文档文本内容
微专题03 函数的4 大基本性质讲义
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
微专题教学内容
1. 奇偶性的运算
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)−g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函
数
偶函
数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函
数
奇函
数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函
数
偶函
数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函
数
奇函
数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f ( x)=ax+a−x
，（
，且
）为偶函数，
，（
，且
）为奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
为偶函数
3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（
且
）为奇函数，
1
，（
且
）为奇函数
4. 函数的周期性
①若
，则
的周期为：
②若
，则
的周期为：
③若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
④若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
⑤
，周期为
，
，周期为
⑥
，周期为
，周期为
；
，周期为
；
，周期为
⑦复合函数：
的周期为
，则
的周期也为
⑧若
的周期为
，则
、
的周期均为
5. 函数的对称性
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
2
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
6. 函数的性质综合
（1）周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
（2）奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
典例精讲
【典例1】
若函数
为奇函数，则实数
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a 的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定答
案.
3
【详解】函数
为奇函数，故必有
成立，
即
，解得
，
则此时
，定义域为
，
而
，即函数
为奇函数，符合题意，
故
，
故选：C
会一题通一类
1.已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出
，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数
，最后
计算求解.
【详解】
的定义域，由
，
若
，由不等式可解得函数定义域为
，不关于原点对称，不可能为奇函数，
若
，解得函数定义域为
，
若为奇函数，必有
，解得
；
又
，
解得
，
故选：C.
4
2.已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解．
【详解】函数的定义域为
，
因为
是奇函数，
所以
恒成立，
所以
，
故选：A．
【典例2】
设函数
，则满足
的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，说明其单调性和奇偶性,
转化为
解不
等式即可求解.
【详解】
，
设
，
又易知
，
为
上的奇函数，
又
，
在
上单调递增，
又
，
，
5
，
，又
为
上的奇函数，
，又
在
上单调递增，
，
，
故满足
的
的取值范围是
．
故选：C．
会一题通一类
已知函数
，则满足
的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，即可判断
为奇函数，又
，可得
图象的对称中心为
，则
，再判断
的单调性，不等式
，即
，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设
，
，则
，所以
为奇函数．
又
，
则
的图象是由
的图象向右平移
个单位长度得到的，
所以
图象的对称中心为
，所以
．
因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，则
在
上单调递增，
6
因为
，
所以
，所以
，解得
，
故满足
的
的取值范围为
．
故选：B
【典例3】
已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用
，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
7
会一题通一类
1.已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
2.已知函数f (x)= 1
2 x
2+cos x，则f (−2)，f (3)，f (π)的大小关系是（ ）
A．f (−2)<f (3)<f (π)
B．f (π)<f (3)<f (−2)
C．f (3)<f (−2)<f (π)
D．f (−2)<f (π)<f (3)
【答案】A
【详解】因为f (−x)= 1
2 x
2+cos x = f (x)，
8
所以函数f (x)为偶函数，
f
′ (x)= x−sin x，
令g(x)= x−sin x , x∈(0,+∞)，则g
′ (x)=1−cos x>0, x∈(0,+ ∞)，
所以函数g(x)>g(0)=0，
即当x∈(0,+ ∞)时，f
′ (x)>0，
所以函数f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，
所以f (−2)= f (2)<f (3)<f (π).
故选：A.
【典例4】
已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】B
【分析】首先根据偶函数的定义可得：
，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数
周期性求解函数值即可.
【详解】因为
是定义在
上的偶函数，所以
.又因为
，
所以
，所以
，所以
的周期为
.
因为
时，
，所以
.
故选：B.
会一题通一类
已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】D
9
【分析】根据题设，分析可得函数
是周期为4 的周期函数，进而求出
，
再结合周期性质求解即可.
【详解】因为函数
是
上的奇函数，所以
，且
，
又
，所以
，
则
，即
，
所以函数
是周期为4 的周期函数，则
，
因为当
时，
，所以
，
由
，则
，
，
则
，
则
.
故选：D.
【典例5】
已知函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．
B．10
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出
，进而求出目标值.
【详解】函数
，
则
，
由函数
的图象关于点
对称，得
恒成立，
即
恒成立，
10
因此
，解得
，所以
.
