专题4.10 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
三角函数的图象变换】...............................................................................................................................1
【题型2
求图象变化前（后）的解析式】...............................................................................................................3
【题型3
由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】.......................................................................................4
【题型4
三角函数图象、性质的综合应用】...........................................................................................................8
【题型5
三角函数模型】......................................................................................................................................... 11
【题型6
函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】.................................................................................15
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
三角函数的图象变换】
1．（2026·安徽·二模）已知函数��= sin2�+ �cos2�的一个零点是
π
6，为了得到�= 2cos2�的图象，需要
将函数�= ��的图象（
）
A．向左平移
5π
12个单位长度
B．向左平移
5π
6 个单位长度
C．向右平移
π
12个单位长度
D．向右平移
π
6个单位长度
【答案】A
【解题思路】根据零点，代入可得�=−
3，再利用辅助角公式化简得��= 2sin 2�−
π
3 ，再根据平移变
换求解即可．
【解答过程】依题意，得�
π
6 = sin
π
3 + �cos
π
3 =
1
2 �+
3
2 = 0，得�=−
3，
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所以��= sin2�−
3cos2�= 2sin 2�−
π
3 ，
�= 2cos2�= 2sin 2�+
π
2 = 2sin 2 �+
5π
12 −
π
3 ，
了得到�= 2cos2�的图象，需要将函数�= ��的图象,
需要将函数�= ��的图象向左平移
5π
12个单位长度．
故选：A．
2．（2026·山西临汾·三模）为了得到函数�= cos �−
π
3 的图象，只要把正弦函数上所有点（
）
A．向右平移
π
6个单位长度
B．向右平移
π
3个单位长度
C．向左平移
π
3个单位长度
D．向左平移
π
6个单位长度
【答案】D
【解题思路】利用函数图像的平移变换即可求解.
【解答过程】因为�= sin�= cos �−
π
2 ，所以将函数�= sin�的图像向左平移
π
6个单位长度得�= cos �−
π
3 ，
故选：D.
3．（2026·贵州安顺·模拟预测）将函数�= sin2�的图象向左平移�(0 < �< π)个单位长度，得到函数�=
sin 2�+
π
4 的图象，则�=（
）
A．
π
16
B．
π
8
C．
π
4
D．
π
2
【答案】B
【解题思路】根据正弦函数的平移原则即可得到答案.
【解答过程】�= sin 2�+
π
4 = 2 �+
π
8
，则�=
π
8.
故选：B.
4．（25-26 高三上·重庆渝北·阶段检测）为了得到函数�= cos 2�+
π
6 的图象，只需要将函数�= cos 2�−
π
3
的图象（
）
A．向右平移
π
2个单位长度
B．向右平移
π
4个单位长度
C．向左平移
π
2个单位长度
D．向左平移
π
4个单位长度
【答案】D
【解题思路】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解.
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【解答过程】�= cos 2�+
π
6 = cos 2 �+
π
4 −
�
3 ，
只需要将函数�= cos 2�−
π
3 的图象向左平移
π
4个单位长度，可以得到�= cos 2�+
π
6 的图象，
故选：D.
【题型2
求图象变化前（后）的解析式】
5．（2026·广东广州·模拟预测）将函数��= sin 4�+
π
3 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵
坐标不变），再将所得图象向左平移
π
6个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（
）
A．�= sin 2�+
π
3
B．�= cos2�
C．�= sin 2�+
2π
3
D．�=−sin8�
【答案】C
【解题思路】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解.
【解答过程】函数��= sin 4�+
π
3 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得到图象对应的函数解析式为�= sin
1
2 × 4�+
π
3 = sin 2�+
π
3 ，
再将所得图象向左平移
π
6个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为
�= sin 2 �+
π
6 +
π
3 = sin 2�+
2π
3 .
故选：C．
6．（2026·湖南永州·模拟预测）2025 年“九·三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐
振动表示为��= cos 2�+
π
6 .将函数��的图象上所有点向右平移
π
6个单位长度，可得到函数��的图象，
则函数��的解析式为（
）
A．��= cos2�
B．��= cos 2�+
π
3
C．��= cos 2�−
π
6
D．��=−sin2�
【答案】C
【解题思路】根据函数的平移求解即可.
【解答过程】由题意，可得��= cos 2 �−
π
6 +
π
6 = cos 2�−
π
6 .
故选：C.
7．（2026·云南红河·模拟预测）将函数�(�) = sin(�−�)的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的
1
2，然后
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再向左平移
5π
6 个单位长度后，得到的图象关于�轴对称，则�的值可以为（
）
A．−
π
6
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
【答案】B
【解题思路】首先根据变换规律得到图象变换后的函数解析式，再结合偶函数的特征，列式求解.
【解答过程】将�(�)图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来
1
2倍，得�= sin 2�−�
然后再向左平移
5π
6 个单位长度后，得��= sin 2�+
5π
3 −�，
又因为�(�)的图象关于�轴对称，所以
5�
3 −�= �π +
π
2 , �∈Z，
所以�=−�π +
7π
6 , �∈Z，当�= 1 时，�=
π
6.
故选：B.
8．（2026·江苏南京·二模）把函数�= cos�图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变），再将图
象上所有的点向右平移
π
6个单位长度，得到函数�= ��的图象，则��=（
）
A．cos 2�−
π
6
B．cos 2�−
π
3
C．cos
1
2 �−
π
6
D．cos
1
2 �−
π
12
【答案】B
【解题思路】求出把函数�= cos�图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将
图象上所有的点向右平移
π
6个单位长度后的函数.
【解答过程】把函数�= cos�图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）后的函数为�= cos2�，
再将图象上所有的点向右平移
π
6个单位长度后的函数为�= cos[2(�−
π
6 )] = cos(2�−
π
3 ).
故选：B.
【题型3
由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】
9．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数��= �sin ��+ �（�> 0，�> 0）的部分图象如图所示，则�
2025π
2
=
（
）
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A．1
B．−1
C．3
D．−
3
【答案】D
【解题思路】根据图象，依次求出�, �, �，得到函数的解析式，代值计算即可.
【解答过程】由图易知�= 2，函数的最小正周期�满足：
3�
4 =
13π
12 −
π
3 =
3π
4 ，得到�= π，
又�> 0，所以
2π
�= π，解得�= 2，
又函数图象经过点(
13�
12 , 2)，则有2 ×
13π
12 + �=
π
2 + 2�π, �∈Z，解得�=−
5π
3 + 2�π, �∈Z，
所以��= 2sin 2�−
5π
3 ，则�
2025π
2
= 2sin 2025π −
5π
3
=−
3，
故选：D.
10．（2026·天津红桥·二模）已知函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0,0 < �< π 在一个周期内的图象如
图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为
π
12 ,
7π
12，图象在�轴上的截距为3．则下列结论正确的是（
）
A．��的最小正周期为2π
B．��的最大值为3
C．��在区间−
5π
12 ,
π
12 上单调递增
D．��+
π
6 为偶函数
【答案】C
【解题思路】先由最高点与最低点横坐标求出周期�= π，得�= 2；再由最高点位置求�=
π
3，结合�轴截距
�0 =
3求出振幅�= 2，确定函数��= 2sin 2�+
π
3 ；最后据此逐一验证选项：A 周期为π错误，B 最
大值为2 错误，C 的区间符合单调递增区间正确，D 化简后不是偶函数错误．
【解答过程】对于A，由图知
7π
12 −
π
12 =
�
2，解得�= π，A 错误；
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对于B，由�= π，得�=
2π
�= 2，则��= �sin 2�+ �，
由�=
π
12时，函数取最大值，得2 ×
π
12 + �=
π
2 + 2�π �∈�，
化简得�=
π
3 + 2�π �∈�，结合0 < �< π，得�=
π
3，
由函数在�轴上的截距为3，即�0 = �sin
π
3 =
3，解得�= 2，
所以��= 2sin 2�+
π
3 ，最大值为2，B 错误；
对于C，由−
π
2 + 2�π ≤2�+
π
3 ≤
π
2 + 2�π �∈�，
得−
5π
12 + �π ≤�≤
π
12 + �π �∈�，
当�= 0 时，递增区间为−
5π
12 ,
π
12 ，C 正确；
对于D，��+
π
6 = 2sin 2 �+
π
6 +
π
3 = 2sin 2�+
2π
3 ，
该函数不是偶函数，D 错误．
故选：C.
