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第 22 讲 数列求和的求解策略
【典型例题】
例1．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）已知数列 是公比为q（ ）的正项等比数列，且
，若 ，则 （ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
【答案】D
【解析】由数列 是公比为q（ ）的正项等比数列，故 ，
，故 ，
即有 ，
由 ，则当 时，
有 ，
故 ，
故
，
故 .
故选：D.
例2．（2024·甘肃·一模）已知函数 （ 为自然对数的底）， ，记 为 从小到大
的第 个极值点，数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，令 ，则 ，即 ，所以 ，
又 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
从而
.
故选：C.
例3．（2024·江苏·模拟预测）若数列 满足 ， ，则 的前n项和
为 .
【答案】
【解析】设 的前n项和为 ，则 ，
又 ，
故
，
故 ，
故答案为： .
例4．（2024·四川广安·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 .
【答案】
【解析】数列 中，由 ，得当 时， ，
则 ，
显然 满足上式，因此 ，所以 .
故答案为：
例5．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，数列 的前 项和为 ，则
．
【答案】3
【解析】 ， ， ，
故数列 的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列，
则 ， ，
故 ，故 ．
故答案为： .
例6．（2024·全国·模拟预测）已知 的前 项之积 ，令 ，给出条件：① ；
② ；③ ．
(1)方程 是否有解？若有解请求出来；若无解请说明理由；
(2)从①，②，③中任选一个补充在横线上并完成问题．若 满足______，求 的前 项和 ．
【解析】（1）由 的前 项之积 可得：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 也符合上式，
所以 ．
则 .
对于方程 ，即 ．
因为 ，
所以 无解．（2）若选① ：
由（Ⅰ）得 ，
则 ，
，
两式相减得：
，
即 ．
若选② ：
由（Ⅰ）得 ，
即 ，
所以 ．
若选③ ：
由（Ⅰ）得 ，
故 ．
例7．（2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列 满足 ，且 .
(1)写出 ， ，并求 的通项公式；
(2)记 求 .
【解析】（1）解法一：因为 ， ，
所以，当 时， ， ，所以 .
当 时， ， ，所以 .
当 时，，
所以
当 时， 也符合上式.
综上，
解法二：因为 ， ， ，
所以，当 时， ， ，所以 .
当 时， ， ，所以 .
因为 ，
所以 ，即 .
所以 ，即 .
又 ，所以
（2）解法一：由（1）得 ，即
记
则 ①，
②
①-②，得 ，
所以 ，
故 .
解法二：由（1）得 ，即 .
记 ，
则
.
故 .例8．（2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且满足 ，数列
为等比数列，且满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求证： ；
(3)求 的值．
【解析】（1）由 ，得 ①，则 ②，
② ①得 ，整理得 ，
由 ，得 ，
又 时， ，解得 ，
所以数列 是首项为1公差为2的等差数列，则 ，
即数列 的通项公式为 ；
设等比数列 公比为 ，由 ，有 ， ，
则 ，
，解得 ，则 ，
即数列 的通项公式为 .
（2）由 ，得 ，
则 ，
所以 .
（3）设 ，
，
，设 ， ，
则 ，
，
两式相减，得
，
则有 ，得 ，
所以 .
例9．（2024·广西南宁·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也符合，
所以 的通项公式为 .
（2）由（1）得， ，所以 ， ．
（ⅰ）当n为偶数时， ；
（ⅱ）当n为奇数时， ；
综上所述， .
例10．（2024·广东·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 的等差中项为 .
(1)求证 为等比数列；(2)数列 的前 项和为 ，是否存在整数 满足 ？若存在求 ，否则说明理由.
【解析】（1）因为 的等差中项为 ，所以 ，
因为 时， ，则 ，所以 ，
由 得 ，
又 ，两式相减得 ，即 ，
所以有 ，所以 ，
所以 是等比数列，其首项为 ，公比为2.
（2）由（1）知 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，所以 .
例11．（2024·江苏苏州·模拟预测）记正项数列 的前 项和为 ，已知 ，且
， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： .
【解析】（1）当 时， ；当 时， .
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍），所以 ，
因为 ①，所以当 时， ②.
① ②得 ，化简得 （ 也成立），
两边同除以 得 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，即数列 的通项公式为 ；
（2）因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
即 ，整理得， ，
所以 ，故 .
