专题4.5 三角恒等变换（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)会推导两角差的余弦公式
(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
(3)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用
(4)能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，
并进行简单的恒等变换
高考真题
考点
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2025 年
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统计
三角恒等变
换
新课标I 卷：第4 题，
5 分
新课标Ⅱ卷：第13 题，
5 分
全国甲卷（文数）：第
9 题，5 分
全国甲卷（理数）：第
8 题，5 分
全国一卷：第11 题，6
分
全国二卷：第8 题，5
分
全国二卷：第7 题，5
分
全国二卷：第17 题
（1），6 分
北京卷：第16 题（1），
5 分
天津卷：第16 题（3），
5 分
命题规律
分析
1、三角恒等变换
三角恒等变换是三角函数的重要工具，是高考数学的热点、重点内容。
从近三年的高考情况来看，高考对三角恒等变换的考查较为稳定，考查内容、
频率、题型、难度均变化不大，主要有三大考查方向：①两角和与差的三角
函数公式与二倍角的化简求值；②辅助角公式统一函数名，研究三角函数的
性质；③三角恒等变换与三角函数、解三角形、平面向量的综合应用。
从近三年的高考考情来看，三角恒等变换在选择题、填空题、解答题中
都有考查，在选择题、填空题中主要考查：和差角公式、二倍角公式的直接
化简求值，辅助角公式的应用这两大方向，试题难度中等或偏下；在解答题
中三角恒等变换不会单独考查，三角恒等变换往往与三角函数、解三角形等
知识结合考查，此时试题难度中等，复习时需要同学学会熟练运用公式，灵
活变换。
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知识点1
两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的余弦公式
(1)两角差的余弦公式
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对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
(2)两角和的余弦公式
对于任意角α，β有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
(3)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
2．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
3．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
知识点2
二倍角公式
1．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
函数
公式
β=α
简记符号
正弦
sin2α =2sinαcosα
S(α+β)
S2α
余弦
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
C(α+β)
C2α
正切
T(α+β)
T2α
2．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①
：
，
，
.
②
：
.
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③
：
.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；
.
知识点3
简单的三角恒等变换
1．辅助角公式
通过应用公式
[或
]将形如
asinα+bcosα (a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三
角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
2．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为
突出.
常用的角的代换形式：
①α=(α+β)-β；
②α=β-(β-α)；
③
；
④
；
⑤
；
⑥
.
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要
特别注意的是“1”的代换.
知识点4
三角恒等变换的应用技巧
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如
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和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓
展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcosx 化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所
求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：
，
，
，
，
等.
知识点5
三角恒等变换几类问题的解题策略
1．给值求值型问题的解题思路
给值求值型问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出
相应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值型问题的解题思路
给角求值型问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之
间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而
得解.
3．给值求角型问题的解题思路
给值求角型问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解
决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．
.
2．降幂公式：
，
.
3．
，
，
.
【题型1
两角和与差的三角函数公式】
【例1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）若sin �+ �=
1
3，tan�+ tan�= 2，则cos�cos�=（
）
A．
1
12
B．
1
6
C．
1
3
D．
2
3
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【答案】B
【解题思路】根据两角和的正弦公式结合商数关系可得sin �+ �= tan�cos�cos�+ tan�cos�cos�，即可得
解.
【解答过程】因为sin �+ �= sin�cos�+ cos�sin�
= tan�cos�cos�+ tan�cos�cos�
= cos�cos�tan�+ tan�，
所以2cos�cos�=
1
3，所以cos�cos�=
1
6．
故选：B.
【变式1-1】（2026·甘肃白银·三模）已知点1, −2 是角�终边上的一点，则tan �−
π
4 =（
）
A．
1
3
B．−
1
3
C．3
D．−3
【答案】C
【解题思路】应用三角函数定义结合两角差正切公式计算求解.
【解答过程】点1, −2 是角�终边上的一点，则tan�=
−2
1 =−2，
所以tan �−
π
4 =
tan�−tanπ
4
1+tan�tanπ
4
=
tan�−1
1+tan�=
−2−1
1−2 = 3.
故选：C.
【变式1-2】（2026·广东汕头·二模）tan19° + tan11° +
3
3 tan19°tan11°的值为（
）
A．
3
3
B．
2
2
C．1
D．3
【答案】A
【解题思路】根据30° = 19° + 11°结合两角和差的正切公式运算求解.
【解答过程】因为tan30° = tan 19° + 11° =
tan19°+tan11°
1−tan19°tan11° =
3
3 ，
整理可得tan19° + tan11° +
3
3 tan19°tan11° =
3
3
1 −tan19°tan11° +
3
3 tan19°tan11° =
3
3 .
故选：A.
【变式1-3】（2026·安徽·模拟预测）已知cos �−�= sin �+ �，且tan�tan�=
1
2，则tan �+ �=（
）
A．3
B．
1
3
C．−
1
3
D．-3
【答案】A
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【解题思路】根据余弦差公式和正弦和公式展开已知等式cos (�−�) = sin (�+ �)，结合tan�tan�=
1
2，转
化为正切关系，最后根据正切和公式得到答案.
【解答过程】由已知cos(�−�) = sin(�+ �)，可得：cos�cos�+ sin�sin�= sin�cos�+ cos�sin�，
因为tan�tan�=
1
2存在，所以cos�cos�≠0，
将上式两边同时除以cos�cos�可得1 + tan�tan�= tan�+ tan�，
代入tan�tan�=
1
2，得：tan�+ tan�= 1 +
1
2 =
3
2，
根据正切和公式tan(�+ �) =
tan�+tan�
1−tan�tan�，
代入tan�+ tan�=
3
2和tan�tan�=
1
2：tan(�+ �) =
3
2
1−1
2
=
3
2
1
2
= 3.
故选：A．
【题型2
二倍角公式】
【例2】（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知�为锐角，若cos�=
1
4，则sin2�=（
）
A．
15
8
B．
15
15
C．
15
16
D．
1
2
【答案】A
【解题思路】首先根据同角三角函数的关系求出sin�，然后根据正弦的二倍角公式即可求解.
【解答过程】因为�为锐角，所以sin �> 0，由同角三角函数平方关系sin 2�+ cos 2�= 1 得：sin �=
1 −cos 2�=
1 −(
1
4 )2 =
15
4 ，
由正弦二倍角公式sin 2�= 2sin �cos �，代入得：sin 2�= 2 ×
15
4 ×
1
4 =
15
8 .
故选：A.
【变式2-1】（2026·云南·模拟预测）若tan�= 2，则cos2�=（
）
A．−
4
5
B．−
3
4
C．−
3
5
D．−
2
5
【答案】C
【解题思路】根据二倍角公式，同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【解答过程】cos2�= cos2�−sin2�=
cos2�−sin2�
cos2�+sin2�=
1−tan2�
1+tan2�=
1−22
1+22 =−
3
5.
故选：C．
【变式2-2】（2026·辽宁朝阳·三模）已知sin �+
π
4 =
2
4 ，则sin2�=（
）
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A．−
3
4
B．
3
4
C．−
1
4
D．
1
4
【答案】A
【解题思路】先应用两角和正弦公式得出sin�+ cos�=
1
2，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解.
