解析几何：定值问题专项训练
1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，
2,0
P
为定点.
(1)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；
(2)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A
B
、是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线
C ，使AB 为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
2
8
y
x
=
(2)存在，4
【详解】（1）设抛物线方程为
2
2
0
y
px p
=
¹
，则抛物线的焦点坐标为
,0
2
p
æ
ö
ç
÷
è
ø
.由已知，
2
2
p =
，
即
4
p =
，故抛物线C 的方程是
2
8
y
x
=
.
（2）设圆心
,
0
M a b
a ³
，点
1
2
0,
,
0,
A
y
B
y
.
因为圆M 过点
2,0
P
，则可设圆M 的方程为
2
2
2
2
(
)
(
)
(
2)
x
a
y
b
a
b
-
+
-
=
-
+
.
令
0
x =
，得
2
2
4
4
0
y
by
a
-
+
-
=
，则
1
2
1
2
2 ,
4
4.
y
y
b y y
a
+
=
=
-
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
4
16
16
AB
y
y
y
y
y y
b
a
=
-
=
+
-
=
-
+
.
设抛物线C 的方程为
2
0
y
mx m
=
¹
，
因为圆心M 在抛物线C 上，则
2
b
ma
=
.
所以
4
16
16
4
4
16
AB
ma
a
a m
=
-
+
=
-
+
.
由此可得，当
4
m =
时，AB
4
=
为定值.
故存在一条抛物线
2
4
y
x
=
，使AB 为定值4.
2．（24-25 高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左焦点为
1F ，点P 是椭圆C 上位于第一象限的
点，M， N 是y 轴上的两个动点（点M 位于x 轴上方），满足PM
PN
^
且
1
1
F M
F N
^
，线段PN 交x 轴于点Q．
考点一
以线段长度为背景的定值问题
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若点M 的坐标为(0,2) ，求点P 的坐标；
(3)求证：
PQ
QN 为定值．
【答案】(1)
1
2
(2)
3
1, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø
(3)证明见解析
【详解】（1）由条件可知，
2
4
a =
，
2
3
b =
，则
2
2
2
1
c
a
b
=
-
= ，
所以椭圆的离心率
1
2
c
e
a
=
=
；
（2）
1
1,0
F -
，
0,2
M
，设
0,
N
n ，
1
1,2
F M =
uuuur
，
1
1,
F N
n
=
uuuur
，
因为
1
1
F M
F N
^
，所以1
2
0
n
+
=
，即
1
2
n = -
，即
1
0,
2
N æ
ö
-
ç
÷
è
ø
设
0
0
0
0
,
,
0,
0
P x
y
x
y
>
>
，
0
0
,2
PM
x
y
= -
-
uuuur
，
0
0
1
,
2
PN
x
y
æ
ö
= -
-
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
由题意可知，
2
0
0
0
2
2
0
0
1
2
0
2
1
4
3
x
y
y
x
y
ì
æ
ö
+
-
-
-
=
ç
÷
ïï
è
ø
í
ï
+
=
ïî
，得
0
1
x = ，
0
3
2
=
y
，
则
3
1, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø ；
（3）设
1
1,0
F -
，
0,
M
m ，设
0,
N
n ，
1
1,
F M
m
=
uuuur
，
1
1,
F N
n
=
uuuur
，
0,
0
m
n
>
<
，
由
1
1
F M
F N
^
，所以1
0
mn
+
=
，得
1
mn = - ，
0
0
0
0
,
,
0,
0
P x
y
x
y
>
>
，
0
0
,
PM
x m
y
= -
-
uuuur
，
0
0
,
PN
x n
y
= -
-
uuur
，
由PM
PN
^
，所以
2
0
0
0
0
x
m
y
n
y
+
-
-
=
，且
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，
化简得
2
0
0
3
9
0
y
m
n y
+
+
-
=
，又
1
mn = - ，
所以
2
0
0
3
9
0
y
m
n y
mn
+
+
+
=
，即
0
0
3
3
0
y
m
y
n
+
+
=
所以
0
3
0
y
m
+
>
，得
0
3
0
y
n
+
=
，
0
0
3
PQ
y
y
QN
n
n
=
= -
= .
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
y
x
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的上下焦点分别为
1 0,
F
c 、
2 0,
F
c
-
，离
心率为
6
2
，点
1F 到渐近线的距离为1，过点
1F 且斜率为k 的直线1l 在第一象限交双曲线C 于点P ，过点
2F 且斜率
为k 的直线2l 在第四象限交双曲线C 于点Q ，
2
PF 与
1
QF 交于点M .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
1
2
2
PF
QF
-
=
，求k 的值；
(3)证明：
1
2
MF
MF
+
是定值.
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x
-
=
(2)
2
2
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得双曲线的一条渐近线方程为
a
y
x
b
=
，即
0
ax
by
-
=
，
则焦点
1F 到渐近线的距离为
2
2
|
|
1
bc
b
a
b
=
=
+
，
又因为双曲线C 的离心率
6
2
c
e
a
=
=
，
2
2
2
a
b
c
+
=
，所以
2
2
a =
，
2
1
b = ，
则双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x
-
= .
（2）设
1
1
,
P x y
、
2
2
,
Q x
y
，Q 关于原点的对称点记为
3
3
,
N x
y
，则
3
2
x
x
= -
，
2
3y
y
= -
.
因为
1
1
1
3
PF
y
k
x
-
=
，
1
2
2
3
NF
y
k
x
+
=
，
2
2
2
3
QF
y
k
x
+
=
，所以
1
2
NF
QF
k
k
=
，
又因为
1
2
PF
QF
k
k
=
，即
1
1
PF
NF
k
k
=
，故P 、
1F 、N 三点共线，
又因为NQ 与
1
2
F F 互相平分，所以四边形
1
2
F NF Q 为平行四边形，故
1
2
NF
QF
=
，
所以
1
2
1
1
2
PF
QF
PF
NF
-
=
-
=
，
设
1
PF 的直线方程为
3
y
kx
=
+
，
代入双曲线方程整理得：
2
2
2
2 3
1
0
k
x
kx
-
+
+ =
，
所以
2
2
2
2
2
0
Δ
12
4
2
8
8
0
k
k
k
k
ì
-
¹
ïí
=
-
-
=
+
>
ïî
，可得
2
k ¹ ±
，
故
1
3
2
2 3
2
k
x
x
k
+
= -
-
，
1
3
2
1
2
x x
k
=
-
，
直线
1
PF 与双曲线只有两个交点，所以
1
3
2
1
0
2
x x
k
=
<
-
，解得
2
k <
.
由弦长公式得：
2
2
2
2
1
1
1
3
1
3
2
2 3
1
1
1
1
2
2
k
PF
NF
k
x
k
x
k
x
x
k
k
æ
ö
-
=
+
-
+
=
+
+
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
，
则
4
2
2
7
4
0
k
k
+
-
=
，即
2
2
2
1
4
0
k
k
-
+
=
，
且由题意可知
2
1
1
2
2 3
1
2
0
2
k
PF
NF
k
k
æ
ö
-
=
+
-
=
>
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
，可得
0
k >
，解得
2
2
k =
.
（3）因为直线
1
PF 与直线
2
QF 斜率相等，所以
1
2
//
PF
QF ，则
1
2
PF M
F QM
△
∽△
，
所以
1
1
2
MF
PF
MQ
QF
=
，故
1
1
1
1
2
MF
PF
QF
PF
QF
=
+
，同理可得
2
2
2
1
2
MF
QF
PF
PF
QF
=
+
，
所以
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2 2
2 2
PF
QF
QF
PF
PF
QF
QF
PF
MF
MF
PF
QF
PF
QF
+
+
+
×
+
×
+
=
=
+
+
1
2
1
1
2
2
2 2
2 2
1
1
1
1
PF
QF
PF
NF
=
+
=
+
+
+
因为
2
2
2
2
1
3
2
2
2
1
1
1
3
1
3
2
12
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2 2
1
1
1
1
2
k
k
k
x
x
PF
NF
x
x
x x
k
k
k
k
-
-
-
æ
ö
æ
ö
-
+
=
+
=
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
-
.
所以
1
2
2
5 2
2 2
2
2 2
MF
MF
+
=
+
=
，故
1
2
MF
MF
+
为定值.
4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
1
2
( 2,0), (2,0),
( 1,0),
(1,0)
A
B
F
F
-
-
，动点P 满足
3
4
PA
PB
k
k
×
= -
，动点P 的轨迹为曲线
1
, PF
t
交t 于另外一点
2
,
Q PF 交t 于另外一点R ．
(1)若
1
2
1
2
PF
PF
QF
RF
+
是定值，求该定值；
(2)求PQR
V
面积最大值．
【答案】(1)10
3 ；
(2) 64 3
25
．
【详解】（1）令
,
P x y 且
2
x ¹ ± ，因为
3
4
PA
PB
k
k
×
= -
，
所以
3
2
2
4
y
y
x
x
×
= -
+
-
，整理可得
2
2
1
0
4
3
x
y
y
+
=
¹
，
所以t 的标准方程为
2
2
1
0
4
3
x
y
y
+
=
¹
．
法一：设
0
0
,
P x
y
，
1
1
,
Q x y
，
2
2
,
R x
y
，
设直线PQ和直线PR 的方程分别为
1
x
my
=
- ，
1
x
ny
=
+ ，
联立直线PQ与椭圆方程
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
-
ìïí
+
=
ïî
，整理可得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
-
-
=
，
则
0
1
2
6
4
3
m
y
y
m
+
=
+
，
0
1
2
9
4
3
y y
m
= -
+
，
联立直线PR 与椭圆方程
2
2
1
1
4
3
x
ny
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，整理可得
2
2
3
4
6
9
0
n
y
my
+
+
-
=
，
可得
0
2
2
6
4
3
n
y
y
n
+
= -
+
，
0
2
2
9
3
4
y y
n
= -
+
，
又因为
0
0
1
x
my
=
- ，
0
0
1
x
ny
=
+ ，
所以
0
1
0
0
1
0
1
2
2
3
3
y
y
x
m
y y
y
+
+
= -
= -
×
，
所以
0
1
0
1
2
2
3
3
y
y
x
y
+
= -
-
，即
0
0
1
2
5
3
3
y
x
y = -
-
，
同理可得
0
2
0
0
3
0
1
2
2
3
3
y
y
x
n
y y
y
+
-
=
=
×
，
0
2
0
2
2
2
3
3
y
y
x
y
+
=
-
，即
0
0
2
2
5
3
3
y
x
y =
-
，
所以
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2
1
2
10
3
PF
PF
y
y
y
y
QF
RF
y
y
y
y
æ
ö
+
=
+
= -
+
=
ç
÷
è
ø
．
法二：设
0
0
,
P x
y
，
1
1
,
Q x y
，
2
2
,
R x
y
，
设
1
2
,
PQ
PF PR
PF
l
m
=
=
uuur
uuur uuur
uuuur
，则有
1
0
1
0
1
1
x
x
y
y
l
l
l
ì
=
-
-
ïí
=
-
ïî
，
又
2
2
0
0
2
2
0
0
1
4
3
1
1
1
4
3
x
y
x
y
l
l
l
ì
+
=
ïïíé
ù
é
ù
-
-
-
ïë
û
ë
û
+
=
ïî
，
消去
0y 可得
2
0
2
2
1
2
4
x
l
l
l
l
l
-
-
=
-
，解得
0
0
2
8
2
5
x
x
l
+
=
+
，
同理可得
0
0
2
8
2
5
x
x
m
-
=
-
，
所以
1
2
0
0
1
2
2
5
2
5
1
1
10
1
1
3
3
3
PF
PF
x
x
QF
RF
l
m
+
-
+
=
+
=
+
=
-
-
-
．
（2）不妨设
0
0
y >
，于是
1 2
1
2
1
2
1
sin
2
1
sin
2
PQR
PF F
PQ
PR
QPR
S
PQ
PR
S
PF
PF
PF
PF
QPR
l m
×
Ð
×
=
=
=
×
×
×
Ð
V
V
，
因此
2
0
0
0
1
2
0
0
0
2
0
0
0
2
8 2
8
16
1
25
2
2
5 2
5
4
PQR
x
x
x
S
F F y
y
y
x
x
x
l m
+
-
-
=
×
×
=
×
×
=
×
+
-
-
V
，
又因为
2
2
0
0
4 1
3
y
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，所以
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
4
4
16
9
3
4
25
27
4
3
4
16
PQR
y
y
S
y
y
y
y
-
-
+
=
×
=
×
-
-
+
V
，
设
2
0
0
0
2
0
9
27
16
y
f
y
y
y
+
=
×
+
，
0
0, 3
y
ù
Î
û ，
则
0
0
0
0
2
2
0
0
117
117
1 16
27
16
27
y
f
y
y
y
y
y
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
+
+
è
ø
，
0
0, 3
y
ù
Î
û ，
2
4
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
117 16
27
32
117
256
1008
3888
1
0
16
27
16
27
y
y
y
y
y
f
y
y
y
+
-
´
-
+
= +
=
>
+
+
¢
，
所以
0
f
y
在0, 3ùû 单调递增，当
0
3
y =
时取得最大值，
3
9
64 3
3
3
27
25
3
16
f
+
=
´
=
+
，则
PQR
SV
的最大值为
64 3
25
.
5．（2025·湖北黄冈·三模）定义：一般地，当
0
l >
且
1
l ¹ 时，我们把方程
2
2
2
2
0
x
y
a
b
a
b
l
+
=
>
>
表示的椭圆Cl 称
为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的相似椭圆，已知椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
+
= 的相似椭圆为
2
2
: 4
x
C
y
l
l
+
=
（
0
l >
且
1
l ¹ ）.
