轴上
【答案】BCD
【分析】先利用诱导公式化简，从而可得
的符号，即可得解.
【详解】由
，
得
，
所以
，
所以角
的终边可能在第二象限、第三象限、
轴的负半轴及
轴上.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023 春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知点
，
若
，则
__________.
【答案】
【分析】结合平面向量的坐标运算可得
，进而可得
，结合二倍角公式及同角
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三角函数关系化简
即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
所以
.
故答案为：.
14．（2023·江西赣州·统考二模）已知
为锐角，满足
，则
________．
【答案】2
【分析】根据齐次式法运算求解即可.
【详解】因为
，
整理得
，解得
或
，
又因为
为锐角，则
，所以
.
故答案为：2.
15．（2023 春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，若角
的顶点为坐标
原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与以点O 为圆心的圆交于点
，则
______．
【答案】
/
【分析】利用诱导公式，结合三角函数定义求值作答.
【详解】依题意，
，
28
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.
故答案为：
16．（2023 春·辽宁大连·高三校联考期中）已知
，则
______．
【答案】
【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.
【详解】
，
的周期为
，
，
则
.
故答案为：
.
四、解答题
17．证明：
【答案】证明见解析
【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明.
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【详解】证明：由二倍角公式
以及
可得，
得证．
18．已知
.
(1)若角
的终边经过点
，
，求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)2
(2)3
【分析】（1）先根据诱导公式和同角三角函数关系化简
，再根据三角函数定义即可求解；
（2）根据同角三角函数关系化简
，进而求解.
【详解】（1）
，
因为角
的终边经过点
，
，
所以
.
（2）由（1）知
，
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所以
.
19．（2023 春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考期中）已知
.
(1)化简
；
(2)若
为第四象限角，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简；
（2）利用同角三角函数的关系求值.
【详解】（1）由三角函数诱导公式知：
.
（2）
为第四象限角，且
，则
，
可得
.
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