【解答过程】由sin �+
π
4 =
2
4 ，得sin�+ cos�=
1
2，则(sin�+ cos�)2 =
1
4，
所以sin2�+ cos2�+ 2sin�cos�=
1
4，即得sin2�+ cos2�+ sin2�=
1
4，
由sin2�+ cos2�= 1，得sin2�=−
3
4．
故选：A.
【变式2-3】（2026·湖南湘西·三模）已知cos �+ �= 2sin �−�,tan�=−
3
2，则tan2�=（
）
A．-4
B．−
8
15
C．
8
15
D．
16
15
【答案】C
【解题思路】通过两角和与差的正余弦公式得出tan�和tan�的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果.
【解答过程】由cos �+ �= 2sin �−�，得cos�cos�−sin�sin�= 2sin�cos�−2cos�sin�，
即cos�−2sin�cos�= sin�−2cos�sin�，所以
cos�−2sin�
sin�−2cos�= tan�，
所以
1−2tan�
tan�−2 =−
3
2 ,tan�=−4，所以tan2�=
2tan�
1−tan2�=
8
15．
故选：C.
【题型3
三角函数式的化简】
【例3】（2026·河北·模拟预测）化简：
cos40°
1+sin40° =（
）
A．tan25°
B．sin25°
C．tan65°
D．sin65°
【答案】A
【解题思路】利用二倍角公式、同角三角函数关系弦化切，及两角差的正切公式和1 = tan45°即可求解.
【解答过程】
cos40°
1+sin40° =
cos220°−sin220°
sin20°+cos20° 2 =
cos20°−sin20°
sin20°+cos20° =
1−tan20°
1+tan20° =
tan45°−tan20°
1+tan45°⋅tan20° = tan25°.
故选：A.
【变式3-1】（2026·江西·一模）化简tan35° + tan100° + tan35°tan80° =（
）
A．tan65°
B．−tan65°
C．1
D．−1
【答案】D
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【解题思路】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.
【解答过程】由两角和的正切公式得tan35° + tan100° = tan(100° + 35°) 1 −tan35°tan100°
= tan135° 1 −tan35°tan100° =−1 × 1 −tan35°tan100° = tan35°tan100° −1
由诱导公式得tan80° = tan(180° −100°) =−tan100°，
则原式可化为tan35°tan100° −1 −tan35°tan100° =−1，故D 正确.
故选：D.
【变式3-2】（25-26 高一下·江西南昌·期中）化简：
sin2�−2cos2�
sin �−π
4
=（
）
A．2 2cos�
B．2cos�
C．2sin�
D．sin�
【答案】A
【解题思路】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简.
【解答过程】原式=
2sin�cos�−2cos2�
2
2 (sin�−cos�)
=
2 2cos�sin�−cos�
sin�−cos�
= 2 2cos�．
故选：A.
【变式3-3】（2026·重庆·模拟预测）式子
2sin18° 3cos29°−sin29°−1
cos6°+ 3sin6°
化简的结果为（
）
A．
1
2
B．1
C．2sin9°
D．2
【答案】B
【解题思路】根据三角恒等变换公式即可得出答案.
【解答过程】原式=
2sin18° 3cos29°−sin29°−cos29°−sin29°
2sin 6°+30°
=
2sin18° 2cos29°−2sin29°
2sin36°
=
2sin18°cos18°
sin36°
=
sin36°
sin36° = 1.
故选：B.
【题型4
给角求值型问题】
【例4】（2026·湖南永州·模拟预测）
3tan10∘−1
sin10∘
的值为（
）
A．2
B．4
C．−2
D．−4
【答案】D
【解答过程】先将3tan10∘−1 进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．
【解题思路】
3tan10∘−1
sin10∘
=
3sin10∘
cos10∘−1
sin10∘
=
3sin10∘−cos10∘
sin10∘cos10∘
=
2sin 10∘−30∘
1
2sin20∘
=−
2sin20∘
1
2sin20∘=−4.
故选：D.
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【变式4-1】（25-26 高一下·四川·期中）计算cos43°sin73° + sin223°cos287° =（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．−
1
2
D．−
3
2
【答案】A
【解题思路】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：cos43°sin73° + sin223°cos287° = cos43°sin73° + sin 180° + 43° cos 360° −73°
= sin73°cos43° −cos73°sin43° = sin 73° −43° = sin30° =
1
2.
故选：A.
【变式4-2】（25-26 高三·全国·一轮复习）
3−4sin20°+8sin320°
2sin20°sin480°
=（
）
A．
2 3
3
B．
3
3
C．
2
3
D．2
【答案】A
【解题思路】先利用二倍角的余弦公式化简，再将3化为2sin 20° + 40° ，利用两角和与差的正弦公式可求
三角函数式的值
【解答过程】
3−4sin20°+8sin320°
2sin20°sin480°
=
3−4sin20° 1−2sin220°
2sin20°sin60°
=
2sin60°−4sin20°cos40°
3sin20°
=
2sin40°cos20°−2sin20°cos40°
3sin20°
=
2sin20°
3sin20° =
2 3
3 .
故选：A.
【变式4-3】（2026 高三上·安徽六安·专题练习）
1
cos280° −
3
cos210° ⋅
1
cos20°=（
）
A．16
B．32
C．−16
D．−32
【答案】B
【解题思路】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和
差公式变形化简即可.
【解答过程】由
1
cos280° −
3
cos210° ⋅
1
cos20° =
1
sin210° −
3
cos210° ⋅
1
cos20° =
cos210°−3sin210°
sin210°cos210° ⋅
1
cos20°
= 4 × 1 −4sin210°
sin220°
⋅
1
cos20° = 8 × 1 −2 1 −cos20°
sin20° ⋅sin40°
= 16 ×
2cos20° −1
cos 20° −40° −cos 20° + 40°
= 16 × 2cos20° −1
cos20° −1
2
= 32 × 2cos20° −1
2cos20° −1 = 32
故选：B.
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【题型5
给值求值型问题】
【例5】（2026·河南开封·模拟预测）已知�+ �=
3π
2 ，若tan�= tan �+
π
4 ，则tan2�=（
）
A．0
B．1
C．−
1
2
D．-1
【答案】B
【解题思路】根据诱导公式以及正切的和差角公式可得tan2�=−2tan�+ 1，即可由正切的二倍角公式求解.
【解答过程】由�+ �=
3π
2 ，tan�= tan �+
π
4 可得tan�= tan
3π
2 −�= tan �+
π
4 ，
故tan
3π
2 −�=
sin
3π
2 −�
cos
3π
2 −�=
−cos�
−sin�=
1
tan�，因此
1
tan�= tan �+
π
4 ，
故
1
tan�= tan �+
π
4 =
tan�+1
1−tan�，化简得tan2�=−2tan�+ 1，
故tan2�=
2tan�
1−tan2�=
2tan�
1−−2tan�+1 = 1.
故选：B.
【变式5-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知cos �−�=
3
4，sin�sin�=
1
8，则cos 2�+ 2�=（
）
A．−
1
4
B．
1
4
C．−
1
2
D．
1
2
【答案】C
【解题思路】利用三角恒等变换求解.
