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专题 02 指对幂函数的图象与性质
题型1 指数与对数的化简求值
1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式 化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，
然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．
1．（2025·北京大兴·三模）已知 ，则 的值为（ ）A．15 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 .故选：C.
2．（2025·天津·二模）化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得
.故选：A
3．（24-25高三下·云南丽江·月考）已知数列 满足 ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以当 时，
，
则 ，故B正确.故选：B.
4．（24-25高三上·陕西西安·一模） ．
【答案】
【解析】因为
题型2 幂函数的图象问题对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x=1，y=1，y=x所分区
域．根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
5．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知幂函数 的图象与 轴无交点，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为幂函数 的图象与 轴无交点，
则 ，解得 .故选：B.
6．（2025·江西·一模）若直线 与幂函数 ， ， 的图象从左到右依次交于不同
的三点 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，由 ，得 ；由 ，得 ；由 ，得 .
因为 ，所以 是关于 的减函数.
又 ，所以 ，所以 .故选：A.
7．（24-25高三上·上海·月考）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】对于A：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，
但是 在 上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D： 定义域为 ，又 为奇函数，
且 在 上函数是上凸递增，故D正确.故选：D
8．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数 的图象关于y轴对称，如图所示，则
（ ）
A．p为奇数，且 B．p为奇数，且
C．p为偶数，且 D．p为偶数，且
【答案】D
【解析】因为函数 的图象关于y轴对称，所以函数 为偶函数，即p为偶数．
又函数 的定义域为 ，且在 上单调递减，
则有 ，所以 ．故选：D
题型3 幂函数的单调性及奇偶性
1、幂函数的图象特征及单调性：
（1） 时，在第一象限快速上升，单调递增；
（2） 时，在第一象限缓慢上升，单调递增；
（3） 时，在第一象限下降，单调递减．2、幂函数的奇偶性
（1）若 为偶数，函数为偶函数；
（2）若 为奇数，函数为奇函数；
（3）若 为分数，需检验定义域对称性．
9．（24-25高三上·河南濮阳·月考）当 时，幂函数 为减函数，则实数m的
值为 ．
【答案】
【解析】由题设有 ，解得 ，
10．（24-25高三下·上海·月考）幂函数 在 上是严格增函数，且经过 ，则a的值可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为幂函数 在 上是严格增函数，所以 ，故A错误.
对于B，若 ，则 ，当 时， ， 不经过 ，故B错误.
对于C ，若 ，则 ，当 时， ， 经过 ，故C正
确.
对于D，若 ，则 ，定义域为 ，不符合题意，故D错误.故选：C.
11．（24-25高三下·福建三明·月考）已知幂函数 是 上的偶函数，且函数
在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为幂函数 是 上的偶函数，
则 ，解得 或 ，
当 时， ，该函数是奇函数，不合乎题意；
当 时， ，该函数是定义域为 的偶函数，合乎题意，所以 ，则 ，其对称轴方程为 ，
因为 在区间 上单调递减，则 .故选：A.
12．24-25高三下·河北衡水·月考）已知幂函数 为奇函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求a的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）由题意，幂函数 ，
可得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时，函数 为奇函数，
当 时， 为非奇非偶函数，
因为 为奇函数，所以 .
（2）由（1）知 ，可得 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
题型4 二次函数的单调性与最值
二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不
论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关
系进行分类讨论．
13．（2025·河南周口·二模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由 可得 ，
当 时，则 ，故 ，
因此 ，
故 ，故选：C
14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 ，求 在 上的最大值．
【答案】
【解析】由函数 ，可得 的图象开口向上，且对称轴为 ，
当 时，函数 在 上单调递增，所以 的最大值为 ；
当 时，函数 的最大值为 ；
当 时，函数 的最大值为 ；
当 时，函数 在 上单调递减，所以 的最大值为 ．
综上，
15．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知常数 ，求函数 的最小值：
【答案】见解析
【解析】 ，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，故 ，
当 时， 在 单调递增，故 ，
综上可得
16．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)已知 在 上单调递增，求 的取值范围；(2)求 在 上的最大值．
【答案】(1)
(2)当 时，函数 的最大值为 ；当 时， 的最大值为
【解析】（1）由题意有函数 ，
可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为 ，
要使得 在 上单调递增，则满足 ，所以 的取值范围为 ．
（2）由函数 ，
可得 的图象开口向上，且对称轴为 ，
当 时，函数 的最大值为 ；
当 时，函数 的最大值为 ；
综上，当 时，函数 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 ．
题型5 指数函数的定点与图象
指数函数的图象需要注意以下几个特征：
（1）指数函数的图象所过的关键点为 ， ， ；
（2）函数图象与坐标轴的交点位置；
（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
17．（2025·北京海淀·一模）函数 的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，则 ，所以函数 的图象一定过点 .故选：A.
