解三角形：最值与范围问题专项训练
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）在锐角
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c S 为
ABC
V
的面积，
4
a =
，且
2
2
2S
a
b
c
=
-
-
，则
ABC
V
的周长的取值范围是（ ）
A．8,4 5
4ù
+ û
B．12,2 5
2ù
+ û
C．8,2 5
2ù
+ û
D．12,4 5
4ù
+ û
2．（24-25 高三上·湖北·期中）已知在锐角
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
2
2
2
2
ABC
S
b
c
a
=
+
-
△
，则c
b 的取值可能为（ ）
A．1
3
B．1
C．3
D．5
3．（24-25 高一下·重庆万州·期中）在锐角ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC
V
的面积，
且
2
2
3
(
)
S
a
b
c
=
-
-
，则b
c 的取值范围为（ ）
A．
7
25
,
25
7
é
ö
÷
êë
ø
B．
7 ,
25
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
C．
7
25
,
25
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．24 ,
25
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
4．（24-25 高一下·江苏无锡·期末）已知锐角
ABC
V
的面积为2 3 ，
π
3
A =
，则边AB 的取值范围是（ ）
A．(1,2)
B．( 2,2 2)
C．(2,4)
D．(2 2,4)
5．（24-25 高一下·陕西渭南·期中·多选）
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，S 为
ABC
V
的面积，且
2
a =
，
2 3
AB AC
S
×
=
uuur uuur
，下列选项正确的是（ ）
A．
π
3
A =
B．若
3
b =
，则
ABC
V
有两解
C．若
ABC
V
为锐角三角形，则b 取值范围是
2 3,4 D．
ABC
V
周长的取值范围为
4,6
考点一
利用三角函数的有界性求最值与范围问题
6．（24-25 高一下·安徽·阶段练习·多选）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且.
2
3
3
bcosC
ccosB
a
+
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
3
a =
B．若
2
B
C
A
+
=
，则
ABC
V
的外接圆半径为
3
C．若
π
4，
A =
且
ABC
V
有一解，则b 的取值范围为
0,3
D．若
2
2
c
a
ab
=
+
，且
ABC
V
为锐角三角形，则c 的取值范围为
3 2,3 3
7．（2025·湖北·模拟预测）锐角
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边为a，b，c，
2
A
B
=
，
3
a
b
+
=
，则边c 的取值范
围是
.
8．（24-25 高一下·浙江宁波·期末）在锐角
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面积为S，且
2
2
2
3
4
a
c
b
S
+
-
=
，则c
a 的取值范围是
.
9．（24-25 高三下·山东德州·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
2
b =
，且满足
tan cosB
sin
2 tan cos
a
A
b
A
c
A
B
+
=
(1)求角B 的大小
(2)
ABC
V
的内心为I ，求ACI
V
周长的取值范围.
10．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
2
2
sin
sin
sin
b
a
B
C
a
A
-
-
=
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
2
c =
，求
ABC
V
周长的取值范围．
11．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
sin (
)
(sin
sin
)
sin
sin
A
C
A
C
A
C
+
=
+
-
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
4
b =
，求2a
c
+ 的取值范围．
12．（24-25 高一下·贵州黔南·期末）在
ABC
V
中，
3
c =
，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下
面的问题．条件①：sin
3 cos
c
A
a
C
=
；条件②：
2
2
(
)
a
b
c
ab
-
=
-
．
(1)若
2
b =
，求
ABC
V
的面积；
(2)求a
b
+
的取值范围．
13．（24-25 高一下·海南·期末）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c，ABC
V
的面积为S，已知
2
a =
，且
________在①
cos
,cos
m
A
B
=
ur
，
2 ,
n
b
c a
=
-
r
，且m
n
^
ur
r
，②
cos
cos
2 3 cos
sin
a
A
a
B
C
b
A
C
+
-
=
，③
2
2
4 3
b
c
a
S
+
-
=
.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按
第一个解答计分）
(1)求A；
(2)求
2
b
c
-
的取值范围.