【解答过程】因为cos �−�= cos�cos�+ sin�sin�=
3
4，sin�sin�=
1
8，
所以cos�cos�=
5
8，
所以cos �+ �= cos�cos�−sin�sin�=
5
8 −
1
8 =
1
2，
所以cos 2�+ 2�= cos 2 �+ �
= 2cos2 �+ �−1 = 2 ×
1
4 −1 =−
1
2.
故选：C.
【变式5-2】
（2026·陕西榆林·模拟预测）若−
π
2 < �−�<
π
2 , 2cos�+ sin�=
2, 2sin�−cos�=−1，则cos �+
π
3 =（
）
A．
3−6
6
B．
6
6
C．
6
3
D．
3+ 6
6
【答案】D
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【解题思路】对式子进行平方，再相加化简得sin �−�=
1
2，进而可得�= �+
π
6，再回代化简可得cos�=
6
3 ，
然后用和差公式求解即可．
【解答过程】因为2cos�+ sin�=
2，所以4cos2�+ 4cos�sin�+ sin2�= 2①；
又因为2sin�−cos�=−1，所以4sin2�−4sin�cos�+ cos2�= 1②.
①+②得4 −4sin �−�+ 1 = 3，所以sin �−�=
1
2.
又因为−
π
2 < �−�<
π
2，所以�−�=
π
6，即�= �+
π
6.
把�= �+
π
6代入2cos�+ sin�=
2，得2cos �+
π
6 + sin�=
2，
则3cos�=
2，即cos�=
6
3 .
把�= �+
π
6 代入2sin�−cos�=−1，得2sin �+
π
6 −cos�=−1，
则3sin�=−1，即sin�=−
3
3 .
所以cos �+
π
3 = cos�cos
π
3 −sin�sin
π
3 =
6
3 ×
1
2 −−
3
3
×
3
2 =
3+ 6
6 .
故选：D.
【变式5-3】（2026·江苏南京·模拟预测）若sin �−�=
3
5，cos2�=−
3
5，且�, �都为锐角，则sin �+ �=
（
）
A．−
24
25
B．
13
25
C．
24
25
D．1
【答案】D
【解题思路】先利用同角的正余弦的平方关系可求得sin2�，cos �−�，再根据�+ �= 2�−�−�，利
用两角差的正弦公式求值即可.
【解答过程】因为�, �都为锐角，所以0 < �, �<
π
2，所以0 < 2�< π，−
π
2 <−�< 0，
所以−
π
2 < �−�<
π
2，
因为cos2�=−
3
5。0 < 2�< π，所以sin2�=
1 −cos22�=
1 −−
3
5
2
=
4
5，
因为sin �−�=
3
5，−
π
2 < �−�<
π
2，
所以cos �−�=
1 −sin2 �−�=
1 −
3
5
2
=
4
5，
所以sin �+ �= sin 2�−�−�
= sin2�cos �−�−cos2�sin �−�
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=
4
5 ×
4
5 −−
3
5 ×
3
5 = 1.
故选：D.
【题型6
给值求角型问题】
【例6】（25-26 高三上·湖北荆州·阶段检测）已知�, �∈0,π 且cos�=
5
5 ，cos �+ �=
2
10，则�−�=（
）
A．
π
4
B．
3π
4
C．−
π
4
D．−
3π
4
【答案】A
【解题思路】利用两角差的正弦公式结合sin(�−�) = sin[2�−(�+ �)]求sin �−�，注意确定角的范围，
然后得出结论．
【解答过程】因为�∈(0,π)且cos�=
5
5 <
1
2 = cos
π
3，函数�= cos�在0, π 上单调递减，
�∈(
π
3 ,
π
2 )，2�∈(
2π
3 ,π)，
又�, �∈0,π ，cos �+ �=
2
10，所以�+ �∈(0,
π
2 )，
sin(�+ �) =
1 −cos2(�+ �) =
7 2
10 ，
cos2�= 2cos2�−1 = 2 × (
5
5 )2 −1 =−
3
5，sin2�=
1 −cos22�=
4
5，
所以sin(�−�) = sin[2�−(�+ �)] = sin2�cos(�+ �) −cos2�sin(�+ �) =
4
5 ×
2
10 −( −
3
5 ) ×
7 2
10 =
2
2 ，
又�∈(
π
3 ,
π
2 )，�+ �∈(0,
π
2 )，所以�= �+ �−�<
π
2 −
π
3 =
π
6，结合�> 0，可得�∈(0,
π
6 )，
所以�−�∈(
π
6 ,
π
2 )，所以�−�=
π
4，
故选：A．
【变式6-1】（25-26 高一下·江苏镇江·期末）已知�，�为锐角，tan�=
3
4，cos �+ �=−
2
10，则2�+ �的值
为（
）
A．
3π
4
B．π
C．
5π
4
D．
7π
4
【答案】A
【解题思路】由�，�为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解．
【解答过程】因为�，�为锐角，tan�=
3
4，cos �+ �=−
2
10，
所以sin�=
3
5 , cos�=
4
5 , sin �+ �=
7 2
10 ，�∈0,
π
2 ，�+ �∈
π
2 ,π ，
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所以2�+ �∈
π
2 ,
3π
2 ，
则sin 2�+ �= sin �+ �+ �= sin �+ �cos�+ cos �+ �sin�
=
7 2
10 ×
4
5 −
2
10 ×
3
5 =
2
2 ，
所以2�+ �=
3π
4 ，
故选：A．
【变式6-2】（2026·广东珠海·模拟预测）设�∈0,
π
2 ，�∈0,
π
2 ，且tan�+ tan�=
1
cos�，则（
）
A．3�−�=
π
2
B．2�−�=
π
2
C．3�+ �=
π
2
D．2�+ �=
π
2
【答案】D
【解题思路】根据已知得sin �+ �= cos�，结合角的范围及诱导公式得到�+ �=
π
2 ± �或
�+ �+
π
2 ± �= π，即可得.
【解答过程】由题设
sin�
cos�+
sin�
cos�=
sin�cos�+cos�sin�
cos�cos�
=
sin �+�
cos�cos�=
1
cos�，
所以sin �+ �= cos�，
因为�∈0,
π
2 ，�∈0,
π
2 ，则�+ �∈0,π ，又sin �+ �= cos�= sin
π
2 ± �，
所以�+ �=
π
2 ± �或�+ �+
π
2 ± �= π，即2�+ �=
π
2或�=
π
2（舍），
故2�+ �=
π
2．
故选：D.
【变式6-3】（25-26 高一下·江苏南京·阶段检测）若
π
4 < �< π < �<
3π
2 ，且cos �+ �=−
2
10，sin2�=
4
5，
则�−�=（
）
A．
π
4
B．
π
2
C．
3π
4
D．π
【答案】C
【解题思路】根据已知及平方关系得cos2�=−
3
5、sin �+ �=−
7 2
10 ，且
π
4 < �−�< π，再应用差角余弦公
式求cos �−�，即可得.
【解答过程】因为
π
4 < �< π，所以
π
2 < 2�< 2π，又sin2�=
4
5 > 0，
所以
π
2 < 2�< π，则cos2�=−
1 −sin22�=−
3
5，
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因为π < �<
3π
2 ，
π
4 < �<
π
2，所以
5π
4 < �+ �< 2π，
又cos �+ �=−
2
10，所以
5π
4 < �+ �<
3π
2 ，
所以sin �+ �=−
1 −cos2 �+ �=−
7 2
10 ，
因为
5π
4 < �+ �<
3π
2 ，−π <−2�<−
π
2，所以
π
4 < �−�< π，
所以cos �−�= cos �+ �−2�= cos �+ �cos2�+ sin �+ �sin2�
=−
2
10 × −
3
5 −
7 2
10 ×
4
5 =−
2
2 ，
所以�−�=
3π
4 .
