立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练
1．（24-25 高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD 为边长等于2 的正三角形，底面
ABCD 为菱形，
60
DAB
Ð
=
°，O 为AD 中点，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°．
(1)证明AD ^ 平面PBO；
(2)求点P 到平面ABCD 的距离；
(3)求二面角A
PB
C
-
-
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 3
2
(3)
2 7
7
-
【详解】（1）连接PO，BO，BD，如图，
因
PAD
△
是边长为2 的正三角形，则AD
PO
^
，
在菱形ABCD 中，
60
DAB
Ð
=
°，则
ABD
△
为正三角形，
所以OB
AD
^
，又PO
OB
O
=
I
，
,
PO OB Ì 平面POB ，
则AD ^ 平面PBO .
（2）由（1）知，OB
AD
^
，AD
PO
^
，
则
POB
Ð
是二面角P
AD
B
-
-
的平面角，
120
POB
Ð
=
o ，
由AD ^ 平面PBO ，AD Ì 平面ABCD ，
则平面PBO ^平面ABCD ，过P 作PH
BO
^
的延长线于H，
因为平面PBO I平面ABCD
BO
=
，PH Ì 平面PBO ，
因此PH ^平面ABCD ，
而在正
PAD
△
中，
2,
1
PA
OA
=
= ，则
3
PO =
，
又
60
POH
Ð
=
o ，则
3
sin
2
PH
PO
POH
=
Ð
=
，
考点一
线面垂直的判定
所以点P 到平面ABCD 的距离是3
2 .
（3）由（1）知，
ABD
△
是正三角形，则
3
BO
PO
=
=
，
取PB 中点E，连OE，由（2）知，
120
POB
Ð
=
o ，
则
60
BOE
Ð
=
o ，OE
PB
^
，
3
cos
2
O
BO
E
BO
E
Ð
=
=
×
，
取PC 中点F，连EF，AE，DF，则有
/ /
/ /
EF
BC
AD ，且
1
1
2
2
EF
BC
AD
=
=
，
又AD ^ 平面PBO ，
,
PB OE Ì 平面PBO ，则
,
AD
PB AD
OE
^
^
，
即有EF
PB
^
，又
2
PA
AB
=
=
，则AE
PB
^
，
从而得
AEF
Ð
为二面角A
PB
C
-
-
的平面角，
在梯形AEFD 中，
180
AEF
DAE
Ð
=
- Ð
o
，
Rt
AEO
△
中，
2
2
3
7
1
4
2
AE
AO
OE
=
+
=
+
=
，
1
2 7
cos
cos
7
7
2
AO
AEF
DAE
AE
Ð
= -
Ð
= -
= -
= -
，
所以二面角A
PB
C
-
-
的余弦值是
2 7
7
-
.
2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，PA ^平面
,
1,
3
ABC PA
AB
BC
PC
=
=
=
=
．
(1)求证：
^
BC
平面PAB ；
(2)记PC 的中点为G，求二面角G
AB
C
-
-
的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2) π
4 ．
【详解】（1）证明：因为PA ^平面
,
ABC BC Ì 平面ABC ，
所以PA
BC
^
，同理PA
AB
^
，
所以PAB
V
为直角三角形，
又因为
2
2
2,
1,
3
PB
PA
AB
BC
PC
=
+
=
=
=
，
所以
2
2
2
PB
BC
PC
+
=
，则
PBC
△
为直角三角形，故BC
PB
^
，
又因为
,
,
,
BC
PA PA
PB
P PA PB
^
Ç
=
Ì 平面PAB ，
所以
^
BC
平面PAB ．
（2）由（1）
^
BC
平面PAB ，又AB Ì 平面PAB ，则BC
AB
^
，
以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，
BC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则
1 1 1
(0,0,0), (0,0,1),
(1,1,0), (1,0,0),
,
,
2 2 2
A
P
C
B
Gæ
ö
ç
÷
è
ø ，
设平面ABG 的法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，
1 1 1
(1,0,0),
,
,
2 2 2
AB
AG
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
uuur
uuur
，
则
0
0
n AB
n AG
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
0
1
1
1
0
2
2
2
x
x
y
z
=
ìïí
+
+
=
ïî
，
所以可取平面ABG 的法向量可取
1 1
0,
,
2 2
n
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
r
，
易知，平面ABC 的法向量可取
(0,0,1)
m =
r
，
所以
1
2
2
cos
,
2
2
1
2
m n
m n
m
n
×
=
=
=
×
´
r r
r r
r
r
，
所以锐二面角G
AB
C
-
-
的大小为π
4 ．
3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAD ^平面ABCD ，
PAD
△
为等边三角形，
PD
AB
^
，
/ /
AD
BC ，
4
=
AD
，
2
AB
BC
=
=
，M 为PA 的中点.
(1)证明：DM ^平面PAB ；
(2)求直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 3
5 .
【详解】（1）设AD 中点为O ，连接PO ，因为
PAD
△
为等边三角形，故PO
AD
^
，
由题意，平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，PO Ì 平面PAD ，
所以
^
PO
平面ABCD ，AB Ì 平面ABCD ，故PO
AB
^
，
又PD
AB
^
，PO
PD
P
=
I
，
,
PO PD Ì 平面PAD ，故AB ^平面PAD ，
由DM Ì 平面PAD ，故AB
DM
^
，
又M 为PA 的中点，
PAD
△
为等边三角形，则DM
PA
^
，
因为AB
PA
A
=
I
，
,
AB PA Ì 平面PAB ，所以DM ^平面PAB .
（2）
由（1）知AB ^平面PAD ，AD Ì 平面PAD ，故AB
AD
^
，
连接CO ，
1
2
2
AO
AD
=
=
，则
//
,
AO
BC AO
BC
=
，
即四边形ABCO 为平行四边形，故OC / /AB ，所以OC
AD
^
，
故以O 为坐标原点，
,
,
OC OD OP 所在直线分别为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则
(0,0,2 3), (2, 2,0),
(0, 1, 3),
(2,0,0),
(0,2,0)
P
B
M
C
D
-
-
，
(2, 2, 2 3),
(2,1,
3),
(0,3,
3)
PB
MC
MD
=
-
-
=
-
=
-
uuur
uuuur
uuuur
，
设平面MCD 的法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，则
2
3
0
3
3
0
n MC
x
y
z
n MD
y
z
ì ×
=
+
-
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuuur
r
uuuur
r
，令
1
y = ，则
(1,1, 3)
n =
r
，
设直线PB 与平面MCD 所成角为θ，
π
[0,
]
2
q Î
，则
6
3
sin
cos
,
5
2 5
5
PB n
PB n
PB n
q
×
=
=
=
=
´
uuur r
uuur r
uuur r
.
4．（24-25 高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
3π
/ /
,
,
4
AD
BC
ABC
Ð
=
1
2
4,
AD
DD
BC
=
=
=
AB
CD
=
．
(1)证明：AB ^平面
1
1
CDD C ；
(2)求直线
1
1
AD 与平面
1
1
A DC 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 11
11
【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD 为等腰梯形，
取AD 中点记为E，连接CE，
因为
/ /
,
AD
BC
2
4,
AD
BC
=
=
所以
/ /
,
AE
BC
,
AE
BC
=
即四边形ABCE 为平行四边形，
所以
/ /
,
AB
CE
由于
3π ,
4
Ð
=
ABC
所以
π ,
4
Ð
=
CED
又AB
CE
CD
=
=
，
所以
π ,
4
Ð
=
CDE
π ,
2
Ð
=
DCE
即CE
CD
^
，
因为
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
为直四棱柱，
所以平面
1
1 ^
CDC D
平面ABCD ，平面
1
1
CDC D Ç 平面ABCD
CD
=
，CE Ì 平面ABCD ,
所以CE ^ 平面
1
1
CDD C ，即AB ^平面
1
1
CDD C ；
（2）以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：
因为
1
2
4,
AD
DD
BC
=
=
=
由(1)知
2
=
=
=
DE
AE
BC
CD ，
所以
2
CD
AB
=
=
，
1
1
1
(2 2,
2,4),
(0, 2,4),
(0, 2,0),
(0,0,4),
-
A
D
D
C
所以
1
1
1
1
1
( 2 2,2 2,0),
( 2 2,2 2, 4),
( 2 2, 2,0),
A D
A D
AC
= -
= -
-
= -
uuuur
uuuur
uuuur
设
( , , )
m
x y z
=
ur
是平面
1
1
A DC 的一个法向量，
则
1
1
1
2 2
2 2
4
0,
2 2
2
0
m A D
x
y
z
m AC
x
y
ì
×
= -
+
-
=
ïí
×
= -
+
=
ïî
uuuur
r
uuuur
r
令
2
x =
，则
4,
2
=
=
y
z
，
所以
(2,4,
2)
m =
r
，
1
1
1
1
1
1
4 2
11
cos ,
11
22
4
m A D
m A D
m A D
×
=
=
=
´
uuuur
r
uuuur
r
uuuur
r
,
所以直线
1
1
AD 与平面
1
1
A DC 所成角的正弦值为11
11
.
5．（24-25 高一下·湖北荆州·期末）如图所示，在四棱锥P
ABCD
-
中，已知
3
AC =
，
2
PA
BC
=
=
，PA ^底面
ABCD ，平面PAC ^ 平面PCD.
(1)求点A 到平面PCD的距离；
(2)证明：CD ^ 平面PAC ；
(3)若AB
AC
=
，求二面角P
BC
A
-
-
的余弦值.
【答案】(1) 2 21
7
(2)证明见解析
(3)
3
3
.
【详解】（1）过点A 作AE
PC
^
于E ，垂足为点E ，
由平面PAC ^ 平面PCD，AE Ì 平面PAC ，平面PAC I平面PCD
PC
=
，AE
PC
^
，得AE ^ 平面PCD，则线段
AE 即为点A 到平面PCD的距离，
由PA ^底面ABCD ，AC Ì 平面ABCD ，得PA
AC
^
，即PAC
V
为直角三角形，
在Rt
PAC
△
中，
3
AC =
，
2
PA =
，
2
2
7
PC
PA
AC
=
+
=
，
2 3
2 21
7
7
PA AC
AE
PC
×
=
=
=
，
故点A 到平面PCD的距离为2 21
7
；
（2）由（1）可知AE ^ 平面PCD，又CD Ì 平面PCD，得AE
CD
^
，
由PA ^底面ABCD ，CD Ì 平面ABCD ，得PA
CD
^
，
由AE
CD
^
，PA
CD
^
，AE 、PAÌ 平面PAC ，AE
PA
A
=
I
，得CD ^ 平面PAC ；
（3）作AF
BC
^
于F ，连接PF ，
由PA ^底面ABCD ，BC 、AF Ì 平面PAB ，得PA
BC
^
，PA
AF
^
，
由AF
BC
^
，PA
BC
^
，AF 、PAÌ 平面PAF ，AF
PA
A
=
I
，得
^
BC
平面PAF ，又PF Ì平面PAF ，得
BC
PF
^
，
则
AFP
Ð
即为二面角P
BC
A
-
-
的平面角.