(1)求证：椭圆C 与椭圆Cl 的离心率相等；
(2)直线1l 、2l 与椭圆C 均有且只有一个公共点，且1l 、2l 的斜率之积为
1
4
-
，求证：1l 、2l 的交点在椭圆C 的相似椭
圆Cl 上；
(3)若P 为椭圆
3
4
C 上异于左、右顶点M 、N 的任意一点，直线PM 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线PN 与椭圆C 交
于D 、E 两点，试探究AB
DE
+
的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)是定值，且定值为5
【详解】（1）对于椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
+
= ，则
2
a =
，
1
b = ，
2
2
3
c
a
b
=
-
=
，
所以，椭圆C 的离心率为
3
2
c
e
a
=
=
，
对于椭圆
2
2
: 4
x
C
y
l
l
+
=
（
0
l >
且
1
l ¹ ），其标准方程为
2
2
1
4
x
y
l
l
+
= ，
则
2
al
l
=
，bl
l
=
，
2
2
3
c
a
b
l
l
l
l
=
-
=
，其离心率为
3
2
c
e
a
l
l
l
=
=
.
（2）设直线1l 的斜率为
1k ，则直线2l 的斜率为
1
1
4k
-
，
设点
0
0
,
Q x
y
，直线1l 的方程为
0
1
0
y
y
k
x
x
-
=
-
，
联立
0
1
0
2
2
1
4
y
y
k
x
x
x
y
ì -
=
-
ïí
+
=
ïî
可得
2
2
2
1
1
0
1
0
0
1
0
1
4
8
4
4
0
k
x
k
y
k x
x
y
k x
+
+
-
+
-
-
=
，
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
Δ
64
16 1
4
1
0
k
y
k x
k
y
k x
é
ù
=
-
-
+
-
-
=
ë
û
，
化简得
2
2
0
1
0
1
1
4
y
k x
k
-
= +
，即
2
2
2
2
0
1
0
0
1
0
1
2
1
4
y
k x y
k x
k
-
+
= +
①，
用
1
1
4k
-
代换①中的
1k 得
2
2
2
2
1
0
1
0
0
0
1
16
8
4
16
k y
k x y
x
k
+
+
=
+
，
①4
´ + ②得
2
2
2
2
2
1
0
1
0
1
4 16
1
4
8
32
k
y
k
x
k
+
+
+
=
+
，化简
2
2
0
0
1
8
2
x
y
+
= ，
即点Q 在椭圆
2
2
2
4
x
y
+
=
上，故点Q 在与椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
+
= 的相似椭圆
2
C 上.
（3）椭圆
3
4
C 的标准方程为
2
2
1
3
3
4
x
y
+
= ，所以点
3,0
M -
、
3,0
N
，
设点
3
3
,
P x y
，易知直线PM 、PN 的斜率都存在且不为零，
所以
2
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
PM
PN
y
y
y
k
k
x
x
x
=
×
=
-
+
-
，
因为点
3
3
,
P x y
在椭圆
3
4
C 上，所以
2
2
3
3
1
3
3
4
x
y
+
= ，即
2
2
3
3
3
4
x
y
-
=
，
所以
2
3
2
3
2
2
3
3
3
1
4
3
3
4
PM
PN
x
y
k
k
x
x
-
=
=
= -
-
-
.
设直线PM 的斜率为k ，则直线PN 的斜率为
1
4k
-
，
所以直线PM 的方程为
3
y
k x
=
+
，
联立
2
2
3
1
4
y
k x
x
y
ì
=
+
ï
í
ï
+
=
î
得
2
2
2
2
1
4
8 3
12
4
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
4
2
2
2
Δ
192
4 1
4
12
4
16
1
0
k
k
k
k
=
-
+
-
=
+
>
，
设点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，则
2
1
2
2
8 3
4
1
k
x
x
k
+
= -
+
，
2
1
2
2
12
4
4
1
k
x x
k
-
=
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4 12
4
8 3
1
4
1
4
1
4
1
k
k
AB
k
x
x
x x
k
k
k
-
æ
ö
=
+
+
-
=
+
×
-
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
2
2
4 1
4
1
k
k
+
=
+
，
用
1
4k
-
代换k 可得
2
2
2
2
1
4 1
1 16
16
1
4
1
1
4 16
k
k
DE
k
k
æ
ö
+
ç
÷
+
è
ø
=
=
+
+ ×
，
所以
2
2
2
2
4 1
1 16
5
4
1
4
1
k
k
AB
DE
k
k
+
+
+
=
+
=
+
+
，故AB
DE
+
的值为定值，且该定值为5 .
6．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
W
a
b
a
b
+
=
>
>
过
0,2
A
，
3, 1
B -
-
两点．
(1)求椭圆W 的方程；
(2)求椭圆上的动点T 到
1,0
N
的最短距离；
(3)直线AB 与x 轴交于点
,0
M m
，过点M 作与AB 不重合的直线l ，l 与椭圆W 交于
,
C D 两点，直线
,
AC BD 分别
交直线x
m
=
于,
P Q 两点，证明：
PM
MQ 为定值．
【答案】(1)
2
2
1
12
4
x
y
+
=
(2)
14
2
(3)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
W
a
b
a
b
+
=
>
>
过
0,2
A
，
3, 1
B -
-
两点，
所以
2
b =
，
2
9
1
1
4
a +
= ，所以
2
12
a =
，所以椭圆W 的方程为
2
2
1
12
4
x
y
+
= ．
（2）设
,
T x y ，则点T 到
1,0
N
的距离为 ：
2
2
2
2
2
2
1
1
4 1
2
5
12
3
x
d
x
y
x
x
x
æ
ö
=
-
+
=
-
+
-
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
因为2 3
2 3
x
-
£
£
，所以当
3
2
x =
时，d 最小，
min
2
9
3
14
2
5
3
4
2
2
d
=
´
- ´
+
=
，所以动点T 到
1,0
N
的最短距离为
14
2
．
（3）因为
0,2
A
，
3, 1
B -
-
，所以直线AB 的方程为
2
y
x
=
+
，
令
0
y =
得
2
x = - ，所以
2,0
M -
．
当直线l 的斜率不存在时，可得,
P Q 关于x 轴对称，则PM
MQ
=
，即
1
PM
MQ = ．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
2
1
y
k x
k
=
+
¹
，
由
2
2
2 ,
1,
12
4
y
k x
x
y
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
消去y 得关于x 的方程
2
2
2
2
1 3
12
12
12
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
4
2
2
2
Δ=144
4 1 3
12
12
96
48
0
k
k
k
k
-
+
-
=
+
>
，
设
1
1
,
C x y
，
2
2
,
D x
y
，则
2
1
2
2
12
1 3
k
x
x
k
+
= - +
，
2
1
2
2
12
12
1 3
k
x
x
k
-
×
=
+
．
直线AC 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
-
-
=
，
令
2
x = - ，得
1
1
1
1
2
2
2
2
4
2
k
x
y
y
x
x
-
+
-
+
=
+
=
，
所以P 点的纵坐标
1
1
2
2
2
P
k
x
y
x
-
+
=
，同理
2
2
1
2
3
Q
k
x
y
x
-
+
=
+
．
方法一：
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
3
P
Q
k
x
x
x
x
PM
y
MQ
x
x
k
x
y
x
-
+
+
+
=
=
=
+
-
+
+
1
2
1
2
1
1
2
1
2
4
12
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
×
+
+
+
+
=
×
+
，
所以
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
12
12
12
2
4
12
2
12
12
2
1 3
1 3
1 3
1
12
12
12
12
2
1 3
2
1 3
k
k
x
k
x
k
PM
k
k
k
MQ
k
x
k
x
k
æ
ö
-
´
+ ´ -
+
+
ç
÷
-
+
+
+
+
è
ø
=
=
=
-
-
+
+
+
+
为定值．
综上，
PM
MQ 为定值．
方法二：
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
3
3
P
Q
k
x
k
x
x
x
y
y
k
x
x
x
x
é
-
+
-
+
-
+
ù
+
+
=
+
=
-
+
ê
ú
+
+ û
ë
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12 12
48
12
36
4
12
1 3
1
1
0
3
3
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
x
x
x
x
é
ù
-
+
-
-
ê
ú
é
ù
-
-
+
-
+
=
-
=
-
=
ê
ú
ê
ú
+
+
ê
ú
ê
ú
ë
û
ê
ú
ë
û
，
所以点,
P Q 关于x 轴对称，则PM
MQ
=
，即
1
PM
MQ = ．
综上，
PM
MQ 为定值．
7．（24-25 高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2
2 ,
,
2
F F 为C 的左，右焦点，M 为
C 的右顶点，P 为C 的上顶点，且
1
2
PFF
V
周长为4
2 2
+
，直线l 交C 于
,
A B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线
,
AM BM 的斜率之积恒为
3
2
-
，求证：直线AB 恒过定点．
(3)若直线l 恒过
2 3 ,0
3
E æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则
2
2
1
1
|
|
|
|
AE
BE
+
uuur
uuur
是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3)成立，3
2
【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，由已知得
2
2
c
a
=
，又
2
2
2
a
b
c
=
+
，可得
,
2
c
b a
b
=
=
，
故
4
2 2
2 2
2 b
+
=
+
，解得
2
b =
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，根据题意，易知直线l 的斜率不为0，设:l x
ty
n
=
+
，
联立l 与C ，消去x 得
2
2
(
)
2
4
0
ty
n
y
+
+
-
=
，整理得
2
2
2
2
2
4
0
t
y
nty
n
+
+
+
-
=
，
所以
2
2
2
4
0
t
n
D =
-
+
>
，
1
2
2
2
2
tn
y
y
t
+
= -
+
，
2
1
2
2
4
2
n
y y
t
-
=
+
，
进而，
1
2
1
2
3
2
2
2
AM
BM
y y
k
k
x
x
-
=
×
=
-
-
，
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
y y
y y
ty
n
ty
n
t y y
n
t y
y
n
\
=
=
+
-
+
-
+
+
+
-
-
-
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
4
2
2(
2)
2
(
2)
2
2
3
2
n
n
t
n
t n
n
t
t
n
n
t
t
\
-
-
+
=
=
-
×
-
×
- ×
-
×
-
+
+
-
+
，
解得
1
n = ，满足
0
D >
，即直线l 过定点
1,0
D
.
.
（3）当直线l 的斜率为0 时，此时
2,0 ,
2,0
A
B
-
，易得
2
2
1
1
3
2
AE
BE
+
=
；
当直线l 的斜率不为0 时，设
2 3
:
3
l x
ty
=
+
，这样，由（2）知，
1
2
2
4
3
2
t
y
y
t
+
= -
+
，
1
2
2
8
3
2
y y
t
= -
+
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
1
4
3
2
2
8
3
y
y
t
y
t
t
y
y
y
t
é
ù
+
ê
ú
+
=
= -
´ -
=
êë
û
+
+
ú
，
从而
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
3
4 t
y
y
y y
+
+
=
，
即
2
2
2
2
2
1
2
3
2
3
1
1
1
3
4
4
2
t
t
t
y
y
+
+
+
=
+
=
，
则
2
2
2
2
1
2
1
1
3
2
1
1
t
y
t
y
+
=
+
+
，即
2
2
1
1
3
2
AE
BE
+
=
，
综上，
2
2
1
1
AE
BE
+
为定值3
2 .
8．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系xOy 中，已知点
1
2,0
F -
，
2 2,0
F
，动点M 满足
1
2
2
MF
MF
=
+
，记动
点M 的轨迹为C ．
(1)求C 的标准方程；
(2)设直线
2
MF 与C 的另一个交点为N ，证明：
2
2
1
1
F M
F N
+
为定值．
【答案】(1)
2
2
1
1
3
y
x
x
-
=
³
(2)证明见解析
【详解】（1）由
1
2
2
MF
MF
=
+
，得
1
2
2
MF
MF
-
=
，
1
2
1
2
4
F F
MF
MF
=
>
-
，
由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以
1
2
F
F
、
为左右焦点的双曲线的右支，
且
1
2
2
MF
MF
a
-
=
，则
1
a = ，
2
c =
，所以
2
2
2
3
b
c
a
=
-
=
，
所以C 的方程为
2
2
1(
1)
3
y
x
x
-
=
³
；
（2）设MN 方程为
1
1
2
2
2,
,
,
,
x
my
M x y
N x
y
=
+
，，
2
2
1(
1)
3
2
y
x
x
x
my
ì
-
=
³
ïí
ï =
+
î
，消去x 得
2
2
(3
1)
12
9
0
m
y
my
-
+
+
=
，
则
2
2
2
(12 )
36(3
1)
36
36
0
m
m
m
D =
-
-
=
+
> ，
1
2
2
12
3
1
m
y
y
m
-
+
=
- ，
1
2
2
9
3
1
y y
m
=
- ，
又
1
1
2
2
2,
2
x
my
x
my
=
+
=
+
，
由两点距离公式得
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
3
3
2
1
F M
x
y
x
x
x
=
-
+
==
-
+
-
=
- ，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
1
F N
x
y
x
x
x
=
-
+
==
-
+
-
=
- ，
所以
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2(
)
2
2(
)
2
1
1
1
1
2
1
2
1
(2
1)(2
1)
4
2(
) 1
x
x
x
x
F M
F N
x
x
x
x
x x
x
x
+
-
+
-
+
=
+
=
=
-
-
-
-
-
+
+
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2(
2
2)
2
2 (
)
6
4(
2)(
2)
2(
2
2) 1
4
6 (
)
9
my
my
m y
y
my
my
my
my
m y y
m y
y
+
+
+
-
+
+
=
=
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
12
2
6
6
6
2
3
1
9
12
9
9
3
4
6
9
3
1
3
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
-
×
+
-
-
-
=
=
=
-
-
-
×
+
×
+
-
-
，即证.
1．（24-25 高二下·上海宝山·期末）已知椭圆
2
2
2
2
Γ :
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的图像经过点
3,0
(1)若椭圆G 的焦距为4 2 ，求椭圆G 的方程；
(2) F 为椭圆G 的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点M ，点N 与点M 关于原点对称，连接
NM
NF
、
，当
MNF
Ð
取得最大值时，求椭圆G 的离心率；
(3)若椭圆G 经过点
0,1 ，点P 是椭圆上的动点，直线l 与椭圆交于A
B
、两点，Q 为AB 的中点，且满足
2
PO
OQ
=
uuur
uuur
，则PAB
V
的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
9
x
y
+
=
(2)
6
2
2
-
；
(3)是，定值9 3
4
.