11．（2026·江苏淮安·模拟预测）函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0, �∈0,2π
的图像如图所示，则
��=（
）
A．3sin
1
4 �+
π
4
B．3sin
1
4 �−
π
4
C．3sin
π
4 �+
π
4
D．3sin
π
4 �−
π
4
【答案】C
【解题思路】由图象的最值得到�的值，由两个零点求出�，最后代入特殊点求得�，即可得到函数解析式.
【解答过程】观察图象可得函数��的最大值为3，最小值为−3，又�> 0，
所以�= 3，
又∵3 −−1 =
�
2，∴�= 8，∴�=
2π
�=
π
4，
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因为�=
3+ −1
2
= 1 时函数��取最大值3，
所以
π
4 × 1 + �= 2�π +
π
2，�∈Z，又�∈[0,2π)，
∴�=
π
4，
∴��= 3sin
π
4 �+
π
4 .
故选：C.
12．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0,0 < �<
π
2 的部分图象如图所
示，关于该函数有下列四个说法：
①��在区间
π
12 ,
7π
12 上单调递减
②��的图象可由�= 2sin2�的图象向左平移
π
6个单位得到
③��的对称轴为�=
5π
12 + �π �∈Z
④��在区间0,
π
2 上的最小值为−
3
以上四个说法中，正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断
即可．
【解答过程】由图可知，�= 2,
�
4 =
π
3 −
π
12 =
π
4，即�= π，则�=
2π
�= 2，
此时�(�) = 2sin(2�+ �)，又�
π
12 = 2sin
π
6 + �= 2，
则
π
6 + �=
π
2 + 2�π，�∈Z，即�=
π
3 + 2�π，�∈Z，
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又0 < �<
π
2，所以�=
π
3，则�(�) = 2sin 2�+
π
3 .
对于①，当�∈
π
12 ,
7π
12 时，2�+
π
3 ∈
π
2 ,
3π
2 ，
因为函数�= sin�在
π
2 ,
3π
2 上单调递减，
所以��在区间
π
12 ,
7π
12 上单调递减，故①正确；
对于②，�= 2sin2�的图象向左平移
π
6得到�= 2sin 2 �+
π
6
= 2sin 2�+
π
3 ，故②正确；
对于③，令2�+
π
3 = �π +
π
2 �∈Z ，解得�=
�π
2 +
π
12 �∈�，
所以��的对称轴为�=
�π
2 +
π
12 �∈�，故③错误；
对于④，当�∈0,
π
2 时，2�+
π
3 ∈
π
3 ,
4π
3 ，则sin 2�+
π
3 ∈−
3
2 , 1 ，
则2sin 2�+
π
3 ∈−
3, 2 ，则��在区间0,
π
2 上的最小值为−
3，故④正确.
故选：C.
【题型4
三角函数图象、性质的综合应用】
13．（2026·全国·模拟预测）将函数�= sin 2�+ �
0 < �< π 的图象向左平移
π
6个单位长度，得到函数�=
��的图象，直线�=
π
4为�= ��的图象的一条对称轴，则函数��的一个单调递增区间是（
）
A．−
π
4 ,
π
4
B．−
π
3 ,
π
3
C．0,
π
2
D．
π
3 ,
3π
4
【答案】D
【解题思路】先求出��，再利用对称轴求出�=
2�
3 ，令
π
2 + 2�π ≤2�≤
3π
2 + 2�π,�∈Z 求出��的单调递
增区间，再赋值即可.
【解答过程】由题意可得，��= sin 2 �+
π
6 + �= sin 2�+
π
3 + �，
因为��的图象关于直线�=
π
4对称，
所以�
π
4
= sin
π
2 +
π
3 + �= cos
π
3 + �=± 1，
则
π
3 + �= �π,�∈Z，即�=−
π
3 + �π,�∈Z，
又0 < �< π，所以�=
2�
3 ，则��= sin 2�+
π
3 +
2π
3
=−sin2�，
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令
π
2 + 2�π ≤2�≤
3π
2 + 2�π,�∈Z，则
π
4 + �π ≤�≤
3π
4 + �π,�∈Z，
则��的单调递增区间为
π
4 + �π,
3π
4 + �π ,�∈Z，
当�= 0 时，��的一个单调递增区间是
π
4 ,
3π
4 ，故D 选项正确；
当�=−1 时，��的一个单调递增区间是−
3π
4 , −
π
4 ，
由于−1 和0 之间无其他整数，故A，B，C 选项错误.
故选：D．
14．（2026·广东佛山·三模）将函数��= 4cos 2�+
π
3 的图象向右平移
π
3个单位长度，得到函数��的图
象，则下列结论正确的是（
）
A．��是奇函数
B．��的图象关于直线�=
π
12对称
C．��在−
π
6 ，
π
3 上的值域为−2，4
D．��在0，
π
2 上单调递增
【答案】C
【解题思路】首先根据平移规律求函数��的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断BCD.
【解答过程】由题意知��= 4cos 2�−
π
3 , ��不是奇函数，故A 错误．
�
π
12 = 4cos −
π
6 = 2 3 ≠± 4, ��不关于直线�=
π
12对称，故B 错误．
由�∈−
π
6 ,
π
3 ，得2�−
π
3 ∈−
2π
3 ,
π
3 ，则4cos 2�−
π
3 ∈−2,4 ，故C 正确．
当�∈0,
π
2 时，2�−
π
3 ∈−
π
3 ,
2π
3 ，而�= cos�在−
π
3 ,
2π
3 上不单调，
所以��在0,
π
2 上不单调，故D 错误．
故选：C.
15．（2026·陕西咸阳·模拟预测）将函数��= 2sin ��−
π
8 （�> 0）图象上所有点的横坐标缩短为原来
的
1
3，再向左平移
π
12�个单位长度，得到函数��的图象，若��在0,π 上恰有2 个零点，则�的最大值为（
）
A．
5
8
B．
19
24
C．
23
24
D．
9
8
【答案】C
【解题思路】现根据三角函数变换法则求得��= 2sin 3��+
π
8 ，结合正弦函数的性质列不等式求解即可.
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【解答过程】由题知，��= 2sin 3��+
π
12�−
π
8 = 2sin 3��+
π
8 .
当0 < �< π时，
π
8 < 3��+
π
8 < 3�π +
π
8，
因为��在0,π 上恰有2 个零点，所以2π < 3�π +
π
8 ≤3π，解得
5
8 < �≤
23
24.
故选：C.
