文档文本内容
专题 02 平面向量、数列
4大考点概览
考点01平面向量运算与数量积
考点02平面向量的应用
考点03数列
考点04数列的应用
考点1 平面向量运算与数量积
一、单选题
1．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆 : 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线
交 于另一点 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量关系得到点 坐标，代入椭圆方程化简求解即可.
【详解】椭圆右焦点为 ，上顶点为 ，设 .
由 得 ，
所以 ， ，即 .
代入椭圆方程得 ，整理得 ，即 .
又 ，所以 .
故选：C.
2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为 ，且 ，由投影向量的定义，向量 在 上的投影向量为：
.
故选：A.
3．（2026·安徽黄山·一模）已知 ， 在 上的投影向量是 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据投影向量计算公式得 ，再平方后展开代入计算即可.
【详解】由题意得 在 上的投影向量为 ，
则 ，则 ，
则 .
故选：B.
4．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分
别为 ，设此时粒子 相对粒子 的位移为 ，则 在 上的投影向量为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得 ，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式计算，即
可求解.
【详解】由向量 ，可得粒子 相对粒子 的位移为 ，
可得 且 ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：B.
5．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形 为平行四边形，若向量
，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加法求得 ，然后利用投影向量的公式求得结果.
【详解】 ，
∴ .
故选：A.
二、多选题
6．（2026·安徽合肥·一模）设 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于
两点， 在第一象限，过 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则（）A．
B．若 ，则
C．若 ，则直线 的斜率为
D． 的面积最小值为
【答案】ABD
【分析】通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、抛物线定义及代数运算，逐一验证各
选项的正确性，即可得出结果.
【详解】设直线 的方程为 ，与抛物线 联立： ，
，设 ， ，
由韦达定理得 ， .
因为 是 到准线 的垂足，所以 .
向量 ， .
对于选项A，因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，故A正确.
对于选项B： 是 到准线 的垂足，所以 ， ， .
若 ，则有
所以 ，又因为 ，代入上式可得： ，解得： ，则 .
因此 点坐标为 ，所以 ，B正确.
对于选项C：
由 得： ，即： ，
联立： ，消 可得：则 ，
所以 ，即 ，代入化简可得： 即
解得 （ 均舍去），即 .
直线 过焦点 ，所以 ，因此C错误.
对于选项D： ， ，
所以
由 得 ，又 ， ，
所以 ，则 ，所以
将 和 代入面积公式：
令 ，则 ，代入得：令 ，解得 （舍去 ），即 .
此时 ， ，所以
因此， 的面积最小值为 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2026·安徽宿州·一模）在 中， 分别是边 边的中点，若
，则 的面积是______.
【答案】
【分析】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解.
【详解】如图，设 的三条中线 交于点 ，则点 为 的重心，
由重心的几何性质有 ， ， ，
在 中， ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 ；
所以 ，即 的面积是 .
故答案为： .8．（2026·安徽安庆·一模）已知 的面积为 ， ，
，则 ___________．
【答案】
【分析】过 作 交 于点 ，分别表示出 ，再由三角形的面积先求出 的值，
根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出 .
【详解】
如图所示，过 作 交 于点 .
则有 ，
， .
因为 的面积为 ， ，
所以 ，解得 .
所以
.
解得 ，即 .
9．（2026·安徽合肥·一模）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 在曲线上，点 在 上，点 满足 ，则 的最小值为_____．
【答案】
【分析】平移直线 与曲线相切，求得曲线上的点到直线的最小距离，进而可求得 到直线 的距
离的最小值，取 的中点为 ，进而可求 的最小值.
【详解】当直线 平移到与曲线 相切于点 ，
此时切点 是曲线上的点到直线 的距离最小的点，
由 ，得 ，
因为直线 的斜率为 ，所以令 ，整理得 ，
解得 （舍去）或 ，又 ，故此时切点 ，
且此时 到直线 的距离为 ，
又 ，故此时 到直线的距离为 ，
取 的中点为 ， 时， 的长取得最小值 ，如图所示：
由直线 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
又
,
故 最小时， 的最小值，且最小值为 .
故答案为： .10．（2026·安徽芜湖·一模）已知向量 ，若 ，则实数 _______________.
【答案】6
【分析】由 以及数量积的坐标运算即可求解.
【详解】若 ，则 ，则 ，
故答案为： .
四、解答题
11．（2026·安徽宿州·一模）对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得
到向量 ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .
(1)已知平面内点 ，点 ，把点 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到点 ，求
点 的坐标；
(2)若曲线 上的每一点绕原点逆时针旋转 后得到曲线 .
