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微专题08 利用二阶导函数解决函数问题讲义
微专题教学内容
1. 二阶导的定义
定义 1 : 若函数
的导函数
在点
处可导, 则称
在点
的导数为
在点
的二阶导数, 记作
, 同时称
在点
为二阶可导.
定义 2: 若
在区间
上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在
上的二阶可导函数, 记作
2. 函数极值的第二判定定理
若
在
附近有连续的导函数
, 且
（1）若
, 则
在点
处取极大值;
（2）若
, 则
在点
处取极小值
3. 曲线的凹凸性
设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在
(a,b) 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 (a,b) 内是凸的。从图象
上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
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设函数
在
内具有二阶导数, 如果在
内
, 那么对应的曲线在
内是凹的, 如果在
内
, 那么对 应的曲线在
内是凸的 设
在区间
上连续, 如果对
上任意两点
, 恒有
则称
在
上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称
在
上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
4. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使
的点, 但是使
的点
不一定都是拐点。
5. 解决这类题的常规解题步骤为:
(1) 求函数的定义域;
(2) 求函数的导数
, 无法判断导函数正负;
(3) 构造求
, 求
;
2
(4) 列出
的变化关系表;
(5) 根据列表解答问题。
典例精讲
【典例1】
已知函数
，讨论函数
的单调性.
会一题通一类
1.已知函数
满足
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求的取值范围．
2.已知函数
，
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
有且只有2 个不同的零点，求的取值范围.
【典例2】
已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)证明：
．
3
会一题通一类
已知函数
，
.（注：
是自然对数的底数）
(1)若
无极值点，求实数的取值范围；
(2)当
时，
恒成立，求实数的取值范围.
【典例3】
已知函数
，
.
(1)证明：当
时，
；
(2)若
，求a 的取值范围；
(3)证明：
.
会一题通一类
已知函数
，
．
(1)当
时，求证：
．
(2)令
，若
的两个极值点分别为m，n（m<n）．
①当
时，求曲线
在
，
处的切线方程（
为
的导函数）；
②求证：
．
4
【典例4】
已知函数
，
．
(1)若
，求函数
的图象在点
处的切线方程；
(2)若
在
上恒成立，求实数的最大值．
会一题通一类
已知函数
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，
恒成立，求实数的取值范围.
【典例5】
已知函数
，
的导函数为
．
(1)若
存在极值点，求的取值范围；
(2)设
的最小值为
，
的最小值为，证明：
．
会一题通一类
1.已知函数
满足
．
(1)讨论
的单调性；
5
(2)当
时，
，求的取值范围．
2.已知为自然对数的底数，为常数，函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)若在
轴的右侧函数
的图象总在函数
的图象上方，求实数的取值范围.
学后测评
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
是
的极小值点，求
的取值范围．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（为自然对数的底数）.若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
3．（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
，其中
.当
时，设
的两个零
点为
，
，求证：
.
4．（2025·浙江·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线过点
，求实数a 的值；
(2)当
时，证明：
．
5．（25-26 高三上·全国·月考）已知函数
．
(1)设
，讨论
的单调性；
6
(2)设
，若
恒成立，求
的取值范围．
6．（2025·广东·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的取值范围．
7．（2025·江西上饶·一模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线的斜率为
，求
的值；
(2)若
是
的极小值点，求
的取值范围．
8．（24-25 高三下·北京朝阳·月考）已知函数
，
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调区间；
(3)若
在
上存在零点，求实数
的取值范围.
9．（24-25 高三上·福建三明·月考）已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)判断是否存在
，使得
的最小值为
，并说明理由.
10．（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）(1)讨论函数
，
的单调性，并求出
的
极值；
(2)当
时，证明：
；
(3)若对任意
，都有
，求
的取值范围.
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11．（25-26 高三上·河南·期中）已知函数
，
.
(1)若对任意的
，
恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)证明：
有且仅有一个极值点
，且
.
12．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数
（其中
）.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)当
时，若对任意
，都有
恒成立，求
的最小值.
13．（25-26 高三上·福建厦门·期中）已知函数
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
14．（25-26 高三上·湖南·期中）已知函数
(1)当
时，解不等式：
；
(2)当
时，判断f（x）的零点个数并证明；
(3)若
恒成立，求实数a 的取值范围.
15．（25-26 高三上·云南昆明·期中）函数
（
，为自然对数的底数）．
(1)若
恒成立，
①求a 的值；
②若
，证明：
．
(2)若
时，
恒成立，求a 的取值范围．
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