16．（2026·天津·二模）将函数��= sin �+
�
3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2倍（纵坐标不变），
再把所得图象上所有点向右平移
�
3个单位长度，得到图象对应的函数为��，则下列结论正确的是（
）
A．��的最小正周期是2�
B．�=
�
6是��的一条对称轴
C．��在区间
�
2 , �上单调递减
D．当�∈
�
8 ,
�
2 时，��的取值范围为
2−6
4
, 1
【答案】D
【解题思路】根据题给条件得到��解析式，再根据正弦函数的性质逐项判断即可.
【解答过程】函数��= sin �+
�
3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2倍（纵坐标不变）得到新函数�=
sin 2�+
�
3 ，再把所得图象上所有点向右平移
�
3个单位长度得到新函数�= sin 2 �−
�
3 +
�
3 = sin 2�−
�
3 ，
则��= sin 2�−
�
3 .
对于A 选项，�=
2�
2 = �，��的最小正周期是�，A 错误；
对于B 选项，�=
�
6时，�
�
6 = sin 2 ×
�
6 −
�
3 = sin0 = 0 ≠± 1，所以�=
�
6不是��的一条对称轴，B 错误；
对于C 选项，�∈
�
2 , �,则�= 2�−
�
3 ∈
2�
3 ,
5�
3 ，
所以�= sin�在
2�
3 ,
3�
2 上单调递减，在
3�
2 ，
5�
3 上单调递增，则��在区间
�
2 , �上不单调，C 错误；
对于D 选项，当�∈
�
8 ,
�
2 时，�= 2�−
�
3 ∈−
�
12 ,
2�
3 ，
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�=−
�
12时�=
2−6
4
，�=
�
2时�= 1，
则�= sin�∈
2−6
4
, 1 ，得��的取值范围为
2−6
4
, 1 ，D 正确.
故选：D.
【题型5
三角函数模型】
17．（2026·河南·模拟预测）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移�（单位：cm）与时间�（单位：s）
之间的函数关系式是�= �cos ��+ �
�> 0, �> 0, �∈−
π
2 ,
π
2
，其中�0,1 , �4,1 ，振幅为2，则前3
秒该质点走过的路程为（
）
A．−
3cm
B．3cm
C．5 −
3 cm
D．7 −
3 cm
【答案】D
【解题思路】根据题意，求得�= 2cos
π
2 �−
π
3 ，分别令�=
2
3、�=
2
3和�= 3，求得相应的函数值，进而求得
前3 秒该质点走过的路程，得到答案.
【解答过程】由函数�= �cos ��+ �的图象，可得�= 2，周期为�= 4，
可得�=
2π
4 =
π
2，所以�= 2cos
π
2 �+ �，
因为�0,1 在函数图象上，可得2cos�= 1，即cos�=
1
2，
又因为�∈−
π
2 ,
π
2 ，所以�=±
π
3，
因为�=−1 时，�< 0，所以�=−
π
3，所以�= 2cos
π
2 �−
π
3 ，
令
π
2 �−
π
3 = �π,k∈Z，则�= 2�+
2
3 ,k∈Z，
故函数图像在�轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为�=
2
3 , �=
8
3,
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令�=
2
3，则�= 2cos
π
2 ×
2
3 −
π
3 = 2；令�=
8
3，则�= 2cos
π
2 ×
8
3 −
π
3 =−2；
令�= 3，则�= 2cos
π
2 × 3 −
π
3 =−
3，
所以质点在0,
2
3 ,
2
3 ,
8
3 ,
8
3 , 3 的路程分别2 −1 = 1,2 −−2 = 4, −
3 −−2 = 2 −
3，
所以前3 秒该质点走过的路程为7 −
3 cm.
故选：D.
18．（2026·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在
水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，
且过点�
3π
4 ,
3
2 ，其对应的方程为�= 2 −
1
2
2�
π
sin��（�≥0，1 < �< 3），其中�为不超过x 的最
大整数.若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为
7π
6 ，则点N 的纵坐标为（
）
A．±1
B．±
2
2
C．±
1
2
D．±
3
2
【答案】D
【解题思路】先代入�
3π
4 ,
3
2 ，求出�= 2，从而�= 2 −
1
2
2�
π
sin2�，再代入�=
7π
6 ，求出点N 的纵坐
标.
【解答过程】由题意得
3
2 =
2 −
1
2
2×3
4π
π
sin
3�
4 π ，即
3
2 sin
3�
4 π =
3
2，
所以sin
3�
4 π = 1 ⇒sin
3�
4 π =± 1，
因为1 < �< 3，所以
3
4 π <
3�
4 π <
9
4 π，
故
3�
4 π =
3
2 π，解得�= 2，
所以�= 2 −
1
2
2�
π
sin2�，
将�=
7π
6 代入得，�= 2 −
1
2
2
π ×
7π
6
sin
7π
3
= 2 −
1
2 × 2
sin
π
3 =
3
2 ，
故�=±
3
2 ，
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所以点N 的纵坐标为±
3
2 .
故选：D.
19．（2026·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往
上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48 个座
舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游
客坐上摩天轮的座舱10min 后距离地面高度约为（
）
A．92.5m
B．87.5m
C．82.5m
D．
55 3
2
+ 65 m
【答案】A
【解题思路】以轴心�为坐标原点，与地面平行的直线为�轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数��=
55sin(
π
15 �−
π
2 ) + 65，令�= 10 时，即可求解.
【解答过程】设座舱距离地面的最近的位置为点�，以轴心�为原点，与地面平行的直线为�轴建立平面直角
坐标系，如图所示，
设函数��= �sin(��+ �) + �(�> 0, �> 0, �≤
π
2 )表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为120m，直径为110m，且转一周大约需要30min，
周期�= 30，�+ �= 120, −�+ �= 10，所以�= 55, �= 65, �=
2π
�=
π
15，
即��= 55sin(
π
15 �+ �) + 65，
当�= 0min 时，游客在点�(0, −55)，其中以��为终边的角为−
π
2，
所以��= 55sin(
π
15 �−
π
2 ) + 65，
当�= 10 时，可得�10 = 55sin(
2π
3 −
π
2 ) + 65 = 55sin
π
6 + 65 = 92.5m
所以，摩天轮的座舱�= 10 后距离地面高度约为92.5m.
故选：A.
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20．（2026·山西·模拟预测）某质点的位移�cm 与运动时间�s 的关系式为�= sin ��+ �
�> 0, �∈
−π,π
，其图象如图所示，图象与�轴交点坐标为0, −
3
2 ，与直线�=
1
2的相邻三个交点的横坐标依次为
π
6，
7π
18，
5π
6 ，则下列说法正确的是（
）
A．�= 4
B．�=−
2π
3
C．质点在1,
3
2 s 内的位移图象为单调递减
D．质点在0,
7π
18 s 内走过的路程为3 −
3 cm
【答案】C
【解题思路】根据正弦函数周期求�= 3 判断A，根据特殊点求解�判断B，根据正弦函数的单调性判断C，
根据正弦函数值域判断D.
【解答过程】由已知函数图象得，函数的周期�=
5π
6 −
π
6 =
2π
3 ，所以�=
2π
�= 3，故A 错误；
令�= ��，所以��= sin 3�+ �，又�0 =−
3
2 ，所以sin�=−
3
2 ，
因为�∈−π,π ，所以�=−
π
3或−
2π
3 .
又�
π
6 =
1
2，所以sin
π
2 + �= cos�=
1
2，所以�=−
π
3.故B 错误；
由已知得��图象相邻的两条对称轴分别为直线�=
π
6+7π
18
2
=
5π
18，�=
7π
18+5π
6
2
=
11π
18 ，
且��在
5π
18 ,
11π
18 内单调递减，因为1,
3
2 ⊆
5π
18 ,
11π
18 ，
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所以��在1,
3
2 上单调递减，故C 正确；
由图象得该质点在0,
7π
18 s 内的路程为1 −−
3
2
+
1
2 =
3+ 3
2
cm，故D 错误.