故选：C.
【题型7
辅助角公式及其应用】
【例7】（2026·山东威海·二模）设函数��=
3sin��−cos���> 0 ，若��= ��+ 2π ，且�= ��
的图象在0,
π
4 上存在对称轴，则�的最小值为（
）
A．
2
3
B．1
C．
8
3
D．3
【答案】D
【解题思路】先化简函数解析式，结合周期可得�为正整数，利用对称轴可得答案.
【解答过程】��=
3sin��−cos��= 2sin ��−
π
6 ，因为��= ��+ 2π ，所以2π是��的一个周期，
所以�⋅
2π
�= 2π，即�= �，其中�∈N∗；
令��−
π
6 = �π +
π
2 (�∈Z)，则�=
�π
�+
2π
3�(�∈Z)，
因为�= ��的图象在0,
π
4 上存在对称轴，所以0 ≤
�π
�+
2π
3�≤
π
4 (�∈Z)，即0 ≤
3�+2
3�≤
1
4；
当�< 0 时，不合题意；当�= 0 时，解得�≥
8
3，且�为正整数，
所以�的最小值为3，此时对称轴为�=
2π
9 ，符合题意；
当�≥1 时，解得�≥
20
3 ，综上，�的最小值为3.
故选：D.
【变式7-1】（2026·天津河西·三模）已知函数��= 2cos2
��
2
+
3sin ��−1(�> 0)，��图像的对称
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中心到相邻的对称轴之间的距离为
π
4，则��在区间−
π
4 ,
π
6 上的最小值为（
）
A．−
3
B．−1
C．−
3
2
D．−2
【答案】A
【解题思路】先对函数化简，再根据对称中心与相邻对称轴的距离求出周期，进而得到�，最后求区间内的
最小值.
【解答过程】�(�) = 2cos2 ��
2 +
3sin��−1 = cos��+
3sin��= 2sin ��+
π
6 ，
正弦函数中，对称中心到相邻对称轴的距离为
�
4，已知该距离为
π
4，
因此：
�
4 =
π
4 ⇒�= π，由周期公式�=
2π
�（�> 0），得：
2π
�= π ⇒�= 2，
所以�(�) = 2sin 2�+
π
6 ，当�∈−
π
4 ,
π
6 时，令�= 2�+
π
6，则�∈−
π
3 ,
π
2 ，
此时�= sin�在�=−
π
3时取得最小值−
3
2 ，所以�(�)min = 2 × −
3
2
=−
3.
故选：A.
【变式7-2】（2026·河北·模拟预测）�(�) = sin�+
2cos�在区间[0,π]上的值域为___________．
【答案】−
2,
3
【解题思路】先应用辅助角公式化简，再应用正弦函数值域计算求解.
【解答过程】依题意，函数��= sin�+
2cos�=
3sin �+ �,tan�=
2，�∈
π
4 ,
π
2 ，
因为tan�=
2，所以
sin2�+ cos2�= 1
sin�
cos�=
2
，所以
sin�=
6
3
cos�=
3
3
，
在区间[0,π]上，由于0 ≤�≤π, �≤�+ �≤π+�，
所以当�+ �=
π
2时，��max =
3，
当�+ �= π+�时，��min =
3sin π + �=−
3sin�=−
3 ×
6
3 =−
2，
所以��在区间[0,π]上的值域为−
2,
3 .
故答案为：−
2,
3 .
【变式7-3】（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数��=
3
2 cos4�−
3
2 sin4�+ sin�cos�−
1
2在区间−
π
6 , �
上有且仅有两个零点，则实数�的取值范围为___________．
【答案】
π
4 ,
11π
12
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【解题思路】利用倍角公式和辅助角公式化简得出��= sin 2�+
π
3 −
1
2，令�= 2�+
π
3，将问题转化为方程
sin�−
1
2 = 0 在区间0,2�+
π
3 上有且仅有两个根，结合正弦函数的性质得出
5π
6 ≤2�+
π
3 <
13π
6 即可.
【解答过程】��=
3
2 cos4�−
3
2 sin4�+ sin�cos�−
1
2 =
3
2
cos2�+ sin2�
cos2�−sin2�+
1
2 sin2�−
1
2
=
3
2 cos2�+ 1
2 sin2�−1
2 = sin 2�+ π
3 −1
2 .
设�= 2�+
π
3，因为�∈−
π
6 , �，所以�∈0,2�+
π
3 ．
函数��= sin 2�+
π
3 −
1
2在区间−
π
6 , �上有且仅有两个零点，
即方程sin�−
1
2 = 0 在区间0,2�+
π
3 上有且仅有两个根．
因为方程sin�−
1
2 = 0 的正根从小到大排列分别是
π
6 ,
5π
6 ,
13π
6 , ⋯,
所以
5π
6 ≤2�+
π
3 <
13π
6 ，解得
π
4 ≤�<
11π
12 ，
则实数�的取值范围为
π
4 ,
11π
12 ．
故答案为：
π
4 ,
11π
12 ．
【题型8
三角恒等变换与三角函数、解三角形综合】
【例8】（2026·江西赣州·二模）记△���的内角�, �, �的对边分别为�, �, �，满足cos�2 +
3cos�+ sin�=
3sin�sin�．
(1)若△���为等腰三角形，求�；
(2)若�=
π
4 , �=
2 �−1 ，求△���的面积．
【答案】(1)
2π
9 或
5π
18
(2)
3+ 3
2
【解题思路】（1）根据三角恒等变换得cos�= cos �+
π
6 ，进而得�= �+
π
6，再根据等腰三角形即可求得
答案；
（2）结合（1），根据已知条件得�=
5π
12 , �=
π
3，再结合正弦定理得6�=
3 + 1 �，进而得�=
3 + 1, �=
6，
最后计算面积即可.
【解答过程】（1）解：由cos�2 +
3cos�+ sin�=
3sin�sin�
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可得：2cos�+
3 cos�cos�−sin�sin�+ sin�= 0,即2cos�−
3cos�+ sin�= 0
整理得：cos�= cos �+
π
6
又�∈0,π , �+
π
6 ∈
π
6 ,
7π
6 ，且�+ �< π，所以�= �+
π
6
因为△���为等腰三角形，
①当�= �时，�+ �+ �= 3�+
π
3 = π，得�=
2π
9
②当�= �时，�+ �+ �= 3�+
π
6 = π，得�=
5π
18
故�的值为
2π
9 或
5π
18
（2）解：结合（1）得，�=
π
4时，�=
5π
12 , �=
π
3
由正弦定理
�
sin�=
�
sin�得
�
�=
sin�
sin�=
sin
π
6+π
4
sinπ
3
=
2+ 6
4
3
2
，
所以6�=
3 + 1 �
又�=
2 �−1 ，
所以�=
3 + 1, �=
6
所以△���的面积为
1
2 ��sin�=
3+ 3
2 .
