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第二章 函 数
§2.2 函数的单调性与最值
【高考考向预测】
近三年高考函数单调性与最值考查频率极高，贯穿选择填空与解答大题，常考查单调区
间判定、单调性证明、利用单调性比较大小及求解函数最值，多结合分段函数、复合函数综合命
题；预测2027 年仍为核心高频考点，命题会更侧重单调性与奇偶性、不等式融合考查，强化含参
函数单调性讨论与区间最值求解，注重数形结合思想运用，题型灵活且实用性更强。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(-3)<f(2)，则f(x)在[-3，2]上单调递增. ( )
(2)若函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(-2，3). ( )
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值.( )
1
(4)函数y= 的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞). ( )
x
2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是( )
A.y=-x+1 B.y=(x-1)2
C.y=2-x D.y=|x|
1
3.函数y=- 在区间[1，2]上的最大值为( )
x+1
1 1
A.- B.-
3 2
C.-1 D.不存在
(1)
4.函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)>f 的x的取值范围是 .
3
【核心梳理●明考点】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果∀x ，x ∈I
1 2
⊆
定义
当x <x 时，都有 f ( x )< f ( x )，那么就称函 当x <x 时，都有 f ( x )> f ( x )，那么就称函
1 2 1 2 1 2 1 2
数f(x)在区间I上单调递增， 数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调
递增时，我们就称它是增函数 递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调
性，区间I叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1) x∈D，都有 f ( x ) ≤ M ； (1) x∈D，都有 f ( x ) ≥ M ；
条件
(2) x ∈D，使得 f ( x )= M (2) x ∈D，使得 f ( x )= M
∀ 0 0 ∀ 0 0
∃ ∃
结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值
1.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x ，x ∈I(x ≠x )，则
1 2 1 2
f(x )−f(x )
1 2
① >0(或(x -x )[f(x )-f(x )]>0) f(x)在区间I上单调递增.
x −x 1 2 1 2
1 2
⇔
f(x )−f(x )
1 2
② <0(或(x -x )[f(x )-f(x )]<0) f(x)在区间I上单调递减.
x −x 1 2 1 2
1 2
⇔
1
(2)y=x+ 的单调递增区间为(-∞，-1]和[1，+∞)，单调递减区间为(-1，0)和(0，1).
x
(3)在区间I上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
2.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N M.
【题型突破●明方向】 ⊆
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列说法中，正确的是( )
1
A.函数y=e-x- 在(-∞，0)上单调递减
x2
B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]
C.函数y=2−x2+2x+3的单调递增区间为[1，+∞)
D.函数y=2x+2cos x是增函数
命题点2 利用定义证明函数的单调性
9
例2 (人教A版必修第一册P86习题3.2 T8改编)(1)根据函数单调性的定义证明函数y=x+ 在区间
x
[3，+∞)上单调递增；
9
(2)讨论函数y=x+ 在区间(0，+∞)上的单调性并证明；
x
k
(3)写出函数y=x+ (k>0)在区间(0，+∞)上的单调性.(不用证明)
x
【跟踪训练】1 (多选)下列说法正确的是( )
2
A.函数f(x)= -x在(-∞，0)∪(0，+∞)上单调递减
x
{x2+2x,x≥0,
B.函数f(x)= 在R上单调递增
−x2+2x,x<0
C.函数f(x)=❑√x2−2x−3的单调递减区间为(-∞，1)
1
D.函数f(x)= x3-x2+2x在(0，+∞)上单调递增
3
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2025·日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x ，
1
f(x )−f(x )
x ∈[0，+∞)，当x ≠x 时，都有 1 2 >0.则f(-❑√5)，f(π)，f(-3)的大小关系是( )
2 1 2 x −x
1 2
A.f(π)>f(-3)>f(-❑√5)
B.f(π)>f(-❑√5)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-❑√5)D.f(π)<f(-❑√5)<f(-3)
命题点2 求函数的最值
1
例4 函数y= -1+x(x≥3)的最小值为 .
x−1
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式
和的形式.