故选：C.
【题型6
函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
21．（2026·河南·模拟预测）将函数�(�) =
3sin2�−cos2�图象上所有点的横坐标变为原来的
1
�(�> 0)，
纵坐标不变，得到函数�(�)的图象，若�(�)在0,
π
3 上单调，则�的取值范围为（
）
A．(0,1]
B．0,
1
2
C．[1, + ∞)
D．
1
2 , + ∞
【答案】A
【解题思路】利用正弦函数的单调性来确定参数�的取值范围.
【解答过程】�(�) =
3sin2�−cos2�= 2sin 2�−
π
6 ，则�(�) = 2sin 2��−
π
6 ．
由0 < �<
π
3，得−
π
6 < 2��−
π
6 <
2�π
3 −
π
6．
因为�(�)在0,
π
3 上单调，所以
2�π
3 −
π
6 ≤
π
2，得0 < �≤1．
故选：A.
22．（2026·河北·二模）将函数��= sin2�+
3cos2�的图象向左平移
π
6个单位长度后得到函数��的图象，
则��图象的一条对称轴为�=（
）
A．
π
6
B．
π
12
C．−
π
4
D．−
π
12
【答案】D
【解题思路】利用三角恒等变换化简函数得��= 2sin(2�+
π
3 )，根据平移得��= 2sin(2�+
2π
3 )，结合正
弦函数的图象求其对称轴即可.
【解答过程】因��= sin2�+
3cos2�= 2sin(2�+
π
3 )，
将其图象向左平移
π
6个单位长度后得到函数��的图象，
则��= 2sin[2(�+
π
6 ) +
π
3 ] = 2sin(2�+
2π
3 )，
令2�+
2π
3 =
π
2 + �π, �∈�，解得�=−
π
12 +
�π
2 , �∈�.
结合选项可知D 正确．
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故选:D.
23．（2026·河北·一模）已知函数��= 2sin�sin �+
π
3 −�．
(1)求��的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数��的图象向左平移
π
6个单位长度得到函数ℎ�的图象，若ℎ�在0,
π
2 上有2 个零点，求实数�的
取值范围．
【答案】(1)�= π，[ −
π
6 + �π,
π
3 + �π], �∈Z
(2)1 ≤�<
3
2
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解；
（2）利用三角函数图象变换法则求得ℎ�，将方程根的问题转化为函数�= sin(2�+
π
6 ) +
1
2在0,
π
2 上的图象
与�= �有两个交点，画出图像，数形结合求解即可.
【解答过程】（1）��= 2sin�sin �+
π
3 −�= 2sin�(
1
2 sin�+
3
2 cos�) −�=
3sin�cos�+ sin2�−�
=
3
2 sin2�+
1−cos2�
2
−�= sin(2�−
π
6 ) +
1
2 −�，
所以��的最小正周期为�=
2π
�=
2π
2 = π，
令−
π
2 + 2�π ≤2�−
π
6 ≤
π
2 + 2�π, �∈Z，解得−
π
6 + �π ≤�≤
π
3 + �π, �∈Z，
所以��的单调递增区间为[ −
π
6 + �π,
π
3 + �π], �∈Z；
（2）由题可知，ℎ�= �(�+
π
6 ) = sin(2�+
π
6 ) +
1
2 −�，
当�∈0,
π
2 时，2�+
π
6 ∈
π
6 ,
7π
6 ，由2�+
π
6 ∈
π
6 ,
π
2 得�∈0,
π
6 ，
由2�+
π
6 ∈
π
2 ,
7π
6 得�∈
π
6 ,
π
2 ，
因此函数ℎ�在0,
π
6 上单调递增，在
π
6 ,
π
2 上单调递减，
令ℎ�= 0，则sin(2�+
π
6 ) +
1
2 −�= 0，即sin(2�+
π
6 ) +
1
2 = �，
又函数ℎ�在0,
π
2 上有2 个零点等价于函数�= sin(2�+
π
6 ) +
1
2在0,
π
2 上的图象与�= �有两个交点，
在同一坐标系内作出直线�= �与函数�= sin(2�+
π
6 ) +
1
2在0,
π
2 上的图象，如图，
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观察图象知，当1 ≤�<
3
2时，直线�= �与函数�= sin(2�+
�
6 ) +
1
2在0,
π
2 上的图象有两个交点，
所以实数�的取值范围是1 ≤�<
3
2．
24．（2026·湖北黄冈·一模）已知函数��= 4sin ��+
π
3 cos��−
3 �> 0 的最小正周期为π．
(1)求�的值；
(2)将函数��的图象先向左平移
π
6个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数�= ��的图象，若��
在区间0, �上有且仅有3 个零点，求�的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
13π
12 ,
7π
4
【解题思路】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得��= 2sin 2��+
π
3 ，再结合条件，即可
求解；
（2）根据条件得��= 2sin 2�+
2π
3
−1，由��= 0 可得�=−
π
4 + �π, �∈Z 或�=
π
12 + �π, �∈Z，再结
合条件，即可求解.
【解答过程】（1）��= 4sin ��+
π
3 cos��−
3 = 2sin��cos��+ 2 3cos2��−
3
= sin2��+
3cos2��= 2sin 2��+
π
3 ，
又��的最小正周期为π，�> 0，则�= π =
2π
2�，所以�= 1.
（2）由（1）知��= 2sin 2�+
π
3 ，所以��= 2sin 2�+
2π
3
−1，
由��= 0 时，得到sin 2�+
2π
3
=
1
2，所以2�+
2π
3 =
π
6 + 2�π, �∈Z 或2�+
2π
3 =
5π
6 + 2�π, �∈Z
即�=−
π
4 + �π, �∈Z 或�=
π
12 + �π, �∈Z，
因为��在区间0, �上有且仅有3 个零点，
由�=−
π
4 + �π, �∈Z，令�= 1，得�=
3π
4 ；令�= 2，得�=
7π
4 ；
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由�=
π
12 + �π, �∈Z，令�= 0，得�=
π
12；�= 1，得�=
13π
12 ；
所以
13π
12 ≤�<
7π
4 ，
故�的取值范围是
13π
12 ,
7π
4 .
一、单选题
1．（2026·江苏南京·二模）为了得到函数�= sin 2�+
π
3 的图象，只要把函数�= sin2�图象上所有的点（
）
A．向左平移
π
6个单位
B．向左平移
π
3个单位
C．向右平移
π
6个单位
D．向右平移
π
3个单位
【答案】A
【解题思路】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【解答过程】�= sin 2�+
π
3 = sin 2 �+
π
6
，
则把函数�= sin2�图象上所有的点向左平移
π
6个单位即可，
故选：A.
2．（2026·江苏·模拟预测）将函数�(�) = sin ��+
2π
3
(�> 0)的图象向左平移
π
6个单位长度后，得到的函
数图象关于直线�=
π
6对称，则�的最小值是（
）
A．
1
2
B．
5
2
C．2
D．6
【答案】B
【解题思路】通过平移得到�(�) = sin ��+
π
6 �+
2π
3 ，再利用对称性列方程
π
6 �+
π
6 �+
2π
3 = �π +
π
2，即可求
解.
