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专题六 不等式、函数与导数
第4 讲 恒成立与能成立问题
【探究真题.明确方向】
1.(2021·天津，T20)已知a>0，函数f(x)=ax-xex.
(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明f(x)存在唯一的极值点；
(3)若存在a，使得f(x)≤a+b 对任意x∈R 成立，求实数b 的取值范围.
2.(2023·全国甲卷，文T20)已知函数f(x)=ax- sin x
co s
2 x ，x∈(0，π
2).
(1)当a=1 时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)+sin x<0，求a 的取值范围.
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，
分值约为5~10 分.
【考向预测】考查重点一是不等式恒成立求参数的取值范围；二是不等式能成立求参数的取值范围，包含
双变量的恒成立、能成立求参数的取值范围.
考点一 利用导数研究恒成立问题
【典例】1 (2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=ex-ax-3(a∈R).
(1)当a=-1 时，求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x≥0 时，若不等式f(x)≥x
2
2 -2 恒成立，求a 的取值范围.
1
【变式训练】1 (2025·苏州模拟)已知函数f(x)=aln x-x2，a∈R.
(1)当a<0 时，求函数f(x)零点的个数；
(2)若f(x)+x2-x≤-1 恒成立，求a 的取值范围.
考点二 利用导数研究能成立问题
【典例】2 已知函数f(x)= x
2
e
x ，g(x)=ln x-ax+e，其中e 是自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)对∀x1∈[-1，0]，总存在x2∈[2，e2]，使f(x1)≤g(x2)成立，求实数a 的取值范围.
【变式训练】2 (2025·武汉模拟)已知函数f(x)=ex-ln x
x +a
x -1.
(1)若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线斜率为-1，求a；
(2)若存在x>0，使f(x)≤0 成立，求a 的取值范围.
2
【限时训练】（限时：30 分钟）
1.(13 分)(2025·张家口模拟)已知f(x)=ln x-a(x+1)，a∈R.
(1)若a=2，求曲线f(x)在x=1 处的切线方程；(5 分)
(2)若∃x0∈(0，2]，使f(x0)>0，求a 的取值范围.(8 分)
2.(15 分)(2025·杭州模拟)已知函数f(x)=ex-cos x-(2a+2)x.
(1)当a=0 时，求函数f(x)的极值点的个数；(7 分)
(2)若对∀x≥0，f(x)≥0 恒成立，求实数a 的取值范围.(8 分)
【拓展训练】(共17 分)
3
3.(17 分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln
x
2−x +ax+b(x-1)3.
(1)若b=0，且f'(x)≥0，求a 的最小值；(5 分)
(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(5 分)
(3)若f(x)>-2 当且仅当1<x<2，求b 的取值范围.(7 分)
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