由AB
AC
=
，AF
BC
^
，得
1
2
BC
CF =
= ，
2
2
2
AF
AC
CF
=
-
=
，
在Rt
PAF
△
中，
2
2
6
PF
PA
AF
=
+
=
，
2
3
cos
3
6
AF
AFP
PF
Ð
=
=
=
.
故二面角P
BC
A
-
-
的余弦值为
3
3
.
6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，
90
ADC
Ð
=
° ，
3
AB
AD
PD
=
=
=
，且
2
DC
AB
=
uuur
uuur
，
2
CE
EP
=
uur
uur .
(1)证明：AD ^ 平面PDC ；
(2)求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
3
.
【详解】（1）因为PD ^ 平面ABCD ，AD Ì 平面ABCD ，则AD
PD
^
，
因为
90
ADC
Ð
=
° ，即AD
CD
^
，
因为PD
CD
D
Ç
=
，CD Ì 平面PCD，PD Ì 平面PCD，
故AD ^ 平面PDC .
（2）法一：PD ^ 平面ABCD ，
90
ADC
Ð
=
° ，
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
3
AB
AD
PD
=
=
=
，
2
CD
AB
=
uuur
uuur
，
2
CE
EP
=
uur
uur ，
所以
3,3,0
B
、
0,6,0
C
、
0,0,0
D
、
0,0,3
P
、
0,2,2
E
，
3,3,0
DB =
uuur
，
0,2,2
DE =
uuur
，
0, 6,3
CP =
-
uuur
，
3, 3,0
CB =
-
uuur
，
设平面BDE 的法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，
则
1
1
1
1
3
3
0
2
2
0
m DB
x
y
m DE
y
z
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，取
1
1
x = ，可得
1, 1,1
m =
-
r
，
设平面PBC 的法向量为
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
r
，
则
2
1
1
1
6
3
0
2
2
0
n CP
y
z
n CB
x
y
ì ×
= -
+
=
ïí ×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，取
2
1
x = ，可得
1,1,2
n =
r
，
设平面BDE 与平面PBC 的夹角为q ，
则
2
2
cos
cos
,
3
3
6
m n
m n
m
m
q
×
=
=
=
=
×
´
r r
r r
r
r
，
所以平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值为
2
3
.
法二：因为
1
6
3
9
2
DBC
S
=
´
´
=
△
，
所以
1
1
9 3
9
3
3
P DBC
DBC
V
S
PD
-
=
´
=
´ ´
=
△
，
2
6
3
E
DBC
P DBC
V
V
-
-
=
=
又
2
2
1
1
3 2
27
3 6
3
3
2
3
EBC
PBC
S
S
BC
PB
=
=
´
´
´
=
´
´
=
△
△
，
而
E DBC
D EBC
V
V
-
-
=
，所以
1
6
3 6
3
h
=
´
× ，
故
6
h =
，即D 到平面PBC 距离为
6 .
依题意，计算可得，在DEB
V
中，
3 2
DB =
，
14
BE =
，
2 2
DE =
，
由余弦定理，得
2
2
2
18
8 14
1
cos
2
2
2 3 2
2 2
DB
DE
BE
EDB
BD
DE
+
-
+ -
Ð
=
=
=
´
´
´
´
，
因为
0,π
EDB
Ð
Î
，所以
3
sin
2
EDB
Ð
=
，
又
1
3
3 2 2 2
3 3
2
2
DEB
S
=
´
´
´
=
△
，
设h¢ 为点D 到交线BE 的距离，则
2
6 3
14
DEB
S
h
BE
¢ =
=
△
，
设平面BDE 与平面PBC 的夹角为q ，
所以
6
14
sin
18
6 3
14
h
h
q =
=
=
¢
，所以
14
2
cos
1 18
3
q =
-
=
.
所以平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值为
2
3
.
7．（23-24 高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形ABCD 是菱形，
1
5,cos
5
AB
BAD
=
Ð
=
，平面DBEF ^ 平
面
,
,
ABCD AB
DF DF
BE
^
∥
，且
2
2
DF
BE
=
=
.
(1)求证：BE ^ 平面ABCD ；
(2)求点B 到平面AEF 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 30
15
．
【详解】（1）
连接AC ，如图所示，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC
BD
^
，
又平面DBEF ^ 平面ABCD ，平面DBEF Ç 平面
,
ABCD
BD AC
=
Ì 平面ABCD ，
所以AC ^平面DBEF ，又DF Ì 平面DBEF ，所以AC
DF
^
，
又
//
DF BE ，所以AC
BE
^
，又
,
//
AB
DF DF BE
^
，所以AB
BE
^
，
又AB
AC
A
Ç
=
，
,
AB AC Ì 平面ABCD ，
所以BE ^ 平面ABCD ．
（2）因为BE ^ 平面ABCD ，又
,
AB BD Ì 平面ABCD ，所以
,
BE
BD BE
AD
^
^
，
所以
2
2
2
2
6,
3
AE
AB
BE
AF
AD
DF
=
+
=
=
+
=
．
在
ABD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
8
BD
AB
AD
AB AD
BAD
=
+
-
×
Ð
=
，所以
2 2
BD =
，
又
//
,
2
2
DF BE DF
BE
=
=
，易得
3
EF = ，
所以
2
2
2
2
cos
2
3
AF
EF
AE
AFE
AF FE
+
-
Ð
=
=
×
，所以
2
5
sin
1 cos
3
AFE
AFE
Ð
=
-
Ð
=
，
所以
1
3 5
sin
2
2
AEF
S
AF EF
AFE
=
×
×
×
Ð
=
△
．
因为
//
,
DF BE DF Ë 平面
,
ABE BE Ì 平面ABE ，所以
//
DF
平面ABE ，
所以
2
1
1
1
1
6
5
5
1
1
3
3
2
5
3
F
ABE
D ABE
E ABD
ABD
V
V
V
S
BE
-
-
-
æ
ö
=
=
=
×
=
´
´
´
´
-
´ =
ç
÷
è
ø
V
．
设点B 到平面AEF 的距离为h ，所以
F
ABE
B AEF
V
V
-
-
=
，即1
3 5
6
3
2
3
h
´
´
=
，
解得
2 30
15
h =
，即点B 到平面AEF 的距离为2 30
15
．
8．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
PAD
△
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD 是等
腰梯形，且
/ /
BC
AD ，
2
2
AD
DC
CB
=
=
，
60
ADC
Ð
=
° ，
2
PC
BC
=
，M 为AD 中点．
(1)求证：PM ^ 平面ABCD ；
(2)求直线AB 与PD 所成角的余弦值；
(3)求平面BPC 与平面PCD夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
2
4
；
(3) 2 6
7
【详解】（1）设
2
2
2
AD
DC
CB
=
=
=
，M 为AD 中点，
PAD
△
是以AD 为斜边的等腰直角三角形
PM
AD
\
^
，
取BC 的中点G ，底面ABCD 是等腰梯形，
MG
AD
\
^
.
连接
,
PG BC / /
,
2
2
,
60 ,
AD AD
DC
BC
ADC
MB
MC
Ð
=
=
=
\
=
o
,
,
2,
2
PB
PC
PG
BC
AD
PC
BC
\
=
\
^
=
=
Q
，
在Rt PGC
V
中，
1
7
2,
,
2
2
PC
GC
PG
=
=
\
=
，
在PMG
V
中，
3
7
1,
,
2
2
PM
MG
PG
=
=
=
.
2
2
2,
90
PM
MG
PG
PMG
Ð
\
+
=
\
=
o ，
\ PM
MG
^
，且
,
,
AD
MG
M AD MG
=
Ì
I
平面ABCD ，
\ PM ^ 平面ABCD ；
（2）
如图，建系M
xyz
-
，则
3
1
3 1
,
,0 ,
,
,0 ,
0,1,0 ,
0,0,1 ,
0, 1,0 ,
2
2
2
2
B
C
D
P
A
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3 1
,
,0 ,
0,1, 1
2
2
AB
PD
æ
ö
=
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
，
设直线AB 与PD 所成角为a ，
1
2
2
cos
4
1
2
AB PD
AB
PD
a
×
=
=
=
´
´
uuur uuur
uuur
uuur
（3）设平面BCP 的法向量是
3 1
, ,
,
0,1,0 ,
,
,1
2
2
m
x y z
BC
BP
æ
ö
=
=
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
r
0
0
BC m
BP m
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，即
0
3
1
0
2
2
y
x
y
z
=
ìïí-
+
+
=
ïî
，令
1
z = - ，解得
2 ,0, 1
3
m
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø
r
设平面PCD的法向量是
3 1
3
1
, ,
,
,
,0 ,
,
,1
2
2
2
2
n
a b c
CD
CP
æ
ö
æ
ö
=
= -
= -
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
r
0
0
CD n
CP n
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，即
3
1
0
2
2
3
1
0
2
2
a
b
a
b
c
ì-
+
=
ïïí
ï-
-
+
=
ïî
令
1
b = ，解得
1 ,1,1
3
n
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
设平面BPC 与平面PCD夹角为
5
5
3
,cos
7
7
7
3
3
m n
m n
q
q
-
×
=
=
=
r r
r r
故面BPC 与平面PCD夹角正弦值为
2
5
2 6
sin
1
7
7
q
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
.