【解答过程】函数�(�) = sin ��+
2π
3
(�> 0)的图象向左平移
π
6个单位后，
得到的函数�(�) = sin ��+
π
6 �+
2π
3 ，
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因为曲线�= �(�)关于直线�=
π
6对称，
所以
π
6 �+
π
6 �+
2π
3 = �π +
π
2，�∈Z，
解得：�= 3�−
1
2，�∈�，
因为�> 0，令�= 1，得�=
5
2，所以�的最小值是
5
2.
故选：B.
3．（2026·福建厦门·三模）将函数�(�) = sin2�+
3cos2�的图象向右平移
π
6个单位后得到�= �(�)的图象，
则（
）
A．�(�) = 2sin2�
B．�(�) = 2sin 2�+
π
6
C．�(�) = 2sin 2�+
π
3
D．�(�) = 2sin 2�+
2π
3
【答案】A
【解题思路】先将��化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【解答过程】因为�(�) = sin2�+
3cos2�= 2sin 2�+
π
3 ，
所以�(�) = 2sin 2 �−
π
6 +
π
3 = 2sin2�.
故选：A.
4．（2026·天津和平·二模）函数��= �sin ��+ �（�> 0，�> 0，�< π）的部分图象如图所示，要
得到�=
2sin�的图象，只需将函数��的图象上所有的点（
）
A．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
π
3个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动
2π
3 个单位长度
C．横坐标缩短到原来的
1
2（纵坐标不变），再向右平行移动
π
3个单位长度
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D．横坐标缩短到原来的
1
2（纵坐标不变），再向左平行移动
2π
3 个单位长度
【答案】A
【解题思路】由图象，根据正弦函数的图象与性质求得�(�) =
2sin(2�+
π
3 )，结合三角函数图象的平移伸缩
变换即可求解.
【解答过程】由图可知，�=
2,
�
4 =
7π
12 −
π
3，得�= π，
又�=
2π
�，由�> 0 解得�= 2；
将点(
π
3 , 0)代入�(�)，得0 =
2sin(2 ×
π
3 + �)，
(
π
3 , 0)在函数单调减区间上，则2 ×
π
3 + �= π + 2�π，�∈Z，
解得�= 2�π +
π
3 , �∈Z，又�< π，所以�=
π
3，.
得�(�) =
2sin(2�+
π
3 ).
将�(�)的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
π
3个单位长度，
得�=
2sin�的图象.
故选：A.
5．（2026·四川绵阳·模拟预测）将函数�(�) = sin�的图象先向左平移
π
3个单位，再将所得图象上所有点的纵
坐标保持不变，横坐标变为原来的
1
2，得到函数�= �(�)的图象，则�
π
2 =（
）
A．−
1
2
B．−
3
2
C．
3
2
D．
1
2
【答案】B
【解题思路】根据三角函数变化求出�= �(�)的表达式，再求�
π
2 的值.
【解答过程】函数�(�) = sin�的图象先向左平移
π
3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标
变为原来的
1
2，
得到函数�(�) = sin 2�+
π
3 ，
进而�
π
2 = sin 2 ×
π
2 +
π
3 = sin π +
π
3 =−sin
π
3 =−
3
2 ，
故选：B.
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6．（25-26 高一下·河南驻马店·阶段检测）先将函数��= sin 4�+
π
4 的图象向右平移
1
2个最小正周期，再
将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数��的图象，则��=（
）
A．sin 2�−
3π
4
B．sin 8�−
3π
4
C．sin 2�+
3π
4
D．sin 8�+
3π
4
【答案】A
【解题思路】求出函数��的最小正周期，结合三角函数图象变换可求得函数��的解析式.
【解答过程】函数��= sin 4�+
π
4 的最小正周期为�=
2π
4 =
π
2，
将函数��的图象向右平移
1
2个最小正周期，可得到函数�= sin 4 �−
π
4 +
π
4 = sin 4�−
3π
4 的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数��的图象，
故��= sin
1
2 ⋅4�−
3π
4
= sin 2�−
3π
4 .
故选：A.
7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每
经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为�= 2 −
1
2
2�
π
sin��0 ≤
�≤2π ，其中�表示不超过�的最大整数，如−2.1 =−3,1 < �≤3 且�∈�，且经过点�
5
4 π, 1 ，则该
条葫芦曲线与直线�=
5
3 π交点的纵坐标为（
）
A．±
3
2
B．±
2
2
C．±
3
4
D．±
2
4
【答案】C
【解题思路】将点�
5
4 π, 1 代入葫芦曲线的方程可得�= 2，再代入�=
5
3 π即可得解.
【解答过程】将点�
5
4 π, 1 代入葫芦曲线的方程可得2 −
1
2
5
2
sin
5π
4 �= 1，即sin
5π
4 �= 1，
由0 < �≤3，�∈�，可得�= 2，因此曲线方程为�= 2 −
1
2
2�
π
sin2�，
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当�=
5
3 π时，可得�=
2 −
1
2
2×5
3π
π
sin 2 ×
5
3 π
= 2 −
1
2
10
3
sin
10
3 π =
1
2 sin
4π
3
=
3
4 ，
所以交点的纵坐标为±
3
4 .
故选：C.
8．
（2026·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数��= 4sin ��+ �
�> 0, |�| < π 的图象向左平移得到��=
4sin��的图象，其中点A 是��图象上的最高点，�, �分别是��，��的图象与x 轴的相邻交点（如图所
示），若|��| = |��|，△���的面积为10，则��=（
）
A．4sin
π
6 �−
5π
6
B．4sin
π
6 �+
5π
6
C．4sin
π
3 �−
π
3
D．4sin
π
6 �−
π
3
【答案】A
【解题思路】设图象向左平移最小��> 0 个单位，得到��+ �= 0，再结合三角形△���的面积及|��| =
|��|，列出等式求解�, �即可.
【解答过程】函数��= 4sin ��+ �
�> 0, |�| < π 的图象向左平移最小��> 0 个单位得到��=
4sin��，
则4sin ��+ �+ �= 4sin ��+ ��+ �= 4sin��，
又�> 0, |�| < π，
所以��+ �= 0，即�=
−�
�，
所以|��| =
−�
�，
三角形△���的面积
1
2 ×
−�
�× 4 = 10，
即
�
�=−5，
又函数的周期为
2�
�，
所以|��| =
16 +
π
2�
2
=
−�
�，联立
�
�=−5，
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解得：�=
π
6 , �=−
5π
6 ，
所以��= 4sin
π
6 �−
5π
6 ，
故选：A.
二、填空题
9．（2026·江西九江·三模）若将函数��= cos 2�+
π
3 的图象向左平移
π
3个单位，得到函数��的图象，
则�
π
6
=__________．
【答案】−
1
2
【解题思路】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数��解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可.
【解答过程】将函数��= cos 2�+
π
3 的图象向左平移
π
3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为��=
cos 2 �+
π
3 +
π
3 = cos 2�+ π =−cos2�，
所以�
π
6 =−cos
π
3 =−
1
2．
故答案为：−
1
2.
10．（2026·江西景德镇·三模）函数��= 3sin ��+
π
6 −1 �> 0 的最小正周期为π，将��的图象向右
平移
π
6个单位得到函数��的图象，则��在区间0,
π
2 上的值域为__________．
【答案】−
5
2 , 2
【解题思路】先根据周期求出�，再利用图象变换求出��，再根据�的范围计算2�−
π
6的范围，即可求sin 2�−
π
6 的范围，得出��的值域.