【变式8-1】（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量�Ԧሬ= sin�,cos�, �Ԧሬ= cos�,
3sin �+
π
2
.设��= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(1)求函数�= ��的最小正周期；
(2)记△���的内角�, �, �所对的边分别是�, �, �，已知��=
3, �=
3, △���的面积为3，求�的长.
【答案】(1)π
(2)�=
7.
【解题思路】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期；
（2）根据�(�) =
3，求得�=
π
6，再根据△���的面积为3，求得�= 4，再利用余弦定理即可得出答案.
【解答过程】（1）由题意，�(�) = �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= sin�cos�+
3cos�sin(�+
π
2 ) = sin�cos�+
3cos2�
=
sin2�
2
+
3
2 (1 + cos2�) = sin(2�+
π
3 ) +
3
2 ，
所以函数�= �(�)的最小正周期�=
2π
2 = π；
（2）由�(�) =
3得sin(2�+
π
3 ) =
3
2 ，
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因为�∈(0,π)，所以2�+
π
3 ∈(
π
3 ,
7π
3 )，解得�=
π
6，
因为�△���=
1
2 ��sin�=
1
2 ×
3�×
1
2 =
3，所以�= 4，
由余弦定理得�2 = �2 + �2 −2��cos�=
3
2 + 42 −2 × 4 ×
3 ×
3
2 = 7，所以�=
7.
【变式8-2】（2026·山东潍坊·三模）记△���的内角�, �, �的对边分别为�, �, �，已知sin�=
3sin�sin�−
3cos�cos�．
(1)求�；
(2)若边��上的高为
3 21
7 ，�= 2，求�，�．
【答案】(1)�=
π
3
(2)�= 3，�=
7或�= 6，�= 2 7
【解题思路】（1）利用三角形内角和性质、三角恒等变换化简已知等式求角�；
（2）结合三角形面积公式建立�, �的关系，再用余弦定理列方程求解�, �.
【解答过程】（1）在△���中，�+ �+ �= π，故cos�=−cos �+ �
，
将已知等式变形：sin�=−
3 cos�cos�−sin�sin�，
又−
3 cos�cos�−sin�sin�=−
3cos �+ �
，
代入得：sin�=
3cos�，
因�∈(0,π)，cos�≠0，
故tan�=
3，得�=
π
3；
（2）由三角形面积相等得
1
2 ��sin�=
1
2 �⋅ℎ，代入�= 2，sin�=
3
2 ，ℎ=
3 21
7 ，
化简得：�=
3 7
7 �，又cos�=
1
2
再代入余弦定理�2 = �2 + �2 −2��cos�，得�2 = 4 +
9�2
7 −
6 7�
7
，
整理得�2 −3 7�+ 14 = 0，解得�=
7或�= 2 7，
对应代入�=
3 7
7 �，得�= 3 或�= 6，
故�= 3，�=
7或�= 6，�= 2 7.
【变式8-3】（2026·陕西榆林·三模）已知函数��= 3cos�−
3sin�．
(1)若�∈−
π
6 ,
π
2 ，且��=
2 3
3 ，求sin�的值；
(2)将函数��的图象向右平移
π
3个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐
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标不变），得到函数��的图象，求函数��在区间0,π 上的值域．
【答案】(1)
2 6−1
6
(2)
3，2 3
【解题思路】（1）利用辅助角公式化简��，得到cos �+
π
6 =
1
3，结合角的范围求出sin �+
π
6 =
2 2
3 ，
利用两角差的正弦公式代入求解即可.
（2）根据图像平移变换得到��，结合余弦型函数性质求值域即可.
【解答过程】（1）由题意知��= 3cos�−
3sin�= 2 3cos �+
π
6 ，
令��= 2 3cos �+
π
6 =
2 3
3 ，所以cos �+
π
6 =
1
3，
又�∈−
π
6 ，
π
2 ，所以�+
π
6 ∈0，
2π
3 ，
所以sin �+
π
6 =
1 −cos2 �+
π
6 =
2 2
3 ，
所以sin�= sin �+
π
6 −
π
6 = sin �+
π
6 cos
π
6 −cos �+
π
6 sin
π
6 =
2 2
3 ×
3
2 −
1
3 ×
1
2 =
2 6−1
6
．
（2）将函数��的图象向右平移
π
3个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵
坐标不变），得到��= 2 3cos
1
2 �−
π
6 ，
当�∈0,π 时，
1
2 �−
π
6 ∈−
π
6 ，
π
3 ，
所以cos
1
2 �−
π
6 ∈
1
2 ，1 ，2 3cos
1
2 �−
π
6 ∈
3，2 3 ，
即��的值域为
3，2 3 ．
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·三模）已知tan �+
π
4 =
1
5，则sin2�=（
）
A．
12
13
B．−
12
13
C．
5
7
D．−
5
7
【答案】B
【解题思路】由两角和的正切公式可得tan�=−
2
3，根据齐次式问题运算求解；
【解答过程】因为tan �+
π
4 =
tan�+1
1−tan�=
1
5，所以tan�=−
2
3，
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所以sin2�=
2sin�cos�
cos2�+sin2�=
2tan�
1+tan2�=−
12
13.
故选：B.
2．（2026·广西·模拟预测）角�的终边与单位圆的交点坐标为
1
2 ,
3
2 ，则cos �−
π
3 =（
）．
A．
1
2
B．
3
2
C．1
D．0
【答案】C
【解题思路】根据题意，利用三角函数的定义和两角差的余弦公式，准确计算，即可求解.
【解答过程】因为角�的终边与单位圆的交点坐标为
1
2 ,
3
2 ，可得cos�=
1
2 , sin�=
3
2 ，
则cos �−
π
3 = cos�cos
π
3 + sin�sin
π
3 =
1
2 ×
1
2 +
3
2 ×
3
2 = 1.
故选：C.
3．（2026·海南三亚·一模）已知
sin�
cos�−sin�=
1
2，则sin 2�+
π
4 =（
）
A．
2
10
B．
7 2
10
C．−
2
10
D．−
7 2
10
【答案】B
【解题思路】先利用齐次式的处理方法求tan�，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求sin2�和cos2�，最
后利用两角和的正弦公式求值即可.
【解答过程】因为
sin�
cos�−sin�=
1
2，所以
tan�
1−tan�=
1
2，整理得tan�=
1
3.
所以sin2�= 2sin�cos�=
2sin�cos�
cos2�+sin2�=
2tan�
1+tan2�=
2×1
3
1+ 1
3
2 =
3
5，
cos2�= cos2�−sin2�=
cos2�−sin2�
cos2�+sin2�=
1−tan2�
1+tan2�=
1−1
3
2
1+ 1
3
2 =
4
5.
所以sin 2�+
π
4 = sin2�cos
π
4 + cos2�sin
π
4 =
3
5 ×
2
2 +
4
5 ×
2
2 =
7 2
10 .
故选：B.
4．（2026·陕西咸阳·三模）已知cos
π
4 + �=−
4
5，且
3π
4 < �< π，则tan
7π
8 +
�
2 =(
)
A．2
B．3
C．−2
D．−3
【答案】A
【解题思路】先利用已知条件求出tan
π
4 + �，再通过二倍角公式求出tan
π
8 +
�
2 ，最后利用和角公式将目
标角转化为已知角与
3π
4 的和，计算得结果.