14．（24-25 高一下·辽宁鞍山·期末）已知
sin
,cos
a
x
x
w
w
=
r
，
cos
, 3 cos
b
x
x
w
w
=
r
，
0
w >
，函数
3
2
f x
a b
=
× -
r r
的最小正周期为π．
(1)求函数
f x 的单调递减区间；
(2)在锐角
ABC
V
中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且满足
3
2
2
A
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
2
a =
，求
ABC
V
周长的取值
范围．
1．（24-25 高三上·广东湛江·期末）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，若
3
3cos
sin
a
b
C
C
=
+
，且
4
a
c
+
=
，则b 的最小值是（ ）
A．
3
B．2
C．2 2
D．2 3
2．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在
ABC
V
中，已知
2 sin
2
sin
2
sin
a
A
b
c
B
c
b
C
=
-
+
-
，
2
a =
，则
ABC
V
周长最大值为（ ）
A．4
B．6
C．4 3
3
D．4 3
2
3
+
3．（24-25 高三下·江西南昌·阶段练习）在
ABC
V
中，内角A、B、C 所对应的边依次为a，b，c，若
π
3
sin
cos
,
4
6
2
A
A
b
c
æ
ö
ç
÷
è
=
ø
+
+
+
=
，则
2
a 的取值范围是（ ）
A．
2,4
B．
3,6
C．
5,12
D．
4,16
4．（24-25 高一下·江苏无锡·期中·多选）设
ABC
V
中角, ,
A B C 所对的边为, ,
a b c ，
2 3
a =
，
π
3
A =
则下列说法正确
的是（ ）
A．若
4
b =
，则
2
c =
B．若
5
c =
，则满足条件的三角形有且只有一个
C．
ABC
V
面积的最大值为3 3
D．
ABC
V
周长的最大值为6 3
考点二
利用基本不等式求最值与范围问题
5．（24-25 高一下·新疆哈密·期末·多选）在
ABC
V
中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，
4
b =
，且
cos
cos
2 cos
a
C
c
A
b
B
+
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
π
3
B =
B．
ABC
V
外接圆的面积为16π
C．
ABC
V
的面积的最大值为4 3
D．a
c
+ 的最大值是8
6．（23-24 高一下·重庆·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，(tan
tan
)cos
3
c
C
B
B
a
+
=
，
则
C
Ð
=
，若
(2
)
a BA
b
a
BD
×
=
+
×
uuur
uuur
，且
7
CD =
，则2b
a
+
的最小值为
．
7．（24-25 高二上·广东潮州·开学考试）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，向量m =
r
,cos
a
A ，
n =
r
cos ,
B b
c
-
，且m n
×
r r
cos
c
A
=
×
，△ABC 外接圆面积为3π.则∠A=
，△ABC 周长的最大值为
.
8．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为内角, ,
A B C 的对边，且满足
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
B
C
C
-
-
=
.
(1)求角A ；
(2)设点D 为边BC 中点，且
2
AD =
，求b
c
+ 最大值；
9．（2025·江西新余·模拟预测）已知a 、b 、c 分别为斜
ABC
V
中角A 、B 、C 的对边，
2
sin
sin
cos
sin
sin
sin
a
A
B
C
a
A
b
B
c
C
-
=
+
-
．
(1)求sin
sin
B
A ；
(2)已知
ABC
V
的面积为
2
15
cos
b
C ，求
4
c
a
+
的最小值．
10．（2025·山东德州·三模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知
2sin
sin
cos
tan
B
A
A
C
=
+
．
(1)求C ；
(2)若
2
2(
)
a
b
c
+
=
，求
ABC
V
的边c 的最大值．
11．（24-25 高一下·重庆·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
3
a =
，
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
C
-
-
=
，
(1)求角A 的大小；
(2)求
ABC
V
周长的最大值；
(3)若BC 中点为D，求AD 的最小值.
12．（24-25 高一下·安徽宿州·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
( 3sin
cos
)
a
B
B
b
c
+
=
+ ，D 为边BC 上一点，且
2
AD =
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
2
BD
DC
=
，且
3
1
c
b =
- ，求a 的值；
(3)若AD 为角平分线，求
3
AB
BD
+
的最小值．
13．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且sin
sin
sin
-
-
=
+
A
B
c
b
C
a
b
(1)求角A；
(2)若
ABC
V
的面积为4 3 .
①已知E 为BC 的中点，且
10
b
c
+
=
，求
ABC
V
中线AE 的长；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
1．（24-25 高一下·广东广州·期中）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对边分别为a，b，c.
(1)已知
2
2
cos
cos
sin
sin
sin
B
C
A
A
B
-
=
-
，
3
c = ，
3 2
a
b
+
=
，若
ACB
Ð
的平分线交AB 于点D，求线段CD 的长；
(2)若
ABC
V
是锐角三角形，且
π
3
C =
，H 为
ABC
V
的垂心，且
3
CH =
，求
3CH
AH
BH
-
的取值范围；
(3)若
3
b
a
=
，令
sin
3cos
3 cos
B
t
A
B
=
+
，试求t 的最大值.
