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专题六 不等式、函数与导数
第5 讲 导数几何意义与不等式证明
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅰ卷，T12)若直线y=2x+5 是曲线y=ex+x+a 的一条切线，则a= .
2.(2021·全国乙卷理，T20)设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0 是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a；
(2)设函数g(x)= x + f ( x)
xf ( x) ，证明：g(x)<1.
3.(2022·全国甲卷理，T21)已知函数f(x)=e
x
x -ln x+x-a.
(1)若f(x)≥0，求a 的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于低中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~13
分.
【考向预测】考查重点一是利用导数的几何意义，求切线方程、参数值、范围等，二是利用导数证明不等
式，涉及构造函数求最值、极值点偏移，以及切割线放缩等.
考点一 导数的几何意义
【典例】1 (1)(2025·湛江模拟)已知函数f(x)=ex+2x，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A.y=2x+1
B.y=3x+1
C.y=2x
D.y=3x
(2)若至少存在一条直线与曲线f(x)=2x2+3 和g(x)=3-tln x(t≠0)均相切，则t 的取值范围是( )
A.[-4e，0)
B.[2e，+∞)
C.(-4e，0)∪(0，+∞)
D.[-4e，0)∪(0，+∞)
考点二 单变量函数不等式的证明
【典例】2 已知函数f(x)=xex+a，g(x)=xln x+a.
1
(1)若函数f(x)的最小值与g(x)的最小值之和为-4
e ，求a 的值；
(2)若a=0，x>0，证明：f(x)>g'(x).
【考法归纳】利用导数证明或判定不等式问题的常用方法
(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变形构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；
(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.
【变式训练】2 (2025·聊城模拟)已知函数f(x)=ln x+1
x .
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：xf(x)> 3sin x
cos x +2.
考点三 双变量函数不等式的证明
【典例】3 已知函数f(x)=xe-x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>2.
2
【变式训练】3(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)=1
2ax2+ln x-(a+1)x，h(x)=f(x)+1
2ax2-(b-2)x，其中a>0，
b∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=1 时，若x1，x2是h(x)的两个不同的极值点，求证：h(x1)+h(x2)<-3-ln 2.
【限时训练】（限时：30 分钟）
1.(13 分)已知函数f(x)=xln x+ax+1(a∈R).
(1)若f(x)≥0 恒成立，求实数a 的取值范围；(5 分)
(2)当x>1 时，证明：exln x>e(x-1).(8 分)
2.(15 分)(2025·秦皇岛模拟)设函数f(x)=(x-2)ln x+1.
(1)求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(6 分)
(2)证明：f(x)+ex>x+1.(9 分)
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【拓展训练】(共17 分)
3.(17 分)若函数y=f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f'(x1)=f (b)−f (a)
b−a
，f'(x2)=f (b)−f (a)
b−a
，则称
f(x)是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a，b]上的中值点.
(1)判断函数F(x)=x3-3x2+1 是不是[-1，3]上的“双中值函数”，并说明理由；(5 分)
(2)已知函数f(x)=1
2x2-xln x-ax，存在m>n>0，使得f(m)=f(n)，且f(x)是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2
是f(x)在[n，m]上的中值点.
①求实数a 的取值范围；(5 分)
②证明：x1+x2>2.(7 分)
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