1．（24-25 高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD ^平面ABCD ，
PAD
△
是边长为2 的等边
三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中
//
BC AD ，AB
AD
^
，
1
AB
BC
=
= ．
(1)求证：AB
PD
^
．
(2)求线段PA 中点M 到平面PCD的距离．
(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC 夹角的余弦值为10
5
？若存在，求出PE
PD 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
21
7
(3)存在，
1
3
PE
PD =
【详解】（1）由于平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，
AB
AD
^
Q
且AB Ì 平面ABCD ，
AB
\
^ 平面PAD ，
PD Ì
Q
平面PAD ，
AB
PD
\
^
．
（2）取AD 的中点O ，连接PO ，OC ，由
PAD
△
为等边三角形，得PO
AD
^
，
而平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，PO Ì 平面PAD ，
则
^
PO
平面ABCD ，由
1
AO
BC
=
= ，
//
AO BC ，得四边形ABCO 是平行四边形，
于是
//
OC AB ，而AB
AD
^
，则OC
AD
^
，直线OC ，OD ，OP 两两垂直，
以O 为坐标原点，直线OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则
0, 1,0
A
-
，
0,1,0
D
，
1,0,0
C
，
1, 1,0
B
-
，
0,0, 3
P
，
1
3
0,
,
2
2
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
考点二
线面垂直的性质
1
3
1,
,
2
2
CM
æ
ö
= - -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
，
1,0, 3
CP = -
uuur
，
1,1,0
CD = -
uuur
，
设平面PCD的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
3
0
0
n CP
x
z
n CD
x
y
ì ×
= - +
=
ïí
×
= - +
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
1
z = ，得
3, 3,1
n =
r
，
所以M 到平面PCD的距离
3
21
7
7
CM n
d
n
×
=
=
=
uuuur r
r
．
（3）令
0, ,
3
PE
PD
l
l
l
=
=
-
uuur
uuur
，
0,1
l Î
，
0,1, 3
0, ,
3
0,1
, 3
3
AE
AP
PE
l
l
l
l
=
+
=
+
-
=
+
-
uuur
uuur
uuur
，
1,1,0
AC =
uuur
，
设平面EAC 的法向量为
, ,
m
a b c
=
r
，则
0
1
3
3
0
m AC
a
b
m AE
b
c
l
l
ì
×
=
+
=
ïí
×
=
+
+
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
3
1
b
l
=
-
，得
3 1
, 3
1 ,
1
m
l
l
l
=
-
-
+
r
，
易知平面DAC 的一个法向量为
0,0, 3
OP =
uuur
，
于是，
2
3
1
10
cos
,
5
3 7
10
7
OP m
OP m
OP m
l
l
l
×
+
=
=
=
-
+
uuur r
uuur r
uuur r
，
化简得
2
3
10
3
0
l
l
-
+
=
，又
0,1
l Î
，解得
1
3
l =
，即
1
3
PE
PD =
，
所以线段PD 上存在点E ，使得平面EAC 与平面DAC 夹角的余弦值为10
5
，此时
1
3
PE
PD =
．
2．（24-25 高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA
=
=
=
，
90
BAC
Ð
=
°，E ，F
分别为
1
C C ，BC 的中点．
(1)求证：
1
1
A B
B C
^
；
(2)求直线
1A B 与平面AEF 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
33
6
．
【详解】（1）证明：连接
1
AB ，
因为三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
为直三棱柱，所以
1
AA ^ 平面ABC ，
又AC Ì 平面ABC ，所以
1
AC
AA
^
，
又
1
,
AC
AB AB
AA
A
^
Ç
=
，AB ，
1
AA Ì 平面
1
ABA ，所以AC ^平面
1
ABA ，
又
1A B Ì 平面
1
ABA ，则
1A B
AC
^
，
因为在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
AA
=
，所以四边形
1
1
ABB A 为正方形，
所以
1
1
A B
AB
^
，
因为
1
AC
AB
A
Ç
=
，AC 、
1
AB Ì 平面
1
ACB ，所以
1A B ^ 平面
1
ACB ，
又
1
B C Ì 平面
1
ACB ，则
1
1
A B
B C
^
．
（2）因为直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
BAC
Ð
=
°，
所以AB ，AC ，
1
AA 两两垂直，
所以以A 为原点，分别以AB ，AC ，
1
AA 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
(0,0,0)
A
，
1(0,0,2)
A
，
(2,0,0)
B
，
(0,2,1)
E
，
(1,1,0)
F
，
所以
1
(2,0, 2)
A B =
-
uuur
，
(0,2,1)
AE =
uuur
，
(1,1,0)
AF =
uuur
．
设平面AEF 的一个法向量为
( , , )
n
a b c
=
r
，则
2
0
0
n AE
b
c
n AF
a
b
ì ×
=
+
=
ïí ×
=
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
1
a = 可得
(1, 1,2)
n =
-
r
．
设
1A B 与平面AEF 所成角为q ，
所以
1
1
1
2
3
sin
cos
,
6
4
4
1 1
4
n A B
n A B
n A B
q
×
=
á
ñ = ×
=
=
+
´
+ +
uuur
r
uuur
r
uuur
r
，
即
1A B 与平面AEF 成角的正弦值为
3
6 ，
所以
1A B 与平面AEF 成角的余弦值为
33
6
．
3．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥V
ABC
-
中，
2
VA
VB
AB
AC
BC
=
=
=
=
=
，
1
VC = ．
(1)求证：AB
VC
^
；
(2)求直线VB 与平面AVC 所成角的正弦值；
(3)若
/ /
AB
a ，
/ /
VC
a ，用平面α 将三棱锥V
ABC
-
分为两部分，求截面面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 165
15
(3)
1
2
【详解】（1）证明：如图所示，取
,
VC AB 中点
,
M N ，连接AM ，BM
因为VA
AC
=
，VB
BC
=
，可得AM
VC
^
且BM
VC
^
，
又因为AM
BM
M
Ç
=
，且
,
AM BM Ì 平面AMB ，所以VC ^平面AMB ，
因为AB Ì 平面AMB ，所以VC
AB
^
.
（2）解：作BH
AM
^
交AM 于H，连接MN ，VH ，
由（1）VC ^平面AMB ，VC Ì平面AVC 所以平面AVC ^ 平面AMB ，
因为平面AVC Ç 平面AMB
AM
=
，且BH Ì 平面AMB ，所以BH ^平面AVC ，
所以
HVB
Ð
为直线VB 与平面AVC 所成角，
又因为
2
2
15
2
AM
BM
VB
VM
=
=
-
=
，所以
2
2
11
2
MN
BM
BN
=
-
=
，
因为1
1
2
2
BH AM
AB MN
×
=
×
，可得
11
2
2 165
2
15
15
2
AB MN
BH
AM
´
×
=
=
=
又因为BH
VH
^
，所以
2 165
165
15
sin
2
15
BH
HVB
VB
Ð
=
=
=
，
所以直线VB 与平面AVC 所成角的正弦值为165
15
.
（3）解：如图所示，设平面a I 平面VAB
PQ
=
，平面a I 平面CAB
ST
=
，平面a I 平面VAC
PS
=
，平面a I 平
面VBC
QT
=
，
因为
/ /
AB
a ，且AB Ì 平面VAB ，所以
/ /
AB
PQ ，
同理可证
/ /
AB
ST ，
/ /
VC
PS ，
/ /
VC
QT ，即
/ /
PQ
ST ，
/ /
PS
QT
由（1）知AB
VC
^
，所以PQ
QT
^
，所以截面PQTS 为矩形，
设QT
x
=
，其中
0,1
xÎ
，则
,
2
2
2
C
x
T
x
B
ST
T
=
=
-
=
，
所以矩形PQTS 的面积
2
1
1
2
2
2 1
2
2
2
x
x
S
PQ QT
x x
x x
-
+
æ
ö
=
´
=
-
=
-
£
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
1
x
x
= -
，即
1
2
x =
时，等号成立，所以截面面积的最大值为
1
2 .
4．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD 中，边长为a，E 为AB 中点，F 是边BC 上的动点，将
AED
△
，
BEF
△
分别沿着
,
DE ED 折起，使A，B 两点重合于点S.
(1)求证：SE
DF
^
；
(2)当F 是边BC 的中点时，将
AED
△
，
BEF
△
，DCF
V
分别沿着
,
,
DE ED DF 折起，使A，B，C 三点重合于点
S，求三棱锥SDEF 的外接球的表面积；
(3)
4
a =
，若
1
BF > ，设直线SE 与平面DEF 所成角为q ，求sinq 的最大值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
2
3
2 πa
(3)
3
2
【详解】（1）在正方形ABCD 中,
,
AD
AE BE
BF
^
^
,
所以翻折后
,
SD
SE SE
SF
^
^
，又
,
,
SD
SF
S SD SF
=
Ì
I
平面SDF ，
所以SE ^ 平面SDF ，又DF Ì 平面SDF ，所以SE
DF
^
.
（2）在正方形ABCD 中，CD
CF
^
，翻折后SD
SF
^
，
又
,
SD
SE SE
SF
^
^
，所以
,
,
SD SE SF 两两垂直，
三棱锥SDEF 可放入以
,
,
SD SE SF 为边的长方体中，
所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
6
2
2
2
SD
SE
SF
AD
BE
BF
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
+
+
=
+
+
=
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即外接球半径
6
4
R
a
=
，表面积
2
2
3
4π
π
2
S
R
a
=
=
三棱锥SDEF 的外接球的表面积
2
3
2 πa .
（3）设
,1
4
BF
m
m
=
<
£
，设点S 到平面DEF 的距离为h ，
则
2
,
16
4
,
4,
2
SF
BF
m DF
m
SD
SE
=
=
=
+
-
=
=
，
2
2
16
16
4
2
cos
2 4
m
m
m
DSF
m
m
é
ù
+
-
+
-
-
ë
û
Ð
=
=
´ ´
，
2
1
sin
m
DSF
m
-
Ð
=
，
则
1
1
2
1
sin
4
4
1
2
2
DSF
m
S
SD SF
DSF
m
m
m
-
=
×
Ð
=
´
´
=
-
V
，
1
1
1
16
4 2
2
4 4
4
2
2
2
DEF
ABCD
ADE
BEF
CDF
S
S
S
S
S
m
m
m
=
-
-
-
=
-
´ ´ -
´
-
´
-
=
+
V
V
V
V
，
又由（1）知SE ^ 平面SDF ，所以
1
8
1
3
3
E SDF
DSF
V
S
SE
m
-
=
×
=
-
V
，
1
4
8
1
3
3
3
S DEF
DEF
E SDF
m
V
S
h
h
V
m
-
-
+
=
=
=
=
-
V
，解得
8
1
4
m
h
m
-
=
+
，
又直线SE 与平面DEF 所成角为q ，
所以
2
4
1
4
1
4
sin
5
4
1
5
1
1
h
m
m
SE
m
m
m
m
q
-
-
=
=
=
=
+
-
+
- +
-
，
又因为
5
1
2 5
1
m
m
- +
³
-
，当
5
1
5
1
m
m
- =
=
-
，即
6
m =
时取等，
所以
5
1
1
y
m
m
=
- +
- 在
1,4 单调递减，即
5
8 3
1
3
1
m
m
- +
³
-
，
则
4
3
sin
5
2
1
1
m
m
q =
£
- +
-
，
所以sinq 的最大值为
3
2
.
