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第6 讲 函数的公切线问题（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】求两函数的公切线.........................................................................................................2
【考点二】与公切线有关的求值问题..............................................................................................3
【考点三】判断公切线条数............................................................................................................4
【考点四】求参数的取值范围.........................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................5
考情分析：
目录
1
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函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点
问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
三、解答题
3．（2022·全国·高考真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线也
是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
【考点一】求两函数的公切线
一、单选题
1．（2024·福建·模拟预测）已知直线
既是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的
真题自测
考点突破
2
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公切线，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知，
是函数
与
的图像的两条公切线，记的倾斜
角为
，
的倾斜角为
，且，
的夹角为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．与
的交点可能在第三象限
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的
公切线，已知直线：
为曲线
：
和
：
的公切线，则下列结论正
确的是（ ）
A．曲线
的图象在
轴的上方
B．当
时，
C．若
，则
D．当
时，
和
必存在斜率为
的公切线
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）曲线
与
的公切线方程为 .
6．（23-24 高三上·山东日照·期末）已知函数
的图象上存在三个不同的点
，使得曲线
在
三点处的切线重合，则此切线的方程为 .（写出符合要求的一条切线即可）
规律方法：
3
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求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线
方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
【考点二】与公切线有关的求值问题
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线
与
，恰有2 条公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1 的直线与曲线
和圆
都相切，则实数
的值为
（ ）
A．0 或2
B．
或2
C．
或0
D．0 或1
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
，
，则（ ）
A．
恒成立的充要条件是
B．当
时，两个函数图象有两条公切线
C．当
时，直线
是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为
，则
4．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则
的值可以是
（ ）
A．0
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线
既是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
.
6．（2024·四川·模拟预测）若直线
是曲线f (x)=ln x的切线，也是曲线
的切线，则
．
4
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规律方法：
利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．
【考点三】判断公切线条数
一、单选题
1．（2023·河南·三模）已知函数
的图像关于原点对称，则与曲线
和
均
相切的直线l 有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
2．（2023·安徽合肥·模拟预测）曲线
与曲线
有（ ）条公切线.
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2023·江西南昌·一模）已知函数
，则
和
的公切线的条数为
A．三条
B．二条
C．一条
D．0 条
规律方法：
运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断
函数零点个数，即方程解的情况．
【考点四】求参数的取值范围
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线
和
均相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·云南曲靖·一模）已知
，若点
为曲线
与曲线
的交点，且
两条曲线在点
处的切线重合，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则
的取值范围
5
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是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（2023·河北邯郸·三模）若曲线
与圆
有三条公切线，则
的取值范围是 ．
5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
，若存在一条直线同时与两个函数图象相
切，则实数a 的取值范围 ．
6．（2023·河北唐山·三模）已知曲线
与
有公共切线，则实数
的取值范围为
.
规律方法：
利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k 的函数，转化成函数的零点问题或两函数的
交点问题，利用函数的性质或图象求解．
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数
与
的图象关于直线
对称，直线与
的图象均相切，则的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高二下·江苏盐城·期中）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
，
，若直线
为
和
的公切线，则b 等于（ ）
专题精练
6
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A．
B．
C．
D．
4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线
与
有三条公切线，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三上·安徽宿州·阶段练习）若函数
与
的图象存在公共切线，则实数
a 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高三上·河南洛阳·阶段练习）若直线
是曲线
与曲线
的公切
线，则
（ ）
A．11
B．12
C．
D．
7．（2022·江苏南京·模拟预测）若两曲线y=x2-1 与y=alnx-1 存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·安徽马鞍山·一模）若仅存在一条直线与函数
（
）和
的图象均相切，
则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2022·河北保定·二模）若直线
是曲线
与曲线
的公切线，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·江西·一模）已知函数
，
，若
，
的图象与直线
分别
切于点
，
，与直线
分别切于点C，D，且，
相交于点
，
7
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则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知函数
，其中为自然对数的底数，则下列说
法正确的是（ ）
A．函数
的极值点为1
B．
C．若
分别是曲线
和
上的动点.则
的最小值为
D．若
对任意的
恒成立，则
的最小值为
三、填空题
12．（2024·上海·三模）设曲线
和曲线
在它们的公共点
处有相同的切
线，则
的值为 .
13．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
的图象与函数
（
且
）的图象在公共点处
有相同的切线，则公共点坐标为 .
14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为
.
8
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