专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】.................................................................................................1
【题型2 根据函数的单调性求参数】......................................................................................................................2
【题型3 函数的最值问题】......................................................................................................................................2
【题型4 函数的奇偶性及其应用】..........................................................................................................................3
【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】.................................................................................................3
【题型6 函数的周期性】..........................................................................................................................................4
【题型7 函数的对称性】..........................................................................................................................................4
【题型8 函数的图象问题】......................................................................................................................................5
【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】.....................................................................................................6
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
1．（25-26 高一上·河南驻马店·期中）函数f (x)=√3 x
2−5 x−2
的单调递增区间是（ ）
A．(−∞, 5
6)
B．(
5
6 ,+∞)
C．(−∞,−1
3)
D．(2,+∞)
2．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．f (x)=−x
3
B．f (x)=2
| x|
C．f (x)=−1
x
D．f (x)=
3√x
3．（25-26 高一上·广东深圳·期中）已知函数f (x)=(x−2)|3−x|，则函数f (x)的单调增区间是（ ）
1
A．(−∞,2.5)和(3,+ ∞)
B．(−∞,2.5)
C．(2,2.5)和(3,+ ∞)
D．(2,2.5)
4．（25-26 高一上·江西·期中）已知f (x)是定义域为[0,+∞)的减函数，则f (4−x)是（ ）
A．定义域为[0,+∞)的增函数
B．定义域为(−∞,4]的增函数
C．定义域为[0,+∞)的减函数
D．定义域为(−∞,4]的减函数
【题型2 根据函数的单调性求参数】
5．（2025·河北保定·二模）若函数f ( x)=|2
x−m|在[1,2]上单调，则m的取值范围是（ ）
A．(0,2]
B．[ 4 ,+∞)
C．(−∞,2]∪[ 4 ,+∞)
D．(0,2]∪[ 4 ,+∞)
6．（2025·山东济宁·二模）若函数f (x)=(
1
2)
x
2−ax在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤1
D．a≥1
7．（2025·河北·模拟预测）若函数f (x)=¿，在(−2,+∞)上单调递增，则m 的取值范围是（ ）
A．(−∞,1]
B．[−1,1]
C．[0,1]
D．[0,+ ∞)
8．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)=
1
√log2(x
2−ax +3)
在(0,2)上单调，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(−∞,0]
B．¿
C．¿
D．[0,2)∪(2,2√2]
【题型3 函数的最值问题】
9．（25-26 高三上·甘肃白银·月考）已知函数f (x)= x
2
1+ x
，则f (x)在区间[1,3]上的最大值、最小值分别为
（ ）
A．最大值为1，最小值为1
4
B．最大值为9
4
，最小值为1
2
C．最大值为1，最小值为1
3
D．最大值为9
4
，最小值为1
3
10．（25-26 高三上·安徽·期中）若f (x)=|x|+|x−2|+|x−4|+|x−6|+|x−8|，则f (x)的最小值是（ ）
A．12
B．14
C．16
D．20
2
11．（25-26 高一上·北京·期中）已知函数f (x)=¿，若函数f (x)存在最小值，则实数k的取值范围为（ ）
A．(−2,1)
B．[−2,1]
C．(−∞,−2)∪(1,+ ∞)
D．(−∞,−2]∪[1,+∞)
12．（25-26 高三上·湖北武汉·月考）已知f (x)是R上的奇函数，且f (x)= f (2−x)，若f (x)在[0,1]上单调
递增，且f (1)=2，则f (x)在R上的最小值是（ ）
A．−1
B．−2
C．−3
D．4
【题型4 函数的奇偶性及其应用】
13．（2025·山东·三模）已知f (x)= 2 x
e
x−1
+ax为偶函数，则a的值为（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
14．（2025·广东佛山·一模）设f (x)是定义在R上的奇函数,当x>0时，f (x)=3+log2 x,则f (−2)=（ ）
A．7
2
B．−7
2
C．4
D．-4
15．（2025·浙江丽水·一模）定义在R上的两个函数f (x),g(x)，恒有f
3(x)= g(x
2)，则（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．g(x)为奇函数
D．g(x)为偶函数