5．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，所有的棱长均相等，D 是AC 的中点，D 在上底面
1
1
1
A B C
的投影为
1
1
1
A B C
△
的重心O ．
(1)证明：AC
BO
^
；
(2)求平面ABC 与平面
1
1
A ACC 的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
33
6
【详解】（1）
D
Q
在上底面
1
1
1
A B C 的投影为
1
1
1
A B C
△
的重心O ．
1
1
AC Ì
Q
平面
1
1
1
A B C ，
OD
\
^ 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
DO
AC
\
^
，
1
1
AC
AC
Q
∥
，\
^
AC
OD ，
ABC
QV
是等边三角形，D 是AC 的中点，故BD
AC
^
，
OD
BD
O
Ç
=
Q
，OD Ì平面BOD ，BD Ì 平面BOD ，
AC
\
^ 平面BOD ，
又因为BO Ì 平面BOD ，
AC
BO
\
^
.
（2）解法一：延长
1
B O 交
1
1
AC 于点
1
D ，如图所示，
由（1）知平面
1
1
DBB D
AC
^
，故
1
D DB
Ð
为平面ABC 与平面
1
1
A ACC 的夹角，
1
1
B D
BD
∥
Q
，
1
1
1
π
2
B D D
DD O
\Ð
+ Ð
=
，
设棱长为1，则
1
1
3
2
B D =
，
O
Q
为
1
1
1
A B C
△
重心，
1
3
6
OD
\
=
，
2
2
1
1
33
6
DO
D D
D O
\
=
-
=
，
1
1
33
cos
6
DO
D DO
DD
\
Ð
=
=
，
\平面ABC 与平面
1
1
A ACC 的夹角的正弦值为
33
6
.
解法二：设
2
AB =
，有
3
BD =
，
1
2 3
3
OB =
，
1
2
BB =
，可求得
33
3
OD =
，
由AB
AC
BC
=
=
，AD
CD
=
，可得BD
AC
^
，
又由OD ^ 平面ABC ，以D 为坐标原点，
DA ，DB ，DO 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
有
0,0,0
D
，
1,0,0
A
，
1,0,0
C -
，
0, 3,0
B
，
33
0,0,
3
Oæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
可得
2,0,0
CA =
uuur
，
1
1
1
33
1
3
33
0,0,
0, 3,0
0,
,
3
3
3
3
3
BB
DO
OB
DB
DO
DB
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
设平面
1
1
ACC A 的一个法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
有
1
2
0
3
33
0
3
3
CA m
x
BB m
y
z
ì
×
=
=
ïí
×
= -
+
=
ïî
uuur r
uuur r
，取
0
x =
，
11
y =
，
1
z = ，可得
0, 11,1
m =
r
，
又由平面ABC 的一个法向量为
0,0,1
n =
r
，有
1
m n
×
=
r r
，
2 3
m =
r
，
1
n =
r
，
有
1
3
cos
,
6
2 3
m n
á
ñ =
=
r r
，
故平面ABC 与平面
1
1
ACC A 的夹角的正弦值为
2
3
33
1
6
6
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
6．（2025·甘肃白银·三模）如图，在五面体ABCEF 中，底面ABC 为等边三角形，AF ^底面ABC ，
//
AF BE ，
2
AB
BE
=
=
，
1
AF = ，D ，M 分别是AC ，BE 的中点．
(1)证明：BD
CF
^
；
(2)求平面CEF 与平面ACM 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 3 6
8
【详解】（1）因
ABC
V
为等边三角形，D 是AC 的中点，则BD
AC
^
，
因AF ^平面ABC ，BD Ì 平面ABC ，则AF
BD
^
，
又
,
,
AC
AF
A AC AF
=
Ì
I
平面ACF ，则BD ^ 平面ACF ，
因CF Ì 平面ACF ，则BD
CF
^
.
（2）取线段AB 的中点O ，以
,
OA OC 、过点O 和AF 平行的直线为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，
因AF ^底面ABC ，
//
AF BE ，则BE ^ 底面ABC ，
因
2
AB
BE
=
=
，
1
AF = ，
则
1,0,0 ,
0, 3,0 ,
1,0,0 ,
1,0,2 ,
1,0,1 ,
1,0,1
A
C
B
E
M
F
-
-
-
，
则
1, 3,0 ,
2,0,1 ,
1,
3,1 ,
2,0, 1
AC
AM
CF
EF
= -
= -
=
-
=
-
uuur
uuuur
uuur
uuur
，
设平面CEF 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，平面ACM 的法向量为
, ,
n
a b c
=
r
，
则
3
0
2
0
CF m
x
y
z
EF m
x
z
ì
×
=
-
+
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuur r
uuur r
，
3
0
2
0
AC n
a
b
AM n
a
c
ì
×
= - +
=
ïí
×
= -
+
=
ïî
uuur r
uuuur r
，
令
1
x
b
=
= ，则
1, 3,2
m =
r
，
3,1,2 3
n =
r
，
则
3
3
4 3
3 6
cos
,
8
4 8
m n
m n
m
n
×
+
+
=
=
=
×
r r
r r
r
r
，
故平面CEF 与平面ACM 夹角的余弦值为3 6
8
.
7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，AB
AD
^
，P 为棱
1
1
A B 上一点，且
PA
PB
=
，F 为CD 的中点.
(1)证明：AB
PF
^
；
(2)若
4
AB
AD
PD
=
=
=
，当直线PB 与平面PCD所成的角的余弦值为
2
2 ，且二面角P
CD
A
-
-
的平面角为锐角
时，求三棱锥B
APD
-
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 8 3
3
【详解】（1）取AB 的中点E ，连接PE ，EF ，
PA
PB
=
Q
，
PE
AB
\
^
，
,
E F
Q
分别为AB ，CD 的中点，
/ /
EF
AD
\
，而AB
AD
^
，则EF
AB
^
，
又PE
EF
E
Ç
=
且都在平面PEF 内，
∴AB ^平面PEF ，
PF Ì
Q
平面PEF ，
AB
PF
\
^
.
（2）如图，以E 为原点，以
,
EB EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 与平面ABCD 垂直的直线向上的方向为z 轴
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
( 2,0,0),
(2,0,0),
(2, 4,0),
( 2, 4,0)
A
B
C
D
-
-
，
设
(0, , )
P
a h ，h 为P 到平面ABCD 的距离，
(2,
,
)
PB
a
h
=
-
-
uur
，
( 2, 4
,
)
a
h
PD = -
-
-
uuur
，
( 4,0,0)
CD = -
uuur
，
设平面PCD的法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
则
·
0
·
0
n PD
n CD
ì
=
ïí
=
ïî
uuur
r
uuur
r
， 即
2
4
0
4
0
x
a y
hz
x
ì-
+
-
-
=
í
-
=
î
，
取y
h
= - ，则
4
z
a
=
- ，即
0,
,
4
n
h a
=
-
-
r
，
又
4
PD =
，∴
2
2
(4
)
12
a
h
-
+
=
，(*)
设直线PB 与平面PCD所成的角为q ，
2
2
·
4
2
sin
2
4
·2 3
PB n
ah
h a
PB n
a
h
q
-
-
=
=
=
+
+
uuur r
uuur r
，
解得
1
a = 或
4
a =
，
当
4
a =
时，平面PCD的法向量为
0,
,0
n
h
=
-
r
，
则平面PCD与平面ABCD 垂直，此时二面角P
CD
A
-
-
的平面角为直角，∴
4
a =
舍去,
∴
1
a = ，代入(*)可得
3
h =
，
∴
1
1
8
3
4
4
3
3
2
3
B APD
P ABD
V
V
-
-
=
=
´
´
´
´
=
.
8．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体ABCD 中，
π ,
1,
2
ACD
BDC
AC
BD
CD
x
Ð
Ð
=
=
=
=
=
，记二面角
A
CD
B
-
-
为,
,
M N
q
分别为
,
AD BC 的中点.
(1)求证：MN
CD
^
；
(2)若
3
π
,
2
3
x
q
=
=
，求直线MN 与平面ABD 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
6
4
【详解】（1）取CD 中点O ，连接
,
OM ON ，又
,
M N 分别为
,
AD BC 的中点，
则OM / /
,
AC ON / / BD ，因为
π
2
ACD
BDC
Ð
Ð
=
=
，
所以
,
CD
OM CD
ON
^
^
，又
,
,
OM
ON
O OM ON
Ç
=
Ì 平面OMN ，
所以CD ^ 平面OMN ，又MN Ì平面OMN ，所以MN
CD
^
.
（2）由（1）知
MON
Ð
是二面角A
CD
B
-
-
的平面角，所以
π
3
MON
Ð
=
.
如图，以O 为原点，
,
OD ON 分别为,x y 轴，过O 作平面BCD的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，
则
3
3
1
,0,0 ,
,1,0 ,
0,
,0
4
4
2
D
B
N
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
1
3
3 1
3
0,
,
,
,
,
4
4
4
2
2
M
A
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
1
3
3 1
3
0,
,
,
0,1,0 ,
,
,
4
4
2
2
2
MN
DB
DA
æ
ö
æ
ö
=
-
=
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur
uuur
uuur
，
设平面ABD 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
0
0
n DB
n DA
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
0
3
1
3
0
2
2
2
y
x
y
z
=
ìïí-
+
+
=
ïî
，可取
1,0,1
n =
r
，
设直线MN 与平面ABD 所成角为a ，则
6
sin
cos ,
4
n MN
n MN
n
MN
a
×
=
=
=
×
uuuur
r
uuuur
r
uuuur
r
，
所以直线MN 与平面ABD 所成角的正弦值为
6
4
.
