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第1 讲 直线与圆（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】直线的方程...................................................................................................................2
【考点二】圆的方程.......................................................................................................................4
【考点三】直线、圆的位置关系.....................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................7
考情分析：
目录
1
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1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低
难度.
2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两
点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．（2022·全国·高考真题）椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对
称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．（2023·全国·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满足“
面积为
”的m 的一个值 ．
真题自测
2
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6．（2022·全国·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
．
8．（2022·全国·高考真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为 ．
【考点一】直线的方程
核心梳理：
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－
A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为零)的距离d＝.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不同时为零)间的距离d＝.
一、单选题
1．（23-24 高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（20-21 高二·全国·单元测试）如图，函数
的图象在点
处的切线是，则
（ ）
考点突破
3
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A．
B．
C．2
D．1
二、多选题
3．（2024·浙江温州·二模）已知圆
与圆
相交于
两点．若
，则实数
的值可以是（ ）
A．10
B．2
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知点
在定圆
内，经过点
的动直线与
交于
两点，若
的最小值为4，则（ ）
A．
B．若
，则直线的倾斜角为
C．存在直线使得
D．
的最大值为12
三、填空题
5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆
相切且方向向量为
的一条直线的方程 ．
6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知
，若平面内满足到直线
的距
离为1 的点
有且只有3 个，则实数
．
规律方法：
解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用A1B2－A2B1＝0 后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
4
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(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【考点二】圆的方程
核心梳理：
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
一、单选题
1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆
外切，同时与圆
内切，则动
圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东·一模）过
，
，
三点的圆与
轴交于
，
两点，则
（ ）
A．3
B．4
C．8
D．6
二、多选题
3．（22-23 高二上·广东深圳·期末）已知
是圆心为
，半径为2 的圆上一动点，
是圆
所在平面上一定
点，设
（
）．若线段
的垂直平分线与直线
交于点
，记动点
的轨迹为
，则（ ）
A．当
时，
为椭圆
B．当
时，
为双曲线
C．当
时，
为双曲线一支
D．当
且越大时，
的离心率越大
4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数
满足：
(其中为虚数单位)，则下列说法正
确的有( )
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
三、填空题
5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知
，
，
，则
的外接圆的
5
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标准方程为 ．
6．（23-24 高三上·浙江温州·期末）已知圆
与直线
交于A，B 两点，则经过点A，B，
的圆的方程为 ．
规律方法：
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【考点三】直线、圆的位置关系
核心梳理：
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组
消去y，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
一、单选题
1．（2024·山东济南·一模）与抛物线
和圆
都相切的直线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线
上一点
作圆
的两
条切线，切点分别为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆
，圆
，则（ ）
A．两圆的圆心距
的最小值为1
B．若圆
与圆
相切，则
6
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C．若圆
与圆
恰有两条公切线，则
D．若圆
与圆
相交，则公共弦长的最大值为2
4．（2024·安徽·二模）已知双曲线
：
（
，
）左右焦点分别为
，
，
.
经过
的直线与
的左右两支分别交于
，
，且
为等边三角形，则（ ）
A．双曲线
的方程为
B．
的面积为
C．以
为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以
为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
三、填空题
5．（2024·福建漳州·一模）过点
作圆
：
的两条切线，切点分别为A，
，若直线
与圆
：
相切，则
．
6．（2023·河南·模拟预测）圆
与x 轴交于A，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足
，直线
与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为 ．
规律方法：
直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的
等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的
距离，再结合半径利用勾股定理计算．
一、单选题
专题精练
7
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1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“
”是“直线
与直线
平
行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系
中，点
在直线
上.若向量
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线
的实轴长为2，离心率为
，
则双曲线的左焦点
到一条渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4．（2024·辽宁大连·一模）过点
和
，且圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·江西·模拟预测）若点
在圆
的外部，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·北京房山·一模）已知直线
与圆
相交于M，N 两点.则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
8
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7．（2023·湖北·二模）已知动直线l 的方程为
，
，
，O 为坐标原
点，过点O 作直线l 的垂线，垂足为Q，则线段PQ 长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线
与
交于
两点，设弦
的中点为
为坐标原点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高二上·湖北武汉·期末）设圆
，直线
为上的动点，
过点
作圆
的两条切线
，切点为
为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
的取值范围为
B．四边形
面积的最大值为
C．满足
的点
有两个
D．
的面积最大值为
10．（23-24 高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线
和圆
，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆
有两个交点
C．存在直线与直线
垂直
9
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D．直线被圆
截得的最短弦长为
11．（2024·广东汕头·一模）如图，
是连接河岸
与
的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现
规划建一座新桥
，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥
与河岸
垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与
相切，且圆心
在线段
上；
③古桥两端
和
到该圆上任意一点的距离均不少于
.
经测量，点
分别位于点
正北方向
正东方向
､
处，
.根据图中所给的平面直角
坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥
的长为
B．圆心
可以在点
处
C．圆心
到点
的距离至多为
D．当
长为
时，圆形保护区的面积最大
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知圆
与圆
有3 条公切线，
则
的值为 ．
13．（2024·四川·模拟预测）圆
与圆
的公共弦长为 .
14．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为
曲线
的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．
．
10
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四、解答题
15．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：
(1)过圆外一点
引圆的切线，求切线方程；
(2)设点P 是直线
上的一点，过点P 作圆的切线，切点是M，求
的面积最小值以及此时
点P 的坐标．
16．（22-23 高二上·云南昆明·期中）已知圆C：
和直线l：
相切．
(1)求圆C 半径；
(2)若动点M 在直线
上，过点M 引圆C 的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．
①记四边形MACB 的面积为S，求S 的最小值；
②证明直线AB 恒过定点．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点
，
，点P 在以AB 为直径的圆C 上运动，
轴，垂足为D，点M 满足
，点M 的轨迹为W，过点
的直线l 交W 于点E、F.
(1)求W 的方程；
(2)若直线l 的倾斜角为
，求直线l 被圆C 截得的弦长；
(3)设直线AE，BF 的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.
11