2．（24-25 高一下·江苏南京·期中）在
ABC
V
中，D ，E 为边BC 上两点，
1
BD = ，
3
EC
BD
=
uuur
uuur
，
(
0)
DE
mBD m
=
>
uuur
uuur
．
(1)若
B
a
Ð
=
，
C
g
Ð
=
，
AED
b
Ð
=
，用a ，b ，g 的三角函数值表示DE 的值；
(2)若
5
AE
DE
=
=
，
7
CA =
，求tan
tan
ABC
ADC
Ð
Ð
的值；
(3)若
5
DE =
，
BAD
CAE
Ð
= Ð
．
①求AB
AC 的值；
②求
ABC
V
面积的最大值．
考点三
利用二次函数求最值与范围问题
3．（24-25 高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在
ABC
V
中，过重心G 的直线与AB 边交于P，与AC 边交于Q，点P，Q
不与B，C 重合.设
APQ
△
面积为
1S ，
ABC
V
面积为
2S ，AP
xPB
=
uuur
uuur
，AQ
yQC
=
uuur
uuur
.
(1)求GA
GB
GC
+
+
uuur
uuur
uuur
；
(2)求证：1
1
1
x
y
+
= ；
(3)求
1
2
S
S 的取值范围.
4．（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，满足
2 cos
b
a
b
C
=
-
.
(1)求证：
2
C
B
=
；
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，求3sin
cos
sin
C
B
B
+
-
的最大值．
5．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场．如
图，经过测量
2,
6,
4,
4
AB
BC
CD
DA
=
=
=
=
，中间AC 是一条道路，其面积忽略不计．
(1)求3cos
4cos
B
D
-
的值；
(2)
,
ABC
ACD
V
V
的面积分别记为
1
2
,
S S ，求
2
2
1
2
S
S
+
的最大值．
6．（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知A 为钝角，
sin
cos
a
B
b
B
=
.
(1)若
π
6
C =
，求A ；
(2)求cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的取值范围.
7．（24-25 高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，D，E 在BC 上，
2
BD = ，
1
DE
EC
=
= ，
BAD
CAE
Ð
= Ð
．
(1)求sin
sin
ACB
ABC
Ð
Ð
的值；
(2)求
ABC
V
面积的取值范围．
8．（24-25 高三上·湖南湘潭·开学考试）设
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，A 为钝角，且tan
b
B
a
=
．
(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论；
(2)求cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的取值范围．
1．（2025·山西·三模）设
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos
cos
3
c
a
B
b
A
=
+
．
(1)证明：tan
2tan
A
B
=
；
(2)已知
π
4
B ³
，求tan tan tan
A
B
C 取得最小值时tanB的值．
2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知
ABC
V
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点P 满足
PAB
PBC
PCA
a
Ð
= Ð
= Ð
=
．
(1)若a
b
c
=
=
，求a ；
(2)若
ABP
a
Ð
=
，
ABC
V
的周长为4，
①求证：
2
b
ac
=
；
②求
ABC
V
面积的最大值．
考点四
利用函数单调性求最值与范围问题
3．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）在
ABC
V
中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知
tan
3
tan
3tan
1
C
B
C
+
=
-
．
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，
ABC
V
所在平面内有一点D 满足
2 π
3
BDC
Ð
=
，且BC 平分
ABD
Ð
，设
ABC
x
Ð
=
．
（i）求ACD
V
面积表达式
x
j
；
（ii）确定ACD
V
面积的取值范围．
4．（2025·辽宁·二模）已知锐角
ABC
V
，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
3
a =
，
1
3 cos
2
B
b
c
+
=
．
(1)求A ；
(2)求
2
2
2b
c
bc
+
的取值范围．
5．（24-25 高三上·山东泰安·阶段练习）设
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
sin
sin
sin
,
3
a
c
B
C
b
c
B
C
b
-
×
+
=
-
×
+
=
.
(1)求B ；
(2)若
3
BA
BC
+
=
uuur
uuur
，求
ABC
V
的周长；
(3)如图，点D 是
ABC
V
外一点，设
BAC
DAC
q
Ð
= Ð
=
，且
2 π
3
ADC
Ð
=
，记
BCD
△
的面积S，求S 关于q 的关系
式，并求S 的取值范围.
6．（24-25 高三上·辽宁·期中）在锐角
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，c ，a
b
+
成等比数
列.
(1)求证：
2
C
A
=
；
(2)求c
a
b
-
的取值范围；
(3)证明：
3
1
cos
cos
cos
2
A
B
C
+
+
+
>
.
（参考数据：13
3.60555
»
）