【详解】（1）由已知条件可知
3,2
4 2
a
c
=
=
，
从而
2
2
8,
1
c
b
=
= ，
所以椭圆G 的方程
2
2
1
9
x
y
+
= ；
（2）设
,0
F c
，则
2
2
,
,
,
b
b
M c
N
c
a
a
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则
2
2
1
2
,
2
NM
NF
b
b
k
k
k
k
ac
ac
=
=
=
=
，
从而
1
2
2
0
k
k
=
>
.
设直线NM
NF
、
的倾斜角分别为a
b
、
则
1
2
2
2
1
2
2
2
2
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
1
1
2
k
k
k
k
MNF
k k
k k
a
b
a
b
a
b
-
-
-
Ð
=
-
=
=
=
+
+
+
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2 2
2
k
k
k
k
=
=
£
+
+
，
考点二
以面积为背景的定值问题
当且仅当
2
2
1
2k
k
=
，即
2
2
2
k =
时取等号，
此时
2
2
2
2
2
b
k
ac
=
=
，即
2
2
b
ac
=
，
所以
2
2
2
a
c
ac
-
=
，
从而
2
2
1
0
c
c
a
a
æ
ö
æ
ö
+
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，解得
2
6
2
c
e
a
-
±
=
=
（舍负），
所以当
MNF
Ð
取得最大值时，椭圆G 的离心率为
6
2
2
-
；
（3）由已知椭圆
2
2
2
2
Γ :
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
经过点
3,0
0,1
、
可得
3,
1
a
b
=
= ，
从而椭圆G 的方程
2
2
1
9
x
y
+
= ；
①当直线l 与x 轴不垂直时，设
:
,
0
l y
kx
m m
=
+
¹
，
联立方程组
2
2
1
9
y
kx
m
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，
得
2
2
9
1
18
9
1
0
k
kmx
m
+
+
+
-
=
.
由题意可知
2
2
9
1
0
k
m
D =
+ -
>
.
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
1
2
1
2
2
2
9
1
18
,
9
1
9
1
m
km
x
x
x x
k
k
-
-
+
=
=
+
+
，所以
2
2
2
2
1
2
2
2
4 9
1
18
1
1
9
1
9
1
m
km
AB
k
x
x
k
k
k
´
-
æ
ö
=
+
-
=
+
-
ç
÷
+
+
è
ø
2
2
2
2
6
9
1
1
1 9
k
m
k
k
=
+ -
+
+
，
由
2
PO
OQ
=
uuur
uuur
可知
0
OP
OA
OB
+
+
=
uuur
uuur
uuur
r
，
设
3
3
,
P x y
，则有
3
1
2
2
18
1 9
km
x
x
x
k
= -
+
= +
，
3
1
2
1
2
2
2
2
1 9
m
y
y
y
k x
x
m
k
-
= -
+
= -
+
-
= +
，
因为点
3
3
,
P x y
，在椭圆
2
2
1
9
x
y
+
= 上，
所以
2
2
2
2
18
2
9
9
1 9
1 9
km
m
k
k
-
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
，
整理得
2
2
4
1 9
m
k
= +
，
此时，
2
2
2
2
2
2
Δ
18
4 9
1 9
1
36 9
1
36 3
0
km
m
k
k
m
m
=
- ´
-
+
=
+ -
=
´
>
，
点
3
3
,
P x y
到直线:l y
kx
m
=
+
的距离
3
3
2
2
3
1
1
kx
y
m
m
d
k
k
-
+
=
=
+
+
，
所以
PAB
D
的面积
2
2
2
2
1
2
2
2
3
1
1
6
·
1
·
9
1
1
·
2
2 1 9
1
m
S
AB d
k
x
x
k
m
k
k
k
=
=
+
-
=
+ -
+
+
+
2
2
2
2
2
2
9
9
9 3
9
1
4
1 9
4
4
m
m
k
m
m
m
k
m
=
+ -
=
-
=
+
，
②当直线l 与x 轴垂直时，
3,0
P -
，
3
:
2
l x =
，
3
3
3
2
,
,
,
2
2
2
2
A
B
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
9
3,
3
2
2
AB
PD
=
=
+
=
，
1
1
9
9 3
3
2
2
2
4
S
AB d
=
×
=
×
´
=
.
综上可和，PAB
V
的面积为定值9 3
4
.
2．（24-25 高二下·上海青浦·期末）已知椭圆
2
2
1
2
2
2
Γ :
1
0 ,
,
x
y
a
b
B B
a
b
+
=
>
>
分别是椭圆短轴的上下两个端点，
1F 是
椭圆左焦点，M 是椭圆上异于点
1
2
,
B B 的点，
1
1
2
B F B
V
是边长为2 的等边三角形.
(1)写出椭圆Γ 的标准方程和离心率；
(2)当直线
1
MB 的一个法向量是
1,1
-
时，求以
1
MB 为直径的圆的标准方程；
(3)设点P 满足:
1
1
2
2
,
PB
MB PB
MB
^
^
，求证:
1
2
1
2
:
MB B
PB B
S
S
V
V
为定值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ，
3
2
e =
；
(2)
2
2
4
1
32
5
5
25
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为
1
1
2
B F B
V
是边长为2 的等边三角形，所以
2
2
a
b
=
=
，
3
=
c
b ，
又
2
2
2
b
c
a
+
=
，所以
2
a =
，
1
b = ，
3
c =
故椭圆Γ 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ，离心率为
3
2
e =
；
（2）因为
1
MB 的一个法向量是
1,1 ,
-
且直线
1
MB 过点
1 0,1
B
，
所以直线
1
MB 方程为:
1
0
x
y
-
+ =
，
联立直线
1
MB 方程与椭圆方程
2
2
1
4
x
y
+
= ，得
2
5
2
3
0
y
y
-
-
=
，解得
8
3
,
5
5
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，
所以线段
1
MB 中点为
4 1
,
5 5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，线段
1
MB 长度为
1
8 2
5
MB =
，
故以
1
MB 为直径的圆的标准方程为
2
2
4
1
32
5
5
25
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
（3）由题意，点P 为直线
1
MB 过点
1B 的垂线与直线
2
MB 过点
2
B 的垂线的交点，
设点
0 ,
M x
0y
，所以直线
1
MB 为:
0
0
1
1
y
y
x
x
-
=
+ ，直线
2
MB 为
0
0
1
:
1
y
y
x
x
+
=
- ，
则直线
1
PB 为
0
0
:
1
1
x
y
x
y
=
+
-
，直线
2
PB 为
0
0
:
1
1
x
y
x
y
-
=
-
+
，
联立直线
1
PB 方程与直线
2
PB 方程，消去y ，得
0
0
0
0
1
1
1
1
x
x
x
x
y
y
-
+ =
-
-
+
，
整理得
0
0
0
0
1
1
x
x
y
y
æ
ö
+
ç
÷
-
+
è
ø
2
x = - ，即
0
2
0
2
2
1
x
x
y
= -
-
，解得
2
0
2
0
0
0
0
1
4
4
P
x
y
x
x
x
x
-
-
=
=
= -
，
因为
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
1
1
1
,
2
2
2
4
MB B
PB B
P
x
S
B B
x
S
B B
x
B B
=
=
=
V
V
，
所以
1
2
1
2
:
4
MB B
PB B
S
S
=
V
V
，得证.
3．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）已知双曲线
2
2
1
2
:
1
0
y
C
x
b
b
-
=
>
的渐近线与圆
2
2
:
2 2
1
0
M x
y
x
+
-
+ =
相
切．
(1)求双曲线
1
C 的方程．
(2)已知双曲线
2
2
2
2
:
4
y
C
x
b
-
=
，
,
A B （A 在x 轴上方，B 在x 轴下方）是
2
C 右支上两个不同的点，直线AB 与
1
C 的
一个交点为D ，
2
AB
BD
=
，连接
,
OA OB （O 为坐标原点）分别交
1
C 于点
,
E G ．
【答案】(1)
2
2
1
x
y
-
=
(2)①平行四边形；②证明见解析，
5
2
【详解】（1）双曲线
1
C 的渐近线方程为y
bx
±
=
，即
0
bx
y
±
-
=
，
圆
2
2
:(
2)
1
M
x
y
-
+
= 的圆心为( 2,0) ，半径为1，则
2
2
1
1
b
b
=
+
，解得
2
1
b = ，
所以双曲线
1
C 的方程为
2
2
1
x
y
-
= .
（2）①由（1）知双曲线
2
C 的方程为
2
2
4
x
y
-
=
，
设
2
2
(2
1,2 ),
(2
1,2 )
A
m
m B
n
n
+
+
，
0
m >
，
0
n < ，
则直线OA的方程为
2
1
m
y
x
m
=
+
，与
2
2
1
x
y
-
= 联立，得
2
1
x
m
=
+ ，y
m
=
，
则
2
(
1,
)
E
m
m
+
，同理得
2
(
1, )
G
n
n
+
，
,
E G 分别为
,
OA OB 的中点，
则
/ /
EG
AB ，
1
2
EG
AB
=
，
又
2
AB
BD
=
，因此
/ /
EG
BD ，EG
BD
=
，
所以四边形BDGE 为平行四边形．
②方法一 显然直线AB 的斜率不为0，设直线
:
AB x
py
q
=
+
，
由
2
2
4
x
py
q
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
得
2
2
2
(
1)
2
4
0
p
y
pqy
q
-
+
+
-
=
，
2
1
0
p - ¹
，
2
2
2
2
2
2
Δ
4
4(
1)(
4)
4(4
4)
0
p q
p
q
p
q
=
-
-
-
=
+
-
>
，
设
1
1
2
2
3
3
( ,
), (
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
D x
y
，则
1
2
2
2
1
pq
y
y
p
+
= -
- ，
2
1
2
2
4
1
q
y y
p
-
=
- ，
由
2
AB
BD
=
uuur
uuur ，得
2
1
2
1
3
2
3
2
(
)
2(
,
)
,
x
x y
y
x
x
y
y
-
-
=
-
-
，
则
3
2
1
2
3
x
x
x
=
-
，
3
2
1
2
3
y
y
y
=
-
，
两式分别平方后作差得
2
2
2
2
3
3
2
1
2
1
4(
(3
)
(3
)
)
x
y
x
x
y
y
-
=
-
-
-
，
即
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
4
)
9(
)
(
)
6(
x
y
x
y
x x
y y
=
-
+
-
-
-
，得
1
2
1
2
6
x x
y y
-
=
，
因此
1
2
1
2
6
py
q
py
q
y y
+
+
-
=
，即
2
2
1
2
1
2
1
6
p
y y
pq y
y
q
-
+
+
+
=
，
2
2
2
2
2
4
2
(
1)
(
)
6
1
1
q
pq
p
pq
q
p
p
-
-
+
-
+
=
-
-
，解得
2
2
5
5
q
p
=
-
，
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4
1
|
|
1
(
)
4
1
(
)
4
2
1
1
1
pq
q
p
AB
p
y
y
y y
p
p
p
p
-
+
=
+
×
+
-
=
+
×
-
- ×
=
-
-
-
，
O 到直线AB 的距离
2
2
2
5(1
)
1
1
q
p
d
p
p
-
=
=
+
+
，
2
2
2
2
1
1
1
1
5(1
)
5
2
2
4
4
1
1
2
ABE
OAB
p
p
S
S
AB d
p
p
+
-
=
=
=
×
×
=
-
+
V
V
．
所以ABE
V
的面积为定值，此定值为
5
2
.
方法二 由①知BD
EG
=
uuur
uuur
，设点
(
,
)
D
D
D x
y
，
则
2
2
2
(
2
1,
2 )
(
1
1,
)
D
D
x
n
y
n
n
m
n
m
-
+
-
=
+ -
+
-
，
得
2
2
3
1
1
D
x
n
m
=
+ -
+ ，
3
D
y
n
m
=
-
，即
2
2
3
1
1,3
D
n
m
n
m
+ -
+
-
，
由点D 在
1
C 上，则
2
2
2
2
(3
1
1)
(3
)
1
n
m
n
m
+ -
+
-
-
= ，即
2
2
3
2
2 (
1)(
1)
mn
m
n
+
=
+
+
，
整理得
2
2
4
4
12
5
m
n
mn
+
-
=
，因此
2
2
(2
3
5
1)
)
(
m
n
n
-
=
+
，即
2
2
3
1
5
m
n
n
-
+ =
，
设
(
,
),
(
,
)
E
E
G
G
E x
y
G x
y
，则
1
2
sin
2
ABE
OAB
OEG
S
S
S
OE
OG
GOE
=
=
=
×
Ð
V
V
V
2
2
2
2
2
2
2
|
|)
(
)
(
(
(|
|
)
)
(
)
|
|
E
E
E
G
G
E
G
E
G
G
E
G
x
y
x
y
x
OE OG
OE O
x
y
G
x y
y
x y
=
-
+
+
-
×
=
+
=
-
uuur
uuur
uuur uuur
，
则
2
2
2
2
2
3
3
2
2
6
2
5
|
1
1 |
2
5
5
5
ABE
m
n
m
n
m
mn
n
S
m n
n m
m
n
-
-
-
+
=
+ -
+
=
×
- ×
=
=
△
，
所以ABE
V
的面积为定值，此定值为
5
2
.
4．（2025·江苏淮安·模拟预测）椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，离心率为
2
2 .过原点的直线l 交椭
圆于A，B 两点，点C，D 在椭圆E 上，且满足
2
AB
CD
=
uuur
uuur ，设直线AC 与BD 交于点F.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求F 点的轨迹方程；
(3)设直线AB 与F 点的轨迹交于M，N 两点，求证：MNF
V
的面积为定值.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)
2
2
1
6
3
x
y
+
=
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
a
b
a
b
a
ìæ
ö
æ
ö
ïç
÷
ç
÷
ïè
ø
è
ø
ï
+
=
í
ï
-
ï
=
ïî
，解得
2
1
a
b
ì =
ïí =
ïî
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）由题意设
1
1
1
1
,
,
,
A x y
B
x
y
-
-
，则
2
2
1
1
1
2
x
y
+
= ①
∵
2
AB
CD
=
uuur
uuur ，直线AC 与BD 交于点F.