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【解答过程】由
3π
4 < �< π，得π <
π
4 + �<
5π
4 ，故sin
π
4 + �< 0.
由cos
π
4 + �=−
4
5，得sin
π
4 + �=−
1 −−
4
5
2
=−
3
5，
因此tan
π
4 + �=
sin
π
4+�
cos
π
4+�=
3
4.
设�=
π
8 +
�
2，则
π
4 + �= 2�，故tan2�=
3
4.
由二倍角公式tan2�=
2tan�
1−tan2�=
3
4，解得tan�=−3 或tan�=
1
3.
又
3π
4 < �< π，故
3π
8 <
�
2 <
π
2，则�=
π
8 +
�
2 ∈
π
2 ,
5π
8 ，tan�< 0，故tan�=−3.
tan
7π
8 +
�
2 = tan �+
3π
4
=
tan�+tan3π
4
1−tan�tan3π
4
=
−3−1
1−(−3)(−1) = 2.
故选：A.
5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知tan�+ tan�= 2，且tan �+ �= 3，则tan�tan�=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．
2
3
D．
4
3
【答案】B
【解题思路】根据两角和的正切公式即可求解.
【解答过程】由于tan �+ �=
tan�+tan�
1−tan�tan�，代入tan�+ tan�= 2，且tan �+ �= 3，
得3 =
2
1−tan�tan�，解得tan�tan�=
1
3，故B 正确.
故选：B.
6．（2026·吉林延边·二模）在△���中，角�、�、�的对边分别为�、�、�，满足�cos�−cos�= �+ �cos�，
若sin�=
1
3，则cos �+ �的值为（
）
A．
7
3
B．
7
9
C．−
7
3
D．−
7
9
【答案】D
【解题思路】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角�与角�的关系，
最后结合二倍角公式，即可求解.
【解答过程】由题意，�cos�−cos�= �+ �cos�，
根据正弦定理，可得sin�cos�−cos�= sin�+ sin�cos�，
化简得sin�cos�−cos�sin�= sin�cos�+ cos�sin�，
即sin �−�= sin �+ �，
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又�+ �+ �= π，所以sin �+ �= sin π −�= sin�，
所以sin �−�= sin�，
所以①�−�+ �= π，即�= π，不符合题意，
②�−�= �，即�= 2�，
所以cos �+ �= cos π −�=−cos�=−cos2�=−1 −2sin2�，
又sin�=
1
3，所以cos �+ �=−1 −2sin2�=−1 −2 ×
1
3
2
=−
7
9.
故选：D.
7．（2026·陕西西安·三模）已知函数��= sin��+
3cos��−
3 �> 0 在0,π 上有三个零点，则�的取
值范围是（
）
A．2, + ∞
B．
7
3 , + ∞
C．2,
7
3
D．2,
7
3
【答案】C
【解题思路】根据条件，利用辅助角公式得到sin ��+
π
3 =
3
2 在0,π 上有三个解，令�= ��+
π
3，得到sin�=
3
2 ，利用三角函数的性质，即可求解.
【解答过程】由题意得��= 2sin ��+
π
3 −
3在0,π 上有三个零点，
即方程sin ��+
π
3 =
3
2 在0,π 上有三个解，
令�= ��+
π
3，�∈
π
3 , �π +
π
3 ，
由sin�=
3
2 ，得�=
π
3 + 2�π, �∈Z 或�=
2π
3 + 2�π, �∈Z，
令�= 0 和�= 1，得到�=
π
3，
2π
3 ，
7π
3 ，
8π
3 ，
因为sin�=
3
2 在
π
3 , ��+
π
3 上有三个解，
所以
7π
3 < �π +
π
3 ≤
8π
3 ，解得2 < �≤
7
3．
故选：C.
8．（2026·福建南平·二模）已知函数��=
3sin2�+ 2cos2�−1，将函数��的图象向左平移
π
6个单位长
度可得到函数��的图象，则下列结论正确的是（
）
A．函数��的最小正周期为2π
B．函数��的最大值为3
C．函数��是奇函数
D．函数��在区间0,
π
3 上单调递减
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【答案】D
【解题思路】应用二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断A、B；再由图象
平移写出��，结合奇函数性质及整体法求区间单调性判断C、D.
【解答过程】由题意得��=
3sin2�+ 2cos2�−1 =
3sin2�+ cos2�= 2sin 2�+
π
6 ，
则��的最小正周期�=
2π
2 = π，最大值为2，故A，B 错误；
将函数��的图象向左平移
π
6个单位长度可得到函数��的图象，
所以��= 2sin 2 �+
π
6 +
π
6 = 2sin 2�+
π
2 = 2cos2�，定义域为R，但�0 ≠0，故C 错误；
令2�π ≤2�≤π + 2�π, �∈Z，得�π ≤�≤
π
2 + �π, �∈Z，
因为0,
π
3 ⊆0,
π
2 ，所以函数��在区间0,
π
3 上单调递减，故D 正确，
故选：D.
二、多选题
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）下列计算结果正确的是（
）
A．sin75° + cos75° =
6
2
B．tan10° + tan50° + tan10°tan50°tan60° = 2 3
C．
1+tan15°
1−tan15° +
2tan15°
tan45°+tan15°tan165° =
4 3
3
D．
1+tan415°
1−tan415° =
3
2
【答案】AC
【解题思路】利用辅助角公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的正切公式及二
倍角公式即可判断C；利用商数关系化切为弦，再结合平方关系及二倍角公式即可判断D.
【解答过程】对于A，sin75° + cos75° =
2sin 75° + 45° =
2sin120° =
6
2 ，故A 正确；
对于B，tan10° + tan50° + tan10°tan50°tan60°
= tan 10° + 50°
1 −tan10°tan50° +
3tan10°tan50°
=
3 −
3tan10°tan50° +
3tan10°tan50° =
3，故B 错误；
对于C，
1+tan15°
1−tan15° +
2tan15°
tan45°+tan15°tan165° =
tan45°+tan15°
1−tan15°tan45° +
2tan15°
1−tan215°
= tan60° + tan30° =
3 +
3
3 =
4 3
3 ，故C 正确；
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对于D，
1+tan415°
1−tan415° =
1+sin415°
cos415°
1−sin415°
cos415°
=
sin415°+cos415°
cos415°−sin415°
=
sin215°+cos215°
2−2sin215°cos215°
sin215°+cos215°
cos215°−sin215° =
1−1
2sin230°
cos30°
=
7 3
12 ，故D 错误.
故选：AC.
10．（2026·安徽滁州·三模）已知�∈
π
2 ,π ，�∈0,
π
2 ，且cos2�=
7
25，tan�=
12
5 ，则（
）
A．tan�=−
3
4
B．sin�−cos�=−
1
5
C．sin �+ �=−
33
65
D．
sin2�+4cos2�
sin2�−4cos2�=
1
5
【答案】AC
【解题思路】根据cos2�=
1−tan2�
1+tan2�可判断A；根据tan�=−
3
4及sin2�+ cos2�= 1 即可判断B；根据两角和的
正弦公式可判断C；代入可判断D.