16．（2025·云南·模拟预测）已知f (x)是定义域为R的偶函数，且f (x +1)−1为奇函数，则
f (2)+ f (3)+ f (4)=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】
17．（2025·云南·模拟预测）已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (1)=1，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)
，均有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>1成立，则不等式f (x−1)+1> x的解集为（ ）
A．(0,1)∪(2,+ ∞)
B．(−2,0)∪(2,+∞)
C．(−∞,−2)∪(0,1)
D．(−2,−1)∪(0,1)
18．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x−1)的图象关于直线x =1对称，且f (x)在
(−∞,0)上单调递减.设a= f (log23),b= f (ln3),c = f(lg 1
9)，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
3
19．（2025·重庆·二模）已知函数f (x) 是定义在R上的偶函数，且f (x)在(−∞,0) 上为增函数，设
a=(
1
2)
−2
5，b=3
2
3 ，c =(−3)
2
5，则 f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是（ ）
A．f (a)>f (b)>f (c)
B．f (a)>f (c)>f (b)
C．f (c)>f (b)>f (a)
D．f (c)>f (a)>f (b)
20．（2025·河北石家庄·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈(0, +∞)且x1≠x2时，都有
x2f (x1)−x1f (x2)
x1 x2(x1−x2)
>0成立，f (2025)=2025，则不等式f (x)−x>0的解集为（ ）
A．(−∞, −2025)∪(2025, +∞)
B．(−2025, 0)∪(2025, +∞)
C．(−2025, 2025)
D．(−
1
2025 ,
1
2025)
【题型6 函数的周期性】
21．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在R上的奇函数f (x)满足f (x +2)= f (x)，且当0< x ≤1时，
f (x)=−x
2+ x，则f(
11
2 )=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．1
4
D．−1
4
22．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域R上的函数f (x)满足f (x +2)=−f (x)，且当x∈[0,2]时，
f (x)= x
2−2 x，则f (2025)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
23．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，记
g(x)= f
′ (x), y = f (2 x−1)+1是定义在R上的奇函数，且f (2 x +1)的一个周期为2，则（ ）
A．2 为f (x)的周期
B．f (2025)+ f (−2023)=2
C．g(−x)= g(x)
D．g(3+ x)= g(3−x)
24．（2025·江苏南通·模拟预测）设f ( x)是定义在R上的函数，对∀x , y ∈R，有
f ( x + y)−f ( x−y)= f ( x +1)f ( y −1)，且f (2)=−2，则f (f (2025))=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
【题型7 函数的对称性】
25．（2025·四川·三模）已知函数f (x)= x
3−x，则函数y = f (x +2)+2的图象（ ）
A．关于点(−2,2)对称
B．关于点(2,−2)对称
4
C．关于直线x =2对称
D．关于直线x =−2对称
26．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数f ( x)满足f (2 x +1)为奇函数，且f ( x)的图象关于直线
x =2对称，则∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
27．（2025·河南·一模）已知曲线y =ln
x
2+ x −x +a关于点(−1,0)中心对称，则a=（ ）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
28．（2025·河南郑州·三模）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x−3)f (x)的图象关于x =3
对称，若g(−2)=−5，则f (4)=（ ）
A．−3
B．−1
C．0
D．1
【题型8 函数的图象问题】
29．（2025·四川成都·三模）函数f ( x)= x +| x|
x
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
5
A．f (x)=
x
|x|−1
B．f (x)= |x|
1−x
2
C．f (x)=−
x
2
|x|+1
D．f (x)=
x
2
1−|x|
31．（25-26 高一上·河北邢台·期中）函数f (x)= x
5−5 x
3+ 4 x的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2025·天津·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A．f (x)= x
2|x|
B．f (x)=2|x|−2
C．f (x)=2|x|−x
2
D．f (x)=e|x|−|x|
【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】
33．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为R，其导函数为f
′ (x)，若函数
y = f (2 x +1)+ 3
2
与y = f
′ (x +2)都是奇函数，且f
′ (3)=−2f (1)，则∑
k =1
2025
f
′ (k )=（ ）
A．-3
B．3
C．-6
D．6
34．（2025·重庆·三模）设函数f ( x)的定义域为R，f
′( x)是f ( x)的导函数.若f ( x +1)是奇函数，则f
′( x)
的图象（ ）
6
A．关于(1,0)对称
B．关于x =1对称
C．关于(−1,0)对称
D．关于x =−1对称
35．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数f ( x)及其导函数f
′( x)的定义域都是R，若函数f ( x)是偶函数，