∴C，D 分别是AF
BF
、
的中点,设
0
0
,
F x
y
则
1
0
1
0
,
,
2
2
x
x
y
y
C
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø
1
0
1
0
,
2
2
x
x
y
y
D -
+
-
+
æ
ö
ç
÷
è
ø
∵C ，D 在椭圆E：
2
2
1
2
x
y
+
= 上，
∴
2
1
0
2
1
0
2
1
2
2
x
x
y
y
+
æ
ö
ç
÷
+
æ
ö
è
ø +
=
ç
÷
è
ø
②，
2
1
0
2
1
0
2
1
2
2
x
x
y
y
-
+
æ
ö
ç
÷
-
+
æ
ö
è
ø +
=
ç
÷
è
ø
③
由②+③，得
2
2
1
0
1
0
2
2
1
0
1
0
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
+
æ
ö
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
é
ù
+
-
+
æ
ö
æ
ö
è
ø
è
ø +
+
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
，
整理得
2
2
2
2
0
1
1
0
4
2
2
x
x
y
y
+
+
+
=
将①代入，得
2
2
0
0
3
2
x
y
+
=
，即
2
2
0
0
1
6
3
x
y
+
=
所以F 点的轨迹方程为
2
2
1
6
3
x
y
+
= .
（3）若直线l 的斜率不存在，则
0, 3 ,
0,
3 ,
M
N
-
6,0
F
，则
2 3
MN =
,
1
1
2 3
6
3 2
2
2
FMN
S
MN
OF
=
´
´
=
´
´
=
V
若直线l 的斜率存在，设:l y
kx
=
设
2
2
,
M x
y
，
1
1
,
A x y
，
0
0
,
F x
y
，则
1
1,
y
kx
=
由
0
0
,
F x
y
在椭圆
2
2
1
6
3
x
y
+
= 上，
1
1
,
A x y
在
2
2
1
2
x
y
+
= 上
2
2
0
0
2
2
1
1
1,
6
3
1,
2
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
两式相减，整理得
2
2
2
2
0
1
0
1
3
2
3
x
x
y
y
-
= -
-
①，
由（2）知
1
0
1
0
,
2
2
x
x
y
y
C
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø 、
1
1
,
A x y
在椭圆
2
2
1
2
x
y
+
= 上，
则
2
2
1
1
2
1
0
2
1
0
1
2
2
1
2
2
x
y
x
x
y
y
ì
+
=
ï
ïïí
+
æ
ö
ç
÷
ï
+
æ
ö
è
ø
ï
+
=
ç
÷
ï
è
ø
î
，
两式相减，得
2
2
2
2
1
0
1
0
1
1
2
0
2
2
x
x
y
y
x
y
é
ù
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
化简得
2
2
2
2
1
0
0
1
1
0
0
1
2
3
2 2
3
x x
x
x
y y
y
y
+
-
= -
+
-
②
②
①
-
整理，得
1
0
1
0
2
x x
y y
= -
，∴
0
1
1
0
2
x
y
k
x
y
=
= -
由
2
2
1
6
3
x
y
y
kx
ì
+
=
ïí
ï
=
î
得
2
2
6
1
2
x
k
= +
，所以
2
2
2
6
1
2
x
k
= +
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
2
2
1
1
2
MN
OM
x
y
x
k x
k
k
=
=
+
=
+
=
+
+
0
0
,
F x
y
到直线:l y
kx
=
的距离
0
0
2
1
kx
y
d
k
-
=
+
∴
0
0
2
0
0
2
2
2
1
1
6
6
2 1
2
2
1
2
1
2
1
FMN
kx
y
S
MN
d
k
kx
y
k
k
k
-
=
´
´
=
´
+
´
=
-
+
+
+
V
.
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
6
6
2
2
1
2
1
2
2
2
x
x
x
y
x
y
y
y
x
x
y
y
æ
ö
æ
ö
=
-
-
=
-
-
ç
÷
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
è
ø
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
∵
2
2
0
0
1
6
3
x
y
+
= ，∴
2
2
0
0
2
6
x
y
+
=
2
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
12
2
3
2
3 2
2
2
FMN
y
x
y
S
y
x
y
y
y
+
=
==
=
+
V
所以MNF
V
的面积
3 2
FMN
S
=
V
为定值.
5．（2025·内蒙古包头·二模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
1
2
:
1
0
x
C
y
a
a -
=
>
的离心率为2 3
3
，点P 是
1
C
上任意一点．抛物线
2
2 :
2
0
C
x
py p
=
>
的焦点到准线的距离是1．
(1)求
1
2
,
C C 的方程；
(2)过点P 作
1
C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于
,
A B 两点，求证：平行四边形PAOB 的面积为定
值；
(3)
,
PC PD 是
2
C 的两条切线，
,
C D 是切点，求
PCD
△
面积的最小值．
【答案】(1)
1
C 的方程为
2
2
1
3
x
y
-
= ；
2
C 的方程为
2
2
x
y
=
(2)证明见解析
(3)16 6
9
【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则
2
2
1
c
a
=
+ ，
又因为离心率为2 3
3
，所以
2 3
3
c
a =
，代入得
2
2
2 3
1
3
a
a
æ
ö =
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，解得
3
a =
，
所以双曲线
1
C 的方程为
2
2
1
3
x
y
-
= ．
因为抛物线
2
C 焦点到准线的距离为1，所以
1
p = ，
所以抛物线
2
C 的方程为
2
2
x
y
=
．
（2）证明：设
0
0
,
P x
y
，不妨设OA为渐近线
3 ,
3
y
x OB
=
为渐近线
3
3
y
x
= -
，
直线AP 的方程为
0
0
3
3
y
y
x
x
-
= -
-
，
联立方程
0
0
3
3
3
3
y
x
y
y
x
x
ì
=
ïïí
ï -
= -
-
ïî
，解得
0
0
0
0
1
3
3
1
,
2
2
6
2
A
x
y
x
y
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
0
0
3
3
x
y
OA
+
=
同理可得
0
0
0
0
1
3
3
1
,
2
2
6
2
B
x
y
x
y
æ
ö
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，所以
0
0
3
3
x
y
OB
-
=
由于直线OA的斜率
3
3
k =
，因此
30
AOx
Ð
=
o ，所以
2
60
AOB
AOx
Ð
= Ð
=
o ，
所以平行四边形PAOB 的面积为
2
2
0
0
3
3
sin
6
x
y
S
OA OB
AOB
-
=
×
×
Ð
=
，
因为点P 在双曲线
1
C 上，所以
2
2
0
0
1
3
x
y
-
= ，即
2
2
0
0
3
3
x
y
-
=
，
所以平行四边形PAOB 的面积为
3
2
;
（3）设
0
0
1
1
2
2
,
,
,
,
,
P x
y
C x y
D x
y
，
因为函数
2
1
2
y
x
=
的导数为y
x
¢ =
，所以直线PC 的方程为
1
1
1
y
y
x
x
x
-
=
-
，
由于
0
0
,
P x
y
在直线PC 上，则
0
1
1
0
1
0 1
1
0
1
0 1
2
,
y
y
x
x
x
x x
y y
y
x x
-
=
-
=
-
+
=
，
同理
0
2
0
2
y
y
x x
+
=
，所以
1
1
2
2
,
,
,
C x y
D x
y
均满足方程
0
0
y
y
x x
+
=
，
所以直线CD 的方程为
0
0
x x
y
y
=
+
，
联立方程
0
0
2
2
x x
y
y
x
y
=
+
ì
í
=
î
，得
2
0
0
2
2
0
x
x x
y
-
+
=
，所以
1
2
0
1
2
0
2
,
2
x
x
x x x
y
+
=
=
，
则
2
2
2
0
1
2
0
0
0
1
1
4
8
CD
x
x
x
x
x
y
=
+
-
=
+
×
-
，
又因为P 到直线CD 的距离
2
0
0
2
0
2
1
x
y
d
x
-
=
+
，
所以
PCD
△
面积
3
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
1
1
2
4
8
2
2
2
T
CD d
x
y
x
y
x
y
=
×
=
-
-
=
-
，
又因为
2
2
2
0
0
0
0
0
1
8
8
2
3
2
3
3
3
3
3
x
y
y
y
y
æ
ö
-
=
-
+
=
-
+
³
ç
÷
è
ø
，
所以
3
2
8
16 6
3
9
T
æ
ö
³
=
ç
÷
è
ø
，当P 为
30 1
,
3
3
æ
ö
±
ç
÷
ç
÷
è
ø
时T 取最小值16 6
9
，
所以
PCD
△
面积最小值为16 6
9
．
6．（2025·陕西汉中·二模）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为2 2
3
，点
2 2
1,
3
E æ
ö
-
ç
÷
è
ø
在该椭圆上，, ,
A B C 均
为该椭圆上的动点．
(1)求该椭圆的方程；
(2)若ABE
V
的重心是坐标原点O ，求直线AB 的方程；
(3)若
ABC
V
的重心是坐标原点O ，证明：
ABC
V
的面积是定值．
【答案】(1)
2
2
1
9
x
y
+
=
(2)2
12 2
9
0
x
y
-
+
=
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
2 2
3
c
a =
，所以
2
2
2
8
9
a
b
a
-
=
，可得
2
2
9
a
b
=
．
又因为点
2 2
1,
3
E æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
在该椭圆上，所以
2
2
8
1
9
1
9b
b
+
= ，解得
2
1
b = ，所以
2
9
a =
，
故该椭圆的方程为
2
2
1
9
x
y
+
= ．
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则AB 的中点
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
M
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø ．
因为ABE
V
的重心是坐标原点O ，所以
1
2
1
0
3
x
x
+
+
=
，
1
2
2 2
3
0
3
y
y
+
-
=
，
可得
1
2
1
x
x
+
= - ，
1
2
2 2
3
y
y
+
=
，得AB 的中点
1
2
,
2
3
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
由
2
2
1
1
2
2
2
2
1,
9
1,
9
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
得
1
2
1
2
1
2
1
2
0
9
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
+
+
-
=
，
即
1
2
1
2
2 2
0
9
3
x
x
y
y
-
-
+
-
=
，可得
1
2
1
2
1
6 2
AB
y
y
k
x
x
-
=
=
-
，
所以直线AB 的方程为
2
1
1
3
2
6 2
y
x
æ
ö
-
=
+
ç
÷
è
ø
，即2
12 2
9
0
x
y
-
+
=
．
（3）设
,
C m n ，当直线AB 的斜率不存在时，易得
3,0
C
，直线AB 的方程为
3
2
x = -
，
或
3,0
C -
，直线AB 的方程为
3
2
x =
．
将
3
2
x = ±
代入椭圆的方程，可得
3
2
y =
，
所以
ABC
V
的面积
1
9
9 3
3
2
2
4
S =
´
´
=
.
当直线AB 的斜率存在时，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
与（2）同理，可得
1
2
1
2
,
x
x
m y
y
n
+
= -
+
= - ，得AB 的中点
,
2
2
m
n
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø，
所以直线AB 的方程为
2
9
2
n
m
m
y
x
n
æ
ö
+
= -
+
ç
÷
è
ø ，
即
2
2
1
1
9
2
9
9
2
m
m
m
y
x
n
x
n
n
n
n
æ
ö
= -
-
+
= -
-
ç
÷
è
ø
．
令
0
x =
，可得直线AB 在y 轴上的截距为
1
2n
-
，则
1
2
1
1
2
2
OAB
S
x
x
n
=
× -
×
-
V
．
将
1
9
2
m
y
x
n
n
= -
-
代入椭圆的方程，得
2
2
2
2
2
2
1
9
1
0
9
9
4
m
n
m
x
x
n
n
n
+
+
+
- =
，
即
2
2
2
2
1
1
1
0
9
9
4
m
x
x
n
n
n
+
+
- =
，则
2
1
2
1
2
9 1
4
,
4
n
x
x
m x x
-
+
= -
=
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
36
x
x
x
x
x x
m
n
-
=
+
-
=
- +
．
因为
2
2
1
9
m
n
+
= ，所以
2
2
9
9
m
n
=
-
，所以
2
1
2
27
3 3
x
x
n
n
-
=
=
，所以
3 3
4
OAB
S
=
△
．
又因为O 是
ABC
V
的重心，所以
9 3
3
4
ABC
OAB
S
S
=
=
△
△
．
综上，
ABC
V
的面积是定值9 3
4
．
7．（24-25 高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上的两个点
,
,
,
M
M
N
N
M x
y
N x
y
满足
2
2
0
M
N
M
N
x x
y y
a
b
+
=
，则称M，N 为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N 互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点
M ，总有两个共轭点
1
2
,
N N .已知椭圆
2
2
:
1
8
4
x
y
C
+
= ，点
0
0
,
A x
y
是椭圆C 上一动点，点A 的两个共轭点分别记为
1
1
1
2
2
2
,
,
,
B
x y
B
x
y
.
(1)当点A 坐标为( 2, 3) 时，求
1
2
B B ；
(2)当直线
1
2
,
AB AB 斜率存在时，记其斜率分别为
1
2
,
k k ，其中
1
2
0
k k ¹
，求
1
2
k
k
+
的最小值；
(3)证明：
1
2
AB B
V
的面积为定值.