1．（24-25 高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，侧面PBC 是边长为2 的等边三角形，AC
BC
^
，
E 、F 分别为AB 、BC 的中点．
(1)证明：
//
EF
平面PAC ；
(2)证明：平面PEF ^ 平面PBC ；
(3)若
3
AC =
，二面角P
BC
A
-
-
的大小为30o ，求PA ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
2
PA =
【详解】（1）因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，所以
//
EF
AC ，
又因为EF Ë 平面PAC ，AC Ì 平面PAC ，所以
//
EF
平面PAC ．-
（2）因为PB
PC
=
，F 为BC 的中点，所以PF
BC
^
，
因为AC
BC
^
，
//
EF AC ，所以EF
BC
^
，
又PF
EF
F
=
I
，PE 、EF Ì 平面PEF ，所以
^
BC
平面PEF ，
因为
Ì
BC
平面PBC ，所以平面PEF ^ 平面PBC ．
（3）因为PF
BC
^
，EF
BC
^
，所以
PFE
Ð
为二面角P
BC
A
-
-
的平面角，则
30
PFE
Ð
=
o ，
由题意知，
3
PF =
，
3
2
EF =
，
在
PFE
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
PE
PF
EF
PF EF
PFE
=
+
-
×
×
Ð
，
所以
2
9
3
3
3
3
2
3
4
2
2
4
PE =
+
-
´
´
´
=
，可得
3
2
PE =
，
在直角
ABC
V
中，
9
4
13
AB =
+
=
，
又因为
2
PB =
，
13
2
BE =
，
3
2
PE =
，所以
2
2
2
PB
PE
BE
=
+
，所以
90
PEB
Ð
=
o ，
即PE
AB
^
，因为E 为AB 的中点，所以
2
PA
PB
=
=
．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是边长为3 的菱形，PA ^平面
ABCD ，
3
PA = ，
π
3
ABC
Ð
=
，点
,
M N 为线段PD 上的三等分点.
考点三
面面垂直的判定
(1)证明：平面MBD ^平面PAC .
(2)求二面角A
BM
N
-
-
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 285
95
【详解】（1）因为四棱锥P
ABCD
-
中，底面是边长为3 的菱形，所以AC
BD
^
，
因为PA ^平面ABCD ，BD Ì 平面ABCD ，所以PA
BD
^
，
由PA
AC
A
=
I
，
,
PA AC Ì 平面PAC ，得BD ^ 平面PAC ，
又BD Ì 平面MBD ，
所以平面MBD ^平面PAC ；
（2）连接AM ，取BC 的中点E ，连接AE ，因为
π
3
ABC
Ð
=
，所以AE
BC
^
，
以A 为原点，
,
,
AE AD AP 所在的直线分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
则
3 3
3
0,0,0 ,
,
,0 ,
0,1,2 ,
0,2,1
2
2
A
B
M
N
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3 3 5
0,1,2 ,
,
,2 ,
0,1, 1
2
2
AM
BM
MN
æ
ö
=
= -
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
uuuur
uuuur
，
设
, ,
n
x y z
=
r
为平面ABM 的一个法向量，则
2
0
3 3
5
2
0
2
2
AM n
y
z
BM n
x
y
z
ì
×
=
+
=
ïí
×
= -
+
+
=
ïî
uuuur r
uuuur r
，令
2
y =
，则
2 3
1,
3
z
x
= -
=
，
2 3 ,2, 1
3
n
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
r
，
设
, ,
m
a b c
=
r
为平面BMN 的一个法向量，则
0
3 3
5
2
0
2
2
MN m
b
c
BM m
a
b
c
ì
×
=
-
=
ïí
×
= -
+
+
=
ïî
uuuur r
uuuur r
，令
2
b =
，则
2,
2 3
c
a
=
=
，
2 3,2,2
m =
r
，
所以
2 3
2 3
4
2
3 285
3
cos ,
95
4
4 1
12
4
4
3
n m
n m
n
m
´
+
-
×
=
=
=
×
+
+ ´
+
+
r r
r r
r
r
，
所以二面角A
BM
N
-
-
的余弦值为3 285
95
.
3．（24-25 高三上·山东·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PCD ^ 平面ABCD ，AD
AB
^
，
/ /
AB
CD ,
1,
2,
2
AB
AD
CD
PD
PC
=
=
=
=
=
，点E 在棱PA 上，且
2
PE
EA
=
.
(1)求证:平面PAD ^平面DBE ;
(2)求平面PAB 与平面ABCD 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2) π
4 .
【详解】（1）因为
2,
2
CD
PD
PC
=
=
=
，所以
2
2
2
PD
PC
CD
+
=
，
所以
90
CPD
Ð
=
°，即PC
PD
^
.
因为
,
/ /
AD
AB AB
CD
^
，所以AD
CD
^
，
又因为平面PCD ^ 平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD
CD
=
，
AD Ì 平面ABCD ，所以AD ^ 平面PCD，
因为PC Ì平面PCD，所以AD
PC
^
.
因为
,
,
,
,
PC
PD PC
AD AD
PD
D AD PD
^
^
=
Ì
I
平面PAD ，所以PC ^ 平面PAD .
连接AC ，交BD 于F ，连接EF ，易得
~
ABF
CDF
△
△
，2AB
CD
=
，
所以3AF
AC
=
，又因为
2
PE
EA
=
，所以3AE
AP
=
，所以
/ /
EF
PC ，
因为PC ^ 平面PAD ，所以
^
EF
平面PAD ，
因为EF Ì 平面DBE ，所以平面PAD ^平面DBE .
（2）取CD 的中点G，连接
,
PG GB ，则PG ^平面ABCD ，
因为PD
PC
=
，所以PG
CD
^
，因为
/ /
AB
CD ，所以PG
AB
^
.
因为
/ /
,
,
AB
DG AB
DG
AD AD
AB
=
=
^
，所以四边形ABGD 为正方形，
所以GB
AB
^
，又因PG
AB
^
.
,
,
PG
GB
G PG GB
Ç
=
Ì 平面PGB ，则AB ^平面PGB ，
因为PB Ì平面PGB ，所以AB
PB
^
，故
PBG
Ð
为平面PAB 与平面ABCD 所成角，
因为
1,
1
GB
PG
=
= ，所以tan
1
PBG
Ð
= ，故
π
4
PBG
Ð
=
，
平面PAB 与平面ABCD 所成角π
4 .
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在以
, ,
,
,
,
A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为
等腰祶形，
/ /
,
/ /
,
AB
CD CD
EF
2,
AB
DE
EF
CF
=
=
=
=
4,
10,
2 3
CD
AD
BC
AE
=
=
=
=
，M 为CD 的中点．
(1)证明：平面ABCD ^ 平面CDEF ；
(2)设点N 是
ADM
△
内一动点，
0
ND NM
×
=
uuur uuuur
，当线段AN 的长最小时，求直线EN 与直线BF 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
2
【详解】（1）取DM 的中点为O ，连接
,
OA OE ，
由EMD
V
是边长为2 的等边三角形，
ADM
△
是以
10
AD
AM
BC
=
=
=
的等腰三角形，
所以
,
OE
DM OA
DM
^
^
，
1
1
2
OD
DM
=
= ，
2
DE =
，
所以
2
2
3
OA
AD
OD
=
-
=
，
2
2
3
OE
DE
OD
=
-
=
，所以
2
2
2
AO
OE
AE
+
=
，
所以
,
,
OA
OE OE
DM
O OE
^
Ç
=
Ì 平面
,
CDEF DM Ì 平面CDEF ，
所以OA ^ 平面CDEF ，又OA Ì 平面ABCD ，所以平面ABCD ^ 平面CDEF ；
（2）以O 为坐标原点，分别以
,
,
OE OC OA为, ,
x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以
0,0,3 ,
3,0,0 ,
0,1,0 ,
0,2,3 ,
3,2,0
A
E
M
B
F
，
当点N 是
ADM
△
内一动点，且
0
ND NM
×
=
uuur uuuur
，则点N 在以DM 为直径的圆上，
当线段AN 的长最小时，点N 在AO 与圆的交点处，所以
0,0,1
N
，
所以
3,0,1 ,
3,0, 3
EN
BF
= -
=
-
uuur
uuur
，
设直线EN 与直线BF 所成角为q ，
所以
3
cos
cos
,
2
EN BF
EN BF
EN BF
q
×
=
=
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
所以直线EN 与直线BF 所成角的余弦值为
3
2
.
5．（2025·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
//
AD BC ，
2
2
4
BC
AD
AB
=
=
=
，
π
3
BAD
Ð
=
，
PBD
△
为等边三角形，直线PA 与平面ABCD 所成角的大小为π
4 ，点E 是棱PB 上的一点（不包含端点）.
(1)求证：平面ECD ^ 平面PBD；
(2)若二面角P
CD
E
-
-
的余弦值为5 7
14
，求线段PE 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
3
【详解】（1）在四棱锥P
ABCD
-
中，取BD 的中点O，连接AO，PO，
由AD
AB
=
，得AO
BD
^
，由
PBD
△
为等边三角形，得PO
BD
^
，
又PO
AO
O
=
I
，
,
PO AO Ì 平面POA，则BD ^ 平面POA，
又BD Ì 平面ABCD，则平面PAO ^平面ABCD，又平面PAO I平面ABCD
AO
=
，
因此直线PA 在平面ABCD 的射影在直线AO 上，直线PA 与平面ABCD 所成角为
PAO
Ð
，则
π
4
PAO
Ð
=
，
由
2
AB
AD
=
=
，
π
3
BAD
Ð
=
，得
ABD
△
是正三角形，且
3
AO =
，
2
BD = ，
由
PBD
△
为等边三角形，得
3
PO =
，在PAO
V
中，
π
4
PA
APO
O
Ð
=
Ð
=
，
则
π
2
POA
Ð
=
，即AO
PO
^
，又BD
AO
O
Ç
=
，
,
BD AO Ì 平面ABCD，则
^
PO
平面ABCD，
又CD Ì 平面ABCD，于是CD
PO
^
，在
BCD
△
中，
2,
4
BD
BC
=
=
，易知
3
DBC
p
Ð
=
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
12
DC
BD
BC
BD BC
DBC
=
+
-
×
Ð
=
，
因此
2
2
2
BD
CD
BC
+
=
，即BD
CD
^
，又PO
BD
O
=
I
，
,
PO BD Ì 平面PBD，则CD ^ 平面PBD.