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094
【答案】D
【解析】 ，
即
设 ①，
则 ②
①+②得
，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）对于三次函数 给出定义：设 是函数
的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称
中心，且拐点就是对称中心，若 ，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】由题意可知 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，由题意可知函数 的对称中心为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以
，
所以 .
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，若 表示不超过 的
最大整数，则 （ ）
A．2016 B．2017 C．4032 D．4034
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，又
，故数列 是以12为首项，8为公差的等差数列，
则 ， ， ，
， ，
故当 时， ，
则当 时， ，又 适合上式，故 ， ，
，，
.
又 ，故 .
故选：A.
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A．1012 B．1013 C．2024 D．2026
【答案】B
【解析】因为 ，
所以数列 的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，
偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列，
故 ，
所以
，
故 .
故选：B.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 是偶函数， 是奇函数，且满足 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 的图象关于点 中心对称
C． D． 是偶函数
【答案】AD
【解析】选项A：在 中取 为 ，得 ，所以 ，取 为 ，得 ，
因为函数 是偶函数，所以 ，
取 为 ，得 ，所以 ，
所以函数 是周期为2的周期函数，所以 也是周期函数，所以A正确；
选项B：由 得 的图象关于点 中心对称，所以B错误；
选项C：设 ，
则 ，
两式相加，得
2022，
所以 ，即 ，所以C错误；
选项D：对于 ，两边同时对 求导得 ，所以
是偶函数，所以D正确
故选：AD
6．（2024·吉林延边·一模）与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白
银分割率．若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数：0，1，2，5，
12，29，70，169，408，985，2378，…，则随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越接近白银
分割率．记该数列为 ，其前n项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． （ ） B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由于一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数，则
，故A正确；，
对于B，由于 ，可得 ，所以 ，
由于 ，所以 ，故B正确；
对于C，由于 ，可得 ，
所以 ，
由于 ，则 ，所以 ，
则 ，故C正确；
对于D，由于 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
求不动点，设 ，令 ，解得： ， ，
所以 ，化简得： ①
，化简得： ②，
则 ，
且 ，则数列 是第二项为 ，公比为 的等比数列，则
，
所以 ，由于 ，所以 ，故D不正确；
故选：ABC
三、填空题
7．（2024·上海宝山·一模）已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则
【答案】
【解析】函数 ，可看成 向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,
因为 的对称中心为 ，所以 的对称中心为 ，
所以 ，
因为正项等比数列 满足 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
①，
②，
则①②相加得：
即
，
所以 .
故答案为： .
8．（2024·安徽·模拟预测）已知数列 满足 ，若 ，则
的前20项和 ．
【答案】
【解析】数列 满足： ，
当 为正奇数时， ，即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
于是 ，
当 为正偶数时， ，即 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，于是 ，所以 的前20项和 .
故答案为：
9．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，
定义 表示实数x，y中的较大的数，若 ，则实数 ，记数列 的前n项和为 ，
则 的值为 .
【答案】 2 600
【解析】当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
，
，
，…，
依此类推有 ，即数列 是以5为周期的数列，
则 ，与 矛盾；
当 时， ， ， ，
所以 ，
，，
，
，…，
依此类推有 ，即数列 是以5为周期的数列，
则 ，所以此时 ，
则 .
故答案为：2；600
四、解答题
10．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知等比数列 的首项为 ，公比 为整数，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，比较 与 的大小关系，并说明理由.
【解析】（1）由已知可得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，则 ，解得 或 （舍去），
所以 ， .
（2）由（1）得 ，
令 ，设 前 项和为 ，则 ，
所以 ，两式相减得 ，
所以 ，
令 ，则 ，设 前 项和为 ，则 ，
所以 .
11．（2024·陕西西安·二模）已知数列 的前 项为 ， ，数列 为等比数列，且
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，
数列 是 公差 的等差数列，且 ，
.
设等比数列 的公比为 ，由 ， .
得 ，解得
数列 的通项公式为
（2） ，
， ，
①－② 得
.
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列 是公差为 的等差数列， .
(1)证明：数列 也为等差数列；
(2)若 ，数列 是以数列 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列 的前 项和 ，证
明： .