【答案】(1)
1
2
2 7
B B =
(2) 2
(3)证明见解析
【详解】（1）
( 2, 3)
A
Q
的共轭点分别记为
1
1
1
2
2
2
,
,
,
B
x y
B
x
y
，
1
1
2
2
2
3
2
3
0,
0
8
4
8
4
x
y
x
y
\
+
=
+
=
，
\直线
1
2
B B 的方程为
2
3
0
8
4
x
y
+
=
，
联立
2
2
1,
8
4
2
3
0,
8
4
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
得
2
1
1
6 x = ，
1
2
6,
( 6, 1),
(
6,1)
x
B
B
\
= ±
\
-
-
，
1
2
2 7
B B
\
=
；
（2）Q点
0
0
,
A x
y
在椭圆C 上，
2
2
0
0
1
8
4
x
y
\
+
= ，即
2
2
0
0
2
8
x
y
+
=
，
由（1）知，直线
1
2
B B 的方程为
0
0
0
8
4
x x
y y
+
=
，即
0
0
0
2
x x
y y
+
=
，
当
0
0
y ¹
时，直线
1
2
B B 的方程为
0
0
2
x
y
x
y
= -
，代入
2
2
1
8
4
x
y
+
= ，
得
2
2
2
0
0
2
2
0
0
16
2
2
y
x
y
x
y
=
=
+
，即
2
1
2
0
1
2
2
,
0
x x
y
x
x
= -
+
=
，
2
2
0
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
2
0
0
,
0
4
2
2
x
x
x
y y
x x
y
y
x
x
y
y
=
= -
+
= -
+
=
，
2
2
0
2
0
1
2
0
1
2
0
1
0
2
0
1
2
2
2
2
1
0
2
0
1
2
0
1
2
0
0
0
1
2
2
2
x
y
y y
y
y
y
y
y
y
y
y
k k
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
y
x
-
+
-
+
+
-
-
×
=
×
=
=
= -
-
-
-
+
+
-
+
，
当
0
0
y =
时，易知
( 2 2,0)
A ±
，对应共轭点为
1
2
(0,2),
(0, 2)
B
B
-
，
此时
1
2
2
2
,
2
2
k
k
= -
=
，故
1
2
1
2
k k = -
也成立，
1
2
1
2
2
2
k
k
k k
+
³
=
，当且仅当
1
2
2
2
k
k
=
=
时等号成立；
（3）由（2）知，对任意点
0
0
,
A x
y
，都有
1
2
1
1
2
1
2
,
2
x
x
x
y
y
y
-
=
-
=
，
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
0
4
4
2
8
B B
x
x
y
y
x
y
x
y
=
-
+
-
=
+
=
+
，
点
0
0
,
A x
y
到直线
0
1
2
0
:
0
2
x x
B B
y y
+
=
的距离为
2
2
0
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
8
2
4
4
4
x
y
x
y
d
x
x
y
x
y
y
+
+
=
=
=
+
+
+
，
1
2
AB B
V
的面积
2
2
1
2
0
0
2
2
0
0
1
1
8
2
8
4 2
2
2
4
S
B B
d
x
y
x
y
=
×
=
×
+
×
=
+
，
故
1
2
AB B
V
的面积为定值4 2 .
8．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习）如图所示，椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
中，
0
0
2,
,
ab
P x
y
=
是椭圆上任一
点，O 是坐标原点，
2
PO
OM
=
uuur
uuuur
，过M 作直线交椭圆于
,
A B 两点，且AM
BM
=
，当P 在短轴端点时，
6
AB =
．
(1)求,a b 的值，并证明直线AB 的方程为
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
；
(2)探索PAB
V
的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
2
a =
，
1
b = ；证明见解析
(2)是，3 6
4
【详解】（1）P 在短轴端点时，
2
M
b
y
=
，由
2
2
2
24
1
b
x
a
b
+
= ，解得
3
2
x
a
= ±
，
所以
3
6
AB
a
=
=
，得
2
a =
，
1
b = ．
此时椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
因为
2
PO
OM
=
uuur
uuuur
，所以
0
0
,
2
2
x
y
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，
当
0,1
P
，即
0
0
0,
1
x
y
=
= 时，
1
0,
2
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，此时直线AB 的方程为
1
2
y = -
，即2
1
0
y + =
；
当
0, 1
P
-
，即
0
0
0,
1
x
y
=
= - 时，
1
0, 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø，此时直线AB 的方程为
1
2
y =
，即2
1
0
y
-
+ =
；
当
2,0
P
，即
0
0
2,
0
x
y
=
=
时，
2 ,0
2
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，此时直线AB 的方程为
2
2
x = -
，即
2
1
0
x + = ；
当
2,0
P -
，即
0
0
2,
0
x
y
= -
=
时，
2 ,0
2
M æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，此时直线AB 的方程为
2
2
x =
，即
2
1
0
x
-
+ =
；
以上四种情况均符合直线AB 的方程为
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
.
当
0
0
x ¹
且
0
0
y ¹
时，
0
0
OM
y
k
x
=
，由点差法得
0
0
1
2
OM
AB
AB
y
k
k
k
x
×
=
×
= -
，所以
0
0
2
AB
x
k
y
= -
，
又因为直线AB 过点
0
0
,
2
2
x
y
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，所以直线AB 方程为
0
0
0
0
2
2
2
y
x
x
y
x
y
æ
ö
+
= -
+
ç
÷
è
ø ，即
2
2
0
0
0
0
0
2
2
4
x x
x
y
y
y
y
+
= -
-
．①
因为点
0
0
,
P x
y
在椭圆上，所以
2
2
0
0
2
2
x
y
+
=
，
代入①得
0
0
0
2
2
4
x x
y
y
y
= -
-
，即
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
．
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
当
2,0
P
时，
2 ,0
2
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，此时
1
2
2
2
x
x
=
= -
，代入椭圆方程得
1
2
3
2
y
y
=
=
，
所以
3
AB =
，
1
3 2
3 6
3
2
2
4
PAB
S
=
´
´
=
V
，
同理，当
2,0
P -
时，
3
AB =
，
1
3 2
3 6
3
2
2
4
PAB
S
=
´
´
=
V
，
当
0
0
y ¹
时，
因为点
0
0
,
P x
y
在椭圆上，所以
2
2
0
0
2
2
x
y
+
=
，②
联立
2
2
0
0
1
2
2
1
0
x
y
x x
y y
ì
+
=
ïí
ï
+
+ =
î
得
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1 4
0
x
y
x
x x
y
+
+
+ -
=
，
将②式代入得
2
2
0
0
2
2
1
4
0
x
x x
y
+
+ -
=
，得
1
2
0
2
0
1
2
1 4
2
x
x
x
y
x x
+
= -
ìïí
-
=
ïî
，
所以
2
2
1
2
0
0
0
8
2
6
x
x
x
y
y
-
=
+
-
=
，
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
1
2
0
2
0
0
4
6
4
1
6
4
2
2
x
y
x
y
x
AB
x
x
y
y
y
+
+
=
+
-
=
´
=
，
0
0
,
P x
y
到
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
的距离
2
2
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
1
3
4
4
x
y
d
x
y
x
y
+
+
=
=
+
+
，
所以
2
2
0
0
2
2
0
0
6
4
1
1
3
3 6
2
2
2
4
4
PAB
x
y
S
AB
d
x
y
+
=
´
´
=
´
´
=
+
V
，
所以PAB
V
的面积为定值3 6
4
．
1．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过
4 3 ,1
3
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
(4, 3)
N
-
两点，
(1)求C 的方程；
(2)若直线:l y
kx
b
=
+
交C 于P ，Q 两点，点
(4,3)
A
（异于点P ，Q ），
PAQ
Ð
的平分线与x 轴垂直，求证：l 的倾
斜角为定值．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
-
=
(2)证明见解析
【详解】（1）（方法1）当双曲线焦点在x 轴上时，设双曲线方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
，
由题意得，
2
2
2
2
16
1
1
3
16
9
1
a
b
a
b
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，解得
2
2
4
3
a
b
ì
=
í
=
î
，双曲线方程为
2
2
1
4
3
x
y
-
= ．
当双曲线焦点在y 轴上时，设双曲线方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
，
由题意得，
2
2
2
2
1
16
1
3
9
16
1
a
b
a
b
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，方程组无解．
综上，双曲线方程为
2
2
1
4
3
x
y
-
= ．
（方法2）设双曲线方程为
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
-
=
>
，则
2
2
2
4 3
1
3
4
3
1
m
n
m
n
ìæ
ö
ï -
-
=
ç
÷
ïç
÷
íè
ø
ï
- -
=
ïî
，
解得
1
4
m =
，
1
3
n =
，\所求双曲线方程为
2
2
1
4
3
x
y
-
= ．
（2）由已知得直线l 的斜率存在，设其方程为y
kx
b
=
+
，设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
所以
2
2
2
2
2
3
4
8
4
12
0
1
4
3
y
kx
b
k
x
kbx
b
x
y
=
+
ìï
Þ
-
-
-
-
=
í
-
=
ïî
，
所以
2
2
2
2
2
Δ
( 8
)
4 3
4
4
12
48
4
3
0
kb
k
b
b
k
= -
-
-
-
-
=
-
+
>
，
由题意知
2
3
4
0
k
-
¹
，
1
2
2
8
3
4
kb
x
x
k
\
+
=
-
，
2
1
2
2
4
12
3
4
b
x x
k
+
= -
-
，
又因为
PAQ
Ð
的平分线与x 轴垂直，所以
0
AP
AQ
k
k
+
=
，
考点三
以倾斜角与斜率为背景的定值问题
即
1
2
1
2
3
3
0
4
4
y
y
x
x
-
-
+
=
-
-
，所以
1
2
2
1
3
4
3
4
0
y
x
y
x
-
-
+
-
-
=
，
即
1
2
1
2
2
(
3
4 )
kx x
b
k
x
x
+
- -
+
- 8(
3)
0
b -
=
，
所以
2
2
2
4
12
8
2
(
3
4 )
8(
3)
0
3
4
3
4
b
kb
k
b
k
b
k
k
+
-
×
+
- -
×
-
-
=
-
-
，
即24(
1)(
4
3)
0
k
b
k
-
+
+
-
=
，所以
1
k = - 或
3
4
b
k
=
-
，
当
3
4
b
k
=
-
时，直线l 的方程为
3
4
(
4)
3
y
kx
k
k x
=
+ -
=
-
+ ，
即直线l 过点
(4,3)
A
，不符合题意，所以
1
k = - ，设倾斜角为
(0
π)
a
a
£
<
，
即
tan
1
k
a
=
= - ，
3π
4
a =
，即直线l 的倾斜角为定值3π
4 ．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
x
E
y
a
a -
=
>
过点
2,1
M
，MP ，MQ 分别为圆
2
2
2
3
:
2
0
3
C
x
y
r
r
æ
ö
-
+
=
<
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
的两条切线，且分别交双曲线E 于点,
P Q .
(1)证明：直线PQ的斜率为定值；
(2)当
π
3
PMQ
Ð
=
时，求PMQ
V
的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 32 3
25
【详解】（1）
将
2,1
M
的坐标代入
2
2
2
1
x
y
a -
= ，得
2
2
a =
，
所以双曲线E 的方程为
2
2
1
2
x
y
-
= .
由题意可知，直线
,
MP MQ 的斜率均存在且不为0，
设直线MP 的方程为
1
2
1
y
k
x
=
-
+ ，直线MQ 的方程为
2
2
1
y
k
x
=
-
+ ，
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
.
由
1
2
2
2
1,
1,
2
y
k
x
x
y
ì
=
-
+
ïí
-
=
ïî
消去y ，整理得
2
2
2
1
1
1
1
1 2
4
2
1
2 2
1
2
0
k
x
k
k
x
k
-
+
-
-
-
-
=
.
由
2
1
1
2
0
k
-
¹
，得
1
2
2
k ¹ ±
，
由
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
Δ
16
2
1
4 1 2
2 2
1
2
16
1
0
k
k
k
k
k
é
ù
=
-
-
-
-
-
-
=
-
>
ë
û
，得
1
1
k ¹ .
由题意
1
1
1
2
1
4
2
1
2
1
2
k
k
x
k
-
+
= -
-
，解得
2
1
1
1
2
1
4
4
2
2
1
k
k
x
k
-
+
=
-
，
2
1
1
1
1
1
2
1
2
4
1
2
1
2
1
k
k
y
k
x
k
-
+
-
=
-
+ =
-
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
P
k
k
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
，同理
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
.
由题意，
2
2
1
2
1
1
3
3
1
1
r
k
k
=
=
<
+
+
，得
2
2
1
2
2
k
k
=
>
.因为
1
2
k
k
¹
，所以
2
1
k
k
= -
，
故
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
+
+
-
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
所以直线PQ的斜率
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
4
1
2
4
1
8
2
1
2
1
1
4
4
2
4
4
2
8
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
-
-
-
-
-
-
=
=
= -
-
+
+
+
-
-
-
-
，
即直线PQ的斜率为定值1
- .
（2）不妨设
1
0
k >
，因为
π
3
PMQ
Ð
=
，
2
1
k
k
= -
，所以
1
3
k =
，
由（1）知，
14
4 3
7
4 3
,
5
5
Pæ
ö
-
- +
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
14
4 3
7
4 3
,
5
5
Qæ
ö
+
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以直线PQ的方程为
14
4 3
7
4 3
5
5
y
x
æ
ö
-
- +
= -
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，即
7
5
y
x
= - +
，
当
2
x =
时，
3
5
y = -
，
所以
1
3
1
8
14
4 3
14
4 3
32 3
1
2
5
2
5
5
5
25
PMQ
P
Q
S
x
x
é
ù
-
+
æ
ö
=
´
- -
´
-
=
´
´
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
V
.
3．（24-25 高二下·河南周口·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1
A
，且离心率
3
2
e =
，过点
4,0
B
的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与直线
4
x =
分别交于点P ，Q .
(1)求C 的方程.
(2)记直线AM ，AN 的斜率分别为
AM
k
，
AN
k
，证明：
AM
AN
k
k
+
为定值.
(3)是否存在实数l ，使得
PMN
QMN
S
S
l
=
△
△
（S 表示面积）恒成立？若存在，请求出l 的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1)
2
2
1
8
2
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3)存在，
1
l =
【详解】（1）因为C 过点
2,1
A
，且离心率
3
2
e =
，
所以
2
2
4
1
1
a
b
+
= ，且
2
2
3
2
a
b
a
-
=
，
即
2
2
2
2
4
1
1,
4
,
a
b
a
b
ì
+
=
ïí
ï
=
î
解得
2
2
b = ，
2
8
a =
，
所以C 的方程为
2
2
1
8
2
x
y
+
= .
（2）
如图，
，
显然直线MN 的斜率存在，设直线
:
4
MN y
k x
=
-
.
