文档文本内容
第五题 圆锥曲线的离心率问题
高考真题
5. 设椭圆 的离心率分别为 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
知识点总结
1. 椭圆的概念
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做 .这两个
1 2 1 2
定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .
集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
1 2 1 2
(1) 若 ，则集合P为椭圆；
(2) 若 ，则集合P为线段；
(3) 若 ，则集合P为空集．
2. 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a， －b≤x≤b，
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
性质 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a)，A (0，a)
1 2 1 2
顶点坐标
B (0，－b)，B (0，b) B (－b,0)，B (b,0)
1 2 1 2长轴A A 的长为 ；
1 2
轴
短轴B B 的长为
1 2
焦距 |F F |＝
1 2
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
3. 直线与椭圆的弦长
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝
0(或ay2＋by＋c＝0)．当Δ>0时，直线与椭圆有两个交点A(x ，y )，B(x ，y )，由根与系数的
1 1 2 2
关系可知x ＋x ＝－，x ·x ＝，则弦长为|AB|＝|x －x |＝·＝， k为直线的斜率且k≠0.
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当A，B两点坐标易求时也可直接用两点间距离公式|AB|＝求出．
4. 双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的 等于常数(小于|F F |)的点的轨迹叫做双曲线．
1 2 1 2
这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做 .
集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
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(1) 当 时，点P的轨迹是双曲线；
(2) 当 时，点P的轨迹是两条射线；
(3) 当 时，点P不存在．
5. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： ；对称中心：原点
顶点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a)，A (0，a)
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渐近线 y＝±x y＝±x
性 e＝，e∈ ，
离心率
质 其中c＝
线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长|A A |＝_ __，线段B B 叫做
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实虚轴 双曲线的虚轴，它的长|B B |＝ ；a叫做双曲线的实半轴长，b
1 2
叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c c2＝ (c>a>0，c>b>0)的关系
6. 抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，
点F叫做抛物线的__ _，直线l叫做抛物线的 .
7. 抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
标准方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点坐标 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
y≤0，
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R
x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
题型展示
椭圆的定义及应用
(1) 过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F 的直线与椭圆交于A，B两点，则点A与B和椭圆的
1
另一个焦点F 构成的△ABF 的周长为 .
2 2
(2) 已知F ，F 是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF |·|MF |的最大值为
1 2 1 2
.
1. 注意椭圆定义的变形： |PF |2＋|PF |2＝(|PF |＋|PF |)2－2|PF |·|PF |.
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2. 已知过焦点F 的弦为AB，则△ABF 的周长为4a.
1 2
求椭圆的方程
(1) 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3,0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标
准方程为 .
(2) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆C的左、右焦点，焦距为4.过右焦点
1 2F 且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点，若△MNF 的周长为4，则椭圆C的方
2 1
程为 .
求椭圆方程的两个基本方法：
(1) 定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．
(2) 待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于
a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆
方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
椭圆的离心率
(1) 已知点F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 的直线交椭圆于A，B两
1 2 2
点，且满足AF ⊥AB，＝，则该椭圆的离心率是( )
1
A. B.
C. D.
(2) 已知F (－c,0)，F (c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上且满足PF1·PF2＝
1 2
c2，则此椭圆离心率的取值范围是 .
1. 求椭圆的离心率的方法：(1) 求出a，c，直接求出e；(2) 利用e＝＝＝，e＝＝，只需
明确或，便可求解 e；(3) 借助a，b，c之间的关系，构造出 a，c的齐次式，通过两边除以
a2，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．
2. 求椭圆离心率的取值范围：关键在于找到含有 a与c的不等关系，得出不等式常见的
途径有：
(1) 椭圆的几何性质，设P(x ，y )为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x |≤a，a－c≤|PF |≤a
0 0 0 1
＋c等；(2) 涉及直线与椭圆相交时，直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程
的判别式大于0；(3) 题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．
双曲线的定义及应用
如图，若A，B为双曲线－＝1的左、右焦点，C为该双曲线上一点，且 cos∠ACB＝，则
△ABC的周长为( )
A. 24 B. 20
C. 16 D. 12
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF |－|PF ||＝2a，运用平方的
1 2
方法，建立与|PF |·|PF |的联系．
1 2
双曲线的实(虚)轴、焦距、渐近线
(1) (2022·佛山二模)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点，
且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为( )
A. 2－2 B. 2＋2C. －1 D. ＋1
(2) (2022·菏泽二模)已知双曲线E：－＝1的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则下列说法正
确的是( )
A. E的焦点到渐近线的距离为2
B. m＝6
C. E的实轴长为6
D. E的离心率为
1. 已知双曲线方程研究其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的 a，b，利用
c2＝a2＋b2求出c，再按定义求出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
2. 注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋
c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
双曲线的离心率
(1) (2022·龙岩一模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
分别为F ，F ，点M是双曲线右支上一点，且△OMF 为等边三角形，则双曲线C的离心率
1 2 2
为( )
A. ＋1 B. ＋1
C. 2(－1) D.
(2) (2022·邯郸二模)若双曲线C：－＝1(a>0)的一条渐近线与直线 x＋y－1＝0平行，则C
的离心率为 .
1. 求双曲线的离心率或其取值范围的方法：
(1) 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2) 列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于
e的方程(或不等式)求解．
2. 双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系为k＝＝＝＝.
抛物线的定义及应用
(1) (多选)已知抛物线C：y2＝2px过点M(2,2)，焦点为F，则( )
A. 点M到焦点的距离为3
B. 直线MF与x轴垂直
C. 直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D. 过点M与C相切的直线方程为x－2y＋1＝0
(2) (2022·菏泽一模)(多选)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动
点，E(3,1)为定点，则下列结论正确的是( )A. 准线l的方程是y＝－2
B. 以线段MF为直径的圆与y轴相切
C. |ME|＋|MF|的最小值为5
D. |ME|－|MF|的最大值为2
利用抛物线的定义可以解决距离的最值问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有
关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1) 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最
短”，使问题得以解决．
(2) 将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连
线中垂线段最短”原理解决．
真题演练
一、单选题
1．设椭圆 的离心率分别为 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜
率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆 交于A，
B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
7．若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
9．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
二、填空题
11．已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是 ．
12．已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为 ．
13．已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为 .
14．已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双
曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是 ．
模拟训练
一、单选题
1．已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线
与 的另一个交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
3．已知椭圆 ， 为其左焦点，直线 与椭圆 交于点 ， ，且
．若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．4．已知 为双曲线 的右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线 的右支交于
、 两点，若在双曲线 左支上存在点 使得 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ，
两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为5，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 ，点 是 上一点，则
（ ）
A． 的离心率为
B．若 轴，则
C．若 ，则 （其中 为坐标原点）
D．点 到 的两条渐近线的距离之积为
8．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 与 轴交于点 ，过点 的直线与抛物线 交于
两点， 为坐标原点，则（ ）
A．若 ，则 B．C． D． 面积的最小值为16
三、填空题
9．已知椭圆 的长轴长为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则椭圆 的标准方程为
．
10．已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，则 的最小值为 .
11．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 是 的一条渐近线上的两点，且
（ 为坐标原点）， ．若 为 的左顶点，且 ，则双曲线 的离心率
为
12．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 轴上，线段 的延长线交 于点 ，若
，则 ．
