微专题9 奔驰定理与三角形四心
一、基础知识
1.奔驰定理
如图,已知P 为△ABC 内一点,则有S1⃗PA+S2⃗PB+S3⃗PC=0(其
中S1,S2,S3分别为△PBC,△PAC,
△PAB 的面积).
证明:设∠APB=α,∠APC=β,|⃗PA|=x,
|⃗PB|=y,|⃗PC|=z.
根据三角形正弦定理面积公式得
S1⃗PA+S2⃗PB+S3⃗PC=1
2
yzsin [2π-(α+β)]·⃗PA+1
2
xzsin β⃗PB+1
2
xysin α⃗PC
=-1
2
yzsin(α+β)⃗PA+1
2
xzsin β⃗PB+1
2
xysin α⃗PC,①
把①式两边与向量⃗PA作数量积得
(S1⃗PA+S2⃗PB+S3⃗PC)·⃗PA
=-1
2
x2yzsin(α+β)+1
2
x2yzsin βcos α
+1
2
x2yzsin αcos β
=1
2
x2yz[-sin(α+β)+sin βcos α+sin αcos β]=0.
同理:①式两边与向量⃗PB,⃗PC作数量积都得0.
但是S1⃗PA+S2⃗PB+S3⃗PC 不可能同时与⃗PA,⃗PB,⃗PC三
个向量垂直,而⃗PA,⃗PB,⃗PC也不可能都为0,所以S1⃗PA+S2⃗
PB+S3⃗PC=0.
该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志,所以我们把上述结论
称为奔驰定理,该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有
直接的作用.
2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)
(1)点O 是△P1P2P3的重心⇔⃗O P1+⃗O P2+⃗O P3=0⇔S△P2O P3
=S△P1O P3=S△P1O P2=1
3 S△P1 P2 P3;
(2)点O 是△P1P2P3的垂心⇔⃗O P1·⃗O P2=⃗O P2·⃗O P3=⃗O P3
·⃗O P1⇔tan P1·⃗O P1+tan P2·⃗O P2+
tan P3·⃗O P3=0⇔S△P2O P3∶S△P3O P1∶S△P1O P2=tan P1∶tan
P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形);
(3)点O 是△P1P2P3的内心⇔a⃗O P1+b⃗O P2+c⃗O P3=0⇔
S△P2O P3∶S△P3O P1∶S△P1O P2=a∶b∶c(其中a,b,c 是△P1P2P3
的三边,分别所对角P1,P2,P3);
(4)点O 是△P1P2P3的外心⇔|⃗O P1|=|⃗O P2|=|⃗O P3|⇔⃗
O P1sin 2P1+⃗O P2sin 2P2+⃗O P3sin 2P3=0⇔S△P2O P3
∶S△P3O P1∶S△P1O P2=sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3.
二．典型例题
1.利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题
例1 (1)已知O 是△ABC 内部一点,满足⃗OA+2⃗OB+m⃗OC=0,
且S△AOB
S△ABC
=4
7
,则实数m= .
(2)(2025·成都诊断)已知点A,B,C,P 在同一平面内,⃗PQ=
1
3⃗PA,⃗QR=1
3⃗QB,⃗RP=1
3⃗RC,则S△ABC∶S△PBC= .
规律方法 已知P 为△ABC 内一点,且x⃗PA+y⃗PB+z⃗PC
=0(x,y,z∈R,xyz≠0,x+y+z≠0),则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|;
(2) S△PBC
S△ABC
=|
x
x + y + z|, S△PAC
S△ABC
=|
y
x + y + z|,
1
S△PAB
S△ABC
=|
z
x + y + z|.
训练1 设O 在△ABC 的内部,D 为AB 的中点,且⃗OA+⃗OB+2⃗
OC=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为 .
2.奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)
(1).奔驰定理与重心
例2 (2025·兰州模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,重心为G.若a⃗GA+b⃗GB+√3
3
c⃗GC=0,则∠BAC=
.
(2).奔驰定理与外心
例3 已知点P 是△ABC 的外心,且⃗PA+⃗PB+λ⃗PC=0,C=2π
3
,
则λ= .
(3).奔驰定理与内心
例4 (2025·南阳质检)在△ABC 中,AB=2,AC=3,BC=4,O 为
△ABC 的内心,若⃗AO=λ⃗AB+μ⃗BC,则3λ+6μ 的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(4).奔驰定理与垂心
例5 (2025·温州调研)如图,已知O 是△ABC 的垂心,且⃗OA+2⃗
OB+3⃗OC=0,则
tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB=( )
A.1∶2∶3
B.1∶2∶4
C.2∶3∶4
D.2∶3∶6
易错提醒 涉及三角形的四心问题时,内心和重心一定在三角
形内部,而外心和垂心有可能在三角形外部,上述定理及推论中
的点都在三角形内部,解题时,要注意观察题目有无这一条件.
训练2 (1)设I 为△ABC 的内心,且2⃗IA+3⃗IB+√7⃗IC=0,则角
C= .