联立得
2
2
1
8
2
4
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，消去y 并整理，得
2
2
2
2
4
1
32
64
8
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
所以
2
2
2
2
2
Δ
32
4 4
1 64
8
32 1
4
0
k
k
k
k
= -
-
+
-
=
-
>
，得
1
1
2
2
k
-
<
<
.
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
2
1
2
2
32
4
1
k
x
x
k
+
=
+
，
2
1
2
2
64
8
4
1
k
x x
k
-
=
+
.（*）
因为
1
2
AB
k
= -
，且Δ
0
=
时，
1
2
k = ±
，所以直线AB 与C 相切，
由椭圆的对称性可知，
1
2
x ¹
，
2
2
x ¹
.
1
2
1
2
1
2
1
2
4
1
4
1
1
1
2
2
2
2
AM
AN
k x
k x
y
y
k
k
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
+
=
+
=
+
-
-
-
-
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
6
16
4
2
4
k
x x
x
x
x
x
x x
x
x
é
ù
-
+
+
-
+
+
ë
û
=
-
+
+
，
将（*）代入，得
1
AM
AN
k
k
+
= - 为定值.
（3）设存在实数l ，使得
PMN
QMN
S
S
l
=
△
△
恒成立.
由
1
2
4
AM
y
k
x
x
ì - =
-
í =
î
，得
4,2
1
AM
P
k
+
，由
1
2
4
AN
y
k
x
x
ì - =
-
í =
î
得
4,2
1
AN
Q
k
+
.
由（2）可知
2
1
2
1
2
2
0
AM
AN
AM
AN
k
k
k
k
+ +
+ =
+
+
=
，
所以点P ，Q 到直线MN 的距离相等，
所以
PMN
QMN
S
S
=
△
△
，即
1
l = .
4．（24-25 高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线方程为
3
y
x
=
，实轴长
为4.
(1)求双曲线C 的标准方程.
(2)若直线l ：y
kx
m
=
+
与双曲线C 交于不同的两点A ，B （点A ，B 均在第一象限，且点A 在点B 上方），直线l 与
直线y
x
=
交于点N ，O 为坐标原点，且
AON
BON
Ð
= Ð
，设直线OA，OB 的斜率分别为
1k ，
2k .
（i）判断
1
2
k
k
×
是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
（ii）若
1
m = - ，求k 的值.
【答案】(1)
2
2
1
4
12
-
=
x
y
(2)（i）是定值，1；（ii）
2 3
3
k =
【详解】（1）根据题意，得
3
b
a =
，2
4
a =
，
解得
2
a =
，
2 3
b =
，
则双曲线C 的标准方程为
2
2
1
4
12
-
=
x
y
.
（2）（i）判断：
1
2
k
k
×
为定值.
如图设
BON
AON
a
Ð
= Ð
=
，
则
1
π
tan
tan 4
k
AOx
a
æ
ö
=
Ð
=
+
ç
÷
è
ø，
2
π
tan
tan 4
k
BOx
a
æ
ö
=
Ð
=
-
ç
÷
è
ø
所以
1
2
π
π
1
tan
1
tan
tan
tan
1
4
4
1
tan
1
tan
k k
a
a
a
a
a
a
+
-
æ
ö
æ
ö
×
=
+
×
-
=
×
=
ç
÷
ç
÷
-
+
è
ø
è
ø
所以
1
2
k
k
×
的定值为1.
（ii）联立直线
1
y
kx
=
- 与双曲线
2
2
1
4
12
-
=
x
y
，得
2
2
3
2
13
0
k
x
kx
-
+
-
=
.
由题可知
2
2
3
0,
Δ
48
156
0,
k
k
ì -
¹
í
= -
+
>
î
解得
13
13
2
2
k
-
<
<
，且
3
k ¹ ±
，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
1
2
2
1
2
2
2
,
3
13
,
3
k
x
x
k
x x
k
ì
+
=
ïï
-
í
ï
=
ï
-
î
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
12
3
1
1
1
3
k
y y
kx
kx
k x x
k x
x
k
-
=
-
-
=
-
+
+ =
-
.
由（i）得
1
2
1
k
k
×
= ，即
1
2
1
2
1
y y
x x = ，即
1
2
1
2
x x
y y
=
，
所以
2
2
2
13
12
3
3
3
k
k
k
-
=
-
-
，解得
2
4
3
k =
，可得
2 3
3
k = ±
.
因为
,
A B 两点均在第一象限，
所以
0
k >
，故
2 3
3
k =
，
综上，当
1
m = - 时，
2 3
3
k =
.
5．（24-25 高二下·湖南·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的上、下顶点分别为A，B，以AB 为直径的圆E
过椭圆C 的两个焦点
1F ，
2F ，且
1
2
F AF
V
的面积为1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点A 的直线l 分别交圆E、椭圆C 于M，N 两点（异于点A），若直线l 的斜率存在．
（ⅰ）证明：
BM
BN
k
k
为定值；
（ⅱ）求MN
BM
∣
∣
∣
∣的最大值，并求取得最大值时直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
2 ,
4
2
1
2
y
x
= ±
+ ．
【详解】（1）因为以AB 为直径的圆E 过椭圆C 的两个焦点
1F ，
2F ．
所以
1
2
1
2
1
1
2
1,
2
2
.
F AF
S
F F
OA
c b
b
c
ì
=
×
=
´
´
=
ïïí
ï =
ïî
V
解得
1
b
c
=
= ，所以
2
a =
，
故椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ．
（2）（ⅰ）
设直线:
1
l y
kx
=
+ ，
2
2
,
M x y
，
1
1
,
N x y
，
直线l 与椭圆C 联立得
2
2
1
1
2
y
kx
x
y
ì
=
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，得
2
2
1
2
4
0
k
x
kx
+
+
=
，
所以
1
2
4
1
2
A
k
x
x
k
-
+
=
+
，即
1
2
4
1
2
k
x
k
-
= +
，所以
2
2
2
4
1
2
,
1
2
1
2
k
k
N
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
．
直线l 与圆E 联立得
2
2
1,
1,
y
kx
x
y
ì
=
+
í
+
=
î
得
2
2
1
2
0
k
x
kx
+
+
=
，
所以
2
2
2
1
A
k
x
x
k
-
+
=
+
，即
2
2
2
1
k
x
k
-
=
+
，所以
2
2
2
2
1
1
1
k
k
M
k
k
æ
ö
-
-
×
ç
÷
+
+
è
ø
．
2
2
2
2
2
2
1
4
1
0
1
4
1
1
2
2
2
1
2
2
0
1
1
1
2
BM
BN
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+
-
-
+
+
=
´
=
´
=
-
-
-
-
+
+
+
，为定值．
（ⅱ）由于
2
2
2
2
1
,
1
1
k
k
M
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
2
2
2
4
1
2
,
1
2
1
2
k
k
N
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
．
所以
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2 1
4
2
1
1
1
2
1
1
2
1
k
k
k
k
MN
k
x
x
k
k
k
k
k
+
-
-
=
+
×
-
=
+
×
-
=
+
+
+
+
．
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
k
k
BM
k
k
k
æ
ö
-
-
æ
ö
=
+
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
+
è
ø
．
从而
2
1
1
2
1
1
2
4
2 2
2
MN
k
BM
k
k
k
=
=
£
=
+
+
∣
∣
∣∣
∣
∣
∣∣
∣∣
，当且仅当
2
2
k =
时，取等号．
此时直线l 的方程为
2
1
2
y
x
= ±
+ ．
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
E
y
a
a -
=
>
过点
2,1 ,
,
M
MP MQ 分别为圆C ：
2
2
2
3
(
2)
0
3
x
y
r
r
æ
ö
-
+
=
<
<
ç
÷
è
ø
的两条切线，且分别交双曲线E 于点,
P Q ．
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)证明：直线PQ的斜率为定值．
【答案】(1)
6
2
(2)证明见解析
【详解】（1）解：将
2,1
M
的坐标代入
2
2
2
1
x
y
a -
= ，得
2
2
a =
，
所以双曲线E 的离心率
2
1
6
1
2
e
a
=
+
=
．
（2）证明：由题意知，直线
,
MP MQ 的斜率都存在且不为0，
设直线MP 的方程为
1
2
1
y
k
x
=
-
+ ，直线MQ 的方程为
2
1
1
2
2
2
1,
,
,
,
y
k
x
P x y
Q x
y
=
-
+
．
由
1
2
2
2
1,
1,
2
y
k
x
x
y
ì
=
-
+
ïí
-
=
ïî
消去y ，整理得
2
2
2
1
1
1
1
1 2
4
2
1
2 2
1
2
0
k
x
k
k
x
k
-
+
-
-
-
-
=
．
由
2
1
1
2
0
k
-
¹
，得
1
2
2
k ¹ ±
，
由
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
Δ
16
2
1
4 1 2
2 2
1
2
16
1
0
k
k
k
k
k
é
ù
=
-
-
-
-
-
-
=
-
>
ë
û
，得
1
1
k ¹ ．
由题意
1
1
1
2
1
4
2
1
2
1
2
k
k
x
k
-
+
= -
-
，解得
2
1
1
1
2
1
4
4
2
2
1
k
k
x
k
-
+
=
-
，所以
2
1
1
1
1
1
2
1
2
4
1
2
1
2
1
k
k
y
k
x
k
-
+
-
=
-
+ =
-
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
P
k
k
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
，同理
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
．
由题意，
2
2
1
2
1
1
3
3
1
1
r
k
k
=
=
<
+
+
，得
2
2
1
2
2
k
k
=
>
．
因为
1
2
k
k
¹
，所以
2
1
k
k
= -
，故
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
+
+
-
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
所以直线PQ的斜率
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
4
1
2
4
1
8
2
1
2
1
1
4
4
2
4
4
2
8
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
-
-
-
-
-
-
=
=
= -
-
+
+
+
-
-
-
-
，即直线PQ的斜率为定值1
- ．
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，
1
2
2 5
F F =
，且
点
2F 到C 的渐近线的距离为2．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左顶点为A ，过点
(2,0)
E
的直线l 与C 交于
,
M N 两点（异于点A ）．
（ⅰ）证明：直线
,
AM AN 的斜率之积为定值；
（ⅱ）过点E 分别作直线
,
AM AN 垂线，垂足分别为,
P Q ，记
AEP
△
，
AEQ
△
的面积分别为
1
2
,
S S ，求
1
2
S S 的最大
值．
【答案】(1)
2
2
1
4
y
x -
=
(2)（i）证明见解析；（ii）243
49
【详解】（1）由题意知
1
2
|
| 2 5
F F =
，可得2
2 5
c =
，解得
5
c =
，
因为点
5,0 到直线
0
bx
ay
±
=
的距离为2，可得
2
2
5
2
b
a
b
=
+
，
又因为
2
2
5
a
b
+
=
，可得
1,
2
a
b
=
=
，所以C 的方程为
2
2
1
4
y
x -
= ．
（2）（ⅰ）由（1）知双曲线的左顶点为
( 1,0)
A -
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，由题意知直线l 斜率不为0，设直线:
2
l x
my
=
+
，
联立方程组
2
2
2
1
4
x
my
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，整理得
2
2
1
4
1
16
12
0
2
m
y
my
m
æ
ö
-
+
+
=
¹ ±
ç
÷
è
ø ，
所以
2
2
2
Δ
256
48 4
1
16 4
3
0
m
m
m
=
-
-
=
+
>
，且
1
2
2
16
4
1
m
y
y
m
-
+
=
- ，
1
2
2
12
4
1
m
y y
m
=
- ，
所以
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
3
3
9
AM
AN
y y
y y
y y
k
k
x
x
my
my
m y y
m y
y
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
12
4
1
12
16
3
3
9
4
1
4
1
m
m
m
m
m
m
-
=
= -
-
æ
ö
+
+
ç
÷
-
-
è
ø
，故直线
,
AM AN 的斜率之积为定值
4
3
-
．
（ⅱ）由题意，直线AP 斜率存在，且不为0，设直线
:
1
AP y
k x
=
+
，其中
0
k ¹
，
则直线PE 的方程为
1
2
y
x
k
= -
-
，
联立方程组
1
1
2
y
k x
y
x
k
ì
=
+
ïí
= -
-
ïî
，解得
2
3
1
P
k
y
k
=
+ ，
用
4
3k
-
替换上式中的k 得点Q 的纵坐标
2
36
9
16
Q
k
y
k
-
=
+
，
则
2
1
2
2
2
2
2
9
243
243
16
4
1 9
16
9
25
P
Q
k
S S
y y
k
k
k
k
=
=
=
+
+
+
+
，
因为
2
2
2
2
16
16
9
2 9
24
k
k
k
k
+
´
=
≥
，当且仅当
2 3
3
k = ±
时取等号，所以
1
2
243
49
S S £
，
所以
1
2
S S 的最大值为243
49 ．
8．（2025·辽宁·模拟预测）已知动圆E 与x 轴相切于点
2,0
N
，过点
1
1,0
F -
，
2 1,0
F
分别作动圆E 的异于x 轴
的切线1l ，2l ，记1l ，2l 的交点M 的轨迹为曲线C.过
1F 的直线l 与C 交于A，B 两点，直线
2
AF 与C 交于另一点
D，直线
2
BF 与C 交于另一点R.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线DR 过定点；
(3)若直线AB ，DR 的斜率
1k ，
2k 都存在，试判断
1
2
k
k 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
0
4
3
x
y
y
+
=
¹
(2)证明见解析
(3)是，3
7
【详解】（1）如图，设两个切点分别为Q，P，
则MQ
MP
=
，
1
1
3
FQ
F N
=
=
，
2
2
1
F P
F N
=
= ，
所以
1
1
3
F M
FQ
MQ
MQ
=
-
=
-
，
2
2
1
F M
F P
MP
MP
=
+
= +
，
则
1
2
1
2
4
4
F M
F M
MP
MQ
F F
+
=
+
-
=
>
，
所以点M 的轨迹是以
1F ，
2F 为焦点，长轴长为4 的椭圆，
又圆E 的半径不能为0 和无穷，
所以C 的方程为
2
2
1
0
4
3
x
y
y
+
=
¹
.
