专题4.9 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A 的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响
(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化
的数学模型
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
函数
y=Asin(ωx+φ)
北京卷：第8 题，5 分
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命题规律
分析
1、函数y=Asin(ωx+φ)
函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容。从近
三年的高考情况来看，高考对函数y=Asin(ωx+φ)的考查比较稳定，主要有两
大考查方向：①函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换；②由部分图象求函数的解析
式；试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，复习时要学会掌握
三角函数的图象变换规律。
知识点1
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z 取
来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x 的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”
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与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
3．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
知识点2
由部分图象确定函数解析式的解题方法
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，
常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由
即可求出ω；确定φ时，若能求出离
原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标
，则令
即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，
ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
知识点3
三角函数模型
1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义
在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数
中的常数有关.
振幅
振幅A 是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
ωx+φ称为相位
初相
x =0 时的相位φ称为初相
2．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问
题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx 到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
个单位长度而非φ个单位长度.
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【题型1
三角函数的图象变换】
【例1】（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数�= sin2�的图象，只需将函数�= sin 2�−
π
6 的图象（
）
A．向左平移
π
12个单位
B．向右平移
π
12个单位
C．向左平移
π
6个单位
D．向右平移
π
6个单位
【变式1-1】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数�= sin2�的图象，只需将函数�= sin 4�+
π
6 的图象上所
有的点（
）
A．先将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移
π
12个单位长度
B．先将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移
π
12个单位长度
C．先将横坐标缩短到原来的
1
2倍，纵坐标不变，再向左平移
π
12个单位长度
D．先将横坐标缩短到原来的
1
2倍，纵坐标不变，再向右平移
π
12个单位长度
【变式1-2】（2026·湖北恩施·模拟预测）要得到函数�= sin 2�+
π
4 的图象，只要将函数�= cos 2�−
5π
6
的图象（
）
A．向右平移
7π
12个单位
B．向左平移
7π
12个单位
C．向右平移
7π
24个单位
D．向左平移
7π
24个单位
【变式1-3】（2026·湖南·模拟预测）函数�= sin 2�−
π
3 的图象可以由（
）
A．�= sin�的图象向右平移
π
6个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）得
到
B．�= sin�的图象向左平移
π
3个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得
到
C．�= sin�的图象上各点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变），再向右平移
π
6个单位长度得到
D．�= sin�的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平移
π
3个单位长度得到
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【题型2
求图象变化前（后）的解析式】
【例2】（2026·江西赣州·二模）将函数��= sin 2�+ �(0 < �< π)图象上的所有点向左平移
π
6个单位后，
得到的函数图象关于点
π
4 ,0 中心对称，则�=（
）
A．
5π
6
B．
2π
3
C．
π
3
D．
π
6
【变式2-1】（2026·山东青岛·一模）把函数�= �(�)图像上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移
π
3个单位长度，得到函数�= sin�的图像，则�(�) =（
）
A．cos 2�−
π
6
B．sin 2�−
π
3
C．cos
1
2 �−
π
6
D．sin
1
2 �−
π
3
【变式2-2】（2026·四川泸州·一模）把函数�= sin 2�+
π
3 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐
标不变，再把所得图象向右平移
π
3个单位长度，得到图象对应的解析式为（
）
A．�=−sin4�
B．�= sin �−
π
6
C．�= sin �+
2π
3
D．�= sin�
【变式2-3】（2026·湖北襄阳·一模）把函数�= ��图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向左平移
�
3个单位长度，得到函数�= sin
�
2 −
�
12 的图象，则��=（
）
A．sin
�
2 −
7�
12
B．sin �+
�
4
C．sin 2�−
7�
12
D．sin �−
�
4
【题型3
由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例3】（2026·四川自贡·三模）已知函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示，
下列说法正确的是（
）
A．函数�= ��的图象关于直线�=−
π
6对称
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B．函数�= ��的图象关于点−
5π
12 , 0 对称
C．函数�= ��在−
2π
3 , −
π
6 上单调递减
D．当�∈0,
π
4 时，��∈1,2
【变式3-1】（25-26 高三上·广东佛山·期中）已知函数��= �sin ��+ �的图象如图所示，则��的表达
式可以为（
）
A．��= 2cos 2�−
π
6
B．��= 2cos 2�−
7π
6
C．��= sin 2�−
5π
3
D．��= 2sin �−
7π
12
【变式3-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数��= sin ��+ �的部分图象大致如图所示，则�π =（
）
A．0
B．
1
2
C．−
1
2
D．−
3
2
【变式3-3】（2026·天津红桥·一模）已知函数��= �sin ��+ �+ ��> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如
图所示，则下列正确个数有（
）
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①��关于点
π
6 , 3 对称；
②��关于直线�=
π
3对称；
③��在区间
π
2 ,
5π
6 上单调递减；
④��在区间−
5π
12 ,
π
12 上的值域为1,3 ；
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【题型4
三角函数图象、性质的综合应用】
【例4】（2026·天津南开·二模）若把函数��= sin2�+ �cos2�的图象向左平移
π
3个单位后得到的是一个偶
函数，则��在区间−
π
12 ,
5π
12 上的最小值为（
）
A．−2
B．−
2 3
3
C．−1
D．0
【变式4-1】（2026·吉林白山·模拟预测）将函数��图像上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，
再将图像沿x 轴向左平移
π
6个单位长度，得到��= sin �+
π
3 ，则下列结论正确的是（
）
A．��的最小正周期为π
B．��在0,
π
4 上单调递减
C．��图像关于直线�=
π
12对称
D．��图像关于点
π
6 , 0 对称
【变式4-2】
（2026·四川绵阳·一模）函数��= sin ��+ �
�> 0,
π
2 < �< π 的最小正周期为π，且�
π
2
=−
3
2 .