【解答过程】cos2�= cos2�−sin2�=
cos2�−sin2�
cos2�+sin2�=
1−tan2�
1+tan2�=
7
25，
解得tan�=±
3
4，又�∈
π
2 ,π ，所以tan�=−
3
4，故A 正确；
联立
tan�=
sin�
cos�=−
3
4
sin2�+ cos2�= 1
及�∈
π
2 ,π ，解得
sin�=
3
5
cos�=−
4
5
，
所以sin�−cos�=
7
5，故B 错误；
同理根据tan�=
12
5 及�∈0,
π
2 ，解得
sin�=
12
13
cos�=
5
13
，
所以sin �+ �= sin�cos�+ cos�sin�=
3
5 ×
5
13 + −
4
5 ×
12
13 =−
33
65，故C 正确；
因sin2�= 2sin�cos�= 2 ×
12
13 ×
5
13 =
120
169，
所以
sin2�+4cos2�
sin2�−4cos2�=
120
169+4× 25
169
144
169−4× 25
169
= 5，故D 错误.
故选：AC.
11．（2026·山东·模拟预测）已知函数��= sin ��−
π
6 −cos��0 < �< 3 的一个零点是
π
6，函数��=
��+
π
6 ，则（
）
A．��在区间0,
π
4 上的值域为−
3
2 ,
1
2
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B．��=
3sin2�
C．若方程��= ��的相邻的两根分别为�，�，则�−�=
π
2
D．函数ℎ�= �
�
2 −
π
12 + ��+
π
4
的最大值为2 3
【答案】BCD
【解题思路】对于A，先根据函数的零点与和差的正弦公式求出�，然后根据换元法和正弦函数的性质求出
值域；对于B，利用诱导公式进行化简即可；对于C，先化简��−��的表达式，然后令其为0，求出零
点，进而验证；对于D，先根据诱导公式和二倍角的余弦公式化简ℎ�，然后结合二次函数的性质求出最大
值.
【解答过程】因为函数��= sin ��−
π
6 −cos��0 < �< 3 的一个零点是
π
6，所以�
π
6
= 0.
即sin
π
6 �−
π
6 −cos
π
6 �= 0，展开化简得
3
2 sin
π
6 �−
3
2 cos
π
6 �= 0，
即sin
π
6 �−
π
3 = 0，所以
π
6 �−
π
3 = �π, �∈�，即�= 6�+ 2, �∈�.
由于0 < �< 3，所以�= 2.
所以��= sin 2�−
π
6 −cos2�=
3
2 sin2�−
3
2 cos2�=
3sin 2�−
π
3 .
当0 ≤�≤
π
4时，−
π
3 ≤2�−
π
3 ≤
π
6，所以−
3
2 ≤
3sin 2�−
π
3 ≤
3
2 ，A 错误；
��= ��+
π
6 =
3sin 2 �+
π
6 −
π
3 =
3sin2�，B 正确；
所以��−��=
3sin 2�−
π
3 −
3sin2�=−
3
2 sin2�−
3
2 cos2�=−
3sin 2�+
π
3 .
因为��= ��，所以令��−��= 0，即−
3sin 2�+
π
3 = 0，
所以2�+
π
3 = �π, �∈�，即�=
3�−1 π
6
, �∈�，
因为方程��= ��的相邻的两根分别为�，�，则�−�=
3 �+1 −1 π
6
−
3�−1 π
6
=
π
2，C 正确；
ℎ�= ��
2 −π
12 + ��+ π
4
=
3sin 2 �
2 −π
12 −π
3 +
3sin2 �+ π
4
=
3 sin �−π
2 + sin 2�+ π
2
=
3 −cos�+ cos2�
=
3 2cos2�−cos�−1 = 2 3
cos�−
1
4
2
−
9
16 ，由于−1 ≤cos�≤1，
所以−
5
4 ≤cos�−
1
4 ≤
3
4，所以0 ≤cos�−
1
4
2
≤
25
16，所以0 ≤
cos�−
1
4
2
−
9
16 ≤1.
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所以当cos�=−1 时，cos�−
1
4 =−
5
4，此时
cos�−
1
4
2
−
9
16 取最大值为1，
所以ℎ�的最大值为2 3，D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2026·河北秦皇岛·一模）已知sin �+
π
6 = cos�，则tan2�= __________.
【答案】3
【解题思路】利用已知条件得到tan�=
3
3 ，然后结合二倍角的正切公式即可求解.
【解答过程】已知sin �+
π
6 = cos�，展开得sin�cos
π
6 + cos�sin
π
6 = cos�，即
3
2 sin�+
1
2 cos�= cos�，
则3sin�= cos�，由于sin2�+ cos2�= 1，所以cos�≠0，所以
sin�
cos�=
3
3 ，即tan�=
3
3 ，
由二倍角的正切公式，可得tan2�=
2tan�
1−tan2�=
2× 3
3
1−
3
3
2 =
3.
故答案为：3.
13．（2026·浙江·二模）已知
cos2�
1+sin2�=
1
2，则tan2�=__________.
【答案】
3
4
【解题思路】利用二倍角公式和同角三角函数平方和的关系，将
cos2�
1+sin2�=
1
2转化为关于tan�的式子，解出tan�
的值，进而求出tan2�的值.
【解答过程】解：由
cos2�
1+sin2�=
1
2得
cos2�−sin2�
sin2�+cos2�+2sin�cos�=
1
2，
分子分母同时除以cos2�得
1−tan2�
tan2�+2tan�+1 =
1
2，
所以
1−tan�
1+tan�=
1
2，故2 −2tan�= 1 + tan�，且tan�≠−1，
解得tan�=
1
3，
所以tan2�=
2tan�
1−tan2�=
3
4.
故答案为：
3
4.
14．（2026·山东·模拟预测）若函数��= sin �+ �+ cos �+ �为偶函数，则�的最小值为___________.
【答案】
π
4
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【解题思路】首先利用辅助角公式化简，然后根据正弦型函数的性质进行求解.
【解答过程】由辅助角公式可得：��= sin �+ �+ cos �+ �=
2sin �+ �+
π
4 ，
因为��为偶函数，所以�+
π
4 =
π
2 + �π, �∈Z ，解得�=
π
4 + �π , �∈Z ，
当�= 0 时，
�取得最小值为
π
4.
故答案为：
π
4.
四、解答题
15．
（2026·河北秦皇岛·二模）在△���中，内角�, �, �所对的边分别为�, �, �，且3�sin �+ �−�cos�−�=
0.
(1)求�；
(2)若�= 2，�=
7，�为��的中点，求��的长.
【答案】(1)
�
3
(2)
19
2
【解题思路】(1)利用正弦定理边化角，经过三角恒等变换得到sin �−
�
6 =
1
2，再利用三角形中角的范围得
到∠�的值.
(2)根据余弦定理得到�的值，然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解.
【解答过程】（1）由正弦定理得3sin�sin �+ �−sin�cos�−sin�= 0
由sin �+ �= sin�，得3sin�sin�−sin�cos�= sin�.
因为�∈(0, �)，所以sin�≠0，故3sin�−cos�= 1.
即sin �−
π
6 =
1
2.又因为�∈0, �，所以�−
�
6 ∈−
�
6 ,
5�
6 ，
所以�−
�
6 =
�
6，故�=
�
3.