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵数列 是公差为 的等差数列，
∴ ，
∴ ，
∴数列 是以 为公差的等差数列；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴ ，
∴数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，
∴ ，
∴ ①，
∴ ②，
∴② ①得，
，
∵ 且 为正整数，
∴ ， ，
∴ （当 时取等）.
13．（2024·海南·模拟预测）已知数列 的前 项和为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由题意 ，
当 时， ，从而 ，
当 时，也满足 ，
故 .
（2）由（1）可知 ，
所以 ，
从而 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 .
14．（2024·四川·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且当 时，
.
(1)求 ；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： .
【解析】（1）由 ， ，得 ，
当 时， ，故 ，
即 ，
所以 ， ， ， ，…， ，
将各等式左、右两边分别相加得，
.
， 符合上式，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .得证.
15．（2024·全国·模拟预测）数列 满足 ， ，且．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由题意可知，数列 是等差数列，设数列 的公差为 ．
可转化为
，
即 ，
即 ， ，即 ，
， ．
（2）由题可得 ，
，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ．
综上所述,
16．（2024·江苏宿迁·一模）已知 为公差不为0的等差数列 的前 项和，且
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求证： ．
【解析】（1）解法一：设 的公差为 ，
由 ①，得 ②，
则②-①得 ，
即 ，又 ，则 ；
解法二：设 的公差为 ，因为 ，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以 ，
又 ，则 ；
（2）由 得 ，即 ，
所以 ，
又 即 ，则 ，
因此
则
．
17．（2024·黑龙江吉林·二模）已知 是数列 的前 项和， ， 是公差为1的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）因 是公差为1的等差数列，而 ，则 ，
因此 ，即 ，
当 时， ，
经检验， 满足上式，
所以 的通项公式是 .
（2）证明：由（1）知： ，
所以
.18．（2024·高三·河南·阶段练习）已知 是等差数列， ，且 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，且 ，求 的前 项和 ．
【解析】（1）因为 成等比数列，
所以 ，解得 ．
又 是等差数列， ，所以公差 ，
故 .
（2）由 ，得 ，
所以 ,又 ,
当 时，
,
又 也适合上式，所以 ,
则 ,
所以 .
19．（2024·河北·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）由 ，①
当 时， ，所以 ，
当 时， ，②
由① ②得 ，所以 ，
当 时，上式也成立，
所以 ；
（2） ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时，
，
综上所述， .
20．（2024·河南·一模）在等差数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若记 为 中落在区间 内项的个数，求 的前k项和 .
【解析】（1）等差数列 中，由 ，得 ，而 ，解得 ，
因此数列 的公差 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，由 ，得 ，整理得 ，
因此正整数 满足 ，从而得 ，
所以 的前k项和为 .
21．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；(2)设 ，证明： .
【解析】（1）由题意可知，当 时， ；
当 时，由 得， ，
两式作差可得， ，
也适合该式，故 ；
（2）证明：由题意知 ，
故
，
由于 ，则 ，故 ，
即 .
22．（2024·高三·浙江杭州·期末）已知 为公差为2的等差数列 的前 项和，若数列 为等差数列.
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和.
【解析】（1）因为数列 为等差数列，所以 ，
因为 为公差为2的等差数列 的前 项和，
则 ，解得 .
故 .
（2）由（1）得 ，故 ，
故数列 的前 项和为 .
23．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 ， ， ，.
(1)求数列 和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，
设 ，则 ，又 ，
所以 ， .
（2）
.
24．（2024·贵州毕节·二模）若数列 每相邻三项满足 （ ，且 ），则称其为
调和数列.
(1)若 为调和数列，证明数列 是等差数列；
(2)调和数列 中， ， ，前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）（1）根据题意得：
∴ ∴ ∴数列 是等差数列
（2）（2）由（1）可得： ∴ ∴
要证：
当 时，上式化为 成立.
当 时，即证
于是即证 即证令 ， 恒成立
∴ 在 上单调递增∴ 恒成立
即 在 上恒成立∴ 成立
∴ 成立
25．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 是高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，如
， .若数列 满足 ，且 ，记 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，将两式相减，得： ，
所以数列 的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.
当 为奇数时， ， ，……，且 ，
则 ，
当 为偶数时，则 ，
所以 .
（2）设 的前 项和为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
26．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由题意得 是公差为2的等差数列，且 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
经检验， 时，满足 ，
综上，当 为偶数时， ，
当 为奇数时， .