【解答过程】因��的最小正周期为π，则�= 2，故��= 3sin 2�+
π
6 −1，
则��= ��−
π
6 = 3sin 2�−
π
6 −1，
因�∈0,
π
2 ，则2�−
π
6 ∈−
π
6 ,
5π
6 ，
则sin 2�−
π
6 ∈−
1
2 , 1 ，则��∈−
5
2 , 2 ，
故��在区间0,
π
2 上的值域为−
5
2 , 2 ．
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故答案为：−
5
2 , 2 .
11．（2026·河南·一模）已知函数��= sin ��+ �
�> 0,0 < �< π 的最小正周期为π，若将��的图象
向右平移
π
3个单位长度后所得的图象与曲线�= ��关于直线�=
π
2对称，则�=__________．
【答案】
5π
6
【解题思路】由函数��的最小正周期为π，结合周期公式求�，再求出平移后图象的函数解析式结合条件列
方程求�即可.
【解答过程】因为函数��= sin ��+ �的最小正周期为π，且�> 0，
所以
2π
�= π，故�= 2，
所以��= sin 2�+ �，
将��的图象向右平移
π
3个单位长度可得��−
π
3 的图象，
因为��−
π
3 的图象与曲线�= ��关于直线�=
π
2对称，
所以�π −�= ��−
π
3 ，
即sin 2π −2�+ �= sin −2�+ �= sin 2�−
2π
3 + �，
所以−2�+ �+ 2�−
2π
3 + �= 2�π + π �∈�或2�−
2π
3 + �+ 2�−�= 2�π �∈�恒成立，
化简可得2�= 2�π +
5π
3
�∈�或4�= 2�π+
2π
3
�∈�（不是对任意实数�恒成立）
解得�= �π +
5π
6
�∈�，
又0 < �< π，所以�=
5π
6 ．
故答案为：
5π
6 .
12．（2026·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘
了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数
��= �sin ��+ �
�> 0，�> 0，�<
π
2 的图象来描述，如图所示，则��=__________．
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【答案】sin
3
2 �+
π
4
【解题思路】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出�, �，最后通过代入最高点坐标去求�即可.
【解答过程】
由题知：�= 1，�=
2π
�= 4
π
2 −
π
6 =
4π
3 ，∴�=
3
2，即��= sin
3
2 �+ �，
又∵�(
π
6 ) = 1，�<
π
2，∴
3
2 ×
π
6 + �=
π
2，故�=
π
4，即��= sin
3
2 �+
π
4 ．
故答案为：sin
3
2 �+
π
4 .
一、单选题
1．（2026·甘肃金昌·二模）已知�> 0，函数��= cos ��+
π
4 ，则下列说法正确的是（
）
A．若�= 2，则将函数��的图象向右平移
π
4个单位长度后得到函数�= cos2�的图象
B．若将函数��的图象向左平移
π
3个单位长度后得到函数�= sin��的图象，则实数�的最小值为
13
4
C．若��在区间
π
2 ,π 上单调递增，则�的取值范围为
3
2 , 2
D．若��在区间0,π 上只有一个零点，则�的取值范围为
1
4 ,
5
4
【答案】D
【解题思路】由三角函数平移法则，可判断AB，由
�π
2 +
π
4 ≥π + 2�π
�π +
π
4 ≤2π + 2�π 可判断C，由
�π +
π
4 >
π
2
�π +
π
4 ≤
3π
2
可判断
D.
【解答过程】对于选项A，若�= 2，则将函数��的图象向右平移
π
4个单位长度后得到的图象对应的函数为�=
cos 2 �−
π
4 +
π
4 = cos 2�−
π
4 ，故选项A 错误；
对于选项B，�= cos ��+
π
3 +
π
4 = cos ��+
�π
3 +
π
4 = sin��，则
�π
3 +
π
4 =−
π
2 + 2�π, �∈�，解得�=−
9
4 +
6�, �∈�，
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又因为�> 0，故当�= 1 时，�取得最小值，最小值为
15
4 ，故选项B 错误；
对于选项C，若��在区间
π
2 ,π 上单调递增，则有
�π
2 +
π
4 ≥π + 2�π
�π +
π
4 ≤2π + 2�π , �∈�，
解得
3
2 + 4�≤�≤
7
4 + 2�, �∈�，又�> 0，
所以�= 0，所以�的取值范围为
3
2 ,
7
4 ，故选项C 错误；
对于选项D，若��在区间0,π 上只有一个零点，则有
�π +
π
4 >
π
2
�π +
π
4 ≤
3π
2
，
解得
1
4 < �≤
5
4，故选项D 正确.
故选：D.
2．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数�(�) = 2sin 2��+
π
3 (0 < �< 1)的图象如图所示，将其向左平
移
π
6个单位长度，得到�= �(�)的图象，则下列说法错误的是（
）
A．�=
1
2
B．函数�(�)的图象关于点−
π
3 , 0 对称
C．函数�= �(�)的图象关于直线�=
π
4对称
D．函数�= �2�+
π
3 在−
π
9 ,
π
9 上单调递减
【答案】C
【解题思路】利用函数�(�)的图象过点
π
6 , 2 ，代入解析式中即可求得�的值，判断A 选项；根据�的值可写
出函数�(�)的解析式，再写出对称中心即可判断B 选项；通过图象平移得到�= �(�)的解析式，进而可求得
对称轴，判断C 选项；利用�= �(�)的解析式写出�= �2�+
π
3 的解析式，可判断单调性.
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【解答过程】对于A 选项，由图可知，函数�(�)的图象过点
π
6 , 2 ，
∴�
π
6 = 2sin
�π
3 +
π
3 = 2，∴sin
�π
3 +
π
3 = 1，
∴
�π
3 +
π
3 =
π
2 + 2�π, �∈Z，解得�=
1
2 + 6�, �∈Z，
∵0 < �< 1，∴�=
1
2，故A 正确；
对于B 选项，�(�) = 2sin �+
π
3 ，令�+
π
3 = �π, �∈Z，则�=−
π
3 + �π, �∈Z，
∴��的图象关于−
π
3 + �π, 0
�∈Z 对称，
当�= 0 时，函数��关于−
π
3 , 0 对称，故B 正确；
对于C 选项，将��向左平移
π
6个单位长度，得到��= 2sin �+
π
6 +
π
3 = 2sin �+
π
2 = 2cos�，
则��的对称轴为�= �π, �∈Z，故C 错误；
对于D 选项，函数�= �2�+
π
3 = 2cos 2�+
π
3 ，
当�∈−
π
9 ,
π
9 时，2�+
π
3 ∈
π
9 ,
5π
9
⊆0,π ，
∴函数�= �2�+
π
3 在−
π
9 ,
π
9 上单调递减，故D 正确.
故选：C.
3．（2026·海南·模拟预测）已知函数��= sin ��+
π
3
�> 0 图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π
2 , ��= sin 2�+
2π
3 ，则（
）
A．��的最小正周期为2π
B．��的图象关于点
2π
3 , 0 对称
C．将��的图象向左平移
π
3个单位长度可得到��的图象
D．��与��的图象关于�轴对称
【答案】D
【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A 的正误，利用代入检验法可判断B 的正误，利
用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C 的正误，利用坐标变换可判断D 的正误，
【解答过程】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为
π
2，故最小正周期为
2π
�= 2 ×
π
2 = π，
故A 错误；
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对于B，由A 可得�= 2，故��= sin 2�+
π
3 ，
而�
2π
3
= sin 2 ×
2π
3 +
π
3 =−
3
2 ≠0，故��的图象不关于点
2π
3 , 0 对称，
故B 错误；
对于C，将��的图象向左平移
π
3个单位长度后，
所得图象对应的解析式为�= sin 2�+
2π
3 +
2π
3
= sin 2�+
4π
3
=−sin 2�+
π
3 ≠��，
故��的图象左平移
π
3个单位长度得不到��的图象，故C 错误；
对于D，��= sin 2�−
π
3 + π =−sin 2�−
π
3 ，
而�−�= sin −2�+
π
3 =−sin 2�−
π
3 = ��，
所以��与��的图象关于�轴对称，故D 正确；
故选：D.