18．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数 过定点M，点M在直线 上且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设， 恒过点 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以目标式最小值为 .故选：A
19．（2026高三·全国·专题练习）已知 ，则指数函数① ，② 的图象为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，
， 在 上单调递减，所以排除AB选项；
令 ， ，此时图象① 在② 的下方
因此C项正确．故选：C.
20．（2025·河北·二模）已知函数 ，其中 为常数，若函数 的图象如图
所示，则（ ）A． 的图象与坐标轴有三个交点
B． 的图象的对称轴在 轴左侧
C．关于 的方程 有两个不等实根
D． 在区间 上单调递增
【答案】D
【解析】因 ，函数 的图象在 上为减函数，则 ，即得 ，
又图象经过点 ，即 ，故得 ，解得 ，
于是， ，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
对于A，因函数 在 上单调递增，
则 ，即 的图象与 轴没有交点，
又 的图象与 轴有唯一交点，即 的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；
对于C，关于 的方程 的实根个数，等于直线 与曲线 的交点个数，
由A项，因 ，则直线 与曲线 的交点个数为0，故C错误；
对于B， 的图象的对称轴是直线 ，在 轴右侧，故B错误；
对于D，因 的图象对称轴： ， 在区间 上单调递增，故D正确.
故选：D.
题型6 指数函数的单调性及应用（1）利用指数函数的单调性比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中
间量；（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最
值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
21．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，解得 ，函数 定义域为R，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而函数 在R上单调递增，所以函数 的单调递增区间为 .故选：D
22．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递增，而函数 是R上的增函数，
则函数 在 上单调递增，于是 ，
所以a的取值范围为 ．故选：D
23．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为减函数，由 ，可得 ，
即 ，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .故选：D.24．（24-25高三上·上海·月考）若 ，则满足 的 的最大值为
【答案】
【解析】显然 的定义域是全体实数，所以它的定义域关于原点对称，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
所以 是偶函数，
当 时， 单调递增，所以当 时， 单调递减，
所以 ，
所以满足 的 的最大值为 .
题型7 指数函数的奇偶性及应用
标准指数函数本身无奇偶性，题目通常通过复合或对称化构造来设计相关考点．
常见的三种类型： 、 、
25．（2025·江西·二模）已知函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据 得
可得 ，故 为奇函数故选：A26．（24-25高三下·江苏南通·月考）若函数 为奇函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得 ，解得： .
所以 ，
，符合题意.
所以 .故选：D
27．（2025·安徽·模拟预测）已知 是奇函数，则 .
【答案】1
【解析】因为 为奇函数，
所以 为奇函数，
，即 ，
则 恒成立，
则 ，所以 ，
当 时， ，经检验符合题意，
所以 .
28．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数 是定义域为R的偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)2；(2) .
【解析】（1）由函数 是定义域为R的偶函数，得 恒成立，
即 ，整理得 ，而 不恒为0，所以 .
（2）由（1）知， ，不等式 ，
依题意，对任意 ， 恒成立，
令 ，当且仅当 时取等号，
，
函数 在 上单调递增，
当 时， ，即当 时， ，因此 ，
所以实数k的取值范围是 .
题型8 指数型函数的值域问题
y f(ax) a0 a 1
1、形如 （ ，且 ）的函数求值域
ax t f(t) t
换元法：令 ，将求原函数的值域转化为求 的值域，但要注意“新元 ”的范围．
2、形如y
afx
（a0，且a 1）的函数求值域
换元法：令 f x ，先求出 f x 的值域，再利用y a的单调性求出y afx 的值域．
29．（24-25高三下·甘肃白银·月考）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知 为减函数，
所以 .
所以函数 的值域为 ，故选：A30．（24-25高三上·河南·月考）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，因为 ，有 ，
有 ，有 ，故函数 的值域为 .故选:C
31．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】设 ，由 得， ，
所以 ，则 ，
因为 在 上单调递减，所以 .