故选：C
会一题通一类
已知函数
是定义在
上的偶函数，函数
的图象关于点
中心对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】由函数
的图象关于点
中心对称可知
具有对称轴
，再由
得
，再根据
为
上的偶函数且具有对称轴
可得答案.
【详解】由函数
的图象关于点
中心对称可知，
，即
，
可得
，因此函数
具有对称轴
，
由
，可得
，
由
为
上的偶函数且具有对称轴
，可得
．
故选：B．
【典例6】
已知函数f ( x)的定义域为R，且f ( x +3)为奇函数，f (2−x)为偶函数，记f ( x)的导函数为f
′( x)，则下列
函数为奇函数的是（ ）
A．f ( x−1)
B．f
′(−x +3)
C．f ( x +2)
D．f ( x)
11
【答案】A
【详解】因为f (x +3)为奇函数，f (2−x)为偶函数，
所以f (−x +3)=−f (x +3)，f (x +2)= f (2−x)，
所以f (x +2)为偶函数，故C 错误；
又对f (−x +3)=−f (x +3)两边求导，得−f
′ (−x +3)=−f
′ (x +3)，
即f
′ (−x +3)= f
′ (x +3)，所以f
′ (−x +3)是偶函数，故B 错误；
由f (−x +3)=−f (x +3)，可得f (x +6)=−f (−x)，
由f (x +2)= f (2−x)，可得f (x + 4)= f (−x)，
所以f (x +6)=−f (x + 4)，即f (x +2)=−f (x)，即得f (x + 4)= f (x)，
所以f (x)是周期为4 的函数，则f (x +3)= f (x−1)，所以f (x−1)是奇函数，故A 正确；
由f (−x +3)=−f (x +3)，可得f [−(x−1)+3]=−f [(x−1)+3]，即f (4−x)=−f (x +2)，
又由f (x +6)=−f (x + 4)，可得f (x + 4)=−f (x +2)，
所以f (4−x)= f (4 + x)，即f (x + 4)为偶函数，所以f (x)为偶函数，故D 错误.
故选：A.
会一题通一类
函数f ( x)的定义域为R，且f ( x)与f ( x +1)都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A．f ( x−1)为奇函数
B．f ( x)为周期函数
C．f ( x +3)为奇函数
D．f ( x +2)为偶函数
【答案】D
【详解】因为f ( x)为奇函数，所以f (−x−1)+ f (x +1)=0，
又f ( x +1)为奇函数，所以f (−x +1)+ f (x +1)=0，
∴f (−x +1)= f (−x−1)，即f (x−1)= f (x +1)，
所以f (x)= f (x +2)，且f (−x−1)+ f (x +1)= f (−x−1)+ f (x−1)=0，
∴f ( x)是周期为2 的函数，且f (x−1)是奇函数，故A、B 正确；
由f (x)= f (x +2)得f (x +1)= f (x +3)，
故由A、B 得f (−x +3)= f (−x +1)= f (−x−1)=−f (x−1)=−f (x +1)=−f (x +3)，
即f (x +3)为奇函数，故C 正确；
由f (x)= f (x +2)得f (−x +2)= f (−x)=−f (x)=−f (x +2)，
所以f ( x +2)为奇函数，故D 错误；
12
故选：D.
【典例7】
已知曲线y =ln
x
2+ x −x +a关于点(−1,0)中心对称，则a=（ ）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
【答案】C
【详解】因为y =ln
x
2+ x −x +a关于点(−1,0)中心对称，
所以f (−2−x)+ f (x)=0，
所以ln −x−2
−x
−(−2−x)+a+ln
x
x +2 −x +a=0，可得a=−1，
故选：C．
会一题通一类
若函数f (x)=e
x +1+e
a−x+( x +b)
2关于直线x =2对称，则a+b=（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【详解】由题意函数f (x)=e
x +1+e
a−x+( x +b)
2关于直线x =2对称，
故f (4−x)= f (x)，即e
5−x+e
a−4+ x+(4−x +b)
2=e
x +1+e
a−x+( x +b)
2，
即e
5−x(1−e
a−5)+e
a−4+ x(1−e
5−a)+(4+2b)(4−2 x)=0，
即(1−e
a−5)(e
5−x−e
x +1)+(4 +2b)(4−2 x)=0,
故需满足1−e
a−5=0且4 +2b=0，即a=5,b=−2，
则a+b=3，
故选：B
【典例8】
已知函数
是定义在
上周期为4 的奇函数，若
，则
．
【答案】
13
【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值.