（2）在△���中，由余弦定理得7 = �2 + 4 −4�×
1
2，
所以�2 −2�−3 = 0，又�> 0，所以�= 3.
因为�为��的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，
则|��Ԧ
ሬሬሬሬ|2 =
1
4 �2 + �2 + 2��cos∠���=
19
4 ，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ
=
19
2 .
16．（2026·广西·模拟预测）在三角形ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且�sin�+
3�cos�= 0．
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(1)求角A；
(2)若�= 2 3，cos�=
21
7 ，求边c 的长．
【答案】(1)
2π
3
(2)
2 7
7
【解题思路】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到tan�=−
3，即可求解；
（2）由两角差的正弦公式，求得sin�=
7
14，结合正弦定理，即可求解.
【解答过程】（1）因为�sin�+
3�cos�= 0，由正弦定理得sin�sin�+
3sin�cos�= 0，
又因为�∈(0,π)，可得sin�> 0，所以sin�+
3cos�= 0，即tan�=−
3，
因为�∈(0,π)，所以�=
2π
3 ；
（2）因为cos�=
21
7 ，且�∈(0,π)，所以sin�=
1 −cos2�=
1 −(
21
7 )2 =
2 7
7 ，
由（1）知：�=
2π
3 ，且�+ �+ �= π，所以�= π −(�+ �) =
π
3 −�，
可得sin�= sin(
π
3 −�) = sin
π
3 cos�−cos
π
3 sin�=
3
2 ×
21
7 −
1
2 ×
2 7
7 =
7
14，
又因为�= 2 3，由正弦定理
�
sin�=
�
sin�，可得�=
�sin�
sin�=
2 3× 7
14
3
2
=
2 7
7 .
17．（2026·重庆万州·三模）已知函数��= 2 3sin�cos −�−cos2�.
(1)求曲线�= ��的对称轴方程；
(2)若关于x 的方程���+ 1 = 0 (�> 0)在[0, �]上恰有2 个解，求a 的取值范围.
【答案】(1)�=
π
3 +
�π
2 , �∈Z
(2)[
2
3 , 1)
【解题思路】（1）将��转化为正弦型函数，根据正弦函数的对称轴方程进行求解；
（2）由sin(2��−
π
6 ) =−
1
2、2��−
π
6 ∈[ −
π
6 , 2�π −
π
6 ]可得
7π
6 ≤2�π −
π
6 <
11π
6 ，进而求解即可.
【解答过程】（1）��= 2 3sin�cos −�−cos2�=
3sin2�−cos2�= 2sin(2�−
π
6 )，
令2�−
π
6 =
π
2 + �π, �∈Z，解得�=
π
3 +
�π
2 , �∈�，
所以曲线�= ��的对称轴方程为直线�=
π
3 +
�π
2 , �∈�；
（2）�> 0，�∈[0, π]时，��∈[0, �π]
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由���+ 1 = 0 可得sin(2��−
π
6 ) =−
1
2，
当�> 0，�∈[0, π]时，2��−
π
6 ∈[ −
π
6 , 2�π −
π
6 ]，
若方程���+ 1 = 0 (�> 0)在[0, π]上恰有2 个解，
则
7π
6 ≤2�π −
π
6 <
11π
6 ，解得
2
3 ≤�< 1，
所以a 的取值范围为[
2
3 , 1).
18．（2026·四川成都·模拟预测）已知�Ԧሬ=
3sin�, −cos�，�Ԧሬ= cos�, cos�，��= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ．
(1)求函数��的解析式及最小正周期；
(2)设△���的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若��=
1
2且�=
3，求△���周长的最大值．
【答案】(1)解析式为��= sin 2�−
�
6 −
1
2；最小正周期为π
(2)3 3
【解题思路】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到��的解析式，进而得到最
小正周期；
（2）结合（1）及题意得到�的值，再根据余弦定理，均值不等式得到�+ �取值范围，进而得到△���周长
的最大值．
【解答过程】（1）由�Ԧሬ=
3sin�, −cos�，�Ԧሬ= cos�, cos�，
则��= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ=
3sin�cos�−cos2�=
3
2 sin2�−
1
2 cos2�+ 1 = sin 2�−
�
6 −
1
2，
所以��的最小正周期为�=
2π
2 = π．
（2）由��=
1
2，即sin 2�−
�
6 −
1
2 =
1
2，即sin 2�−
�
6 = 1，
又B 为△���的内角，则0 < �< π，则−
π
6 < 2�−
π
6 <
11π
6 ，
所以2�−
π
6 =
π
2，解得�=
π
3，
又�=
3，由余弦定理有�2 = �2 + �2 −2��cos�，得3 = �2 + �2 −��，即�+ �2 −3��= 3，
由均值不等式有��≤
�+�
2
2
，则�+ �2 −3 ⋅
�+�
2
2
≤3，
即
�+�2
4
≤3，即�+ �2 ≤12，解得�+ �≤2 3，
当且仅当�= �=
3时取等号，此时△���为等边三角形，
所以△���周长的最大值为�+ �+ �= 2 3 +
3 = 3 3．
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19．（2026·广东广州·三模）已知函数��= sin ��+ �
�> 0, �<
π
2 ，满足对于任意实数�，都有��≤
�
π
12 恒成立，且函数��相邻两个零点的距离是
π
2.
(1)求��的解析式和单调递增区间；
(2)若�0 ∈
π
12 ,
π
3 ，且满足��0 =
2 7
7 ，求cos2�0.
【答案】(1)��= sin 2�+
π
3 ，单调递增区间为�π −
5π
12 , �π+
π
12
�∈Z
(2)
21
14
【解题思路】（1）根据正弦型函数的性质得�= 2 且
π�
12 + �=
π
2 + 2�π，结合已知求出函数解析式，进而求
其递增区间；
（2）根据已知有cos 2�0 +
π
3 < 0 且sin 2�0 +
π
3 =
2 7
7 ，利用平方关系求余弦值，再由cos2�0 = cos 2�0 +
π
3 −
π
3 和差角余弦公式求值即可.
【解答过程】（1）函数��相邻两个零点的距离是
π
2，故
1
2 �=
π
2 =
1
2 ×
2π
�，解得�= 2，
对于任意实数�，都有��≤�
π
12 恒成立，故�
π
12 = sin
π�
12 + �= 1,
即
π�
12 + �=
π
2 + 2�π
�∈Z ，故�=
π
3 + 2�π,
�∈Z ，
因为�<
π
2，故�=
π
3，所以��= sin 2�+
π
3 ，
若2�π −
π
2 ≤2�+
π
3 ≤2�π+
π
2，�∈Z ，则�π −
5π
12 ≤�≤�π+
π
12，�∈Z ，
故��的单调递增区间为�π −
5π
12 , �π+
π
12
�∈Z ；
（2）若�0 ∈
π
12 ,
π
3 ，则2�0 +
π
3 ∈
π
2 ,π ，故cos 2�0 +
π
3 < 0，
因为��0 = sin 2�0 +
π
3 =
2 7
7 ，
故cos 2�0 +
π
3 =−
1 −sin2 2�0 +
π
3 =−
3
7 ,
故cos2�0 = cos 2�0 +
π
3 −
π
3 = cos 2�0 +
π
3 cos
π
3 + sin 2�0 +
π
3 sin
π
3 =
21
14 .
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