(1)求��的解析式；
(2)将函数��的图象向右平移
π
6个单位后得到函数��的图象，求函数��在区间0,
π
2 上的值域.
【变式4-3】（2026·辽宁大连·一模）已知函数�(�) = 2sin 2�+
π
6 + �，当�∈[0,π]时，�(�)的最小值为−1．
(1)求函数�(�)在区间[ −�, �]内的零点个数；
(2)将函数�(�)的图象向左平移
π
4个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数�(�)的图象，求�(�)的值
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域和单调区间．
【题型5
三角函数模型】
【例5】（2026·江西南昌·模拟预测）已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间�(单位：秒)的函
数解析式分别是�1 = 2sin(10π�−
π
6 ), �2 = 4sin(10π�+
π
6 )，记它们合成后的电流�= �1 + �2 = �(�)，则函数
�(�)的周期是（
）
A．
π
5
B．
2π
5
C．
1
5
D．
2
5
【变式5-1】（25-26 高三上·湖南长沙·期末）某地区2024 年全年月平均温度�（单位：℃）与月份�之间近似
满足�= �sin
π
6 �+ �+ �
�> 0, −π < �< 0 .已知该地区2 月份的月平均温度为−1℃，全年月平均温度
最高的月份为6 月份，且平均温度为32℃，则该地区12 月份的平均温度为（
）
A．−12℃
B．−10℃
C．−9℃
D．−6℃
【变式5-2】（25-26 高一下·内蒙古包头·阶段检测）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20 2m，圆心
角为
π
4的扇形空地���的内部修建一平行四边形观赛场地����，如图所示，则观赛场地的面积最大值为
_____________m2.
【变式5-3】（2026·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如�= �sin��的正弦
型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本
音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于�= sin
80
�2 + ��+ sin
80
�2 −��的泛音是对应于�= sin
2�
5
的基本音的一个谐波，则正整数�的所有可能取值之和为__________.
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【题型6
函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例6】（2026·福建南平·二模）已知函数��=
3sin2�+ 2cos2�−1，将函数��的图象向左平移
π
6个单位
长度可得到函数��的图象，则下列结论正确的是（
）
A．函数��的最小正周期为2π
B．函数��的最大值为3
C．函数��是奇函数
D．函数��在区间0,
π
3 上单调递减
【变式6-1】（2026·天津宝坻·三模）已知函数�(�) =
3sin2��+ cos2��(�> 0)的最小正周期为π，则下列
说法正确的是（
）
A．�= 2
B．将函数�(�)图象向左平移
π
6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称
C．�(�)关于点
π
6 , 0 对称
D．�(�)在区间−
π
4 ,
π
4 上的最大值为3
【变式6-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数��= sin2��+ 2 3cos2��−
3(�> 0)的部分图象如图所示．
(1)求��的解析式；
(2)把��的图象向右平移
π
12个单位长度，得到函数��，求使��≥−1 成立的�的取值集合．
【变式6-3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知��= sin �+
π
6 + sin �−
π
6 + cos�+ �的最大值为3.
(1)求常数�的值；
(2)将函数�= ��的图象向右平移
π
3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数�= ��的图象，求��
的单调递增区间.