【详解】函数
是定义在
上周期为4 的奇函数，故
且
，
故
，解得
，
，
又
，所以
.
故答案为：
会一题通一类
1.已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，
为奇函数，则下列式子中一定是定
值的为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过已知
为偶函数和
为奇函数得出相应等式，再经过等式推导得出函数的周期，
最后利用周期计算
的值.
【详解】因为
为偶函数，可得
，也就是
.
因为
为奇函数，可得
，也就是
.
令
代入
，可得
，所以
.
由
和
，可得
.
则
，即
.
则
.
又因为
，所以
，所以函数
的周期是.
因为
，可得
，
又因为前面已求得
，所以
.
故选：D.
2.已知定义在
上的函数
，满足
是偶函数，
是奇函数，则
.
【答案】1
【分析】由条件结合偶函数的性质和奇函数性质，求函数
的周期，结合周期性性质求结论.
14
【详解】因为函数
是偶函数，
所以
，
因为函数
是奇函数，
所以
，即
，
取
可得
，
令
可得
，
令
可得，
，
所以
，
，
所以
，
所以函数
为周期函数，
是该函数的一个周期，
所以
.
故答案为：.
【典例9】
已知函数
是定义在
上的奇函数，函数
的图象关于
对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【分析】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值
即可得到答案.
【详解】因为
，所以
，
15
因为
是奇函数，
，所以
，
因为函数
的图象关于
对称，所以
，
即
.
故选：D.
会一题通一类
1.设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇函数，则
的图象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
【答案】B
【分析】由题意得
，求导得
，即可求解.
【详解】因为
是奇函数，所以
，即
，
对其求导，则有
，所以
关于直线
对称.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：
（1）对于
，若
，则函数
周期为
；
（2）对于
，若
，则函数
关于直线
对称；
（3）对于
，若
，则函数
关于点
对称.
2.已知
是定义在
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【答案】C
16
【分析】分析可知函数
的一个周期为4，结合奇函数可得
，
，进而可得
，
，再根据周期性即可得结果.
【详解】因为
，可得
，
可知函数
的一个周期为4，
又因为
是定义在
的奇函数，则
，
则
，即
，
令
，可得
；
令
，可得
，即
，
则
，
所以
.
故选：C.
【典例10】
设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
【答案】B
【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解
的值.
【详解】令
，则
，所以
．
17
令
，则
，又
，所以
．
令
，则
，所以函数
的图像关于直线
对称．
令
，则
，所以
，
的图像关于点
对称．
故
，则
,
是周期
的函数．
又
，当
为偶数时，
．当
为偶数时，
也为偶数，此时
；当
为奇数时，令
，则
.
所以
1013．
故选：B．
会一题通一类
1.（多选）已知函数
的定义域为
，函数
为奇函数，函数
为偶函数，则（ ）
A．函数
的一个对称中心为
B．
C．函数
为周期函数，且一个周期为4
D．
【答案】AD
18
【分析】利用奇函数的性质将得到
即可得出对称中心；通过赋值法令
，得出
，再利用
为偶函数，得出
，再令
即可求解；利用函数
的
一个对称中心为
即可求解；利用
，令
得
即可求解．
【详解】对于A，由函数
为奇函数，故
，
即
，即
，故函数
的一个对称中心为
，故A 正确；
对于B，由
，令
，则
，即
，
由函数
为偶函数，故
，即
，
令
，则
，故B 错误；
对于C，由函数
的一个对称中心为
，则
，即
，故函数
不以4
为周期，故C 错误；
对于D，由
，令
，有
，
由
，故
，故D 正确．
故选：AD．
2.（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
无解
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对于A，由题设条件赋值
即可计算求解；对于B，先假设存在
使得
，接着
由题设条件赋值
得到
，令
等于0 求解即可判断；对于CD，分别赋值
19
、
和
依次求得
、
和
，接着依次赋值
和
得到
递推式
再结合累加法求出函数解析式即可求解判断CD.