又CD Ì 平面ECD，所以平面ECD ^ 平面PBD.
（2）由（1）知，直线
,
,
OA OD OP 两两垂直，以O 为原点，直线
,
,
OA OD OP 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标
系，
则
( 3,0,0),
(0, 1,0),
( 2 3,1,0)
(0,0, 3),
(0,1,0),
P
D
A
B
C
-
-
，
(0, 1, 3),
( 2 3,0,0),
(0, 1,
3)
DP
DC
PB
=
-
= -
=
- -
uuur
uuur
uuur
，
设平面PCD 的法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，则
3
0
2 3
0
n DP
y
z
n DC
x
ì ×
= - +
=
ïí
×
= -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，取
1
z = ，得
(0, 3,1)
n =
r
，
设
(0
1)
PE
PB
l
l
=
<
<
uuur
uuur
，则
(0, 1
, 3
3 )
DE
DP
PE
l
l
=
+
=
- -
-
uuur
uuur
uuur
，
设平面ECD 的法向量为
( , , )
m
a b c
=
r
，则
( 1
)
( 3
3 )
0
2 3
0
m DE
b
c
m DC
a
l
l
ì
×
= - -
+
-
=
ïí
×
= -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
1
c
l
= +
，得
(0, 3
3 ,1
)
m
l
l
=
-
+
r
，又二面角P
CD
E
-
-
的余弦值为5 7
14
，
因此
2
2
|
4
2
5 7
| cos
,
| |
||
14
2 3(1
)
(1
)
|
|
n m
n m
n m
l
l
l
×
-
á
ñ =
=
=
-
+
+
r r
r r
r
r
，整理得
2
6
1
0
l
l
+
- =
，则
1
3
l =
（负值舍），
从而
1
2
|
|
|
|
3
3
PE
PB
=
=
uuur
uuur
，所以线段PE 的长为2
3 .
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是矩形，
90
PDC
Ð
=
° ，PA
PD
^
，
2
1
BC
AB
=
= ．
(1)求证：平面PAB ^平面PCD．
(2)若PA
PD
=
，求平面PAD 与平面PBC 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
3
【详解】（1）
PD
CD
^
Q
，AB
CD
∥
，
PD
AB
\
^
．
PA
PD
^
Q
，且PA ，AB Ì 平面PAB ，PA
AB
A
=
I
，
PD
\
^ 平面PAB ．
PD Ì
Q
平面PCD，
\平面PAB ^平面PCD．
（2）设平面PAD 与平面PBC 的夹角为q ，BC 的中点为
1
O ，AD 的中点为O ．
由AB
AD
^
，AB
PA
^
，知AB ^平面PAD ，
又PO
AD
^
，PA
PD
=
，故以O 为原点，
OA，
1
OO ，OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，
则
1
2
,
,0
2
2
Bæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
1
2
,
,0
2
2
C æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
1
0,0, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø．
易知平面PAD 的一个法向量为
0,1,0
m =
ur
，
1
2 1
,
,
2
2
2
BP
æ
ö
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
1,0,0
BC = -
uuur
，
设平面PBC 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，因此
1
2
1
0
2
2
2
0
PB n
x
y
z
BC n
x
ì
×
= -
-
+
=
ïïí
ï
×
= - =
ïî
uuur r
uuur r
，取
0,1,
2
n =
r
，
故
1
3
cos
3
1
3
q =
=
´
．
7．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥P
ABCD
-
的底面是直角梯形，
2,
1
AD
PA
DC
BC
=
=
=
= ，
/ /
AD
BC ，
90
BCD
Ð
=
°，且
,
.
PA
AB PD
CD
^
^
(1)证明：平面PAB ^平面ABCD ；
(2)求二面角B
PC
D
-
-
所成平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
10
5
-
．
【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且
90
BCD
Ð
=
°，故BC
CD
^
，
又
/ /
AD
BC ，故CD
AD
^
，而CD
PD
^
，AD
PD
D
=
，
,
AD PD Ì 平面PAD ，
所以CD ^ 平面PAD ，而PAÌ 平面PAD ，所以PA
CD
^
，
而PA
AB
^
，AB ，CD Ì 平面ABCD ，由梯形ABCD 知AB ，CD 必定相交，
故PA ^平面ABCD ，而PAÌ 平面PAB ，
故平面PAB ^平面ABCD ；
（2）连接BD ，在平面PDC 中过D 作DH
PC
^
，垂足为H ，
由（1）可得PA ^平面ABCD ，而AD Ì 平面ABCD ，故PA
AD
^
，
而
1
PA = ，
2
AD =
，故
5
PD =
，而
1
CD = ，
所以
2
2
6
PC
PD
DC
=
+
=
，
因为PD DC
PC DH
×
=
×
，所以
1
5
30
6
6
DH
´
=
=
，
在平面ABCD 中，过A 作AG
BC
^
，交CB 延长线于点G ，连接PG ，
则
/ /
AG
CD ，故AG
CG
^
，且
1
AG
CD
=
= ，
取PG 的中点为S ，连接AS ，由
1
AP
AG
=
= 可得AS
PG
^
，
因为CG Ì 平面ABCD ，故PA
CG
^
，
而PA
AG
A
=
I
，PA ，AG Ì平面PAG ，
故CG ^平面PAG ，而AS Ì 平面PAG ，故CG
AS
^
，
而PG
CG
G
Ç
=
，PG ，CG Ì 平面PBC ，故AS ^平面PBC ，
故A 到平面PBC 的距离为AS ，且
1
2
2
2
AS
PG
=
=
，
而
/ /
AD
BC ，AD Ì 平面PBC ，
Ì
BC
平面BCP ，
故
/ /
AD
平面BCP ，故D 到平面BCP 的距离即为A 到平面PBC 的距离为
2
2
AS =
，
设二面角B
PC
D
-
-
的平面角为q ，则
2
15
2
sin
5
30
6
AS
DH
q =
=
=
，
由图可知q 为钝角，故
2
10
cos
1 sin
5
q
q
= -
-
= -
．
8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图（一），四边形ABEF 是梯形，
/ /
AF
BE ，AB
BE
^
，
2
AB
BE
=
=
，
3
AF =
，
C 为线段BE 的中点，
/ /
CD
AB 且交AF 于点D .四边形ABCD 沿CD 翻折，如图（二）所示，线段BE 的中点为G，
M 是线段AF 上一点，且C，D，M，G 四点共面.
(1)求证：平面ABE ^ 平面CDMG ；
(2)若
5
AF =
，求直线CM 与平面AEF 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
231
77
【详解】（1）在图（一）中，
/ /
CD
AB ，AB
BE
^
，则CD
BE
^
，即CD
BC
^
，CD
CE
^
.
在图（二）中，CE
BC
C
=
I
都在平面BCE 内，则CD ^ 平面BCE ，
由BE Ì 平面BCE ，则CD
BE
^
，
由BC
CE
=
，G 为BE 的中点，则CG
BE
^
，
CD
CG
C
=
Q
I
都在平面CDMG 内，
所以BE ^ 平面CDMG ，又BE Ì 平面ABE ，
\平面ABE ^ 平面CDMG .
（2）
5
AF =
Q
，则
2
2
2
AF
AD
DF
=
+
，则AD
DF
^
，又AD
DC
^
，CD
DF
^
.
以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则
0,0,1
A
，
2,0,1
B
，
2,0,0
C
，
2,1,0
E
，
0,2,0
F
.
2,1,0
EF
\
= -
uuur
，
0, 2, 1
FA =
-
-
uuur
，
0,1, 1
BE =
-
uuur
.
设FM
FA
l
=
uuuur
uuur ，则
0,2
2 ,
M
l l
-
，由（1）知BE
DM
^
.
2
2
0
BE DM
l
l
\
×
=
-
-
=
uuur uuuur
，可得
2
3
l =
，
2 2
0,
,
3 3
M æ
ö
ç
÷
è
ø ，
设平面AEF 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
0
0
n EF
n AF
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
2
0
2
0
x
y
y
z
-
+
=
ì
\í
-
=
î
，取
1
x = ，则
1,2,4
n =
r
，又
2 2
2,
,
3 3
CM
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
uuuur
，
231
cos
,
77
CM n
CM n
CM n
×
\
=
=
uuuur r
uuuur r
uuuur r
，即所求线面角正弦值为
231
77
.
1．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥S
ABCD
-
中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥
,
BC AD
DC
^
，平面SAD ^
平面
,
ABCD P 为AD 的中点，
1
2,
1,
3
2
SA
SD
BC
AD
CD
=
=
=
=
=
.
(1)求证：SP
AB
^
；
(2)求直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值；
(3)设M 为SC 的中点，求平面SPB 与平面PBM 的夹角余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
4
(3)
3
2
【详解】（1）在SAD
V
中，∵SA
SD
=
，P 为AD 的中点，∴SP
AD
^
，
∵平面SAD ^ 平面ABCD ，且平面SAD Ç平面ABCD
AD
=
，SP Ì 平面SAD，
∴SP ^ 平面ABCD ，又AB Ì 平面ABCD ，∴SP
AB
^
.