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一、单选题
1．（2026·江苏·三模）已知曲线�= ��向右平移
π
6个单位长度得到曲线�= cos�，则��=（
）
A．cos �−
π
6
B．−cos �−
π
6
C．sin �−
π
3
D．−sin �−
π
3
2．（2026·陕西西安·三模）将函数��= sin 2�+
π
3 的图象向右平移��> 0 个单位长度，所得图象关于
原点对称，则�的最小值为（
）
A．
2π
3
B．
π
4
C．
π
6
D．
π
3
3．（2026·云南·模拟预测）将函数��= sin2�图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得
到函数��的图象，则��的最小正周期为（
）
A．
π
2
B．2π
C．π
D．4π
4．（2026·江苏淮安·模拟预测）函数�(�) = �cos(��+ �)（�> 0，�> 0，�<
π
2）的部分图象如图所示．将
函数�= �(�)的图象向右平移
π
12个单位长度得到函数�= �(�)的图象，则�(
π
12 ) = （
）
A．
1
2
B．
2
2
C．1
D．2
5．（2026·山东济宁·三模）已知函数��= sin ��+ �
�> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示，将��的图
象向右平行移动
π
6个单位长度得到函数��的图象，设函数��的最小正周期为�，则（
）
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A．�= 2π，�
π
3 =
3
2
B．�= π，�
π
3 =
3
2
C．�= 2π，�
π
3
= 1
D．�= π，�
π
3 = 1
6．（2026·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水
轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于
川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒
车的轴心O 距离水面的高度为2m.在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（
）
A．9 秒
B．12 秒
C．15 秒
D．20 秒
7．（2026·重庆·三模）已知函数�= ��的图象是由函数��= sin 2�+
π
6 的图象向左移动
π
6个单位长度得
到，则下列命题正确的是（
）
A．��= sin 2�+
π
3
B．�=
π
4是��的一条对称轴
C．��在−π, 0 单调递增
D．�= ��⋅��+
π
4 是奇函数
8．（2026·天津北辰·二模）已知函数��= �sin ��+ �，�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示，
给出下列命题：
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①��的图象关于直线�=−
7π
12对称
②��的图象关于点−
π
3 , 0 对称
③将函数�=
3sin2�−cos2�的图象向左平移
π
3个单位得到函数��的图象
④若方程��= �在
π
6 ,
3π
4 上有两个不相等的实数根，则m 的范围是( −2, −1)
则上述命题中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题
9．
（2026·辽宁朝阳·模拟预测）函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示.则（
）
A．�= 2
B．图象关于�=
5
6 π轴对称
C．��在
3
2 π, 2π 内单调递增
D．��的图象可由�= 2sin2�的图象向左平移
π
6个单位长度得到
10．（2026·云南·三模）将函数��= sin 3�+ �
�<
π
2 的图象向左平移
π
6个单位得到函数��的图象，
若��的图象与��的图象关于�轴对称，则下列说法正确的有（
）
A．�=
π
4
B．��=−cos 3�+
π
4
C．�=
π
4是��的一条对称轴
D．对任意的�∈−
π
4 ,
π
12 ，都存在�∈−
π
4 ,
π
12 ，使得��= ��
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数��= sin2�，��=
3
2 sin�−
1
2 cos�，则下列说法正确的是（
）
A．��的图象关于直线�=
π
3对称
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B．��的图象关于点
π
6 , 0 对称
C．将��的图象向右平移
π
6个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标
不变），得到函数��的图象
D．��的图象与��的图象在0,2π 内有4 个交点
三、填空题
12．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数��= 3sin 2�+ �
�<
π
2 的图象向右平移
π
6个单位长度后，
得到函数��的图象，若��是偶函数，则�为__________．
13．（2026·上海浦东新·模拟预测）把函数�= cos�图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变），
再将图象上所有的点向右平移
π
6个单位长度，得到函数�= ��的图像，则��=__________.
14．（2026·宁夏·一模）函数�(�) = �sin ��+ �
�> 0, �> 0, |�| <
π
2 的部分图象如图所示，将�(�)的图
象向左平移
π
3个单位长度后得到的函数的解析式为__________．
四、解答题
15．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数��=
1
2 sin ��+ �
�> 0, �<
π
2 的最小正周期为π，�
π
3 = 0.
(1)求�和�；
(2)若将��的图象向左平移
π
6个单位长度，得到��的图象，求��在−
π
3 , −
π
8 的最小值.
16．（2026·广东广州·三模）函数��= �sin ��+ �（�> 0，�> 0，0 < �< π）在一个周期内的图象
如图所示，
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(1)求函数��的解析式；
(2)设函数��= ��+ ��−
π
3 ，求��的值域和单调区间．
17．（2026·海南儋州·一模）已知函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示．
(1)求函数��的解析式及其图象的对称轴方程；
(2)若函数��的图象可由函数��的图象上所有的点向右平移
π
4个单位得到，求当�∈0,
5π
12 时，函数��
的值域．
18．（2026·陕西榆林·三模）已知函数��= 3cos�−
3sin�．
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(1)若�∈−
π
6 ,
π
2 ，且��=
2 3
3 ，求sin�的值；
(2)将函数��的图象向右平移
π
3个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐
标不变），得到函数��的图象，求函数��在区间0,π 上的值域．
19．（2026·陕西商洛·二模）已知函数��= 3sin ��−
π
6 （�> 0）图象的相邻两对称轴之间的距离为
π
2.
(1)求�；
(2)将函数��的图象向左平移
π
4个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的
1
3（横坐标不变），
得到函数��的图象，若��−�< 1 在−
π
3 ,
π
6 上恒成立，求实数�的取值范围.
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2027
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