【详解】对于A，由题意可得
，故A 正确；
对于B，假设存在
使得
，即方程
有解，
则由题意可得
，
则
，令
，
所以方程
无解，故B 正确；
对于CD，由题意可得
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以当
时，
，
时，
，
20
满足
，所以对任意
有
，
所以
，
，故C 正确，D 错误.
故选：ABC
学后测评
一、单选题
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．1 或-1
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质计算可得.
【详解】由偶函数性质
可得
，移项得
，
所以
，即
，所以
解得
.
检验：当
时，
，此时定义域是
，
显然关于原点对称,所以
满足题意；
当
时，
，此时定义域是
，
显然不关于原点对称，所以
不满足题意；
故选:C
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数
（
且
）的图象关于
轴对称，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
21
【分析】根据题意，函数
为偶函数，可求得
的值，再结合
，代入即可求解.
【详解】因为函数
的图象关于
轴对称，
所以函数
为偶函数，所以
，即
，
即
，即
，即
，
所以
，又
，解得
．
故选：B
3．（2025·新疆·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的单调性，判断函数单调性，进而解出不等式即可.
【详解】已知
，定义域为R，
可知
，令
，即
，解得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，即
，即
，
化简得
，解得
或
；
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：C.
4．（2025·安徽·二模）已知函数
，下列函数中为偶函数的是（ ）
22
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】因为
，故
的定义域为
.
选项A：
，
，
，所以
不是偶函数，故A 错误；
选项B：
，
，
，所以
不是偶函数，故B 错误；
选项C：
，
，
，所以
为偶函数，故C 正确；
选项D：
，
，
，所以
不是偶函数，故D 错误.
故选：C.
5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
满足
，若函数
与
图象的交点为
、
、
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
23
【答案】C
【分析】分析可知，函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于点
对称，从而可知函
数
、
的图象的交点也关于点
对称，结合对称性可求得
的值.
【详解】因为
满足
，则函数
的图象关于点
对称，
设
，则函数
的定义域为
，
因为
，故函数
的图象关于点
对称，
所以函数
、
的图象的交点也关于点
对称，
不妨设
，则
，
，
，
，
令
，则
，
故
，故
，
由对称性知
，
，
，
，
令
，则
，
故
，故
，
因此
，
故选：C.
6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
，且
，则实
数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
24
【分析】先构造函数
，将不等式
可以转化为
，利用奇偶性定义得到函数
为奇函数，利用导数证明函数
在
上单调递增，
再利用奇偶性和单调性结合解不等式
,即可得到实数的取值范围.
【详解】设
，则
，
所以
可以转化为
，即
，
因为
所以函数
为奇函数，
，所以函数
在
上单调递增，
，即
，
因为
为奇函数，所以
，
所以
，所以
即
或者
，所以实数的取值范围是
故选：C
二、多选题
25
7．（2025·四川绵阳·一模）已知定义在
上的偶函数
可导，
的导数为
是奇函
数，则（ ）
A．
B．
的一个周期为8
C．
D．
的图象关于
对称
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可.
【详解】因为
是奇函数，所以
，
令
，可得
，解得
，A 错误；
因为
是偶函数，则
，且
，
用
代替
可得
，即
.
又
，则
，所以
，从而有
，
所以
的一个周期为8，B 正确；
因为
是偶函数，则
，两边求导得
，
所以
是奇函数，所以
，C 正确；
由
，两边同时对
求导得
，
即
，所以函数
的图象关于直线
对称，D 正确.
故选：BCD
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，满足
，当
时，
，则（ ）
26
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据函数的偶函数特性以及函数的周期性逐项判断并计算即可.
【详解】因为函数
为偶函数，所以
.
因为
，令
，
则
，故
，所以A 正确；
所以
，即
.
所以函数
的周期为2.
