第 26 讲 平面向量的数量积及其应用
1.向量的数量积
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
a·b=|a||b|cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
2.投影向量
已知两个非零向量a与b,a在b上的投影为 ，投影向量为 .
3.向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cosθ；
(2)a⊥b a·b=0；
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
⇔
特别地, 或|a|=❑√a·a；
(4)|a·b|≤|a||b|.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
5.常用结论
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心⇔|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|.
(2)O为△ABC的重心⇔⃗OA+⃗OB+⃗OC=0.
(3)O为△ABC的垂心⇔⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA.
(4)O为△ABC的内心⇔a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=0.
考点一 利用定义法求平面向量数量积
考点二 转化法求平面向量数量积
考点三 转化法求平面向量的模
考点四 数量积和模求平面向量夹角
考点五 投影与投影向量考点一：利用定义法求平面向量数量积
例1．设向量 ， 的长度分别为4和3，夹角为120°，则 的值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积运算即可求出结果.
【详解】由题意得 ，
则 ，
故选：C.
考点二：转化法求平面向量数量积
例2．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在矩形 中， ，点P为 的中点，则
（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解.
【详解】故选：B.
考点三：转化法求平面向量的模
例3．如图所示，已知正方形 的边长为 ， ，则向量 的模为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据图象以及向量模的运算求得正确答案.
【详解】由题意，可知 ，
所以
.
故选：B.
考点四：数量积和模求平面向量夹角
例4．已知 ，且 ，则向量 ， 的夹角为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
【答案】A【分析】利用向量的模和向量的数量积公式，对向量的模进行平方，得到向量 ， 的夹角的余弦值，从
而求出夹角.
【详解】设向量 ， 的夹角为 ，
， ，即 ，
， ， ，
， .
故选：A.
考点五：投影与投影向量
例5．已知向量 ，则 在 方向上的数量投影为___________
【答案】
【分析】根据平面向量投影的定义计算即可
【详解】向量 ，
， ，
所以 在 方向上的数量投影为
；
故答案为：
例6．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量是________．
【答案】
【分析】由 ，求得 ，再利用 在 上的投影向量定义求解.
【详解】解：因为 ，且 ，所以 ，解得 ，
所以 在 上的投影向量是 ，
故答案为：
一、单选题
1．已知向屋 ， ， ，则 （ ）
A．30 B．18 C．12 D．9
【答案】C
【分析】求出向量 的模，根据数量积的运算律，结合数量积的计算，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，则 ，
则 ，
故选：C.
2．在四边形ABCD中， ，已知 ， 与 的夹角为 且 ， ，
则 （ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先用 与 表示 ，再求数量积 得出结果.
【详解】如图，因为 ，所以四边形ABCD为平行四边形.因为 ，所以 ，
，
已知 ， 与 的夹角为 且 ，
.
.
故选：D.
3．如图，在边长为4的等边 中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则
=（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】分别用基底 ，表示出 ，利用向量运算进行求解.
【详解】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点，
所以 , ,所以
因为 是边长为4的等边三角形， 为中线，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，连
接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】通过转化法得 ，代入数据即可.
【详解】 是边长为1的等边三角形,设 , 分别是边 , 的中点,
连接 并延长到点 ，使得 ,如图,
则 ， ，
则，
故选：B.
5．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形 中, , 是
边 的中点, 是 上靠近 的三等分点,若 ,则 （ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】A
【分析】将 通过平面向量基本定理转化到 上,展开计算,再将 代入即可求
得 .
【详解】解:由题知 ,所以 ,
记 ,因为 且 为平行四边形,
所以
,
解得: (舍)或 .
故选:A6．已知向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用向量数量积的运算律可得 ，结合已知及向量模长的坐标计算即可求结果.
【详解】由题设， ，而 ， ，
所以 ，则 .
故选：C
7．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】利用平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵ ， ， 与 的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：C
8．设向量 ， ， ，且 ， ， ，且三个向量两两之间的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】利用向量的模的运算以及数量积求解即可.
【详解】由已知可得， ，，
，
则
，
则 .
故选：D
9．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ， 的夹角为 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由已知条件得 ，把等式改写为关于 的方程，方程有
解，判别式 ，可求 的最大值.
【详解】向量 ， 的夹角为 ， ，
则有 ，
设 ， ，
∴ ，即 ， 存在，方程有解，
则有 ，解得 ，则 的最大值为 .
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）设 ，若向量 、 、 满足 ，且 ，则
满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】根据题意可得 ，利用平面向量的数量积的定义和三角函数的性质可得
，进而 ，结合选项即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
得 ，又 ，所以 ，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
11．已知 ， 且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直和向量数量积运算律可构造方程求得 ，由向量夹角公式可求得结果.
【详解】 ， ，解得： ，
， .
故选：C.
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知 ，且 ，则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的定义求向量 在向量 上的投影向量即可.
【详解】向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C
13．已知 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简 ，利用夹角公式可得答案.
【详解】因为 ，所以 ；
因为 所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故选：B.
14．空间向量 ， ，若 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】由 ，平方求出 ，代入向量夹角公式，求出 与 的夹角余弦值,即可得结果.
【详解】由题意可得： ，即 ，解得 ，∴ ，
且 ，可得 .
故选：B.
15．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据向量模长的计算公式可得 ，进而根据夹角公式即可求解.
【详解】由题意得 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
故选:D.
16．已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的投影向量公式直接求得.
【详解】依题意 在 上的投影向量为
.故选：A.
17．已知 的外接圆圆心为O，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件作图可得 为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可
【详解】
所以 外接圆圆心 为 的中点，即 为外接圆的直径，
如图：
又 ，所以 为等边三角形，
， ，
向量 在向量 上的投影数量为： ．
故投影向量为 .
故选：D．
二、填空题
18．（2023·江西·统考模拟预测）已知向量 的夹角为 ，则 等于___________.
【答案】19
【分析】利用向量数量积的定义及向量数量积的运算法则即可求出结果.
【详解】因为 ，又向量 的夹角为 ，
所以 .故答案为：19.
19．已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， ， ，若 ，则实数 的值为
________．
【答案】 ##1.25
【分析】根据平面向量的数量积求解即可.
【详解】由题意 ，即有 ，
即 ，
即 ，
即 ，
解得 .
故答案为： .
20．已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为135°，则 ______.
【答案】
【分析】 ，结合数量积的公式代入数据计算即可.
【详解】因为向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，
所以 .
故答案为：
21．已知 ，又 在 方向上的投影向量为 ，则 的值为__________.
【答案】10【分析】由已知先求出 在 方向上的投影向量的 ，再计算 的值.
【详解】由已知 ，可得 ，
所以 在 方向上的投影向量 ，
所以 .
故答案为：10.