32．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数 是定义在R上的奇函数 ．
(1)求 的解析式；
(2)求当 时，函数 的值域．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由函数 是 上的奇函数，
则有 ，解得 ，即 ，
， ，
即 ， ，解得 ，经验证得 ， 时， 是奇函数，
所以 .（2）由（1）知， ，
当 时， ，因此当 时， ，当 时， ，
所以所求值域为 .
题型9 对数函数的定点与图象
对数函数的图象识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高
点、最低点等）排除不符合要求的选项．
（2）一些对数型方程、不等式问题长转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
33．（24-25高三上·四川内江·月考）函数 的图象恒过定点 ，点 在幂函数 的
图象上，则 （ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【解析】令 ，得 ，当 时， ，所以点 的坐标为 ，
由于函数 为幂函数，设 ，
将点 的坐标代入 ，得 ，则 ，
，因此， .故选：C.
34．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数 ，且 的图象不经过第一象限，
则函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】当 时，函数 单调递增，图象经过第一象限，不合题意；当 时，函数 单调递减，图象不经过第一象限，合题意；
显然此时 ，则函数 为单调递增，又 恒过点 ，
因此函数 的图象不过第四象限.故选：D
35．（24-25高三下·福建福州·开学考试）若函数 的图象如图所示，则函数
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由幂函数图象可得 ，
函数 定义域为 ，
而 ，则 恒成立，BCD错误，A正确.故选：A
36．（24-25高三上·河南·一模）已知实数 且 ，函数 的大致图象如下，则 ，
的取值范围可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知函数 是减函数，所以 ；
当 时， ，所以 ．故选：C.
题型10 对数函数的单调性及应用
1、解简单对数不等式的方法
（1）形如 的不等式：借助 的单调性求解，如果 的取值不确定，需分
或 两种情况讨论；
（2）形如 的不等式：应将 化为以 为底的对数式的形式，再借助 的单调性求
解；
（3）形如 的不等式：可利用图象求解．
2、解决对数型复合函数单调性问题的思路
（1） 型：函数 的单调性与函数 的单调性在 时相
同，在 时相反；
（2） 型：一般用换元法，即令 ，则只需要研究 及 的单调
性即可．
37．（24-25高三上·陕西榆林·月考）函数 的减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，解得 或 ，
则 的定义域为 ，令 在 上单调递减，
又 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故选：A．
38．（24-25高三上·青海·月考）已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，解得 或 ，则 的定义域为 .
令 ，因为 是增函数，所以要找 的减区间，
所以 解得 ，即 在 上单调递减，所以 .故选：D.
39．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ．故选：A
40．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以不等式 的解集为 ．
题型11 对数函数的奇偶性及应用对数函数的奇偶性分析是函数性质中的特殊考点，因其定义域天然不对称（ ），标准对数函数本
身无奇偶性，实际题目常通过构造复合函数或对称变换来设计，需要灵活应对．
类型（1）复合函数，如 ，需先分析 的性质．
类型（2）对称变换，如 或 ，通过构造对称定义域．
41．（2025·四川自贡·二模）若 是偶函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，可得 ，即 ，
，
，即
因 不恒为0，故 .故选：B.
42．（24-25高三下·浙江宁波·月考）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 为偶函数，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 且 ，则 .故选：A.
43．（2025·河北衡水·模拟预测）已知 是偶函数，则 的取值为 ．
【答案】
【解析】由题意有 ，即 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，解得 ，
故答案为： .
44．（24-25高三上·上海·月考）设 ，若函数 为奇函数，则 .
【答案】
【解析】由 可得 ，又因为 为奇函数，
由定义域关于原点对称，可知 ，
即当 时， 无意义，即 ，解得 ，
又 ，可得 ，所以 ，
故 经检验满足题意，所以 .
故答案为： .
题型12 对数型函数的值域问题
y f(log x)
a0 a 1
1、形如 a （ ，且 ）的函数求值域
log xt log xt y f t y f t
换元法：令 a ，先求出 a 的值域，再利用 的单调性，再求出 的值
域．
y log f x
a0 a 1
2、形如 a （ ，且 ）的函数的值域 f x f x y log y log f x
换元法：令 ，先求出 的值域，再利用 a 的单调性，求出 a 的
值域．
45．（2024·甘肃庆阳·一模）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于 ，有 ，解得 ，
对于 ，其图象开口向下，对称轴为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，即 ，
又 在其定义域内单调递增，
所以 ，则 ，
则 的值域为 .故选：D.