f
′( x)+e
x+ x也是偶函数，且f (a)>f (3a−1)，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(
1
4 , 1
2)
D．(−∞, 1
4)∪(
1
2 ,+ ∞)
36．（2025·江西·一模）已知可导函数f (x)的定义域为R，f
′ (x)是f (x)的导函数，且f (2 x−1)为偶函数
f
′ (2 x +1)为奇函数，f
′ (0)=1，则f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·江西·模拟预测）已知函数f ( x)为偶函数，当x<0时，f ( x)= x−2
2
x ，则f (1)=（ ）
A．3
2
B．−3
2
C．6
D．−6
2．（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y = x
2
B．y = x
3
C．y =2
x
D．y = ln x
3．（2025·吉林长春·二模）已知函数f (x)=(x +a−2)(x
2+a−1)为奇函数，则a的值是（ ）
A．3
B．1 或3
C．2
D．1 或2
4．（2025·吉林长春·模拟预测）函数f (x)= 1
x +
1
x−2
的对称中心为（ ）
A．(1,0)
B．(0,0)
C．(2,0)
D．(1,1)
5．（2025·湖南·模拟预测）已知函数f ( x)是周期为2 的偶函数，且当x∈(0,1)时，f ( x)=2
x−1，则
f (log23)的值为（ ）
7
A．−1
4
B．−1
3
C．1
3
D．2
6．（2025·天津·二模）函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−x
cos x
B．f (x)=e
x+e
−x
cos x
C．f (x)=e
x−e
−x
sin x
D．f (x)=e
x+e
−x
sin x
7．（2025·湖南·模拟预测）若函数f (x)=|ln x−a|+a(a∈R)在[1,e
3]上的最大值为3，则a 的最大值为
（ ）
A．3
B．3
2
C．e
2
D．e
8．（2025·河南·三模）若f ( x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f ( x)=2
x−4，则不等式f ( x)≥0的解
集为（ ）
A．[−2,2]
B．[−2,0]∪[2,+∞)
C．[−2,0)∪[2,+∞)
D．(−∞,−2]∪[2,+ ∞)
二、填空题
9．（2025·上海奉贤·一模）若函数y = a⋅2
x−1
2
x+1
(a∈R)是偶函数，则实数a=
．
10．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上周期为4 的奇函数，若f (1)=1，则
f (2)+3 f (399)=
．
11．（2025·全国·模拟预测）已知函数f ( x)是定义域为R的奇函数.设g( x)= f ( x−1)+1，若f ( x)在
(0,+∞)的最小值为2，则g( x)在(−∞,1)的最大值为
.
12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)的图象关于(2,0)中心对称，且f (x)在[2,+∞)上单调递减，
8
若f (3−2a)+ f (4 a+5)>0，则实数a 的取值范围为
．
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知f (x)=e
x−1+e
−x +1+ x
2−2 x +a(a∈R)，且f (2 x +3)>f (2−x)，则
x的取值范围是（ ）
A．(−1
3 ,+ ∞)
B．(−∞,−3)∪(−1
3 ,+∞)
C．(−∞,−5)∪(−1
3 ,+∞)
D．(−5,−1
3)
2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数f (x)是(−∞,+∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有
f (x +2)=−f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)=log2(x +1)，则f (−2025)=（ ）
A．−2
B．−1
C．2
D．1
3．（2025·湖南郴州·一模）函数f (x)对∀x∈R ,f (x +2)= f (4−x)，且f (x +6)为奇函数，则下列说法正
确的是（ ）
A．若x∈(0,3]时f (x)=2
x，则f (8)= 4
B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(−6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)≠0
4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且满足f (−x)+ f (x)=0,f (x +2)+ f (x)=0，
当x∈[−2,0]时，f (x)=−x
2−2 x，则当x∈[4,6]时，函数f (x)的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．－1
D．0
5．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数f (x)的定义域D关于原点对称，f(
π
4 )=−1且f (x)满足：
（1）当x∈(0,π
2 )时，f (x)<0；
（2）∀x1, x2∈D且x1≠x2,f (x1)≠f (x2),f (x1−x2)= f (x1)f (x2)+1
f (x2)−f (x1)
.则下列关于f (x)的判断错误的是
（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f(
π
2 )=0
9
C．π是f (x)的一个周期
D．f (x)在(0,π
2 )上单调递减
二、填空题
6．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数y = f (x)的定义域为R，且f (x +1)为偶函数，f (x−1)为奇函数，
当x∈[−1,1]时，f (x)=1−x
2，则∑
k =1
2025
f (k )=
.
7．（2025·青海·模拟预测）已知f ( x)是定义在(m−5,4 m)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0,4 m)，当
x1≠x2时，(x2
2+1)f (x1)−(x1
2+1)f (x2)
x1−x2
>0恒成立．若f (1)= 4，则关于x的不等式
f ( x−m)>2 x
2−4 x + 4的解集为
．
三、解答题
8．（2025·福建厦门·二模）已知函数f (x)=ax + ln
x
4−x
．
(1)若f (x)在定义域上单调递增，求实数a的最小值；
(2)当a=−1时，
①判断曲线y = f (x)是否为中心对称图形，若是，求出函数f (x)的对称中心，若不是，说明理由；
②解不等式f (x)+ f (2 x +1)+ 4>0．
10