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6)
2x+1
B.函数y= 的值域为R
x−3
[15 )
C.函数y=2x-❑√x−1的值域为 ，+∞
8
D.函数y=❑√x+1+❑√x−1的值域为[❑√2，+∞)
命题点3 解函数不等式
(1) x (❑√3) x (1) x (❑√3) x
例5 “求方程 + =1的解”有如下解题思路：设f(x)= + ，则f(x)在R上单调
2 2 2 2
递减，且f(2)=1，所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式8x6-(x+1)>(x+1)3-2x2的解集
是( )
A.(-∞，0)
B.(1，+∞)
C.(-∞，0)∪(1，+∞)
( 1)
D. −∞，− ∪(1，+∞)
2
命题点4 求参数的值(范围)
{−x2−2ax−a,x<0,
例6 (2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围
ex+ln(x+1),x≥0
是( )
A.(-∞，0] B.[-1，0]C.[-1，1] D.[0，+∞)
mx−2
【跟踪训练】2 (1)(2026·大连模拟)已知函数f(x)= 在区间(-∞，-1)上单调递减，则实数m的
x+1
取值范围是( )
A.(-2，2)
B.(-2，+∞)
C.(-∞，-2)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
x f(x )−x f(x )
(2)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：∀x ，x ∈(0，+∞)(x ≠x )，恒有 2 1 1 2 >0，
1 2 1 2 x −x
1 2
若f(2)=4，则不等式f(x)-2x≤0的解集为 .
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2023·北京)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是( )
1
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
2x
1
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
x
2.已知f(x)=2x+x，则“f(x )=f(x )”是“x =x ”的( )
1 2 1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是( )
( 1)
A.(-∞，0) B. 0，
2
(1 )
C. ，1 D.(1，+∞)
2
a(x+1)+2
4.(2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)= 在区间[0，1]上的最大值为5，则a的值为(
x+1
)1
A.3 B.4 C. D.2
2
{x2−ax+7,x≤1,
5.(2025·成都模拟)已知函数f(x)= a 满足对任意实数x ≠x ，都有(x -x )[f(x )-f(x )]<0成
,x>1 1 2 1 2 1 2
x
立，则实数a的取值范围是( )
A.(0，4] B.[2，+∞)
C.[2，4] D.(0，+∞)
f(x )−f(x )
6.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x ，x ∈R，且x ≠x ，都有 1 2 >-1，则下列说法正
1 2 1 2 x −x
1 2
确的是( )
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设函数f(x)为增函数，且f(x)≠0，则下列结论错误的是( )
1
A.y= 为减函数
|f (x)|
B.y=|f(x)|为增函数
1
C.y=- 为增函数
f(x)
D.y=-f(x)为减函数
1
8.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)对于一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，0<f(x)<1，f(1)= ，
5
则下列结论正确的是( )
A.f(0)=1
B.若f(m)=25，则m=2
C.f(x)>0恒成立
D.f(x)是减函数
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是 .
{ln(x+1),x≥0,
10.已知函数f(x)= 则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是 .
−2x2,x<0,
四、解答题(共28分)a 9
11.(13分)(2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2x- ，且f(2)= .
x 2
(1)求实数a的值；(3分)
(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分)
(3)求函数f(x)在[2，3]上的最值.(4分)
12.(15分)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0.
(m)
(1)求证：f =f(m)-f(n)；(6分)
n
(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)-f(2x)>2.(9分)
[每小题5分，共10分]
| a |
13.(2026·昆明模拟)已知函数f(x)=log x+ −4 (a≥0)在(4，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是
1 x
3
( )
A.[4，+∞) B.(0，4]
C.[0，16] D.[16，+∞)
14.(2025·北京)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有 .
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；
③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；
④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