46．（24-25高三上·上海·月考）函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
因为 ，则 ，且 的对称轴为 ，
可知 ，
所以 的值域是 ．
47．（25-26高三上·河北衡水·一调）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .
(1)求 的值；
(2)若 ，求函数 的值域.
【答案】(1) ；(2)【解析】（1）因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
所以 ；
（2） ，
令 ，问题等价于求 的值域，
函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，
，
函数 的值域为 ．
48．（24-25高三上·山西晋城·月考）已知函数 满足 ．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的值域；
(3)讨论 的定义域．
【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析
【解析】（1）令 ，得 ，
则 ，
所以 ．
（2）若 ，则 ，
令 ，当且仅当 时，u取得最小值，且最小值为4．
因为 为减函数，所以 ，
故 的值域为 ．
（3） ．
当 时， ，则 的定义域为 ；当 时， ，则 的定义域为 ；
当 时，由 ，得 或 ，
则 的定义域为 ．
综上，当 时， 的定义域为 ；
当 时， 的定义域为 ．
题型13 指对幂比较大小问题
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用
函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一
些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系．
49．（2025·河南许昌·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由题意知 ， ，
又函数 在 上单调递增，
而3.4 ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 .故选:D.
50．（2025·天津·一模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
，
，
所以 ，故选：A
51．（2025·天津河东·二模）已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
， ，且 ，
故 .故选：A.
52．（2025·河南·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题可知 ， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
故 ．故选：A
题型14 指数与对数函数综合应用
53．（2025·江苏盐城·三模）已知函数 （ ，且 ）．
(1)讨论 的奇偶性；
(2)若 ，不等式 恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）函数 （ ，且 ）的定义域为R，且
当 时， ，即 恒成立，
所以 ，即 ，此时 ，定义域为R， ，
所以 是R上的奇函数；
当 时， ，即 恒成立，所以 ，即 ，
此时 ，定义域为R， ，
所以 是R上的偶函数；
当 且 时， ，此时 既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当 时， 是R上的偶函数；当 时， 是R上的奇函数；
当 且 时， 既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数 中，由 ，得 ，而 ，
所以 ，则 ，由（1）知 是R上的奇函数；
因为函数 都是R上的增函数，则 是R上的增函数，不等式 ，
因此 ，则 ，
解 ，得 或 ；
解 ，即 ，得 .于是 ，
所以t的取值范围是 .
54．（24-25高三上·河南·月考）已知函数 且 ．
(1)若 的图象经过点 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】（1） ，即 ，
解得 或 （舍去）．故 的值为 ．
（2） ，即 ．
①当 时，函数 是增函数．
当 时， ，不满足定义域，不符合题意．
②当 时，函数 是减函数．
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），所以 ，满足定义域．
此时，函数 是减函数，当 时，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以当 时，符合题意．
综上， 的取值范围为 ．
55．（24-25高三上·广东惠州·月考）已知函数 且 ．
(1)求函数 的定义域；
(2)当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的最小值．【答案】(1)答案见解析；(2) ．
【解析】（1）令关于 的不等式 ，有 ．
①当 时，解不等式 ，可得 ，
此时函数 的定义域为 ；
②当 时，解不等式 ，可得 ，
此时函数 的定义域为 ；
（2）当 时，函数 的定义域为 ，
令 ，
有
，
令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
有 ，
由 ，当且仅当 时取等号，
有 ，有 ，
所以 ，故 的最小值为 ．
56．（24-25高三上·山东泰安·月考）已知函数 的图象过点 ．
（1）求k的值并求函数 的值域；
（2）若函数 ，则是否存在实数a，对任意 ，存在 使
成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ； （2）存在， 或
【解析】（1）因为函数 的图象过点 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，因为 单调递增，所以 单调递增，
因为 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
（2）由题意对任意 ，存在 使 成立，
则 ，由（1）知，当 时， 单调递增，
所以 ，
又 ，
令 ，则 ，
所以 ， 恒成立，
所以 或者 恒成立在 上，
即 或者
令 ，则 在 上单调递增，所以
所以 ，即
令 ，函数 在 单调递减，在 单调递增，
，
所以 ，所以 ，即
综上所述，存在 或 ，对任意 ，存在 使 成立.