4．（2026·天津河西·一模）已知函数��= sin��cos��−
3sin2��+
3
2 ，�> 0 ，若将函数�= ��的
图象平移后能与函数�= sin2�的图象完全重合，则下列说法正确的是（
）
A．��的最小正周期为
π
2
B．将�= ��的图象向右平移
π
6个单位长度后，得到的函数图象关于�轴对称
C．当�∈−
π
4 ,
π
4 时，��的值域为−
1
2 , 1
D．当��取得最值时，�=
π
12 + �π �∈�
【答案】C
【解题思路】根据和差公式、二倍角公式对原函数进行化简，再结合三角函数的性质逐项分析即可.
【解答过程】��= sin��cos��−
3sin2��+
3
2 =
1
2 sin2��+
3
2 cos2��= sin 2��+
π
3 .
∵将函数�= ��的图象平移后能与函数�= sin2�的图象完全重合，�> 0，
∴2�= 2，解得�= 1. ∴��= sin 2�+
π
3 .
选项A：��的最小正周期为�=
2π
2 = π，故A 错误；
选项B：将�= ��的图象向右平移
π
6个单位长度后得到�= sin 2 �−
π
6 +
π
3 = sin2�，
∴函数图象不关于�轴对称，故B 错误；
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选项C：当�∈−
π
4 ,
π
4 时，2�+
π
3 ∈−
π
6 ,
5π
6 ，∴sin 2�+
π
3 ∈−
1
2 , 1 ，
因此当�∈−
π
4 ,
π
4 时，��的值域为−
1
2 , 1 ，故C 正确；
选项D：2�+
π
3 =
π
2 + �π，�∈Z，则�=
π
12 +
�π
2 ，�∈Z，
因此当��取得最值时，�=
π
12 +
�π
2 ，�∈Z，故D 错误.
故选：C.
二、解答题
5．（2026·山西太原·二模）已知函数��= sin ��+ �
�> 0, −
π
2 < �<
π
2 的周期为2π，且�
3π
4
= 1.
(1)求��的单调递增区间；
(2)将函数��的图象向左平移
π
4个单位长度得到函数��的图象，求�= ��⋅�
π
3 −�的值域.
【答案】(1) −
π
4 + 2�π,
3π
4 + 2�π , �∈�
(2) −
3
4 ,
1
4
【解题思路】（1）根据周期�=
2π
�，可得�，结合�
3π
4
= 1 求出�，再利用整体法求正弦型函数单调区间即
可；
（2）由平移变换得到��，再利用恒等变形化简求出值域即可．
【解答过程】（1）解：由题意得�=
2π
�= 2π, ∵�> 0, ∴�= 1, ∴��= sin �+ �，
∴�
3π
4
= sin
3π
4 + �= 1, ∴
3π
4 + �=
π
2 + 2�π, �∈�, ∴�=−
π
4 + 2�π,k∈Z，
∵−
π
2 < �<
π
2 , ∴�=−
π
4 , ∴��= sin �−
π
4 ，
由−
π
2 + 2�π ≤�−
π
4 ≤
π
2 + 2�π得−
π
4 + 2�π ≤�≤
3π
4 + 2�π, �∈�，
∴��的单调递增区间为−
π
4 + 2�π,
3π
4 + 2�π , �∈�；
（2）由题意得��= ��+
π
4 = sin�, ∴�
π
3 −�= sin
π
3 −�，
∴�= ���π
3 −�= sin�sin π
3 −�=
3
2 sin�cos�−1
2 sin2�
=
3
4 sin2�+ 1
4 cos2�−1
4
=
1
2 sin 2�+
π
6 −
1
4 , ∴�= ���
π
3 −�的值域为−
3
4 ,
1
4 .
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6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数�= ��的表达式为��=
3
2 sin2�+ cos2�.
(1)若将函数�= ��的图像向右平移��> 0 个单位长度，得到函数�= ��的图像关于直线�=
π
6对称，
求�的最小值；
(2)若函数�= ��在区间−
π
12 , �上恰有2 个极值点和2 个零点，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
�
2
(2)�∈
5π
6 ,
7π
6
【解题思路】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解；
（2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数范
围.
【解答过程】（1）由��=
3
2 sin2�+ cos2�=
3
2 sin2�+
1
2 cos2�+
1
2 = sin 2�+
π
6 +
1
2，
当函数�(�)右移�个单位得�(�)，则�(�) = ��−�= sin 2(�−�) +
π
6 +
1
2 = sin 2�−2�+
π
6 +
1
2，
由�(�)关于�=
π
6对称，可得：2 ⋅
π
6 −2�+
π
6 = �π +
π
2 ，(�∈Z)，
整理得：�=−
�π
2 , �∈Z，又�> 0，取�=−1 得最小正数�=
�
2，
即�的最小值为
�
2；
（2）由（1）可得：��= sin 2�+
π
6 +
1
2，
当�∈−
π
12 , �，令�= 2�+
π
6 ∈0，2�+
π
6 ，
再由�= sin�+
1
2的零点满足：�=
7π
6 + 2�π或�=
11π
6 + 2�π，�∈Z，
再由�= sin�+
1
2的极值点为
π
2 + �π，�∈Z，
若函数�= ��在区间−
π
12 , �上恰有2 个极值点和2 个零点，
则
11π
6 < 2�+
π
6 ≤
5π
2 ⇒
5π
6 < �≤
7π
6 ，
即所求实数m 的取值范围�∈
5π
6 ,
7π
6 .
7．（2026·河北衡水·三模）已知函数��= 2sin(��+ �) �> 0,0 < �<
π
2 的部分图象如图所示．该图象
与y 轴交于点�0,
3 ，与x 轴交于B，C 两点，D 为图象的最高点，且△���的面积为
π
2．
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(1)求��的解析式；
(2)将��的图象向右平移
π
12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），
得到函数��的图象，若�(�) =
8
5
�
2 < �< �，求cos �+
π
6 的值．
【答案】(1)�(�) = 2sin 2�+
π
3
(2)−
3
5
【解题思路】（1）先根据三角形的面积得最小正周期，进而求出�，根据��图象经过点A 求出�，即可得
出��的解析式；
（2）求出函数��的表达式，得出sin �+
π
6 =
4
5，即可求出cos �+
π
6 的值.