（2）在直角梯形ABCD 中，∵AD
BC
∥
，
1
2
BC
AD
=
，P 为AD 中点，
∴BC
PD
∥
，且BC
PD
=
，则四边形BCDP 为平行四边形，
∵AD
DC
^
，∴AD
PB
^
，
由（1）可知，SP ^ 平面ABCD ，故以P 为坐标原点，建立空间直角坐标系P
xyz
-
，
,0) ，
(0, 3,0)
B
，(0,0, 3)
S
，
( 1, 3,0)
C -
，
( 1,0,0)
D -
，
，
(0,
3,0)
CD
®
=
-
，
( 1,0,
3)
SD
®
= -
-
，
考点四
面面垂直的性质
设平面SCD 的一个法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
由
3
0
3
0
n CD
y
n SD
x
z
ì ×
= -
=
ïí
×
= - -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，取
1
z = ，得
3,
0
x
y
= -
=
，
所以
(
3,0,1)
n
®
= -
为平面SCD 的一个法向量；
设直线BS 与平面SCD 所成角为a ，
则
3
2
sin
cos ,
4
2
6
n BS
n BS
n
BS
a
×
=
=
=
=
´
×
uuur
r
uuur
r
uuur
r
．
∴直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值为
2
4
；
（3）∵AP
SP
^
，AP
BP
^
，SP
BP
P
=
I
，
,
SP BP Ì 平面SBP ，
∴AP ^ 平面SBP ，即
(1,0,0)
PA
®
=
为平面SPB 的一个法向量，
∵M 为SC 的中点，
∴点M 的坐标为
1
3
3
,
,
2
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，而
(0, 3,0)
PB
®
=
，
1
3
3
,
,
2
2
2
PM
æ
ö
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
，
设平面MPB 的一个法向量为
0
0
0
,
,
m
x
y z
=
r
，
由
0
0
0
0
3
0
1
3
3
0
2
2
2
m PB
y
m PM
x
y
z
ì
×
=
=
ïí
×
= -
+
+
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
，
取
0
1
z = ，
0
0
3,
0
x
y
=
=
，
所以
( 3,0,1)
m
®
=
为平面MPB 的一个法向量．
∴
3
3
cos
,
2 1
2
m PA
m PA
m PA
×
=
=
=
´
×
uuur
r
uuur
r
uuur
r
．
∴平面SPB 与平面PBM 的夹角余弦值为
3
2
．
2．（2025·江西新余·模拟预测）在棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
1
1
1
AAC C
A B C
^
平面
平面
，
1
1
2
AC =
，
1
1
1
1
2
A B
C B
=
=
，
1
1
5
AA
AC
=
=
，E，G 分别为线段
1
AC ，
1
B C 的中点，F 为直线
1
AB 与直线
1A B 的交点．
(1)求证：
1
1
EFG
AAC C
^
平面
平面
；
(2)求直线
1A B 与平面
1
1
AB C 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 8
9
【详解】（1）证明：设O 是线段
1
1
AC 的中点，连接AO，
1AC ，∵
1
1
AA
AC
=
，∴
1
1
AO
AC
^
，
∵
1
1
1
1
1
AAC C
A B C
^
平面
平面
，
1
1
1
1
1
1
1
AAC C
A B C
AC
=
I
平面
平面
，
1
1
AO
AAC C
Ì 平面
，∴
1
1
1
AO
A B C
^ 平面
，
∵棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，∴四边形
1
1
AAC C 与四边形
1
1
AA B B 都为平行四边形，
∴E，F 分别为线段
1AC ，
1
AB 的中点，∴
1
1
EF
B C
∥
，
∵G 为线段
1
B C 的中点，
1
1
EG
A B
\
∥
，
∴
1
1
1
EF
A B C
Ë 平面
，
1
1
1
EG
A B C
Ë 平面
，
1
1
1
1
1
B C
A B C
Ì 平面
，
1
1
1
1
1
A B
A B C
Ì 平面
∴
1
1
1
EF
A B C
平面
P
，
1
1
1
EG
A B C
平面
P
，
∵
,
,
EF
EG
E EF EG
=
Ì
I
面EFG ，∴
1
1
1
EFG
A B C
平面
平面
P
，
∴AO
EFG
^ 平面
，又
1
1
AO
AAC C
Ì 平面
，∴
1
1
EFG
AAC C
^
平面
平面
．
（2）连接
1
B O ，由（1）知，
1
1
AO
AC
^
，
1
1
5
AA
AC
=
=
Q
，
1
1
2
AC =
，
2
2
2
2
1
1
( 5)
1
2
AO
AA
AO
\
=
-
=
-
=
，
1
1
1
1
2
A B
B C
=
=
Q
，
1
1
1
B O
AC
\
^
，
1
1
B O = ，
以O 为坐标原点，以
1
OB
uuur
，
1
OC
uuuur
，OA
uuur
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O
xyz
-
，
则
1 0, 1,0
A
-
，
1 0,1,0
C
，
0,0,2
A
，
1 1,0,0
B
，
1,1,2
B
，
1
1,2,2
A B
\
=
uuur
，
1
1
1,1,0
B C = -
uuuur
，
1
0, 1,2
C A =
-
uuur
，
设平面
1
1
AB C 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
则
1
1
1
·
0
·
2
0
m B C
x
y
m C A
y
z
ì
= - +
=
ïí
= - +
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
，令
2
x =
，则
2
y =
，
1
z = ，
∴平面
1
1
AB C 的一个法向量为
2,2,1
m =
r
，
设直线
1A B 与平面
1
1
AB C 所成角为θ，
1
2
2
2
2
2
2
1
1 2
2 2
2 1
8
sin
9
|
| |
|
1
2
2
2
2
|
|
1
|
|
m A B
m
A B
q
×
´ + ´ + ´
\
=
=
=
×
+
+
´
+
+
ur
u
uuur
u
r
uu r
，
∴直线
1A B 与平面
1
1
AB C 所成角的正弦值为8
9 ．
3．（2025·海南·模拟预测）如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ^ 平面
1
1
CDD C ，
1
2
AA
AB
AD
=
=
，
1
60
D DC
Ð
=
°，O，E 分别为CD，
1
1
AD 的中点．
(1)证明：
1
D O ^平面ABCD；
(2)求平面
1
AB E 与平面
1
1
AA B B 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2 5
5
【详解】（1）如图，连接
1
CD ．因为
1
AA
AB
=
，所以
1
CD
DD
=
，
又
1
60
D DC
Ð
=
o，所以
1
CDD
V
是等边三角形.
因为O 是CD 的中点，所以
1
DO
DC
^
．
因为平面ABCD ^ 平面
1
1
CDD C ，平面
1
1
CDD C I 平面
1
,
ABCD
CD D O
=
Ì 平面
1
1
CDD C ，
所以
1
D O ^平面ABCD .
（2）如图，取AB 的中点G ，连接OG ，由已知可得
1
,
,
OG OC OD 两两互相垂直．
以O 为原点，
1
,
,
OG OC OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设
2
AD =
，则
1
(2, 2,0),
(2,4,2 3),
(1,0,2 3)
A
B
E
-
，
所以
1
( 1,2,2 3),
( 1, 4,0)
AE
B E
= -
= - -
uuur
uuur
．
设平面
1
AB E 的法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，
则
1
2
2 3
0
4
0
n AE
x
y
z
n B E
x
y
ì ×
= - +
+
=
ïí ×
= - -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
4
x =
，得
(4, 1, 3)
n =
-
r
．
易知
(1,0,0)
m =
ur
是平面
1
1
AA B B 的一个法向量．
设平面
1
AB E 与平面
1
1
AA B B 的夹角为q ，
则
4
2 5
cos
| cos
,
|
5
16 1 3
n m
q =
=
=
+ +
r ur
，
即平面
1
AB E 与平面
1
1
AA B B 的夹角的余弦值为2 5
5
．
4．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知
//
//
AD BC FE ，平面ABF ^ 平面ADEF ，AB
AF
^
，AF
AD
^
，
2
2
2
2
AD
BC
EF
AF
=
=
=
=
，点P 为梯形ADEF 内（包括边界）一个动点，且
//
BP
平面CDE ．
(1)求点P 的轨迹长度；
(2)当线段BP 最短时，直线BP 与平面BCEF 所成角q 的正弦值为
3
6 ，求三棱锥P
CDE
-
的体积．
【答案】(1) 2
(2) 1
6 或
2
12 .
【详解】（1）因为平面ABF ^ 平面ADEF ，AB
AF
^
，平面ABF Ç 平面ADEF
AF
=
，
AB Ì 平面ABF ，故AB ^平面ADEF ，
而AF
AD
^
，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设
0,0,
B
b ，则
0,0,0 ,
1,0,0 ,
1,1,0 ,
0,2,0 ,
0,1,
A
F
E
D
C
b ，
因点P 为梯形ADEF 内（包括边界）一个动点，可设
, ,0
P x y
，则
, ,
BP
x y
b
=
-
uuur
，
又
1,0,
,
0, 1,
EC
b
DC
b
= -
=
-
uuur
uuur
，
设平面CDE 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
则
·
0
·
0
m EC
x
bz
m DC
y
bz
ì
= - +
=
ïí
= - +
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，故可取
, ,1
m
b b
=
r
，
因
//
BP
平面CDE ，则
0
BP m
×
=
uuur ur
，
故
0
bx
by
b
+
-
=
，即
1
0
x
y
+
- =
，
取
0
x =
，则
1
y = ，取
0
y =
，则
1
x = ，
故P 的轨迹长度为
2
2
1
1
2
+
=
.
（2）取AD 的中点为G ，连接FG ，AP ，由（1）可得P 的轨迹为FG .
又由（1）可得BA ^ 平面ADEF ，而AP Ì 平面ADEF ，
故AB
AP
^
，因
2
2
2
AP
BP
AB
=
-
，若线段BP 最短，则AP 最短，此时有AP
FG
^
，
而
1
AF
AG
=
= ，故点P 为FG 的中点，故
1 1
,
,0
2 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø ，
设平面BCEF 的法向量为
, ,
n
u v t
=
r
，而
0, 1,0
EF =
-
uuur
，
1,0,
BF
b
=
-
uuur
，
故
0
0
v
u
bt
- =
ì
í -
=
î
，故可取
,0,1
n
b
=
r
，
因直线BP 与平面BCEF 所成角q 的正弦值为
3
6 ，
而
1 1
,
,
2 2
BP
b
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
uuur
，则得
2
2
3
2
6
1
1
2
b
BP n
BP n
b
b
-
×
=
=
+ ´
+
uuur r
uuur r
，
故
4
2
2
3
1
0
b
b
-
+ =
，故
1
b = 或
2
2
b =
，
易得
/ /
BC
平面ADEF ，则点C 到平面PDE 的距离为1或
2
2 ，
又
1,1,0
ED = -
uuur
，
1
1
,
,0
2
2
EP
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
故P 到直线ED 的距离为
2
2
1
0
2
2
2
2
ED EP
EP
ED
æ
ö
×
ç
÷
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
uuur uuur
uuur
，
易得
2
ED =
uuur
，故
1
2
1
2
2
2
2
PED
S
=
´
´
=
△
，
故三棱锥P
CDE
-
的体积为1
1
1
1
3
2
6
´
´ =
或者为1
1
2
2
3
2
2
12
´
´
=
.