当
时，
，所以
，所以B 错误；
，
因为
，所以
，所以C 正确；
因为
，函数
周期为2，
所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
9．（2025·海南·一模）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．存在函数
，使得
的值域为
D．存在函数
，使得
是奇函数
【答案】BCD
27
【分析】令
，得
或
．对于A，若
，代入已知条件式，可推出矛盾；对于
B，若
，代入已知条件式，可得
；对于CD，举例说明即可判断.
【详解】令
，得
，所以
或
.
对于A，若
，则对任意
，
左边
，右边
，矛盾，故A 错误；
对于B，若
，则对任意
，
可得
，经检验，符合题意，易知
在
上单调递增，故B 正确；
对于C，
的值域为
，只要
满足定义域为
，值域为
即可，
如
，
，符合题意，故C 正确；
对于D，令
，得
，
而
定义域为
，
，故
即
为奇函数，故D 正确.
故选：BCD.
10．（2025·陕西榆林·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
关于
对称
C．
的周期为2
D．
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的性质判断A；由
得函数的对称性判断B；根据奇函数性质和对称性
可得函数的周期性判断C；利用函数周期性求值判断D.
28
【详解】对于A：因为
是
上的奇函数，所以
，即
，正确；
对于B：由
，知
图象关于
对称，正确；
对于C：因为
，
所以
，
所以
，即
的周期为4，错误；
对于D：
，正确.
故选： ABD
11．（24-25 高三上·山西·月考）下列函数中，在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A 的正误.
【详解】对于A，函数
所以
在
上单调递减，故A 正确；
对于B，函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故B 错误；
对于C，函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故C 错误；
对于D，函数
在
上单调递减，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，故D 正确.
故选：AD.
29
12．（25-26 高三上·福建漳州·月考）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
为奇函数
C．
为
上的减函数
D．
无最值
【答案】ABD
【分析】根据指数函数的单调性、奇函数的性质，结合指数型函数的最值性质逐一判断即可.
【详解】由
，所以
，故A 正确；
，
因为
，
所以
为奇函数，故B 正确；
因为
的定义域为
，
所以选项C 不正确；
当
时，
，所以
，即
，
当
时，
，
即
，所以
无最值，
故选：ABD
13．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
则（ ）
A．
B．
的值域为
C．
是偶函数
D．
是增函数
【答案】ABC
【分析】根据给定的函数等式可得
，再结合
求出函数解析式，然后利用二次函数性
质逐项判断得解.
30
【详解】由
，得
，令函数
，
则
，
为常函数，令
，则
，
，
因此
，
的值域为
是偶函数，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，ABC 正确，D 错误.
故选：ABC
14．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足：
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
的图象关于直线
对称
【答案】AC
【分析】对于A：令
代入运算即可；对于B：令
，结合函数奇偶性的定义分析判定；对于
C：令
，整理可得
，进而运算求解；对于D：举反例说明即可.
【详解】因为定义域为
的函数
满足
，且
，
对于选项A：令
，则
，
即
，所以
，故A 正确；
对于选项B：令
，则
，
即
，即
，
31
所以
是奇函数，故B 错误；
对于选项C：因为
是奇函数，则
，
令
，则
，
即
，
若
，则
；
若
，则
；
依此类推可得：
，故C 正确；
对于选项D：例如
，
则
，
，
且
，可知
符合题意，
但
的图象不关于直线
对称，故D 错误；
故选：AC.
15．（2025·辽宁丹东·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，
在区
间
上单调递增，且
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
关于直线
对称
D．
【答案】AB
32
【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用
和奇函数定义可得
函数
的图象关于
对称，根据对称性，结合已知可判断B；求出
和
可判断函数图象关
于直线
对称，结合周期可判断C；利用周期性可判断D.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
故
，
所以
，所以
，
所以，6 是函数
的一个周期.
对于A，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，所以
，正确；
对于B，因为
，
因为
是
的周期，所以
，故
所以函数
的图象关于
对称，又
在区间
上单调递增，
所以
在区间
上单调递减，正确；
对于C，因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
的图象不关于直线
对称，
根据周期性可知，
的图象不关于直线
对称，错误；
33
对于D，因为
，
，
所以
，错误.
故选：AB
34