【解答过程】（1）由题意，
△���的高为2，面积为
π
2，
即
1
2 × 2 × ��=
�
2，可得��=
π
2，则
�
2 =
π
2，
∴�= π =
2π
�，解得�= 2．
∵�(�)图象与y 轴交于点�0,
3 ，
∴2sin�=
3，即sin�=
3
2 ，
又因为0 < �<
π
2，所以�=
π
3．
∴��= 2sin 2�+
π
3 ．
（2）由题意及（1）得，
将��向右平移
π
12个单位长度，
得到�= 2sin 2 �−
π
12 +
π
3 = 2sin 2�+
π
6 的图象，
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再将所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），
得到函数�= 2sin �+
π
6 的图象，
∴�(�) = 2sin �+
π
6 ．
由�(�) =
8
5
�
2 < �< �可得2sin �+
π
6 =
8
5，
∴sin �+
π
6 =
4
5，
∵
�
2 < �< �，
∴
2π
3 < �+
π
6 <
7π
6 ，
∴cos �+
π
6 =−
1 −sin2 �+
π
6 =−
3
5．
8．（2026·北京延庆·一模）已知函数��=
2sin 2�+ �
�<
π
2 ，从条件①、条件②、条件③这三个条
件中选择一个作为已知，使函数��存在．
(1)求�的值；
(2)设��= ��−4cos2�+ 2，求��在区间−
π
2 , 0 上的最大值和最小值．
条件①：��是偶函数；
条件②：��的图象上所有点向右平移
π
8个单位长度，所得函数是奇函数；
条件③：��在区间−
3π
8 ,
π
8 上单调递增．
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选择①，不符合条件，选择②或选择③，�=
π
4；
(2)最大值为1，最小值为−
2
【解题思路】（1）选择条件①，得�=
π
2 + �π �∈Z 即可求解；
选择条件②，得−
π
4 + �= �π �∈Z 即可求解；
选择条件③，由正弦函数单调性得
2 × −
3π
8
+ �≥−
π
2 + 2�π
2 ×
π
8 + �≤
π
2 + 2�π
即可求解；
（2）将(1)中求得的�值代入，化简�(�)的表达式后，结合�的取值范围与正弦函数的性质求解最值.
【解答过程】（1）选择条件①：
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由函数��=
2sin 2�+ �
�<
π
2
，��是偶函数，
则�=
π
2 + �π �∈Z ，因为�<
π
2，
则此时�不存在，即函数��不存在；
选择条件②：��右移
π
8个单位后为奇函数。
平移后函数为�(�−
π
8 ) =
2sin(2(�−
�
8 ) + �) =
2sin(2�−
π
4 + �)，
因为�(�−
π
8 ) =
2sin(2�−
π
4 + �)为奇函数，
所以−
π
4 + �= �π �∈Z ，解得：�= �π+
π
4 �∈Z ，
因为�<
π
2，所以�= 0，此时�=
π
4
选择条件③：��在
−
3π
8 ,
π
8 上单调递增，
正弦函数sin�的单调递增区间为−
π
2 + 2�π,
π
2 + 2�π ，�∈Z ，
因为��在
−
3π
8 ,
π
8 上单调递增，
所以
2 × −
3π
8
+ �≥−
π
2 + 2�π
2 ×
π
8 + �≤
π
2 + 2�π
，�∈Z ，解得：
π
4 + 2�π ≤�≤
π
4 + 2�π
�∈Z
因为�<
π
2，所以�= 0，此时�=
π
4，
后续最值与条件②一致，
（2）当�=
π
4时，即��=
2sin 2�+
π
4 ，
��= ��−4cos2�+ 2 =
2sin 2�+ π
4 −2cos2�= sin2�−cos2�=
2sin 2�−π
4
当�∈[ −
π
2 , 0]时，2�−
π
4
∈−
5π
4 , −
π
4 ，
当2�−
π
4 =−
5π
4 ，即�=−
π
2时，��max = �−
π
2 =
2 ×
2
2 = 1，
当2�−
π
4 =−
π
2，即�=−
π
8时，��min = �−
π
8 =
2 × −1 =−
2.
一、单选题
1．（2026·北京·高考真题）�(�) = sin(�+ �)（0 < �< 2π），将�(�)向�轴正方向平移3�个单位，得到的
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函数图像与�(�)图像关于�轴对称，则�的取值个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】平移后函数为sin(�−2�)，与sin(�+ �)关于�轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等
得方程，排除不恒成立情形，得到�的取值个数.
【解答过程】将�(�) = sin(�+ �)向右平移3�个单位得
�(�) = �(�−3�) = sin(�−3�+ �) = sin(�−2�).
由题意，�(�)与�(�)的图像关于�轴对称，即�(�) =−�(�)恒成立，
即sin(�−2�) =−sin(�+ �) = sin( −�−�). 分两种情形讨论：
①�−2�=−�−�+ 2�π ⇒2�−�= 2�π(�∈�)，对任意�不恒成立，舍去；
②�−2�= π −( −�−�) + 2�π = π + �+ �+ 2�π(�∈�)，化简得
−2�= π + �+ 2�π ⇒3�=−π −2�π，即�=−
π
3 (1 + 2�).
由0 < �< 2π得0 <−
π
3 (1 + 2�) < 2π ⇒�=−1, −2, −3，
对应�=
π
3 ,π,
5π
3 ，因此�的取值个数为3.
故选：C.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）函数�= ��的图象由函数�= cos 2�+
π
6 的图象向左平移
π
6个单位长度得
到，则�= ��的图象与直线�=
1
2 �−
1
2的交点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】先利用三角函数平移的性质求得��=−sin2�，再作出��与�=
1
2 �−
1
2的部分大致图像，考
虑特殊点处��与�=
1
2 �−
1
2的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【解答过程】因为�= cos 2�+
π
6 向左平移
π
6个单位所得函数为�= cos 2 �+
π
6 +
π
6 = cos 2�+
π
2 =−
sin2�，所以��=−sin2�，
而�=
1
2 �−
1
2显然过0, −
1
2 与1,0 两点，
作出��与�=
1
2 �−
1
2的部分大致图像如下，
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考虑2�=−
3π
2 , 2�=
3π
2 , 2�=
7π
2 ，即�=−
3π
4 , �=
3π
4 , �=
7π
4 处��与�=
1
2 �−
1
2的大小关系，
当�=−
3π
4 时，�−
3π
4
=−sin −
3π
2
=−1，�=
1
2 × −
3π
4
−
1
2 =−
3π+4
8
<−1；
当�=
3π
4 时，�
3π
4
=−sin
3π
2 = 1，�=
1
2 ×
3π
4 −
1
2 =
3π−4
8
< 1；
当�=
7π
4 时，�
7π
4
=−sin
7π
2 = 1，�=
1
2 ×
7π
4 −
1
2 =
7π−4
8
> 1；
所以由图可知，��与�=
1
2 �−
1
2的交点个数为3.
故选：C.
二、填空题
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数��= sin ��+ �，如图A，B 是直线�=
1
2与曲线�= ��的
两个交点，若��=
π
6，则�π =__________．
【答案】−
3
2
【解题思路】设��1,
1
2 , ��2,
1
2 ，依题可得，�2 −�1 =
π
6，结合sin�=
1
2的解可得，��2 −�1 =
2π
3 ，从而
得到�的值，再根据�
2
3 π = 0 以及�0 < 0，即可得�(�) = sin 4�−
2
3 π ，进而求得�π ．
【解答过程】设��1,
1
2 , ��2,
1
2 ，由��=
π
6可得�2 −�1 =
π
6，
由sin�=
1
2可知，�=
π
6 + 2�π或�=
5π
6 + 2�π，�∈Z，由图可知，
��2 + �−��1 + �=
5
6 π −
π
6 =
2π
3 ，即��2 −�1 =
2π
3 ，∴�= 4．
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因为�
2
3 π = sin
8π
3 + �= 0，所以
8π
3 + �= �π，即�=−
8
3 π + �π，�∈Z．
所以�(�) = sin 4�−
8
3 π + �π = sin 4�−
2
3 π + �π ，
所以��= sin 4�−
2
3 π 或��=−sin 4�−
2
3 π ，
又因为�0 < 0，所以�(�) = sin 4�−
2
3 π ，∴�π = sin 4π −
2
3 π =−
3
2 ．
故答案为：−
3
2 ．
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