5．（2025·安徽·三模）如图，矩形ABCD 中，
2
2
AD
AB
=
=
，E 为边BC 的中点，现将CDE
V
沿DE 翻折至
PDE
△
，
得四棱锥P
ABED
-
，且平面PDE ^ 平面ABED ，点Q 为线段AP 上一动点，且AQ
AP
l
=
uuur
uuur
．
(1)求证：PD
EQ
^
；
(2)当
1
2
l =
时，若点A 关于平面DEQ 的对称点为F ，求直线AF 与平面ABED 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 5
5
．
【详解】（1）证明：连接AE ，由
1,
90
BE
AB
ABE
=
=
Ð
=
° ，得
2
AE =
，
由
90 ,
1
DPE
PD
PE
Ð
=
°
=
= ，得
2
ED =
，
所以
2
2
2
AE
ED
AD
+
=
，
所以
90
DEA
Ð
=
°，即AE
ED
^
，
由平面PED ^平面
,
ABED AE Ì 平面ABED ，平面PED I平面
,
ABED
ED AE
ED
=
^
，
得AE ^ 平面PED ，
又PD Ì 平面PED ，所以AE
PD
^
，
又
,
,
,
PD
PE PE
AE
E PE AE
^
=
Ì
I
平面PEA ，
所以PD ^ 平面PEA ，且EQ Ì 平面PEA ，
所以PD
EQ
^
．
（2）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
1
1
2
3 1
2
0,0,0 ,
1, 1,0 ,
1,1,0 ,
0,1,0 ,
,
,
,
,
,
2
2
2
4 4
4
E
D
A
B
P
Q
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
设平面DEQ 的一个法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，
1, 1,0
ED =
-
uuur
，
3 1
2
,
,
4 4
4
EQ
æ
ö
= ç
÷
è
ø
uuur
，
则
1
1
1
1
1
0,
3
1
2
0,
4
4
4
ED m
x
y
EQ m
x
y
z
ì
×
=
-
=
ïí
×
=
+
+
=
ïî
uuur r
uuur r
令
1
1
x = ，则
1,1, 2 2
m =
-
r
，
平面ABED 的一个法向量为
0,0,1
n =
r
，
由题可知AF
m
uuu
P
r
r ，
设直线AF 与平面ABED 所成角为a ，
则
2 2
2 5
sin
cos
,
5
10
m n
m n
m n
a
×
=
=
=
=
r r
r r
r r
，
故直线AF 与平面ABED 所成角的正弦值为2 5
5
．
6．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAD ^平面
//
ABCD
AB CD
AB
AD
^
，
，
，
2
4
AC
BP
AD
AB
CD
^
=
=
=
，
.
(1)证明：
PAD
△
是等腰三角形.
(2)若平面PAB ^平面PBC ，求点A 到平面PBC 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)2 2
【详解】（1）设O 为AD 的中点，连接
,
OB OP ，因为
4,
2
AB
AD
AO
DC
=
=
=
=
，
90
BAO
ADC
Ð
= Ð
=
°，所以Rt
Rt
ADC
BAO
V
V
≌
，
所以
,
90
DAC
ABO
DAC
BAC
ABO
BAC
Ð
= Ð
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，即AC
BO
^
，
又AC
BP
^
，
,
BO BP Ì 平面
,
POB BO
BP
B
Ç
=
，所以AC ^平面POB ，
因为PO Ì 平面POB ，所以AC
PO
^
，
因为平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面
,
ABCD
AD AB
AD
=
^
，
所以AB ^平面PAD ，
因为PO Ì 平面PAD ，所以AB
PO
^
，
因为
,
AB AC Ì 平面
,
ABCD AB
AC
A
Ç
=
，
所以
^
PO
平面ABCD ，
因为AD Ì 平面ABCD ，所以PO
AD
^
，
在
PAD
△
中，
,
PO
AD O
^
为AD 的中点，
所以PA
PD
=
，即
PAD
△
是等腰三角形；
（2）以O 为坐标原点，OA所在直线为x 轴，
过O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，
设
(
0)
OP
a a
=
>
，则
(0,0, ), (2,0,0), (2,4,0),
( 2,2,0)
P
a
A
B
C -
，
(4,2,0),
(2,4,
),
(0,4,0)
CB
PB
a
AB
=
=
-
=
uuur
uuur
uuur
，
设平面PAB 的法向量为
1
1
1
,
,
n
x y z
=
r
，
则有
1
1
1
1
2
4
0,
4
0,
n PB
x
y
az
n AB
y
ì ×
=
+
-
=
ïí
×
=
=
ïî
uuur
r
uuur
r
取
1x
a
=
，则
( ,0,2)
n
a
=
r
，
设平面PBC 的法向量为
2
2
2
,
,
m
x
y
z
=
r
，则有
2
2
2
2
2
2
4
0,
4
2
0,
m PB
x
y
az
m CB
x
y
ì
×
=
+
-
=
ïí
×
=
+
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
取
2x
a
= - ，则
(
,2 ,6)
m
a
a
= -
r
，
因为平面PAB ^平面PBC ，所以
2
12
0
m n
a
×
= -
+
=
r r
，
解得
2 3
a =
（
2 3
a = -
舍去），
所以
(0,0,2 3),
4,
4 2
P
AP
BP
=
=
，所以
4
,
4 2
AP
AB BP
=
=
=
，
所以
2
2
2
BP
AB
AP
=
+
，
所以AB
AP
^
，所以ABP
V
是等腰直角三角形，
取BP 的中点E，连接AE ，则AE
BP
^
，
又因为平面PAB ^平面PBC ，平面PAB Ç 平面PBC
BP
=
，所以AE ^ 平面PBC ，
所以AE 的长为点A 到平面PBC 的距离，因为
2 2
2
PB
AE =
=
，
所以点A 到平面PBC 的距离为2 2 .
7．（2025·安徽合肥·三模）如图，三棱锥A
BCD
-
中，
2
DB
DC
BC
=
=
=
，
7
AD =
，
5
AB =
，平面ABC ^ 平
面DCB ，E 是BC 中点，且满足EF
DA
=
uuur
uuur .
(1)证明：AE
BC
^
；
(2)求二面角D
AB
F
-
-
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 19
19
【详解】（1）连接DE ，因为DB
DC
=
，E 是BC 中点，所以DE
BC
^
，
因为平面ABC ^ 平面DCB ，平面ACB I平面DCB
BC
=
，
且DE Ì 面DCB ，BC
DE
^
，
所以DE ^面ACB ，又因为AE Ì 面ACB ，所以DE
AE
^
，
由
7
AD =
，
3
2
DE
AE
=
Þ
=
又
5
AB =
，
1
BE = ，得AE
BC
^
；
（2）由（1）知，ED ，EB，EA两两垂直，建立如图坐标系，
则
0,0,0
E
，
3,0,0
D
，
0,1,0
B
，
0,0,2
A
，
所以
3,1,0
DB = -
uuur
，
0,1, 2
AB =
-
uuur
，
3,0,0
AF
AE
EF
AE
DA
=
+
=
+
= -
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
设
, ,
m
x y z
=
r
，
, ,
n
a b c
=
r
分别是面DAB 和面FAB 的法向量，二面角D
AB
F
-
-
记为q ，
由
3
0
2
0
m DB
x
y
m AB
y
z
ì
×
= -
+
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
2
x =
，得
2 3,
3
y
z
=
=
，
得
2,2 3, 3
m =
r
是面DAB 的一个法向量，
由
3
0
2
0
n AF
a
n AB
b
c
ì
×
=
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
2
b =
，得
0,
1
a
c
=
= ，
得
0,2,1
n =
r
是面FAB 的一个法向量，
所以
5 3
15
cos
cos ,
4 12
3
4 1
19
m n
q =
=
=
+
+
×
+
r r
，所以
2
2 19
sin
19
19
q =
=
，
故二面角D
AB
F
-
-
的正弦值为2 19
19
.
8．（2025·天津·一模）在直角梯形ABCD 中，已知
/ /
AD
BC ，
1
AD
AB
=
= ，
90
BAD
o
Ð
=
，
45
BCD
Ð
=
o ，
AE
BD
^
.将
ABD
△
沿对角线BD 折起，记折起后点A 的位置为P 且使平面PBD ^平面BCD.
(1)求三棱锥P
BCD
-
的体积；
(2)求平面PBC 与平面PCD所成夹角的大小.
【答案】(1)
2
6
(2)90o
【详解】（1）由AE
BD
^
，则PE
BD
^
，因为平面PBD ^平面BCD，PE Ì 平面PBD ，
平面PBD I平面BCD
BD
=
，所以PE ^ 平面BCD，
在直角梯形ABCD 中，易知
2
2
1
2
2
2
AE
AD
AB
=
+
=
，BD
CD
^
，
2
BD
CD
=
=
，
所以三棱锥P
BCD
-
的体积
1
1
2
1
2
2
2
3
3
2
2
6
BCD
V
PE S
=
×
×
=
´
´
´
´
=
V
.
（2）取BC 的中点为F ，连接EF ，易知
,
,
EB EF EP 两两垂直，
以E 为原点，分别以
,
,
EB EF EP 所在直线为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：
则
2
0,0, 2
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2 ,0,0
2
Bæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2 ,
2,0
2
C æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2 ,0,0
2
Dæ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
取
2
2
,0,
2
2
PB
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
2
2
,
2,
2
2
PC
æ
ö
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
2
2
,0,
2
2
PD
æ
ö
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
设平面PBC 的法向量为
1
1
1
,
,
n
x y z
=
r
，则
1
1
1
1
1
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
n PB
x
z
n PC
x
y
z
ì ×
=
-
=
ïïí
ï ×
= -
+
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
1
1
x = ，则
1
1
1,
1
=
=
y
z
，所以平面PBC 的一个法向量
1,1,1
n =
r
，
设平面PCD的法向量为
2
2
2
,
,
m
x
y
z
=
r
，则
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
n PD
x
z
n PC
x
y
z
ì ×
= -
-
=
ïïí
ï ×
= -
+
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
2
1
x = ，则
2
2
0,
1
y
z
=
= - ，所以平面PCD的一个法向量
1,0, 1
m =
-
r
，
设平面PBC 与平面PCD的夹角为q ，则
1
0 1
cos
0
1 1 1
1 1
n m
n
m
q
×
+
-
=
=
=
×
+ + ´
+
r r
r
r
，解得
90
q =
o .