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
D x y
，
4
4
,
R x
y
，
当直线AB 的斜率存在时，
因为A，B，
1F 三点共线，所以
1
2
1
2
1
1
y
y
x
x
=
+
+ ，
化简得
1
2
2
1
1
2
x y
x y
y
y
-
=
-
，
则直线
2
AF 的方程为
1
1
1
1
x
x
y
y
-
=
+ ，直线
2
BF 的方程为
2
2
1
1
x
x
y
y
-
=
+ .
联立
1
1
2
2
1
1
1
4
3
x
x
y
y
x
y
-
ì =
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，整理得
2
2
1
1
1
1
2
5
2
1
3
0
x
y
x
y y
y
-
-
-
+
=
，
由根与系数的关系得
2
1
1
3
1
3
2
5
y
y y
x
=
-
，
所以
1
3
1
3
2
5
y
y
x
=
-
，
1
1
3
3
1
1
1
5
8
1
2
5
x
x
x
y
y
x
-
-
=
+ =
-
，
同理
2
4
2
3
2
5
y
y
x
=
-
，
2
4
2
5
8
2
5
x
x
x
-
=
-
.
又直线DR 的方程为
4
3
3
3
4
3
y
y
y
y
x
x
x
x
-
-
=
-
-
，
令
0
y =
，则
2
1
1
2
3
4
4
3
2
1
1
2
2
1
4
3
2
1
3
5
8
3
5
8
2
5
2
5
2
5
2
5
3
3
2
5
2
5
y
x
y
x
x y
x y
x
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
-
-
´
-
´
-
-
-
-
-
=
=
-
-
-
-
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
5
8
5
8
13
2
5
2
5
7
x y
x y
y
y
y
y
y
y
x y
x y
y
y
y
y
y
y
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
-
-
-
-
-
-
-
，
所以直线DR 过定点13,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
当直线AB 的斜率不存在时，D，R 关于x 轴对称，不妨设
3
1,
2
Aæ
ö
- -
ç
÷
è
ø，可求得点D 的横坐标为13
7 ，所以直线DR
过定点13,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
综上，直线DR 过定点13,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
（3）
1
2
k
k 是定值，证明如下：
由（2）得
2
1
1
2
1
y
y
k
x
x
-
=
-
，
又
2
1
1
2
2
1
2
1
4
3
2
1
2
2
1
4
3
2
1
2
1
3
3
2
5
2
5
2
5
5
8
5
8
3
2
5
2
5
y
y
x y
x y
y
y
y
y
x
x
k
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
-
-
-
-
-
-
-
-
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
5
7
7
3
3
3
y
y
y
y
y
y
k
x
x
x
x
-
-
-
-
-
=
=
´
=
-
-
-
，
所以
1
2
3
7
k
k =
.
1．（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
G
+
=
>
>
的左右焦点分别为
1
2
F
F
、
，点( 2 5,1)
T -
在椭圆
G 上，且
1
2
10
TF
TF
+
=
．
(1)求椭圆G 的标准方程．
(2)点P、Q 在椭圆G 上，O 为坐标原点，且直线OP、OQ 的斜率之积为1
5 ，求证：
2
2
|
|
|
|
OP
OQ
+
为定值；
(3)直线l 过点( 1,0)
-
且与椭圆G 交于A、B 两点，问在x 轴上是否存在定点M，使得MA MB
×
uuur uuur 为常数？若存在，求
出点M 坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
25
5
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3)存在
53,0
5
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
【详解】（1）因为点T 在椭圆上且
1
2
10
TF
TF
+
=
，所以2
10
a =
，
5
a =
；
将点( 2 5,1)
T -
代入椭圆得
2
2
25
1
1
a
b
+
= ，解得
2
5
b =
，
所以椭圆G 的方程为
2
2
1
25
5
x
y
+
= ．
（2）设直线OP ：y
kx
=
，联立方程组
2
2
5
25
y
kx
x
y
=
ì
í
+
=
î
，得
2
5
1 5
x
k
= ±
+
，
所以
2
2
2
2
2
25
25
1 5
k
OP
x
y
k
+
=
+
=
+
，
又直线OQ ：
1
5
y
x
k
=
，类似的可得
2
2
2
2
2
1
25
25
5 125
5
1 5
1
1 5 5
k
k
OQ
k
k
æ
ö
+
ç
÷
+
è
ø
=
=
+
æ
ö
+ ç
÷
è
ø
，
故而
2
2
2
2
30 150
30
1 5
k
OP
OQ
k
+
+
=
=
+
，为定值．
（3）当直线l 与x 轴不垂直时，设l：
0
1
y
k x
-
=
+
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
,0
M t
，
由
2
2
0
1
1
25
5
y
k x
x
y
ì -
=
+
ïí
+
=
ïî
得
2
2
2
2
1 5
10
5
25
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
2
2
1
2
1
2
2
2
10
5
25
,
1 5
1 5
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
= -
=
+
+
，
又
1
1
,
MA
x
t y
uuur
=
-
，
2
2
,
MB
x
t y
uuur
=
-
考点四
以向量为背景的定值问题
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
MA MB
x
t
x
t
y y
x
t
x
t
k x
k x
×
=
-
-
+
=
-
-
+
+
×
+
uuur uuur
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
25
5
10
19
1
1 5
t
t
t
k
k
x x
k
t
x
x
k
t
k
-
+
+
-
=
+
+
-
+
+
+
=
+
，
令
2
2
25
5
10
19
1
5
t
t
t
-
+
-
=
得
53
5
t = -
，此时
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
，
当l 与x 轴垂直时，l：
1
x = - ，
2 30
1,
5
Aæ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2 30
1,
5
Bæ
ö
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
又
53,0
5
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，有
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
，
综上，
53,0
5
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
．
2．（2025·河北邢台·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2，过点
1,1
P
的直线l 与C 相交于
,
A B 两点，且当l 的斜率为0 时，
2 39
3
AB =
．
(1)求C 的方程；
(2)是否存在l ，使得
,
A B 两点关于直线
2
y
x
=
+
对称？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由；
(3)l 与直线
:3
12
0
l
x
y
¢
-
-
=
交于点Q ，设
,
QA
AP QB
BP
l
m
=
=
uuur
uuur uuur
uuur
，问：l
m
+
是否为定值？若为定值，求出该定值；
若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
12
-
=
x
y
(2)不存在，理由见解析
(3)l
m
+
为定值0
【详解】（1）解：设双曲线C 的焦距为2c ，
因为C 的离心率为2，所以
2
2
2
2
2
4 1
3
b
c
a
a
a
-
=
=
- =
，即
2
2
3
b
a
=
，所以
2
2
2
2
1
3
x
y
a
a
-
= ，
当直线l 的斜率为0 时，直线l 的方程为
1
y = ，代入
2
2
2
2
1
3
x
y
a
a
-
= ，得
2
3
1
3
a
x
+
= ±
，
所以
2
3
1
2 39
2
3
3
a
AB
+
=
=
，解得
2
4
a =
，所以C 的方程为
2
2
1
4
12
-
=
x
y
．
（2）解：显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
1
1
y
k x
- =
-
，即
1
y
kx
k
=
-
+ ，
联立方程组
2
2
1
3
12
y
kx
k
x
y
=
-
+
ì
í
-
=
î
，整理得
2
2
2
3
2
1
2
13
0
k
x
k
k x
k
k
-
-
-
+
-
-
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
可得
2
2
2
2
Δ
[ 2
1
]
4 3
2
13
12 3
2
13
0
k
k
k
k
k
k
k
= -
-
-
-
-
-
= -
+
-
>
，且
2
3
0
k
-
¹
，
解得1 2 10
1
2 10
3
3
k
- -
- +
<
<
，且
3
k ¹ ±
，
又由
1
2
2
2
1
3
k
k
x
x
k
-
+
=
-
，
2
1
2
2
2
13
3
k
k
x x
k
-
-
=
-
，①
假设存在l ，使得
,
A B 两点关于直线
2
y
x
=
+
对称，则l 与直线
2
y
x
=
+
垂直，所以
1
k = - ，
所以:
2
l y
x
= - +
，且
1
2
2
1 1
2
3 1
x
x
- ´
+
+
=
= -
-
，则
1
2
1
2
4
6
y
y
x
x
+
= -
+
+
=
，
因此线段AB 的中点坐标为
1,3
-
，
又因为3
1
2
¹ - +
，即点
1,3
-
不在直线
2
y
x
=
+
上，
所以不存在l ，使得
,
A B 两点关于直线
2
y
x
=
+
对称．
（3）解：设
,
Q m n ，
由
,
Q m n 在直线
:
3
12
l
y
x
¢
=
-
上，可得
3
12
n
m
=
-
，即
3
12
0
n
m
-
+
=
；②
又由
,
Q m n 在直线l 上，可得
1
1
n
k m
- =
-
，③
因为QA
AP
l
=
uuur
uuur
，可得
1
1
1
2
,
1
,1
x
m y
n
x
y
l
-
-
=
-
-
，
即
1
1
1
x
m
x
l
-
=
-
，解得
1
1
1
x
m
x
l
-
=
-
，
同理：由QB
BP
m
=
uuur
uuur
，可得
2
2
1
x
m
x
m
-
=
-
，
结合①②③，得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
m
x
x
x x
m
x
m
x
m
x
x
x
x
l
m
+
+
-
-
-
-
+
=
+
=
-
-
-
-
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
13
1
2
2
2
1
6
26
3
3
1
1
3
1
1
k
k
k
k
m
m
k m
m
k
k
x
x
k
x
x
-
-
-
+
×
- ×
-
-
-
+
-
-
=
=
-
-
-
-
-
2
2
1
2
1
2
2
1
6
26
2
3
12
0
3
1
1
3
1
1
n
m
n
m
k
x
x
k
x
x
-
-
+
-
+
=
=
=
-
-
-
-
-
-
，
所以l
m
+
为定值0．
3．（24-25 高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点为F，
6,0
M
，过点F 的直线l
与抛物线C 交于
,
A B 两点，直线
:
4
m x =
与抛物线C 交于
,
C D 两点，AC 与BD 交于点.
P
(1)求
4
AF
BF
+
取得最小值时直线l 的方程；
(2)若直线l 与直线m 相交于点Q，求证：MP MQ
×
uuur uuuur
为定值.
【答案】(1) : 4
2
4
0
l
x
y
±
-
=
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题设
(1,0)
F
，则:
1
l x
ty
=
+ ，联立抛物线得
2
4
4
0
y
ty
-
-
=
，显然
0
D >
，
所以
4
A
B
y
y
t
+
=
，
4
A
B
y y = - ，则
2
4
2
A
B
x
x
t
+
=
+
，
2
(
) 1
1
A
B
A
B
A
B
x x
t y y
t y
y
=
+
+
+ = ，
由
2
2
2
1
1
|
|
|
|
4
2
2
1
|
|
|
|
|
||
|
1
4
2 1
(
)
2
4
A
B
A
B
A
B
x
x
p
AF
BF
t
p
p
AF
BF
AF
BF
t
x x
x
x
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
，
所以
1
1
4 |
|
|
|
|
| 4 |
| (|
| 4 |
|)(
)
5
|
|
|
|
|
|
|
|
BF
AF
AF
BF
AF
BF
AF
BF
AF
BF
+
=
+
+
=
+
+
4 |
| |
|
5
2
9
|
|
|
|
BF
AF
AF
BF
³
+
×
=
，当且仅当2 |
| |
|
BF
AF
=
，即
3
|
| 3,|
|
2
AF
BF
=
=
时取等号，
所以|
| 4 |
|
AF
BF
+
取最小值时，
2
9
4
4
2
A
B
x
x
p
t
+
+
=
+
=
，则
2
4
t = ±
，
所以: 4
2
4
0
l
x
y
±
-
=
.
（2）令
4
x =
，则4
1
ty
=
+ 且
0
t ¹
，可得
3
y
t
=
，即
3
(4, )
Q
t ，
将
4
x =
代入
2
4
y
x
=
，可得
4
y = ± ，如下图，有
(4,4),
(4, 4)
C
D
-
，
由抛物线对称性，不妨令Q 在x 轴上方，
由
1
A
B
x x = 且
,
A B 在抛物线上，可设
2
(
,2 )
A m
m 且
0
m <
，
1
m ¹ - ，则
2
1
2
(
,
)
B m
m
-
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
m
m
m
t
m
m
m
m
m
-
-
=
=
-
=
+
，则
2
6
(4,
)
1
m
Q
m -
，
又,
B C 可能重合，即
,
,
,
B C Q P 可能重合，
可设
2
1
4
2
1
:
4
(
4)
(
4)
2
2
4
m
m
BD x
y
y
m
m
-
+
-
=
+
= -
+
-
+
，
2
4
2
:
4
(
4)
(
4)
2
4
2
m
m
AC x
y
y
m
-
+
-
=
-
=
-
-
，
联立直线
2
1
2
(
4)
(
4)
2
2
m
m
y
y
m
+
+
-
+
=
-
，可
8
2
1
1
4
(
2)
m
y
m m
+
-
= -
+
+
，
所以
2
2
2
8 (
2)
4(
1)
4
4
1
4
1
P
m m
m
y
m
m
m
m
+
-
=
-
=
+
+
+
+
，则
2
2
4(
1)
4
1
P
m
m
x
m
m
+
+
= -
+
+
，
注意
2
3
m ¹ - ±
，否则
/ /
AC
BD ，即两条直线没有交点，不合题设，
所以
2
2
2
2
4(
1)
4(
1)
(
,
)
4
1
4
1
m
m
m
P
m
m
m
m
+
+
-
-
+
+
+
+
，
综上，
2
2
2
2
2
4(
1)
4(
1)
6
(
6,
) ( 2,
)
4
1
4
1
1
M
m
m
m
m
m
m
m
Q
m
P M
m
+
+
-
= -
-
× -
=
+
+
+
+
-
×
uuur uuuur
2
2
2
2
2
2
2
8(
1)
4(
1)
6
20
80
20
12
20
4
1
4
1
1
4
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
+
+
-
+
+
+
+
×
=
=
+
+
+
+
-
+
+
，为定值.