（i）求曲线 的方程；
（ii）已知点 在曲线 上按逆时针排列， 且有 ，求直线 斜率的取
值范围.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）根据题目给的旋转角定义可得答案；（2）（i）利用轨迹方程求法里的坐标转移法，以及题目给的旋转定义可得答案；（ii）方法一：
利用题目给的旋转的定义，点 的坐标用点 表示出来，代入到曲线 中，运算可得答案；方法
二：设直线，分别求出 的弦长，利用 ，列方程，可得答案.
【详解】（1） ，设 ，则 ，
由于逆时针旋转 ，根据公式有 ，
解得 ，即 .
（2）（i）在曲线 上任取点 ，则有 ，
因为绕原点旋转 ，设旋转后得到点 ，
必有 ，
故 ，即曲线 的方程为 .
（ii）方法一：（旋转设点法）设 ，
利用向量坐标旋转公式，易得 ，
则直线DE斜率 ，设点 ，则点 为 ，点 为 .
因为点E，F在曲线 上，所以 ，
即 ，两式相加有 ，
即 ，解得 .
方法二：（常规设线法）设点 ，直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
化简求解得 ，
同理设直线 的方程为 ，可解得 ，
由弦长公式可得
因为 故 ，
化简得 ，平方有 ，
解得 或者 .
由于点 三点按逆时针排列，
不妨设点 在第三象限，即 ，则有如下三种关系：
①当 时有 ，如图1所示，必有 或 ，
解得 或者 ，即 ；
②当 时有 ，如图2所示，
必有 或 ，
解得 或者 ，即 ；
③当 时解得 或者 ，
显然不满足（注： 时可以理解为弦长无限长意义下的相等，与题意不符），
综上，弦 所在的直线的斜率k的取值范围是 .
12．（2026·安徽淮北·一模）在 中， 分别为内角 所对的边，满足：
.
(1)求角 ；
(2)若 ，求内角平分线 的长．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出 ．
（2）利用向量的数量积求出 的值，设 的长为 ，则 ，利用三角形的面积
公式得到 的等式，解出 的值，即为 的长．
【详解】（1）由 ．
故 ，而 ，得 ．（2）由 ，
设 的长为 ，由 ．
即 的长为 ．
考点2 平面向量的应用
一、多选题
1．（2026·安徽淮北·一模）将平面向量 绕起点逆时针旋转 角得到的向量记为 ，已知向量
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，B，需要根据向量旋转的定义判断等式是否成立；对于选项C，要根据已知
条件逐步计算出 ，再与右边式子进行比较；对于选项 D，需要找出 的规律，进而求出 .
【详解】对于选项A， 向量绕起点逆时针旋转 角的变换是线性变换，
对应复数乘法中的旋转因子 ，两次旋转 角相当于旋转 角，
即 ，故选项A正确；
对于选项B，旋转矩阵是线性变换，满足可加性，设 ， ，
则 ，
则 ，
，
，，
即 ，故选项B正确；
对于选项C， ，
， ， ，
故选项C错误；
对于选项D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故 是周期为 的数列， ，又 ，
，故选项D正确.
故选：ABD.
二、填空题
2．（2026·安徽淮北·一模）已知点 是 的外心，直线 与线段 交于点 ．若
，则 __________．
【答案】 /
【分析】易知 ，所以 为等腰三角形，所以连接 ，延长交 于点 ，则 为
的中点. 根据 三点共线，及 三点共线，求得 .设 ，结
合勾股定理列出相应的方程，求解得 的值，进而得到 的值.
【详解】因为点 是 的外心，所以过 作 的垂线，交 于点 ，则 为 的中点.
由题可知， ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .所以 为等腰三角形.
连接 ，延长交 于点 ，则 为 的中点.
设 ，则 .
由 ，得 ；
所以 ；
由 ， ，
得 .所以 ，解得 .
设 ，则 ， ，所以 ， .
由 ，得 ，所以 ，所以 .
所以 .
考点3 数列
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列 满足： ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用归纳递推法，结合对数函数性质可得 ，利用不等式性质判断AC；构造函数并
利用导数确定单调性判断CD.
【详解】数列 中， ，函数 是增函数，且当 时， ，
则 ，…，
，因此 ，AC错误；，令函数 ，求导得 ，
函数 在 上单调递减，则 ，而 ，则 ，
因此 ，所以 ，B错误，D正确.
故选：D
2．（2026·安徽芜湖·一模）等差数列 的前 项和为 ，满足 ，则公差 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可.