(2)设点P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心,∠BAC=π
6
,如图.若
△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为1
2
,x,y,则x+y 的最大值是
.
2
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·江苏部分学校联考)已知平面上四个点A,B,C,D,其中
任意三点不共线.若⃗AB·⃗AD=⃗AC·⃗AD,则直线AD 一定经过
三角形ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
2.点O 为△ABC 内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设⃗
AO=λ⃗AB+μ⃗AC,则实数λ 和μ 的值分别为( )
A.2
9
,4
9
B.4
9
,2
9
C.1
9
,2
9
D.2
9
,1
9
3.已知O 是△ABC 内一点,⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,⃗AB·⃗AC=2 且
∠BAC=60°,则△OBC 的面积为( )
A.√3
3
B.√3
C.√3
2
D.2
3
4.(2025·成都诊断)已知点P,Q 在△ABC 内,若⃗PA+2⃗PB+3⃗PC
=2⃗QA+3⃗QB+5⃗QC=0,则|⃗PQ|
|⃗AB|
等于( )
A. 1
30
B. 1
31
C. 1
32
D. 1
33
5.(2025·石家庄质检)平面向量中有一个非常优美的结论:已知O
为△ABC 内的一点,△BOC,△AOC,△AOB 的面积分别为
SA,SB,SC,则SA⃗OA+SB⃗OB+SC⃗OC=0.因其几何表示酷似奔驰的
标志,所以称为“奔驰定理”.已知O 为△ABC 的内心,三个角
所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2√3,c=5,则⃗BO·⃗AC=(
)
A.2√3-8
B.-2
C.√6-7
D.3√2-9
6.△ABC 内一点O 满足关系式S△OBC·⃗OA+S△OAC·⃗OB+S△OAB·⃗
OC=0,即称为经典的“奔驰定理”,
若△ABC 的三边为a,b,c,现有a·⃗OA+b·⃗OB+c·⃗OC=0,则O
为△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
7.设P 是△ABC 内任意一点,S△ABC表示△ABC 的面积,λ1=
S△PBC
S△ABC
,λ2= S△PAC
S△ABC
,λ3= S△PAB
S△ABC
,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G 是
△ABC 的重心,f(P)=(
1
2 , 1
3 , 1
6),则( )
A.点P 在△GAB 内
B.点P 在△GBC 内
C.点P 在△GAC 内
D.点P 与点G 重合
二、多选题
8.(2025·安徽皖江名校联考)已知△ABC,D 为BC 边的中点,若
点P 满足3⃗PA+2⃗PB+⃗PC=0,则下列说法正确的是( )
A.点P 一定在△ABC 内部
B.4⃗PA+2⃗PB=⃗CA
C.S△ABC=3S△PAC
D.点P 在直线AD 上
9.(2025·贵阳模拟)奔驰定理:已知O 是△ABC 内的一点,
△BOC,△AOC,△AOB 的面积分别为SA,SB,SC,则有SA⃗OA+SB⃗
OB+SC⃗OC=0.设O 是锐角三角形ABC 内的一点,
∠BAC,∠ABC,∠ACB 分别是△ABC 的三个内角,以下结论正
确的是( )
A.若⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则O 为△ABC 的重心
B.若⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0,则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
C.若O 为△ABC(不为直角三角形)的垂心,则tan ∠BAC·⃗OA
+tan ∠ABC·⃗OB+tan ∠ACB·⃗OC=0
D.若|⃗OA|=|⃗OB|=2,∠AOB=5 π
6
,2⃗OA+3⃗OB+4⃗OC=0,则
S△ABC=9
2
3
10.(2024·新余模拟)已知M 是△ABC 内一点，△BMC，
△AMC，△AMB 的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有(
)
A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M 为△ABC 的重心
B.若M 为△ABC 的内心，则BC·⃗MA+AC·⃗MB+AB·⃗MC=0
C.若M 为△ABC 的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0，则
tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=3∶4∶5
D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M 为△ABC 的外心，则
SA∶SB∶SC=√3∶2∶1
11.已知O 是锐角△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面
积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有( )
A.若⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
B.若|⃗OA|=|⃗OB|=2，∠AOB=5 π
6
，2⃗OA+3⃗OB+4⃗OC=0，
则S△ABC=9
2
C.若O 为△ABC 的内心，3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0，则∠ACB=π
2
D.若O 为△ABC 的垂心，3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0，则
cos∠AOB=-√6
6
三、填空题
12.(2025·南昌调研)△ABC 的内切圆圆心为O,半径为2,
且S△ABC=14,2⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0,则△ABC 的外接圆面积为
.
13.若△ABC 内接于以O 为圆心,以1 为半径的圆,且3⃗OA+4⃗
OB+5⃗OC=0,则△ABC 的面积为 .
14.(2025·天津河北区质检)在△ABC 中,点G,O 分别为△ABC
的重心和外心,且⃗AG·⃗AO=4,|⃗AG|=2,则边BC 的长为
.
4