4．（24-25 高二下·上海金山·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2，实轴长为4，过点
1,1
P
的直线l 与C 相交于A，B 两点．
(1)求C 的方程；
(2)是否存在l，使得P 恰好是线段AB 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由；
(3)l 与直线
:3
12
0
l
x
y
¢
-
-
=
交于点Q，设QA
AP
l
=
uuur
uuur
，QB
BP
m
=
uuur
uuur
，问：l
m
+
是否为定值？若为定值，求出该定
值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
12
-
=
x
y
(2)不存在，理由见解析
(3)为定值，定值为0
【详解】（1）因为C 的实轴长为4，所以2
4
a =
，解得
2
a =
，又因为C 的离心率为2，所以
2
2
2
2
2
c
b
a
+
=
=
，所
以
2
12
b
=
，所以C 的方程为
2
2
1
4
12
-
=
x
y
．
（2）由题意直线l 的斜率存在，假设存在直线l 满足条件，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
则
2
2
1
1
1
4
12
x
y
-
= ，
2
2
2
2
1
4
12
x
y
-
= ，所以
2
2
2
2
1
2
1
2
3
0
x
x
y
y
-
-
-
=
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
3
0
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
-
+
-
=
，
因为P 为线段AB 的中点，所以
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
2
y
y
+
=
，
所以
1
2
1
2
3
0
x
x
y
y
-
-
-
=
，所以
1
2
1
2
3
y
y
x
x
-
=
-
，即直线l 的斜率为3，
所以直线l 的方程为y=3x－2．
联立
2
2
1
4
12
3
2
x
y
y
x
ì
-
=
ïí
ï
=
-
î
，消去y 并整理得
2
3
6
8
0
x
x
-
+
=
，
2
Δ
6
4 3 8
60
0
= -
- ´ ´ = -
<
，
所以直线l 与C 无公共点，这与直线l 与C 交于A，B 两点矛盾，
故不存在直线l，使得P 恰好是线段AB 的中点．
（3）由题可知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为
1
1
y
k x
- =
-
，即
1
y
kx
k
=
-
+ ，
联立
2
2
1
4
12
1
x
y
y
kx
k
ì
-
=
ïí
ï
=
-
+
î
得
2
2
2
3
2
1
2
13
0
k
x
k
k x
k
k
-
-
-
+
-
-
=
，
2
2
2
2
Δ
2
1
4 3
2
13
12 3
2
13
0
k
k
k
k
k
k
k
é
ù
= -
-
-
-
-
-
= -
+
-
>
ë
û
，且
2
3
0
k
-
¹
，
解得1 2 10
1
2 10
3
3
k
- -
- +
<
<
，且
3
k ¹ ±
，
由韦达定理得
1
2
2
2
1
3
k
k
x
x
k
-
+
=
-
，
2
1
2
2
2
13
3
k
k
x x
k
-
-
=
-
①，
设
,
Q m n ，由
,
Q m n 在直线
:
3
12
l
y
x
¢
=
-
上，得
3
12
n
m
=
-
，即
3
12
0
n
m
-
+
=
②，
由
,
Q m n 在直线l 上，得
1
1
n
k m
- =
-
③，
由QA
AP
l
=
uuur
uuur
，得
1
1
1
1
,
1
,1
x
m y
n
x
y
l
-
-
=
-
-
，
即
1
1
1
x
m
x
l
-
=
-
，解得
1
1
1
x
m
x
l
-
=
-
，
同理，由QB
BP
m
=
uuur
uuur
，得
2
2
1
x
m
x
m
-
=
-
，
结合①②③，得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
m
x
x
x x
m
x
m
x
m
x
x
x
x
l
m
+
+
-
-
-
-
+
=
+
=
-
-
-
-
2
2
2
1
2
2
1
2
13
1
2
2
3
3
1
1
k
k
k
k
m
m
k
k
x
x
-
-
-
+
×
- ×
-
-
=
-
-
2
2
1
2
1
2
2
1
6
26
2
1
6
26
3
1
1
3
1
1
k m
m
n
m
k
x
x
k
x
x
-
-
+
-
-
+
=
=
-
-
-
-
-
-
2
1
2
2
3
12
0
3
1
1
n
m
k
x
x
-
+
=
=
-
-
-
，故l
m
+
为定值0．
5．（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点
1
15
,
2
4
Aæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
与点
2,0
B
，过点
,0
t
的
直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点，直线BP，BQ 分别交直线
3
x =
于E，F 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在
( 2,2)
t Î -
，使PE QF
×
uuur uuur
为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)存在，
6
5
t =
或
3
5
t =
-
【详解】（1）设椭圆C 的方程为
2
2
1(
0,
0
mx
my
m
n
+
=
>
>
, 且
)
m
n
¹
，
因为椭圆C 过点
1
15
,
2
4
Aæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
与点
2,0
B
，所以
15
1
4
16
4
1
m
n
m
ì
+
=
ïïí
ï
=
ïî
，解得
1
4
1
m
n
ì
=
ïïí
ï =
ïî
.
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
+
=
（2）设直线:l x
my
t
=
+ ，
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
由
2
2
1
4
x
my
t
x
y
ì
=
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，得
2
2
(
)
4
4
0
+
+
-
=
my
t
y
，
即
2
2
2
4
2
4
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
=
，则
2
1
2
1
2
2
2
2
4
,
4
4
mt
t
y
y
y y
m
m
-
+
= -
=
+
+
.
直线
,
BP BQ 的方程分别为
1
2
1
2
(
2),
(
2)
2
2
y
y
y
x
y
x
x
x
=
-
=
-
-
-
.
令
3
x =
，则
1
2
1
2
3,
,
3,
2
2
y
y
E
F
x
x
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
.
则
1
1
1
1
3
3
,
2
y
x
PE
x
x
-
æ
ö
=
-
ç
÷
-
è
ø
uuur
，
2
2
2
2
3
3
,
2
y
x
QF
x
x
-
æ
ö
=
-
ç
÷
-
è
ø
uuur
，
所以
1
2
1
2
1
2
2
1
3
3
3
3
2
2
y y
x
x
PE QF
x
x
x
x
-
-
×
=
-
-
+
-
-
uuur uuur
1
2
2
1
2
1
3
3
1
2
2
y y
x
x
x
x
-
é
ù
=
+
ê
ú
-
-
ë
û
-
1
2
1
2
1
2
3
1
3
2
2
y y
my
my
m
t
t
t
t
y
my
+ -
+ -
+
+
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
(
3) (
)
(
3)
(
2) (
2)
1
)
(
y y
m y
y
m y
y
t
m
y
t
y
t
m
y
t
y
+
-
+
+
-
+
æ
-
+
+
=
+
-
ö
ç
÷
è
ø
2
2
2
1 5
4
24
36
5
6
4
4
2
m
m
t
t
t
t
æ
ö
+
-
+
-
=
×
ç
÷
+
-
è
ø
2
2
1
4
24
16
5
6
5
4
4
2
m
t
t
t
t
æ
ö
-
+
-
=
+
×
ç
÷
+
-
è
ø
2
2
5
6
4
5
6
4
4
2
t
m
t
t
t
æ
ö
-
+
-
=
+
×
ç
÷
+
-
è
ø
，
当5
6
0
t -
=
，即
6
5
t =
时，
0
PE QF
×
=
uuur uuur
，
当
2
6
4
0
t
t
-
+
=
，即
3
5
t =
±
（舍正）时，
5 5
5
4
PE QF
×
=
-
uuur uuur
，
故要使PE QF
×
uuur uuur
为定值，则
6
5
t =
或
3
5
t =
-
6．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆C ：
2
2
1
4
x
y
+
= ，
,
A B 是椭圆C 的左、右顶点，点P 是椭圆上异
于
,
A B 的任意一点.
(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；
(2)设经过
(1,0)
D
且斜率不为0 的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点Q ，求证：OA OQ
×
uuur uuur
为定值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：由题意，设点
0
0
(
,
)
P x
y
，
( 2,0)
A -
，
(2,0)
B
，
则直线PA 的斜率为
0
0
2
PA
y
k
x
=
+
，直线PB 的斜率为
0
0
2
PB
y
k
x
=
-
，
所以
2
0
0
0
2
0
0
0
·
·
2
2
4
PA
PB
y
y
y
k
k
x
x
x
=
=
+
-
-
，
又由点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆上，可得
2
2
0
0
1
4
x
y
+
= ，即
2
2
2
0
0
0
4
1
4
4
x
x
y
-
= -
=
，
所以
2
0
2
0
1
·
4
4
PA
PB
y
k
k
x
=
= -
-
，
即直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值．
（2）证明：由直线l 过点
1,0
D
，所以直线l 的方程为:
1
l x
ky
=
+ ，
联立方程组
2
2
1
1
4
x
ky
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，整理得
2
2
(
4)
2
3
0
k
y
ky
+
+
-
=
，
设
1
(
M x ,
1)
y ，
2
(
N x ,
2)
y
，则
1
2
1
2
2
2
2
3
,
4
4
k
y
y
y y
k
k
+
= -
= -
+
+
，
则
1
2
1
2
2
3
y
y
k
y y
+
=
，即
1
2
1
2
3
3
2
y
y
ky y
+
=
，
又由直线
1
1
:
(
2)
2
y
AM
y
x
x
=
+
+
，直线
2
2
:
(
2)
2
y
BM
y
x
x
=
-
-
，
联立方程组，可得
1
2
1
2
(
2)
(
2)
2
2
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，
整理得
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
3
3
2
3
2
·
·
3
2
2
1
y
x
y
ky
ky y
y
ky y
ky y
y
x
x
x
y
ky
y
ky y
y
ky y
y
+
+
+
+
-
+
=
=
=
=
=
-
-
-
-
-
，
解得
4
x =
，即点
0
(4,
)
Q
y
又由向量
2,0
OA = -
uuur
，
0
4,
OQ
y
=
uuur
，
所以
0
·
2 4
0
8
OAOQ
y
= - ´ + ´
= -
uuur uuur
（定值），即
·
OAOQ
uuur uuur
为定值．
7．（24-25 高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
3
1, 2
Dæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，离心率为
3
2
，左、右焦点分
别为
1F 、
2F ，右顶点为B ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点D 的直线m 与椭圆C 的另外一个交点为E ，当
BDE
V
的面积最大时，求直线m 的方程；
(3)若点M 、N 是直线l 上不同的两点，则向量MN
uuuur
以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，当直线
l
l
¢ ^ 时，直线l¢的方向向量称为直线l 的法向量．设k 、h 为实数，直线:
=
+
l y
kx
h 的一个法向量为tr ，H 为直线
l 上任一点，点T 为坐标平面内的定点，我们把t HT
t
×
uuur
r
r
称为点T 在直线l 上的投影数量．当l 与椭圆C 相切时，点
1F 、
2F 在直线l 上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)
2
3
1
0
x
y
-
+
- =
(3)是定值，且定值为1
【详解】（1）由题意可得
2
2
2
2
2
3
1
4
1
3
2
a
b
c
a
c
a
b
ì
ï
+
=
ï
ï
ï
=
í
ï
=
-
ï
ï
ï
î
，解得
2
1
3
a
b
c
ì =
ï =
í
ï =
î
，
因此，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）易知点
2,0
B
，直线BD 的斜率为
3
3
2
1 2
2
BD
k
=
= -
-
，
则直线BD 的方程为
3
2
2
y
x
= -
-
，即
3
2
2 3
0
x
y
+
-
=
，
若
BDE
V
的面积最大，则点E 到直线BD 的距离取最大值，
设点
2cos ,sin
E
q
q ，其中0
2π
q
£
<
，
则点E 到直线BD 的距离为
π
4sin
2 3
2 3 cos
2sin
2 3
3
7
7
d
q
q
q
æ
ö
+
-
ç
÷
+
-
è
ø
=
=
，
因为0
2π
q
£
<
，则π
π
7π
3
3
3
q
£
+
<
，
故当
π
3π
3
2
q +
=
时，即当
7π
6
q =
时，d 取最大值，此时点
1
3,
2
E æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø，
所以，直线m 的斜率为
3
1
1
2
2
2
1
3
+
=
+
，则直线m 的方程为
1
1
3
2
2
y
x
+
=
+
，
故当
BDE
V
的面积最大时，直线m 的方程为
2
3
1
0
x
y
-
+
- =
.
（3）若直线l 的方程为
0
kx
y
h
-
+
=
，则该直线的斜率为k ，该直线的一个方向向量为
1,k ，
该直线的一个法向量为
, 1
k -
，
设直线l 与椭圆相切于点
0
0
,
T x
y
，则
2
2
0
0
1
4
x
y = -
，
首先证明椭圆在点T 处的切线方程为
0
0
1
4
x x
y y
+
= ，
联立
0
0
2
2
1
4
1
4
x x
y y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
可得
2
0
0
x
x
-
=
，解得
0
x
x
=
，
所以，椭圆在点T 处的切线方程为
0
0
1
4
x x
y y
+
= ，即
0
0
4
4
x x
y y
+
=
，
所以，直线
0
0
4
4
x x
y y
+
=
的一个法向量为
0
0
,4
u
x
y
=
r
，
1
0
0
3
,
TF
x
y
= -
-
-
uuur
，
2
0
0
3
,
TF
x
y
=
-
-
uuur
，
所以，点
1F 在直线l 上的投影为
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
3
4
4
3
4
3
16
16
16
x
x
y
x
y
x
x
TF u
u
x
y
x
y
x
y
-
+
-
+
+
+
×
=
= -
= -
+
+
+
uuur r
r
，
点
2F 在直线l 上的投影为
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
3
4
3
4
3
4
16
16
16
x
x
y
x
x
y
x
TF u
u
x
y
x
y
x
y
-
-
-
+
-
×
=
=
=
+
+
+
uuur r
r
，
所以，点
1F 、
2F 在直线l 上的投影数量的乘积为
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
4
3
4
3
16
3
16
3
1
16
16
3
4 4
x
x
x
x
x
y
x
x
x
- -
- +
-
-
=
=
=
+
-
+
-
.