【详解】因为数列 是等差数列，满足 ，
所以 ，解得 ，
所以由 ，即 ，解得 ，
故选：C
3．（2026·安徽淮北·一模）记 为数列 的前 项和．若 ，当 时，
，则常数 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】利用等比数列的求和公式求出 ，利用极限的定义求出常数 的值.
【详解】设 ，则 是以 为首项，公比 的等比数列，
为数列 的前 项和，，
，
，当 时， ，
， .
故选：B.
二、填空题
4．（2026·安徽合肥·一模）已知等差数列 满足 ，则 的通项公式为 _____．
【答案】
【分析】先列出等差数列 的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式．
【详解】已知 是等差数列，设公差为 ，则 ，
，
，解得 ，
．
故答案为： ．
5．（2026·安徽淮南·一模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
__________．
【答案】1100
【分析】根据等差数列的通项公式及前 项和公式求解即可.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 ， ，
联立解得 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为：1100.
三、解答题
6．（2026·安徽安庆·一模）设 为数列 的前n项和，已知 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)设数列 满足 ，证明： ，并求 的最大项．
【答案】(1)
(2)证明见解析，最大项为
【分析】（1）根据题设，结合 与 的关系可得 ， ，进而得到数列 是以1
为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可；
（2）先得到 ，结合极限的定义求证即可，再根据数列的单调性求解最大项．
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，
则 ，
即 ，则 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，则 .
（2）由（1）知， ，
则 ，所以 .
由于数列 为递减数列，则 时， 取得最大值 ，即 的最大项为 .
7．（2026·安徽宿州·一模）已知各项均不为零的数列 ，且满足
.
(1)若 是公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 ；
(2)若 是公差为2的等差数列，记数列 前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先应用已知转化为 得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求
解；
（2）先应用累乘法求出通项公式 ，再应用裂项相消法计算证明.
【详解】（1）由数列 各项均不为零，且 ，所以 ，
因为 是公比为 的等比数列，所以 ，
因为 ，所以数列 是首项为1，公比为3的等比数列，所以 ；
（2）证明：因为 ，且 是公差为2的等差数列，所以 ，
即 ，
当 ，且 时， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
8．（2026·安徽黄山·一模）已知 是正项数列 的前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为函数 的导函数，记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用前 项和与通项关系式，可化简得到 ，从而可利用等差数列
通项公式即可求解；
（2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可.【详解】（1）当 时， ，因为正项数列 ，所以 ，
由 ，得 ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故 是一个以1为公差的等差数列，
即 ．
（2）由题意 ，则 ，
所以 ，
即 ．
9．（2026·安徽淮北·一模）已知数列 满足 ．
(1)设 ，求证：数列 为等比数列；
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明.
（2）利用等比数列的通项公式和累加法求解.
【详解】（1）由 得： ，
即 ，故 为等比数列；（2） ，由（1）得 ．即 ，
于是
．
考点4 数列的应用
一、单选题
1．（2026·安徽安庆·一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张
型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张 型号纸张；②一张 型号的纸张
面积是1平方米；③所有 型号的纸的长宽比相等．现从 到 ，每种型号的纸各取一张，则
所有纸张的周长之和为（ ）（单位：米）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由裁剪规则和长宽比建立 的递推关系，证明 为等比数列，再求通项、求和，
最后计算周长总和即可.
【详解】设 纸的宽和长分别为 ，
则 ， .
因为 ，又 ，所以 ，解得
又 ，所以 ， .
根据题意， ， ，又 ，即 ，
所以 ，则 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，通项公式为 ，
同理， ， 是首项为 ，公比为 的等比数列.
因此 ， ，
故所有纸张的周长之和为 .
二、多选题
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数 且为常数， 是函数 大于
0的零点，其构成数列 ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 有且只有一个零点
B．若函数 在区间 内均存在零点，则
C．若 ，则数列 为递增数列
D．存在实数 ，使得数列 为常数列
【答案】ACD
【分析】利用导数判断函数的单调性即可说明A，由单调性可得 ，即可求出 的范围判
断B，当 时可得 ，推导出 ，再利用函数 的单调性判断
C，设 （常数），则对任意 ， 恒成立，解出 即可判断D.
【详解】选项A：因为 ，所以 恒成立，所以 在 上单调递增，
又 时 ， 时 ，
所以函数 有且只有一个零点，A说法正确；
选项B：当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以若函数 在区间 内均存在零点，只需满足 即可，
所以 对任意 成立即可，
易知函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，B说法错误；
选项C：当 时，因为 在 上单调递增， ， ，
所以 ，
当 时 ，
由于 是函数 在 的零点，所以 ，
所以 ，则 ，数列 为递增数列，C说法正确；
选项D：若存在实数 ，使得数列 为常数列，设 （常数），
则对任意 ， 恒成立，解得 或 ，
当 时，代入 得 解得 ，
当 时，代入得 ，因 故舍去，
所以当 时，数列 为常数列， ，D说法正确；故选：ACD
3．（2026·安徽宿州·一模）已知 是各项均为正数的等差数列，且公差 ， 是各项均为
正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项（ ），下列说法正确的有（ ）
A．数据 的平均数是
B．数据 的平均数是
C．若 ，则数据 的中位数大于数据 的中位数
D．若 ，则数据 的平均数大于数据 的平均数
【答案】ACD
【分析】求出数据 的平均数可判断A选项：举例可判断B选项；求出
、 的中位数可判断C选项；求出 、 的
平均数可判断D选项.
【详解】对于A选项,设 的前 项和为 ，
所以数据 的平均数是 ，故A选项正确：
对于B选项，当 时，取 为2，4，8，
平均数为 ，故B选项错误；
对于C选项， 的中位数是 ， 的中位数
是 ，故C选项正确；
对于D选项，数列 的前 项和为 ，
所以数列 的前 项和的平均数为 ，数列 是各项均为正数，且公比 的等比数列，
所以 ，
所以 的前 项和 ，
所以数列 的前 项和的平均数小于 ，
由C选项知， ，所以数列 的前 项和的平均数
比 的前 项和的平均数大，D选项正确.
故选：ACD.
三、解答题
4．（2026·安徽马鞍山·一模）若数列 满足 （ 为常数），则称数列 为等比
和数列， 为公比和，已知数列 是以5为公比和的等比和数列，且 ，记 ．
(1)求证：数列 是周期数列，并指出其周期；
(2)求 的值．
【答案】(1)证明见解析，周期为2
(2)6
【分析】（1）根据题干所给条件可得 ，再据此推出 的关系即可；
（2）根据 ，可直接求解．
【详解】（1）由 及 可得 ，由此可得递推关系 ，所以 ，
可得 ，即数列 是周期数列，周期为2．
（2） ， ，
由（1）知， 周期为 2，所以 ，
所以 ．
5．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、
方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、
7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副
扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型：
豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222；
顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23；
金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24；
顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7；
对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334；
散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合.
请回答下列问题：
(1)在一次游戏中，记事件 为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件 为“抽到的牌型为顺金”，
求 ；
(2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.
请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）；
(3)玩家初始持有 次抽牌机会 ，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，
观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会
数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为
0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为 ，初始持有 次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为 .试证明：
（i）证明：数列 是严格递增数列；
（ii）证明：对任意 ，都有 .
【答案】(1)
(2)规则不合理、不公平
(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用条件概率公式计算；
（2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断；
（3）（i）找出数列 的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）顺子的牌点组合共12种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应
种花色组合，故 .
顺金要求花色相同且牌点为顺子，共 种，故 .
由条件概率公式， .
（2）分别计算各牌型的概率：
， ，
， ，
， .
概率从小到大排序： ，与规则的牌型大小顺序不一致：
顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型；顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型.
因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平.
（3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率： ，
抽到顺子但非顺金的概率： ，抽到非顺子的概率： ，
初始1次机会，抽1次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜，
故 .
初始2次机会，抽1次后剩余1次机会，递推得：
代入 ，整理得： ，即 .
（i）用数学归纳法证明：
（一）归纳奠基： 时， ，
因 ， ， ，故 .
（二）归纳推理：假设对任意 ，都有 ，即数列前 项严格递增.
对任意 ，递推公式为： ，
因此 ，
由归纳假设， ， ，且系数均为正，故
.
由数学归纳法，对任意 ， ，即数列 严格递增.
（ii）令 ， ，不等式转化为证明 ， .
将 代入原递推公式，化简得： ，边界条件 .令 ，求导得： ，故 在 上严格递减，
因此对任意 .
下面用数学归纳法证明 ：
（一）归纳奠基：当 时， ，成立；
（二）归纳推理：假设对任意 ， .
对 ，由递推公式和归纳假设： ，
只需证明 ，两边除以 得： ，
代入 ，右边化简为 ，
左边减右边得： （因 ），
故不等式成立，即 .
由数学归纳法，对任意 ，即 ，移项得： ，得证.
